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La surface de flottaison - Math en Jeans 2009

  1. 1. Lycée Marcelin Berthelot – Maths en JEANS 2009 Sébastien Canu – David Nowinsky
  2. 2. Partie I
  3. 3. L’objet Il doit être :  plan  convexe  pouvoir en calculer l’aire  pouvoir calculer des parties de son aire  flottant (densité < 1 et même en dessous pour que la surface de flottaison ne soit pas nulle)
  4. 4. Quelques objets
  5. 5. Ce qu’on lui fait subir  On le plonge dans l’eau  On le fait tourner
  6. 6. Notation  On notera d la densité, c’est-à-dire le rapport entre l’aire de la zone mouillée et l’aire totale de l’objet. a d A
  7. 7. Ce qu’on cherche Quelle est la surface de l’objet qui n’est jamais mouillée lors de notre expérience ? On appelle cette surface la surface de flottaison.
  8. 8. Dispositif expérimental Avec plongée Super objet transparent (TM) On évite les déformations dues à la réfraction.
  9. 9. Exemple facile : le cercle  La surface de flottaison d’un cercle est un cercle concentrique. Avec R le rayon du cercle et r le rayon de la surface de flottaison, R² d R² arccos(r / R) r R sin(arccos r / R)) ( R r
  10. 10. Partie II
  11. 11. Méthode d’étude  On prend un triangle équilatéral de densité d.  On fait bouger un point M sur un des côtés et on considère que ce point appartient { la surface de l’eau.  Où se trouve le point N tel que la droite (MN) soit la surface de l’eau ?
  12. 12. Paramétrage  Pour faciliter les calculs, on préfère garder le triangle fixe et faire bouger l’eau !  On note m l’abscisse de M.
  13. 13. Equation de la surface de flottaison  On trouve, avec m la position du point M sur le côté, que la droite (MN) (surface de l’eau) est donnée par :
  14. 14. Tracé de la surface de flottaison Lorsqu’on fait varier m :
  15. 15. Tracé de la surface de flottaison  Pour obtenir la totalité de la surface de flottaison, il suffit de faire 2 rotations de 120° et de centre le centre du triangle.  Ici : d=0.1
  16. 16. Influence de la densité d=0.35 d=0.02
  17. 17. Partie III
  18. 18. Deux cas à distinguer Cas du triangle Cas du trapèze
  19. 19. Cas du triangle  On cherche les coordonnées polaires du point S, c’est-à-dire h en fonction de θ. 1 h 2 cos( ) c d sin( 2 ) 2 4
  20. 20. 1 Cas du triangle h 2 2 cos( 4 ) c d sin( 2 )
  21. 21. Cas du trapèze  On cherche les coordonnées polaires du point S, c’est-à-dire h en fonction de θ. cos( ) h c (1 2d ) 2
  22. 22. cos( ) h c (1 2d ) Cas du trapèze 2
  23. 23. Raccord des solutions  On cherche à quel angle θ correspond le cas limite. arctan( d ) 2  On définit alors la fonction par morceaux.
  24. 24. Influence de la densité Densité d=0.4 Densité d=0.01
  25. 25. Tracé de la surface de flottaison  Maintenant qu’on a tous les points S, il faut tracer toutes les perpendiculaires aux droites OS passant par S pour obtenir toutes les surfaces de l’eau.  Ici, pour une densité de d=0.1.
  26. 26. Influence de la densité Densité d=0.48 Densité d=0.01
  27. 27. Et après ?...  En faisant tendre vers l’infini le nombre de droites tracées, on trouve la totalité de la zone mouillée.  La surface de flottaison est le complémentaire de cet ensemble dans le plan.
  28. 28. Pistes de recherches : • d’autres surfaces (ellipses, polygones réguliers ou non,... ) • généralisation (une formule générale de cette surface ?) • étudier les propriétés de la surface (points de rebroussement, …) • tester d’autres surfaces dans votre lavabo ! Télécharger les animations : http://davinov.free.fr/ rubrique Math en Jeans davinov@free.fr

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