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Exercícios 2a Semana
17.3 Uma partícula P move-se do ponto C ao ponto D na haste CD en-
quanto a haste OC gira de θ = 30o para θ = 150o
(Figura P17.3).
a. Determine o deslocamento absoluto da partícula P.
b. Qual é o deslocamento aparente de P para um observador xo na haste
CD?




Resolução:

a. Percebe-se que devido ao vínculo geométrico do problema os movimentos
dos pontos C e D são análogos.
As coordenadas do ponto C são: √
Inicialmente: xCi= 0, 1 cos θ = 0,12 3 m e y Ci= 0, 1 sin θ = 0,1 m; e
                                              √                2
Após o movimento: xCf= −0, 1 cos θ = 2 m e y Cf= 0, 1 sin θ = 0,1 m.
                                           0,1 3
                                                                         2
As coordenadas do ponto D são:            √
Inicialmente: xDi= 0, 3 + 0, 1 cos θ = 0,12 3 m e √Di= 0, 1 sin θ = 0,1 m; e
                                                    y                  2
Após o movimento: xDf= 0, 3 − 0, 1 cos θ = 2 m e y Df= 0, 1 sin θ = 0,1 m.
                                                 0,1 3
                                                                             2
A posição inicial de P é a posição inicial do ponto C e sua posição nal é a
posição nal do ponto √ .
                        D
Logo: ∆xP = 0, 1(3 − 3)m e ∆y P = 0.


                                      1
b. Para um observador xo na haste CD o ponto P vai de C até D, logo,
∆xP = 0, 3m e ∆y P = 0.

17.9 A plataforma giratória mostrada na gura P17.9 é posta em movimento
por uma roda acionadora com a qual possui atrito. A roda acionadora tem
aceleração angular α = 2rad/s2 .
a. Determine o tempo requerido para a plataforma giratória atingir uma
velocidade angular de 33rpm, se ela parte do repouso.
b. Localize a posição do ponto P no instante em que a plataforma giratória
atinge 33rpm. Suponha que inicialmente θ = 0.
c. Determine o deslocamento do ponto P do instante em que a paltaforma
começa a girar ao instante em que atinge 33pm.
d. Qual é a distância entre a posição inicial de P e sua posição quando atinge
33rpm?




Resolução:


                                      2
a. 1rpm = 2π rad/s.
            60
A aceleração angular é inversamente proporcional ao raio, por conseguinte,
a aceleração angular da plataforma é 1 da da roda acionadora.
                                     5
Logo: t = 33 × 2π = 2, 75π ≈ 8.6s.
           2   60 5

b. Pela equação de Torricelli ∆θ = ωf t = 121π rad.
                                             2
                                    2       80
c. ∆S = R∆θ = 121π m.
                      2
                  640
d. Pela lei dos cossenos: d2 = 2R2 − 2R2 cos ∆θ ≈ 2(0.125)2 (1 − (−0.71)) =
0.05m2
Logo: d ≈ 0.23m

3) Calcule o momento de inércia de um triângulo retângulo do tipo (3;4;5)
em torno do eixo que coincide com o cateto menor. Considere que a massa
está uniformemente distribuída sobre toda a superfície do triângulo.

Resolução:
Como o momento de inércia é dado por : I = y 2 dm
Pegando-se um elemento de área deste triângulo, temos:
dm = σxdy
Sendo σ = densidade supercial

Realizando a integral:
     4
         y 2 σ(y−4)dy
I=            tan θ
     0
         4       3    4
     σ y4 − 4y
I=      tan θ
              3

                      0
I = 16σl4

(*)Como a massa do triângulo é representada por:
         σ8l2
M=       tan θ


Substituindo a massa total:
     8l2 8l2 σ
I=    3 tan θ
Assim, chegamos ao resultado nal:
     8M l2
I=    3
Obs: l é a razão de proporcionalidade do triângulo.




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Ex

  • 1. Exercícios 2a Semana 17.3 Uma partícula P move-se do ponto C ao ponto D na haste CD en- quanto a haste OC gira de θ = 30o para θ = 150o (Figura P17.3). a. Determine o deslocamento absoluto da partícula P. b. Qual é o deslocamento aparente de P para um observador xo na haste CD? Resolução: a. Percebe-se que devido ao vínculo geométrico do problema os movimentos dos pontos C e D são análogos. As coordenadas do ponto C são: √ Inicialmente: xCi= 0, 1 cos θ = 0,12 3 m e y Ci= 0, 1 sin θ = 0,1 m; e √ 2 Após o movimento: xCf= −0, 1 cos θ = 2 m e y Cf= 0, 1 sin θ = 0,1 m. 0,1 3 2 As coordenadas do ponto D são: √ Inicialmente: xDi= 0, 3 + 0, 1 cos θ = 0,12 3 m e √Di= 0, 1 sin θ = 0,1 m; e y 2 Após o movimento: xDf= 0, 3 − 0, 1 cos θ = 2 m e y Df= 0, 1 sin θ = 0,1 m. 0,1 3 2 A posição inicial de P é a posição inicial do ponto C e sua posição nal é a posição nal do ponto √ . D Logo: ∆xP = 0, 1(3 − 3)m e ∆y P = 0. 1
  • 2. b. Para um observador xo na haste CD o ponto P vai de C até D, logo, ∆xP = 0, 3m e ∆y P = 0. 17.9 A plataforma giratória mostrada na gura P17.9 é posta em movimento por uma roda acionadora com a qual possui atrito. A roda acionadora tem aceleração angular α = 2rad/s2 . a. Determine o tempo requerido para a plataforma giratória atingir uma velocidade angular de 33rpm, se ela parte do repouso. b. Localize a posição do ponto P no instante em que a plataforma giratória atinge 33rpm. Suponha que inicialmente θ = 0. c. Determine o deslocamento do ponto P do instante em que a paltaforma começa a girar ao instante em que atinge 33pm. d. Qual é a distância entre a posição inicial de P e sua posição quando atinge 33rpm? Resolução: 2
  • 3. a. 1rpm = 2π rad/s. 60 A aceleração angular é inversamente proporcional ao raio, por conseguinte, a aceleração angular da plataforma é 1 da da roda acionadora. 5 Logo: t = 33 × 2π = 2, 75π ≈ 8.6s. 2 60 5 b. Pela equação de Torricelli ∆θ = ωf t = 121π rad. 2 2 80 c. ∆S = R∆θ = 121π m. 2 640 d. Pela lei dos cossenos: d2 = 2R2 − 2R2 cos ∆θ ≈ 2(0.125)2 (1 − (−0.71)) = 0.05m2 Logo: d ≈ 0.23m 3) Calcule o momento de inércia de um triângulo retângulo do tipo (3;4;5) em torno do eixo que coincide com o cateto menor. Considere que a massa está uniformemente distribuída sobre toda a superfície do triângulo. Resolução: Como o momento de inércia é dado por : I = y 2 dm Pegando-se um elemento de área deste triângulo, temos: dm = σxdy Sendo σ = densidade supercial Realizando a integral: 4 y 2 σ(y−4)dy I= tan θ 0 4 3 4 σ y4 − 4y I= tan θ 3 0 I = 16σl4 (*)Como a massa do triângulo é representada por: σ8l2 M= tan θ Substituindo a massa total: 8l2 8l2 σ I= 3 tan θ Assim, chegamos ao resultado nal: 8M l2 I= 3 Obs: l é a razão de proporcionalidade do triângulo. 3