Superficies

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Modelado de superficies

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Superficies

  1. 1. SUPERFICIESLa grafica de una función de tres variables por lo general (x,y,z) representa una superficieen el espacio de !3. Una función de tres variables asocia cada terna ordenada (x,y,z)mediante esta relación.La grafica de la ecuación (x,y,z)=0, es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadassatisfacen esta ecuación, y esta representación gráfica de la función mencionadaanteriormente, recibe el nombre de superficie en !3.Los ejemplos más simples de superficies en el espacio de !3 son los planos con ecuaciónlineal Ax+By+Cz+D=0.Para graficar una superficie en el espacio tridimensional, es útil examinar sus interseccionescon varios planos, como por ejemplo con el plano xy, yz, xz, o también otros planos no tancomunes como estos tres.La traza de la superficie en el plano es la intersección de estas dos graficas de superficies.Por ejemplo si tenemos una esfera que se intercepta con el plano xy, se puede verclaramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una circunferencia de radio“r” que dependerá de la ubicación de la esfera respecto al plano. Esto se cumplirá si las dossuperficies se interceptan entre sí pero no son tangentes.Para visualizar una superficie especifica en el espacio, por lo general basta examinar sustrazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos planos paralelos a estos.Existen distintos tipos de superficies en el espacio, dentro de las cuales se encuentran:- Superficies Implícitas. F(x,y,z)=0CuadráticasSuperficies equipotenciales- Superficies Explicitas. z=f(x,y);- Superficies Paramétricas. (x,y,z)=f (u,v)Las Explicitas se tratan como paramétricas.Bezier, BSplines, NURBS.En este trabajo analizaremos solo superficies cuádricas y superficies paramétricas dentrodel espacio !3 y veremos las respectivas graficas de las funciones más usadas.CuádricasLas superficies cuádricas se tratan de primitivas matemáticas que responden a la ecuación:Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, toros,hiperboloides, etc.
  2. 2. Esta ecuación de la representación de superficies cuádricas está referida a ejes que no sonde simetría (ejes arbitrarios), donde al menos uno de los seis primeros coeficientes es nonulo. Esta ecuación puede reducirse a una en la cual no figuren los productos entre lasvariables. Mediante una rotación adecuada de coordenadas, pueden eliminarse luego lostérminos que contienen las primeras potencias de las nuevas variables mediante unatranslación. Se llegara entonces a las ecuación más simple para dicha cuádrica; estaecuación es la ecuación canónica de la cuádrica.Ax2+By2+Cz2+Dx+Ey+Fz+G=0Las superficies cuádricas se pueden clasificar en cuádricas no degeneradas que soncinco: tres de ellas poseen centro de simetría (elipsoide, hiperboloide de una hoja y de doshojas) y las dos restantes no poseen centro de simetría (paraboloide elíptico e hiperbólicoo silla de montar).Las cuádricas degeneradas son conos, planos dobles y cilindros.Cualquier superficie ubicada arbitrariamente respecto de los ejes x,y,z; es posible centrarlaen el origen (si tiene centro) respecto a un nuevo sistema de ejes coordenados x,y,zmediante adecuadas translaciones y rotaciones del sistema x,y,z.Dada la ecuación general de las cuádricas:a11x2+a22y2+a33z2+a12xy+a13xz+a23yz+a14x+a24y+a34z+a44=0y a partir de los coeficientes aij, definimos una serie de parámetros que los llamaremosinvariantes, ya que los mismos no se modifican con las operaciones roto - translatorias quellevan x,y,z a x,y,z estas invariantes son:S= a11+a22+a33 T= a11a22+a11a33+a22a33+a122+a132+a232Siendo E = menor principal 0, de mayor rango.Los números , , S, T y E, calculables a partir de los aij = aji permiten junto con el rango dela matriz 4x4, reconocer cual es la cuádrica que corresponde a una ecuación dada, segúnse indica en el cuadro de la última página:Cuádricas no degeneradasEntre las cuadráticas no degeneradas están las del tipo:- Mx2+Ny2+Pz2 = R2 con R>0 {centradas}- Mx2+Ny2 = Sz {no centradas}Dentro de superficies cuádricas centradas no degeneradas se encuentran, esferas,elipsoides, hiperboloides de una y de dos hojas y entre las no centradas y no degeneradasse encuentran el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico. Dentro del estudio de lassuperficies cuádricas que estudiaremos se analizarán en su forma canónica.No degeneradas centradasLa esferaSi la ecuación general de las cuádricas se reduce a la forma
  3. 3. x2+y2+z2 = R2Se obtiene una superficie esférica con centro en el origen de coordenadas y radio R. Si encambio la esfera está centrada en el punto (a,b,c) la ecuación se expresa:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2Elipsoide:Si la ecuación general de las cuádricas, los coeficientes son tales que puede ser expresadacomo:Entonces la ecuación representa un elipsoide centrado en el origen, simétrico con respectoa cada uno de los tres planos y tiene intersecciones en (±a,o,o),(0,±b,0),(0,0,±c). Al igualque en la esfera, el elipsoide puede estar centrado en cualquier otro punto del espaciohaciendo x = x-x0, y = y-y0, z = z-z0.Para representar gráficamente la ecuación de un elipsoide, se encuentran las trazas conplanos paralelos a los coordenados. Estas curvas van formando una red que soporta a lasuperficie.Tomando planos horizontales paralelos al xy y a una altura k, de ecuación z=k, laintersección del elipsoide con este plano es que corresponde a una elipse siempre que:En forma similar se pueden estudiar las intersecciones con los planos paralelos a los planoscoordenados xz y yz.Hiperboloide de una hoja:Su ecuación canónica esLas intersecciones con diferentes planos se detallan a continuación:Con z=k: produce elipses con semidiámetros crecientes a medida que k aumenta partiendode 0.
  4. 4. Si k = 0, se obtiene la elipse más pequeña con semidiámetros a y b, que representa lagarganta del hiperboloide.Con x = k e y = k, las intersecciones son hipérbolas. Si a = b corresponde a un hiperboloidecircular de una hoja.Hiperboloide de dos hojas:Su ecuación canónica esLas intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados son con z = k:corresponden a elipses con semidiámetro crecientes siempre que:, si k = c, la elipse sereduce a un punto, significa que entre los planos z = -c y z = c no hay puntos de la superficie.si a = b corresponde a un hiperboloide circular de dos hojas.Con x =k e y =k las intersecciones son hipérbolas.No degeneradas no centradasParaboloide: si en la ecuación general de las cuadráticas, faltan los términos rectangulareso cruzados y además no está presente el término de segundo grado correspondiente a unade las variables, la superficie recibe el nombre de paraboloide. Los paraboloides puedenser de dos tipos: elípticos (circulares) o hiperbólicos.Paraboloide elíptico:Responde a la ecuaciónPara hallar su gráfica se encuentran las intersecciones con los planos z =k, si c >0 laecuación anterior representa elipses con semidiámetros crecientes a medida queaumenta k (k >0). En el caso en que k =0 se obtiene un punto (el vértice del paraboloide).Si c >o el paraboloide se abre hacia arriba, si c< 0 el paraboloide se abre hacia abajo. Si a=b se obtiene un paraboloide circular.Cortando con planos x=k, la ecuación resultante representa parábolas de eje z, con vérticesque se desplazan en la dirección positiva del eje z a medida que k aumenta en valorabsoluto.Cortando con planos y=k, que da parábolas de eje z, con vértices en ascenso a medidaque k aumenta.Paraboloide hiperbólico:Su ecuación es:Si suponemos que c >0, las intersecciones son:-Con los planos z =k, hipérbolas que cambian de eje con el signo de k.-Si k = 0 se reduce a un par de rectas-Con x =k: parábolas de eje con ramas descendentes y vértices en ascenso.
  5. 5. -Con y =k: quedan determinadas parábolas de eje z con ramas ascendentes y vértices endescenso. La superficie tiene la forma de una silla de montar.Así el origen parece un máximo local desde una dirección, pero un mínimo local desde unadirección distinta. Tal punto de una superficie se llama punto silla.Cuádricas degeneradasEntre las cuadráticas degeneradas están las del tipo:- Mx2+Ny2+Pz2 = R2; R"0 {centradas}- Mx2+Ny2 = Sz {no centradas}Dentro de superficies cuádricas centradas degeneradas se encuentran conos, cilindroelíptico, cilindro hiperbólico, planos dobles. Y entre las no centradas y degeneradas seencuentra el cilindro parabólico.Degeneradas centradasCono:Su ecuación canónica es:Las intersecciones dan:-Con z =k, son elipses con semidiámetros crecientes y que se reducen a un puntocuando k =0.-Con x =k e y =k las intersecciones son hipérbolas de eje vertical.Si a =b las trazas con los planos paralelos al plano xy son circunferencias, por lo tanto seríaun cono circular.Cilindro elíptico:Su ecuación canónica es:Si z =k, las intersecciones son elipses con semidiámetros constantes, si a =b será un cilindrocircular.Con x =k e y =k las intersecciones son líneas rectas separadas a igual distancia del centrodel cilindro.Cilindro hiperbólico:Su ecuación canónica es:Si z =k las intersecciones son hipérbolas constantes.Degeneradas no centradasCilindro parabólico:Su ecuación canónica es: Mx2 = Sz (ó también Ny2 = Sz )
  6. 6. Las intersecciones dan:-Con y =k: Mx2 = Sz, son parábolas crecientes si M y Z son mayores que 0.Sea un vector " y P0 un punto dado, el conjunto de todos los puntos para los cuales(P0P) y son ortogonales define al plano que pasa por P0 y tiene a como vector normal.Si P0(x0, y0, z0) es un punto de un plano y = (a, b, c) es un vector normal al plano,entonces una ecuación del plano es:a(x - x0 ) + b (y - y0 ) + c (z - z0 ) = 0El producto escalar entre el vector normal al plano y un vector del mismo es igual a cero:( P) = (x - x0, y - y0, z - z0)· = a (x - x0) + b (y - y0) + c (z - z0 ) = 0Si [ax + by + cz +d = 0] es la ecuación de un plano = (a, b, c) es un vector normal al plano.Es un ejemplo de un plano en el espacio.Superficies paramétricasUna superficie paramétrica es la imagen de una función o transformación r definida en unaregión R de un plano uv y que tiene valores en el espacio xyz. La imagen bajo r en cadapunto (u,v) en R es el punto del espacio xyz con vector de posición.r(u,v)= x(u,v), y(u,v), z(u,v)Dado que una superficie paramétrica es una imagen de una transformación en el espacio,es posible por lo tanto tomar coordenadas cilíndricas y esféricas, para expresar la superficiecon otros parámetros distintos a los rectangulares.Algunos ejemplos de superficies paramétricas:Cilindro circular[cos u, sin u, v]
  7. 7. Cono circular[v cos u, v sin u, v]u cosh v, u sinh v, u2
  8. 8. [(u - sin u)cos v,(1 - cos u)sin v, u][u2 + vu, u + vu2, v](superficie reglada)
  9. 9. [eu + veu, e-u - ve-u, u + v](desarrollable tangencial)(desarrollable tangencial)Trompeta de Gabriel
  10. 10. Toro(2 + cos u)cos v,(2 + cos u)sin v, sin uTampa espiralu cos v, u sin v, 2v
  11. 11. SUPERFICIES CUADRICAS1. Ecuaciones paramétricas de una esferax=rsin(u)cos(v)y=rsin(u)sin(v)z=rcos(v)x=3sin(u)cos(v); y=3sin(u)sin(v); z=3cos(v)2. Ecuaciones paramétricas de un elipsoidex= asin(u)cos(v)y=bsin(u)sin(v)z=ccos(v)x=4sin(u)cos(v); y=4sin(u)sin(v); z=2cos(v);
  12. 12. 3. Ecuaciones paramétricas de un hiperboloide elíptico (de una hoja)x=acosh(u)cos(v)y=bcosh(u)sin(v)z=sinh(u)x=4cosh(u)cos(v); y=3cosh(u)sin(v); z=7sinh(u)4. Ecuaciones paramétricas de un hiperboloide hiperbólico (de dos hojas)x=asinh(u)cos(v)y=bsinh(u)sin(v)z=ccosh(u)x= 4sinh(u)cos(v), y=3sinh(u)sin(v), z= 7cosh(u)
  13. 13. 5. Ecuaciones paramétricas de un paraboloide elípticox=aucos(v)y=busin(v)z=cux= 4ucos(v), y=3usin(v); z=7u6. Ecuaciones paramétricas de un paraboloide hiperbólicox=aucosh(v)y=busin(v)z= cux=3ucosh(v); y=2usen(v); z=5 u
  14. 14. 7. Ecuaciones paramétricas de un conox=avcos(u)y=bvsin(u)z=cvx=2vcos(u); y=3vsin(u); z=5v8. Ecuaciones paramétricas de un cilindro elípticox=acos(u)y=bsin(u)z=vx=3cos(u); y=2sin(u); 5z=v;
  15. 15. 9. Ecuaciones paramétricas de un cilindro hiperbólicox=acosh(u)y=bsinh(u)z=vx=4cosh(u); y=3sinh(u); z=v10. Ecuaciones paramétricas de un cilindro parabólicox=uy=1/(2p)*uz=vx=u; y=-4u; z=v
  16. 16. 11. Ecuaciones paramétricas de una superficie cilíndricax(t) = (2 + cos(t)) cos()y(t) = (2 + cos(t)) sen()z(t) = tt E [0; 2¼];12. Ecuaciones paramétricas de la pseudoesferax=r*sen(t)*cos(s)y=r*sent(t)*sen(s)z=r*(cos(t)+log(tg(t/2)))
  17. 17. 13. Ecuaciones paramétricas de un Astroide14. Ecuaciones paramétricas de una cubeta de huevos
  18. 18. 15. Ecuaciones paramétricas de bonete cruzado16. Ecuaciones paramétricas de un serpentin
  19. 19. 17. Ecuaciones paramétricas de un whitneyhttp://www.mathcurve.com/surfaces/superficies.shtml

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