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Lei De InduçãO De Faraday

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Lei De InduçãO De Faraday

  1. 1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 30/08/2005 11:54 H RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 3 Capítulo 36 - A Lei da Indução de Faraday Problemas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
  2. 2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos 06. Uma antena em forma de espira de área A e resistência R é perpendicular a um campo magnético uniforme B. O campo cai linearmente a zero em um intervalo de tempo Δt. Encontre uma expressão para a energia interna total dissipada por efeito Joule na espira. (Pág. 190) Solução. O campo magnético varia no tempo de acordo com o gráfico abaixo: B 0 Δt t Equação da reta: B(t ) = at + B Onde a, a declividade da reta vale: 0− B B a= =− t −0 Δt Logo: B B(t ) = − t + B Δt Fluxo do campo através da espira: Φ = ∫ B.dA Φ = B(t ) A Fem induzida pela variação do fluxo do campo: dΦ B ε =− = A (1) dt Δt Energia dissipada no tempo Δt: E P= Δt ⎛ε2 ⎞ E = PΔt = ⎜ ⎟ Δt (2) ⎝R⎠ Substituindo-se (1) em (2): 2 ⎛ BA ⎞ ⎜ ⎟ Δt ⎠ E=⎝ Δt R B 2 A2 E= RΔt [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 2 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  3. 3. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 11. Na Fig. 32, o fluxo que atravessa a espira é ΦB(0) no instante t = 0. Suponha que o campo magnético B está variando de forma contínua mas não especificada, em módulo e direção, de modo que no instante t o fluxo é representado por ΦB(t). (a) Mostre que a carga resultante q(t) que passa através do resistor R no intervalo de tempo t é 1 q (t ) = [ Φ B (0) − Φ B (t )] R independentemente da forma específica da lei de variação de B. (b) Se ΦB(t) = ΦB(0) em um caso particular, temos q(t) = 0. A corrente induzida é necessariamente zero, durante o intervalo de tempo de 0 a t? (Pág. 191) Solução. (a) Módulo da fem induzida: dq dΦ ε = iR = R = dt dt d Φ = Rdq Φ (t ) q ∫Φ (0) d Φ = ∫ Rdq 0 Φ (t ) − Φ (0) = Rq (t ) 1 q (t ) =[ Φ(t ) − Φ (0)] R (b) Não. A corrente induzida vale: dq (t ) 1 ⎡ d Φ (t ) d Φ (0) ⎤ i (t ) = = ⎢ − dt R ⎣ dt dt ⎥ ⎦ 1 i (t ) = [ε (t ) − ε (0) ] R O fato de o valor instantâneo uma grandeza ser zero, Φ(t), não significa que sua variação instantânea em relação ao tempo, ε(t), também deva ser zero. [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 3 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  4. 4. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 13. Um campo magnético uniforme B está variando em módulo à taxa constante dB/dt. Uma dada massa m de cobre é transformada em um fio de raio r e com ele construímos uma espira circular de raio R. Mostre que a corrente induzida na espira não depende do tamanho do fio ou da espira e, considerando B perpendicular ao plano da espira, esta corrente é dada por m dB i= 4πρδ dt onde ρ é a resistividade e δ a densidade do cobre. (Pág. 191) Solução. A fem induzida é dada por: ε = iℜ (1) Resistência da espira: l ℜ=ρ (2) a Comprimento do fio: m m δ= = V la m l= (3) δa Substituindo-se (3) em (2): m ℜ=ρ 2 (4) δa Substituindo-se (4) em (1): iρm ε= 2 (5) δa Fluxo do campo magnético através da espira: φ = BA = Bπ R 2 (6) Raio da espira, onde se utilizou (3): m 2π R = l = δa m R= (7) 2πδ a Substituindo-se (7) em (6): m2 φ = Bπ (8) 4π 2δ 2 a 2 Derivando-se (8) em relação a t: dφ m 2 dB =ε = (9) dt 4πδ 2 a 2 dt Substituindo-se (5) em (9): iρm m 2 dB = δ a 2 4πδ 2 a 2 dt ________________________________________________________________________________________________________ 4 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  5. 5. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES m dB i= 4πρδ dt [Início] 26. Um fio rígido moldado em forma de um semicírculo de raio a gira a uma freqüência ν em um campo magnético uniforme, como sugere a Fig. 43.Qual (a) a freqüência e (b) a amplitude da fem induzida na espira? (Pág. 192) Solução. Considere o esquema abaixo: θ θ B dA Ângulo entre os vetores B e dA: θ (t ) = ωt = 2πν t Fluxo do campo magnético através da área semicircular do circuito: Φ sc = ∫ B.dA = ∫ B.dA.cos (θ ) π a2 Φ sc = ∫ B.dA.cos ( 2πν t ) = B cos ( 2πν t ) ∫ dA = B cos ( 2πν t ) 2 π a2 B Φ sc = cos ( 2πν t ) 2 Fluxo total através do circuito: π a2 B Φ(t ) = Φ sc + Φ0 = cos ( 2πν t ) + Φ0 2 Fem induzida no circuito: ________________________________________________________________________________________________________ 5 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  6. 6. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES d Φ (t ) π a2 B ε (t ) = − =− ( 2πν ) − sen ( 2πν t ) dt 2 ε (t ) = π 2 a 2 Bν sen ( 2πν t ) Ou seja: ε (t ) = ε max sen ( 2πν ε t ) (a) Como o ângulo de fase (argumento da função trigonométrica) é o mesmo para Φa e ε(t) conclui- se que a freqüência da variação da fem é a mesma freqüência da variação do fluxo do campo magnético na espira. Logo: νε =ν (b) A amplitude da fem induzida é o fator multiplicativo da função trigonométrica. Logo: ε max = π 2 a 2 Bν [Início] 33. A Fig. 45 mostra um bastão de comprimento L se movendo com velocidade constante v ao longo de trilhos condutores horizontais. O campo magnético através do qual o bastão se move não é uniforme, sendo provocado por uma corrente i em um longo fio retilíneo paralelo aos trilhos. Considerando v = 4,86 m/s; a = 10,2 mm, L = 9,83 cm e i = 110 A, (a) calcule a fem induzida no bastão. (b) Qual a corrente na espira condutora? Considere a resistência do bastão como 415 mΩ e a resistência dos trilhos desprezível. (c) Qual a taxa de dissipação de energia por efeito Joule no bastão? (d) Qual a força que precisa ser aplicada ao bastão por um agente externo para manter seu movimento? (e) A que taxa esse agente externo precisa realizar trabalho sobre o bastão? Compare esta resposta com a do item (c). x y (Pág. 193) Solução. (a) Módulo do campo magnético a uma distância y de um fio longo retilíneo que conduz uma corrente i: μi B= 0 (1) 2π y Fluxo do campo magnético através de um elemento do circuito de comprimento x e largura dy: μi d Φ = BdA = 0 xdy 2π y Fluxo do campo magnético através do circuito: ________________________________________________________________________________________________________ 6 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  7. 7. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES μ0ix a + L dy 2π ∫a y Φ= μ0ix ⎛ a + L ⎞ Φ= ln ⎜ ⎟ 2π ⎝ a ⎠ Fem induzida no circuito: dΦ ε = dt μ0iv ⎛ a + L ⎞ ε= ln ⎜ ⎟ (2) 2π ⎝ a ⎠ ε = 2,5279 ×10−4 A ε ≈ 253 μV (b) Para o cálculo da corrente induzida, pode-se considerar o circuito como sendo constituído por uma fonte de fem ε em série com uma resistência R. ε iv = = 6, 0915 × 10−4 A R iv ≈ 609 μA (c) Potência dissipada: P = Riv2 = 1,5399 × 10 −7 W P ≈ 154 nW (d) Força do agente externo: dFe = iv dl × B dFe = iv dyB sen(π / 2)i (3) Substituindo-se (1) em (3): ⎛ μi ⎞ dFe = iv ⎜ 0 ⎟ dy.i ⎝ 2π y ⎠ μ i i a + L dy Fe = 0 v ∫ .i 2π a y μ 0iv i ⎛ a + L ⎞ Fe = ln ⎜ ⎟i (4) 2π ⎝ a ⎠ Pode-se identificar o valor de ε, (2), em (4) se multiplicarmos o segundo membro de (4) por v/v: εi Fe = v i v Fe = ( 3,1685 × 10 −8 N ) i Fe ≈ ( 31, 7 nN ) i (e) Potencia do agente externo: P = Fe ⋅ v P = Fe v cos(0) P ≈ 154 nW ________________________________________________________________________________________________________ 7 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  8. 8. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES [Início] 34. Dois trilhos retos condutores retos têm suas extremidades unidas formando entre si um ângulo θ. Uma barra condutora, em contato com os trilhos, forma um triângulo isósceles com eles e se move à velocidade constante v para a direita, começando no vértice em t = 0 (veja a Fig. 46). Um campo magnético uniforme B aponta para fora da página. (a) Encontre a fem induzida em função do tempo. (b) Se θ = 110o, B = 352 mT e v = 5,21 m/s, em que instante a fem induzida é igual a 56,8 V? (Pág. 193) Solução. (a) x y dA b θ z x B v Fluxo do campo magnético: Φ = ∫ B.dA = B ∫ dA = BA 2b.x ⎛θ ⎞ Φ=B = Bb.x = B.x tan ⎜ ⎟ .x 2 ⎝2⎠ ⎛θ ⎞ Φ = Bx 2 tan ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Fem induzida no circuito: dΦ dx ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞ ε =− = − B2 x tan ⎜ ⎟ = − B2v tan ⎜ ⎟ x = − B2v tan ⎜ ⎟ .vt dt dt ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛θ ⎞ ε = −2 Bv 2 tan ⎜ ⎟ t 2 ⎝ ⎠ ________________________________________________________________________________________________________ 8 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  9. 9. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES O sinal negativo da fem indica que a corrente gerada no circuito é no sentido horário, que é contrário ao previsto pelo sentido adotado para o vetor dA (regra da mão direita). (b) ε (56,8 V) t= = = 2, 08126 s 2 ⎛θ ⎞ ⎛ 110o ⎞ 2 Bv tan ⎜ ⎟ 2 2(0,352 T)(5, 21 m/s) tan ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ t ≈ 2,08 s [Início] 35. Uma espira retangular de fio com comprimento a, largura b e resistência R é colocada próxima a um fio infinitamente longo em que passa uma corrente i, como mostra a Fig. 47. A distância entre o fio e a espira é D. Encontre (a) a magnitude do fluxo magnético através da espira e (b) a corrente na espira enquanto ela se move para longe do fio, com velocidade v. (Pág. 193) Solução. (a) a B x dA b dy x y y z x D i Considere a espira de largura dy e comprimento a. Sejam os vetores: B = − Bk dA = −adyk Fluxo do campo magnético através da espira infinitesimal: d Φ = B.dA ⎛ μi ⎞ d Φ = ⎜ − 0 k ⎟ . ( −adyk ) ⎝ 2π y ⎠ μ ia dy dΦ = 0 2π y Fluxo do campo através de toda a espira: ________________________________________________________________________________________________________ 9 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  10. 10. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES μ0ia D +b dy 2π ∫D y Φ= μ0ia D + b Φ= ln 2π D (b) Fem induzida na espira: dΦ μ ia 1 d ⎛ D+b⎞ μ0ia D ⎡ vD − ( D + b)v ⎤ ε =− =− 0 ⎜ ⎟=− ⎢ ⎥ dt 2π ⎛ D + b ⎞ dt ⎝ D ⎠ 2π D + b ⎣ D2 ⎦ ⎜ ⎟ ⎝ D ⎠ μ0iav ⎛ 1 1⎞ ε =− ⎜ − ⎟ 2π ⎝ D + b D ⎠ μ0iabv ε =− 2π D( D + b) Corrente na espira: ε iv = R μ0iabv iv = − 2π RD( D + b) O sinal negativo indica que a corrente é no sentido horário, que é contrário ao previsto pelo sentido adotado para o vetor dA (regra da mão direita). [Início] 36. A Fig. 48 mostra um “gerador homopolar”, um dispositivo que utiliza como rotor um disco condutor sólido. Esta máquina pode produzir uma fem maior do que qualquer uma que use rotores de espiras, pois ela pode girar a uma velocidade angular muito maior antes que as forças centrífugas deformem o rotor. (a) Mostre que a fem produzida é dada por ε = π vBR2 onde ν é a freqüência de rotação, R o raio do rotor e B o campo magnético uniforme perpendicular ao rotor. (b) Encontre o torque que precisa ser exercido pelo motor que gira o rotor quando a corrente de saída é i. (Pág. 193) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ 10 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  11. 11. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES (a) A borda externa do disco é uma superfície equipotencial e, portanto, qualquer ponto da borda mesma diferença de potencial em relação ao centro do disco. Logo, o cálculo da ddp do disco é o mesmo que o de um fio ao longo de um raio do disco. v ω Bx R r dr Força magnética sobre as cargas livres do fio: dF = dqv × B = dqvB dF = vB (1) dq Diferença de potencial entre pontos próximos no fio: dF d ε = E.dl = Edl = dl (2) dq Substituindo-se (1) em (2) e fazendo dl = dr: dε = vBdr R Bω R 2 ε = B ∫ vdr = B ∫ ω rdr = 0 2 B(2πν ) R 2 ε= 2 ε = πν BR2 (3) (b) Potência necessária para manter o movimento: P = τ.ω = τ .ω P ε i (πν BR2 )i τ= = = ω ω (2πν ) iBR 2 τ= 2 Solução alternativa: dU P= = εi dt dU = ε idt (4) Trabalho necessário para girar o disco: dW = τ.dθ = τ .dθ = τ .2πν dt (5) Como dU é igual a dW, pode-se igualar (4) e (5): τ .2πν dt = ε idt (6) Substituindo-se (3) em (6): τ .2πν dt = (πν BR 2 )idt iBR 2 τ= 2 [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 11 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  12. 12. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 37. Um bastão com comprimento L, massa m e resistência R desliza sem atrito sobre dois trilhos paralelos condutores de resistência desprezível, como ilustra a Fig. 49. Os trilhos estão conectados na parte inferior, formando uma espira condutora onde o bastão é a parte superior. O plano dos trilhos faz um ângulo θ com a horizontal e existe um campo magnético uniforme vertical B na região onde está o dispositivo. (a) Mostre que o bastão adquire uma velocidade limite cujo módulo é mgR sen θ v= B 2 L2 cos 2 θ (b) Mostre que a taxa com que a energia interna está sendo gerada no bastão (efeito Joule) é igual à taxa com que o bastão está perdendo energia potencial. (c) Discuta a situação se B fosse orientado para baixo, ao invés de para cima. (Pág. 194) Solução. (a) A velocidade limite será atingida quando a força de frenagem (componente da força magnética ao longo dos trilhos) sobre o bastão for igual à força que acelera o bastão rampa abaixo (componente da força peso do bastão ao longo dos trilhos). Ff = Fa (1) Considere o esquema abaixo: B θ dA F θ iL x θ P θ Força magnética sobre a barra: F = iL × B F = iLB Força de frenagem: Ff = F cosθ = iLB cosθ (2) Fluxo do campo magnético através do circuito: Φ = ∫ B.dA = BA cosθ = BLx cosθ Fem no circuito: ________________________________________________________________________________________________________ 12 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  13. 13. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES dΦ ε= = BLv cosθ dt Corrente na barra: ε BLv cosθ i= = (3) R R Substituindo-se (3) em (2): ⎛ BLv cosθ ⎞ Ff = ⎜ ⎟ BL cosθ ⎝ R ⎠ B 2 L2v cos2 θ Ff = (4) R Força que acelera a barra rampa abaixo: Fa = P sen θ = mg sen θ (5) Substituindo-se (4) e (5) em (1): B2 L2v cos2 θ = mg sen θ R mgR sen θ v= 2 2 B L cos 2 θ (b) Potência dissipada por efeito Joule: BLv cosθ PJ = ε i = BLv cosθ . R B 2 L2v 2 cos2 θ PJ = (6) R Taxa de perda de energia potencial gravitacional: mgR sen θ PG = Fa v = mg sen θ . 2 2 B L cos2 θ m2 g 2 R sen 2 θ ⎛ RB2 L2 cos2 θ ⎞ PG = ×⎜ ⎟ B 2 L2 cos2 θ ⎝ RB 2 L2 cos2 θ ⎠ ⎛ m2 g 2 R 2 sen 2 θ ⎞ B 2 L2 cos2 θ PG = ⎜ 4 4 ⎟ ⎝ B L cos θ ⎠ 4 R O termo entre parênteses é v2. Logo: B 2 L2v 2 cos 2 θ PG = (7) R A igualdade entre (6) e (7) completa a demonstração. (c) Caso o campo magnético fosse invertido, em nada alteraria o sentido das forças. Isso ocorre por causa da inversão do sentido da corrente elétrica no circuito, que é uma conseqüência da lei de Lenz. [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 13 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  14. 14. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 39. Um freio eletromagnético que utiliza correntes parasitas consiste em um disco de condutividade σ e espessura t, girando através de um eixo através de seu centro, com um campo magnético B aplicado perpendicularmente ao plano do disco sobre uma pequena área a2 (veja a Fig. 51). Se a área a2 está a uma distância r do eixo, encontre uma expressão aproximada para o torque que tende a diminuir a velocidade do disco, no instante em que sua velocidade angular é igual a ω. (Pág. 194) Solução. (a) Existe uma corrente elétrica original (i0) devida ao movimento de rotação do disco. Os elétrons do disco passam pela área quadrada com velocidade v = ωr j. O campo magnético que age na área a2 produz uma corrente parasita no sentido horário (corrente convencional), sendo que os elétrons fluem no sentido inverso. ωr i y B x z x A ação do mesmo campo magnético na direção −z sobre a corrente parasita que segue na direção +x gera sobre os portadores de carga uma força no sentido −y. Força do campo magnético sobre a corrente: Fy = il × B A origem da corrente parasita é o efeito Hall. O campo magnético na direção −z atuando sobre as cargas que se movem na direção +y gera nestas uma força na direção +x (corrente na direção x) de acordo com a equação: Fx = qv × B Corrente original provocada pela rotação do disco (na direção +y), sem o efeito do campo magnético: j vd = ne ⎛ i0 ⎞ ⎜ ⎟ ωr = ⎝ ⎠ = 0 at i ne neat i0 = ω rneat Diferença de potencial Hall entre as faces do quadrado ortogonais à direção x (Eq. 23, pág. 142): iB VH = 0 net (ω rneat ) B VH = net VH = ω raB ________________________________________________________________________________________________________ 14 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday
  15. 15. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Resistência elétrica entre as faces do quadrado ortogonais à direção x: L 1 a 1 R=ρ = = A σ at σ t Corrente na direção +x: V i= H R (ω raB) i= = ω raBσ t ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝σt ⎠ Força na direção −y: Fy = il × B Fy = (ω raBσ t ) ai × (− Bk ) Fy = −ω ra 2 B 2σ tj Torque da força Fy: τ = r × Fy τ = ri × (−ω ra 2 B 2σ tj) τ = −ωσ tr 2 a 2 B 2k [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 15 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 36 - A Lei da Indução de Faraday

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