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Matema Financiera

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  • me estoy iniciando en el mundo de la matematica financiera, muy completa la presentacion abarca todos los puntos fundamentales de las finanzas y las matematicas, buen aporte! hablando de finanzas comparto con ustedes la noticia sobre Ana Patricia Botin http://www.asturi.as/noticias/23652/_ana_patricia_botin_empresaria_mejor_reputada/
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Matema Financiera

  1. 1. MATEMATICAS FINANCIERAS <ul><li>Conceptos Básicos </li></ul><ul><ul><li>Interés </li></ul></ul><ul><ul><li>Tasa de interés </li></ul></ul><ul><li>Tipos de Interés </li></ul><ul><ul><li>Interés simple </li></ul></ul><ul><ul><li>Interés compuesto </li></ul></ul><ul><li>Desrrolo de la tasa efectiva </li></ul><ul><ul><li>Tasa de interés nominal </li></ul></ul><ul><ul><li>Período de capitalización </li></ul></ul><ul><ul><li>Tasa de interés proporcional </li></ul></ul><ul><ul><li>Ambito del interés simple y compuesto </li></ul></ul><ul><ul><li>Tasas de interés equivalentes </li></ul></ul><ul><li>Programación de deuda </li></ul><ul><ul><li>Interés al rebatir </li></ul></ul><ul><ul><li>Amortizaciones iguales </li></ul></ul><ul><ul><li>Pagos iguales </li></ul></ul><ul><li>Tasas equivalentes </li></ul><ul><ul><li>Concepto de flujos </li></ul></ul><ul><ul><li>Tasa interna de retorno o Tasa equivalente </li></ul></ul><ul><ul><li>Aplicación en Programación de deuda </li></ul></ul><ul><li>Descuentos </li></ul><ul><ul><li>Sobre monto total </li></ul></ul><ul><ul><li>Sobre monto parcial </li></ul></ul><ul><ul><li>Tasa efectiva equivalente </li></ul></ul><ul><li>Tasa de Interés Real </li></ul><ul><ul><li>Precio corrientes y constantes </li></ul></ul><ul><ul><li>De flujos corrientes a reales </li></ul></ul><ul><ul><li>Tasa real equivalente </li></ul></ul><ul><li>Tasa de interés y cambio de moneda </li></ul><ul><ul><li>El tipo de cambio </li></ul></ul><ul><ul><li>Flujos y cambio de moneda </li></ul></ul><ul><ul><li>Tasas de interés equivalente en otras monedas </li></ul></ul>
  2. 2. INTERES <ul><li>CONCEPTO </li></ul><ul><li>Es el valor o costo que otorga el mercado al uso del dinero en un período de tiempo, en un determinado instrumento financiero. </li></ul>EJEMPLO Préstamo Saldo Pago Interés Amortiz. P P I A 0 1 0 Flujo de Caja P F Amortización Interés Pago Futuro Período 0 1 1 P F A + I Programación de deuda
  3. 3. TASA DE INTERES <ul><li>CONCEPTO </li></ul><ul><li>Tasa equivalente entre los pagos futuros y el préstamo, representando el costo financiero de la operación financiera. </li></ul>EJEMPLO Flujo de Caja P = S/ 1,000 F = S/1,100 I P 100 1,000 i = = = 0.10 = 10% i = = -1 = -1 = 10% F-P P F P 1,100 1,000 + Proceso de Capitalización 0 1 0 1 1,000 1,000 + 100 1,100 A I F P
  4. 4. INTERES SIMPLE <ul><li>CONCEPTO </li></ul><ul><li>Se dá cuando en el cálculo de un pago futuro (F) no existe capitalización de intereses en períodos intermedios. </li></ul>Flujo de la Deuda 0 1 2 3 1,000 1,000 1,000 1,300 0 100 100 100 Saldo Intereses I = (P x i) n F = P + I F = P + (P x i) n F = P (1+i x n) 300 F = P (1+ i equiv ) (1 + i equiv ) = (1 + i x n) i equiv = (1 + i x n) - 1 i equiv = i x n ¿Cuál es el pago futuro si la capitalización es trimestral? EJEMPLO 0 1 2 3 P = S/ 1,000 F = ? 10% 10% 10%
  5. 5. INTERES COMPUESTO <ul><li>CONCEPTO </li></ul><ul><li>Se dá cuando en el cálculo de un pago futuro se capitalizan los intereses de períodos intermedios al saldo de la deuda y sobre estos se calculan los intereses del siguiente período. Se dice que existe capitalización de intereses. </li></ul>EJEMPLO 0 1 2 3 P = S/ 1,000 F = ? Flujo de Caja 0 1 2 3 1,000 1,100 1,210 1,331 0 100 110 121 Saldo Intereses 10% 10% 10% F = P (1+i) F = P (1+i)(1+i) F = P(1+i) 2 F = P (1+i)(1+i)(1+i) F = P(1+i) 3 F = P(1+i) n
  6. 6. TASA DE INTERES NOMINAL Tasa base anunciada por la institución financiera. i nom = 60% anual PERIODO DE CAPITALIZACION Período que implica el cómputo de intereses al principal. Divide el tratamiento de la deuda entre interés simple y compuesto. Capitalización Trimestral = 4 períodos en el año m = 4 TASA DE INTERES PROPORCIONAL Es la primera tasa efectiva. (i efect )* y se calcula como una proporción del i nom en función del número de períodos de capitalización (m). AMBITO DE LOS INTERESES SIMPLE Y COMPUESTO Interés simple Interés compuesto + múltiplo n<m m n>m i efec * i prop. = i efect * = i nom m i efect * = 60% 4
  7. 7. EJEMPLO <ul><li>Calcular el saldo al final del 2do. trimestre del siguiente flujo: </li></ul>La tasa de interés es 60% anual a) Capitalizada mensualmente b) Capitalizada trimestralmente 0 1 2 3 4 5 6 Retiros Depósitos 400 700 400 1,000 500 600 500
  8. 8. SOLUCION Mes Intereses Retiros Depósitos Saldo 0 1 2 5 6 Mes Intereses Retiros Depósitos Saldo 0 1 2 5 6 a) Capitalización mensual i anual = 60% capitalización mensual ----> i mensual = b) Capitalización trimestral i anual = 60% capitalización trimestral ----> i trim = = i mensual = 3 4 3 4
  9. 9. TASAS DE INTERES EQUIVALENTES <ul><li>i anual nominal = 60% </li></ul>Período Capitaliz. Sem. Men. Bimes. Trimes Semes Anual Semanal Mensual Bimestral Trimestral Semestral Anual
  10. 10. INTERES AL REBATIR <ul><li>Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>¿Cuál es el saldo al trimestre 6? </li></ul><ul><li>Bajo las siguientes condiciones: </li></ul><ul><ul><li>a) tasa de interés pasiva 5% mensual </li></ul></ul><ul><ul><li>b) capitalización mensual </li></ul></ul><ul><ul><li>c) tasa de interés activa: 10% mensual </li></ul></ul>Mes Saldo Depositos Retiros Interés 0 1,000 1 500 2 600 3 4 2,000 5 400 6 600 300
  11. 11. PROGRAMACION DE DEUDA <ul><li>Programar el servicio del siguiente préstamo: </li></ul><ul><ul><li>Préstamo = $1,000 </li></ul></ul><ul><ul><li>i = 10% efectiva mensual </li></ul></ul><ul><ul><li>n = 4 </li></ul></ul><ul><ul><li>a) Pagos iguales </li></ul></ul><ul><ul><li>b) Amortizaciones iguales </li></ul></ul>a) Amortizaciones Iguales b) Pagos Iguales Mes Pago Interés Amortiz. Saldo Final 0 1 2 3 4 Mes Pago Interés Amortiz. Saldo Final 0 1 2 3 4
  12. 12. PAGOS IGUALES PMT P n 1 2 3 4 5 PMT (1+ i) 1 P = + + + + + ...... + PMT PMT PMT PMT PMT PMT = ? PMT (1+ i) 2 PMT (1+ i) 3 PMT (1+ i) 5 PMT (1+ i) 4 PMT (1+ i) n P = + + + + ...... + 1 (1+ i) PMT (1+ i) 1 PMT (1+ i) 2 PMT (1+ i) 3 PMT (1+ i) n-1 PMT P (1+i) = + + + + ...... + + - PMT (1+ i) 1 PMT (1+ i) 2 PMT (1+ i) 3 PMT (1+ i) n-1 PMT PMT (1+ i) n PMT (1+ i) n P P(1+i) = PMT + P - PMT (1+ i) n P(1+i) - P = PMT - PMT (1+ i) n iP = PMT (1+i) n - 1 (1+i) n P = PMT (1+i) n - 1 i (1+i) n PMT = P i (1+i) n (1+i) n - 1 @PMT(P , i , n)
  13. 13. TASA EQUIVALENTE * A un período P(1+i) = F P = ---> i = - 1 F (1+i) F p * A dos períodos P = + F 1 (1+i) F 2 (1+i) 2 P(1+i) 2 = F 1 (1+i) + F 2 P(1+2i+i 2 ) = F 1 +iF 1 + F 2 P+2Pi+Pi 2 -F 1 -iF 1 - F 2 = 0 Pi 2 + (2P-F 1 )i +P-F 1 - F 2 = 0 P F P F 2 F 1 i = -(2P-F 1 )+ (2P-F 1 ) 2 - 4P(P-F 1 -F 2 ) 2P
  14. 14. TASA EQUIVALENTE * A “n” períodos VP k (tasa de descuento) VP = - P + + + .........+ F 1 (1+k) F 2 (1+k) 2 VP = 0 k* TIR TIR = la tasa equivalente que iguala el préstamo P a los flujos actualizados @IRR (0.18, P F 1 ..F n ) k* F n (1+k) n Flujos actualizados k* k* = - 1 <ul><li>Fi </li></ul><ul><li>P </li></ul>n P = + + +......... + F 1 (1+ TIR) F 2 (1+ TIR) 2 F n (1+ TIR) n F 3 (1+ TIR) 3
  15. 15. TASAS EQUIVALENTES DE FLUJOS a) Amortizaciones iguales 1 2 3 4 350 325 300 275 1,000 F F F F (1+i) (1+i) 2 (1+i) 3 (1+i) 4 P = + + + 350 325 300 275 (1+i) (1+i) 2 (1+i) 3 (1+i) 4 1,000 = + + + b) Pagos iguales 1 2 3 4 315 315 315 315 1,000 315 315 315 315 (1+i) (1+i) 2 (1+i) 3 (1+i) 4 1,000 = + + + i = ¿ ? 0 1 2 3 4 0
  16. 16. PRECIOS CORRIENTES Y CONSTANTES <ul><li>En términos corrientes: </li></ul><ul><ul><ul><li>Precio bien 0 = 100 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>mensual = 20% </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Precio bien 1 = 120 </li></ul></ul></ul>0 1 <ul><li>=20% </li></ul>100 120 <ul><li>En términos constantes : </li></ul><ul><ul><ul><li>Precio bien 0 = 100 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Precio bien 1 = 100 </li></ul></ul></ul>0 1 100 100 Precios corrientes del bien Precios constantes del bien p real = p. Corriente ( 1+ ) Para tener un precio en términos constantes se debe deflactar los precios corrientes afectándolos por la inflación. p 0 p 1 = p 0 * (1 + ) p 1 p real = 120 (1+20%) p real = 100 p 0 p 1 = p real
  17. 17. DE FLUJOS CORRIENTES A REALES FCi = Flujo Corriente del Período i FLUJOS CORRIENTES FC 1 FC 2 FC 3 FC 4 FC 5 FC n P n 1 2 3 4 5 FC 1 (1+ ) 1 FC 2 (1+ ) 2 FC 3 (1+ ) 3 FC 4 (1+ ) 4 FC 5 (1+ ) 5 FC n (1+ ) n FRi = Flujo Real del Período i FLUJOS REALES = Flujo real p n 1 2 3 4 5 FR 1 FR 3 FR 4 FR n FR 5 FR 2
  18. 18. FLUJOS Y CAMBIO DE MONEDA Fd 1 Fd 2 Fd 3 Fd 4 Fd 5 Fd n n 1 2 3 4 5 Pd TC i = Tipo de cambio del período i (S/. /$ [Unidad monetaria a emigrar]) FC 1 FC 2 FC 3 FC 4 FC 5 FC n P n 1 2 3 4 5 FC 1 TC 1 FC 2 TC 2 FC 3 TC 3 FC 4 TC 4 FC 5 TC 5 FC n TCn P TC O FLUJOS EN S/ FLUJOS EN $
  19. 19. TASA EQUIVALENTE FR 1 (1+ i R ) 1 FR 2 (1+ i R ) 2 FR 3 (1+ i R ) 3 FR 4 (1+ i R ) 4 FR 5 (1+i R ) 5 FR n (1+i R ) n P = + + + + + ...... + i R = @ IRR (0.15, P, FR 1 ...FR n ) EN FLUJOS CORRIENTES EN FLUJOS REALES Nota: Si = cte ----> i R = i ef - 1 + FC 1 FC 2 FC 3 FC 4 FC 5 FC n P n 1 2 3 4 5 FC 1 (1+ i c ) 1 FC 2 (1+ i c ) 2 FC 3 (1+ i c ) 3 FC 4 (1+ i c ) 4 FC 5 (1+i c ) 5 FC n (1+i c ) n P = + + + + + ...... + i c = Tasa de interés equivalente a cifras corrientes i c = @ IRR (0.2, P, FC 1 ...FC n ) p n 1 2 3 4 5 FR 1 FR 3 FR 4 FR n FR 5 FR 2
  20. 20. EJEMPLO <ul><li>Calcular el saldo al final del 2do. trimestre del siguiente flujo: </li></ul>La tasa de interés es 60% anual a) Capitalizada mensualmente b) Capitalizada trimestralmente a) Capitalización mensual i anual = 60% capitalización mensual ----> i mensual = 5.0% b) Capitalización trimestral i anual = 60% capitalización trimestral ----> i trim = 15.0% ----> i mensual = 5.0% Mes Saldo Depositos Retiros Interes 0 1,000.00 1,000 1 600.00 0 400 50.00 2 1,100.00 500 30.00 3 1,835.00 600 55.00 4 1,135.00 700 91.75 5 735.00 400 56.75 6 1,420.25 500 36.75 Mes Saldo Depositos Retiros Interes 0 1,000.00 1,000 1 650.00 0 400 50.00 2 1,182.50 500 32.50 3 1,841.63 600 59.13 4 1,233.71 700 92.08 5 895.39 400 61.69 6 1,440.16 500 44.77 0 1 2 3 4 5 6 Retiros Depósitos 400 700 400 1,000 500 600 500
  21. 21. TASAS DE INTERES EQUIVALENTES <ul><li>i anual nominal = 60% </li></ul>Período Capitaliz. Sem. Men. Bimes. Trimes Semes Anual Semanal Mensual Bimestral Trimestral Semestral Anual 1.25% 5.09% 10.45% 81.54% 16.08% 34.74% 1.25% 5.00% 10.25% 79.59% 15.76% 34.01% 1.25% 5.00% 10.00% 77.16% 15.37% 33.10% 1.25% 5.00% 10.00% 74.90% 15.00% 32.25% 1.25% 5.00% 10.00% 69.00% 15.00% 30.00% 1.25% 5.00% 10.00% 60.00% 15.00% 30.00%
  22. 22. IINTERES AL REBATIR <ul><li>Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>¿Cuál es el saldo al trimestre 6? </li></ul><ul><li>Bajo las siguientes condiciones: </li></ul><ul><ul><li>a) tasa de interés pasiva 5% mensual </li></ul></ul>n Saldo Deposito Retiro Interes 0 1,000.00 1,000.00 1 650.00 500.00 150.00 2 1,347.50 600.00 97.50 3 (450.38) 2,000.00 202.13 4 (217.93) 300.00 (67.56) 5 (650.62) 400.00 (32.69) 6 (148.21) 600.00 (97.59)
  23. 23. IINTERES AL REBATIR <ul><li>Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>¿Cuál es el saldo al trimestre 6? </li></ul><ul><li>Bajo las siguientes condiciones: </li></ul><ul><ul><li>b) capitalización mensual </li></ul></ul>n Saldo Deposito Retiro Interes 0 1,000.00 1,000.00 1 657.62 500.00 157.62 2 1,361.28 600.00 103.66 3 (424.14) 2,000.00 214.57 4 (191.00) 300.00 (66.86) 5 (621.11) 400.00 (30.11) 6 (119.01) 600.00 (97.90)
  24. 24. IINTERES AL REBATIR <ul><li>Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>¿Cuál es el saldo al trimestre 6? </li></ul><ul><li>Bajo las siguientes condiciones: </li></ul><ul><ul><li>c) tasa de interés activa: 10% mensual </li></ul></ul>n Saldo Deposito Retiro Interes 0 1,000.00 1,000.00 1 800.00 500.00 300.00 2 1,640.00 600.00 240.00 3 132.00 2,000.00 492.00 4 471.60 300.00 39.60 5 213.08 400.00 141.48 6 877.00 600.00 63.92
  25. 25. PROGRAMACION DE DEUDA <ul><li>Programar el servicio del siguiente préstamo: </li></ul><ul><ul><li>Préstamo = $1,000 </li></ul></ul><ul><ul><li>i = 10% efectiva mensual </li></ul></ul><ul><ul><li>n = 4 </li></ul></ul><ul><ul><li>a) Pagos iguales </li></ul></ul><ul><ul><li>b) Amortizaciones iguales </li></ul></ul>a) Amortizaciones Iguales b) Pagos Iguales Mes Saldo Amortiz Interes Pago 0 1,000 1 785 215 100 315 2 548 237 78 315 3 287 261 55 315 4 0 287 29 315 Mes Saldo Amortiz Interes Pago 0 1,000 1 750 250 100 350 2 500 250 75 325 3 250 250 50 300 4 0 250 25 275

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