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Apostila engenharia economica financeira ii

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Apostila engenharia economica financeira ii

  1. 1. ENGENHARIA ECONÔMICA II Edson de Oliveira Pamplona – http://www.iem.efei.br/edson José Arnaldo Barra Montevechi – http://www.iem.efei.br/arnaldo 2005
  2. 2. SUMÁRIO 1. Introdução 2. Considerações Sobre Critérios de Decisão 3. Análise de Investimento em Situação de Incerteza 3.1. Introdução 3.2. A Natureza das Incertezas 3.3. Métodos de Decisão em Condições de Incerteza 3.3.1. Análise de Sensibilidade 3.3.2. Métodos Baseados na Teoria dos Jogos 4. Método de Análise Hierárquica 5. Introdução à Programação Linear 6. Análise de Investimento em Situação de Risco 6.1. Probabilidade da Inviabilidade de Investimentos 6.2. Simulação de Monte-Carlo 7. Árvores de Decisão 8. Opções Reais 9. Determinação da Taxa Mínima de Atratividade pelo WACC e CAPM Referências Bibliográficas Apêndices Estudos de Caso
  3. 3. CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO O curso de Engenharia Econômica II visa o aprofundamento nas técnicas de Engenharia Econômica, complementando conhecimentos já obtidos em cursos introdutórios da área. O objetivo do curso é que o aluno domine as técnicas apresentadas, obtendo uma base sólida para tomada de decisão sobre investimentos, considerando todo o ambiente de incertezas que cerca este tipo de análise. Aborda-se, inicialmente, a comparação entre os critérios de decisão mais utilizados, forçando uma revisão do assunto. Passa-se, então, aos métodos para análise de investimentos em condições de risco e incerteza. Para enfrentar a incerteza, sempre presente, serão estudados métodos como análise de sensibilidade e critérios baseados na teoria dos jogos. Adicionalmente será transmitido o método AHP (Analytic Hierarchy Process) para análise multicriterial. Outra técnica apresentada é a Programação Linear, um dos tópicos de Pesquisa operacional mais utilizados em problemas de otimização. Com aplicação à Engenharia Econômica, a Programação Linear busca a distribuição eficiente de recursos limitados para atender determinado objetivo, em geral, maximizar lucros, resultados econômicos e minimizar custos. O risco será tratado com a utilização de elementos da estatística. O Valor Esperado e o risco de VPL’s e TIR’s, a probabilidade de inviabilidade de projetos, a simulação por Monte Carlo e árvores de decisão serão vistos. Alguns investimentos podem ser encarados como opções. O curso de Engenharia Econômica II apresenta a “Teoria de Opções Reais”, uma forma de considerar a flexibilidade gerencial de exercer, ou não, opções em avaliações de ativos reais com o uso de métodos já consagrados em opções financeiras. Finalmente, será abordado o Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) que pode auxiliar no entendimento da inclusão do risco na avaliação de investimentos e na determinação da taxa de descontos.. Os autores
  4. 4. CAP. 2 – CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CRITÉRIOS DE DECISÃO 1. OS CRITÉRIOS DE DECISÃO Dentre os métodos para avaliar investimentos, que variam desde o “bom senso” até os mais sofisticados modelos matemáticos, três se destacam por serem exatos e equivalentes, quando adequadamente utilizados. São eles: Método do Valor Presente Líquido, Método do Valor Anual e Método da Taxa Interna de Retorno. 1.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA As ferramentas básicas para o auxílio na utilização dos critérios citados acima são os fatores de equivalência, que transportam quantias no tempo. Tais fatores são demonstrados com base na Matemática Financeira, utilizando-se do sistema de juros compostos. O quadro 1 apresenta as principais relações de equivalência. Com base nestas relações pode-se transportar valores para qualquer ponto em um determinado horizonte de planejamento, permitindo assim as comparações entre alternativas de investimentos Forma Nome do Fator Fator Mnemônica (F/P, i, n) Fator de Acumulação de Capital de um pagto simples (1+ i)n (P/F, i, n) Fator de Valor Presente de um pagto simples (1 + i)-n (F/A, i, n) Fator de Acumulação de Capital de uma série uniforme [(1+i)n-1]/i (A/F, i, n) Fator de Formação de Capital de uma série uniforme i /[(1+i)n-1] (P/A, i, n) Fator de Valor Presente de uma série uniforme [(1+i)n-1]/(1+i)n.i (A/P, i, n) Fator de Recuperação de capital (1+i)n.i /[(1+i)n-1] (P/G, i, n) Fator de Valor Presente de uma série gradiente [(1+i)n-1]/i – n i (1+i)n Quadro 1 – Fatores de Equivalência
  5. 5. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 2 1.2 EQUAÇÃO GENÉRICA PARA OS CRITÉRIOS DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO E DA TAXA INTERNA DE RETORNO VALOR PRESENTE LÍQUIDO – O Valor Presente Líquido de uma proposta de investimento é a soma algébrica, na data zero, dos saldos dos fluxos de caixa descontados à Taxa Mínima de Atratividade, conforme mostra a equação 1. Cn C1 C3 C2 C0 Equação 1: n VPL = ∑ C j (1 + i ) − j j =0 Se o Valor Presente Líquido for positivo a proposta deve ser aceita, pois sua rentabilidade cobre a taxa mínima de atratividade i adotada pela empresa. Considere o seguinte diagrama de fluxo de caixa: 800 500 400 300 600 O VPL é dado por: VPL = -600 –300(1+i)-1 + 400(1+1)-2 + 500(1+1)-3 +800(1+1)-4 O gráfico do VPL versus a taxa de descontos é mostrado na figura 1, com dados da tabela a seguir:
  6. 6. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 3 TAXA VPL 0 800 10% 390 20% 103 30% -86,4 800 25% 390 103 30% 10% 20% -86,4 Figura 1 – VPL x Taxa Pode-se observar a influência da taxa na viabilidade de um investimento, pois se neste caso a TMA fosse de 10% o empreendimento seria viável, mas se a TMA fosse de 30% o projeto não deveria ser aceito. TAXA INTERNA DE RETORNO – A Taxa Interna de Retorno é a taxa que torna nulo o Valor Presente Líquido de um investimento. A vantagem desse método, em relação ao anterior é expressar os resultados em termos de taxas percentuais, cujo significado é mais facilmente assimilado do que o valor presente expresso em termos monetários. A despeito da necessidade de comparação do resultado com uma TMA, o cálculo da TIR independe do conhecimento desta taxa mínima, o que pode ser considerado também como vantagem em certas situações. Considerando o mesmo exemplo utilizado no item anterior, verifica-se que o valor presente se torna nulo à taxa de 25% ao ano. Esta é a Taxa Interna de Retorno do investimento. Normalmente utiliza-se do processo de iteração para a determinação da TIR, o que torna seu cálculo manual mais trabalhoso, uma desvantagem eliminada pelo uso de
  7. 7. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 4 calculadoras financeiras, programas de computadores ou planilhas eletrônicas. Mas problemas matemáticos, como a possibilidade de encontrar mais de uma taxa que anula o VPL, no caso de fluxos de caixa com mais que uma inversão de sinal e, ainda, a impossibilidade de calcular TIR’s em diagramas formados apenas por fluxos negativos, podem inviabilizar seu uso. No exemplo considerado, a TIR de 25% ao ano tem a seguinte interpretação: o capital empregado é integralmente recuperado, rendendo uma taxa de juros compostos de 25% ao ano, ao longo do período considerado. Só devem ser escolhidos projetos que apresentem taxa interna de retorno superior à taxa mínima de atratividade da empresa. Ambos os critérios devem apresentar o mesmo resultado final, apesar de que algumas vezes tal equivalência não é verificada de imediato, senão vejamos: Considere dois projetos mutuamente exclusivos e admita que a empresa possua recursos suficientes para aplicar em qualquer dos dois projetos: ANOS Projeto A Projeto B 0 -600 -400 1 -300 -200 2 400 300 3 500 400 4 800 500 Observe que o projeto A tem um investimento maior, mas também gera maiores retornos que o projeto B. Calculando a taxa interna de retorno dos dois projetos, obtém-se: Projeto A: TIRA = 25% ao ano Projeto B: TIRB = 28,3% ao ano Conclui-se que o projeto B é mais rentável que o projeto A. Mas isto não quer dizer que o projeto B é o melhor para a empresa. Se a TMA da empresa for de 10% ao ano, o Valor Presente Líquido de cada um dos projetos é: Projeto A: VPLA = $ 390,00 Projeto B: VPLB = $ 308,15
  8. 8. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 5 Constata-se que, à taxa de descontos de 10% ao ano, o projeto A tem um VPL maior que o do projeto B sendo, portanto, o escolhido. Mas os critérios não são equivalentes? Pos quê então o resultado diferente. O gráfico a seguir permite visualizar o que está ocorrendo: 800 600 25% 390 308,15 28,3% 103 30% 10% 18,3% 20% -86,4 Figura 2 – VPL versus Taxa De fato a rentabilidade do Projeto B é maior que a rentabilidade do projeto A. Entretanto, o critério da TIR considera apenas o capital investido no projeto que, no caso do projeto B é menor. Este critério não considera o valor da diferença entre os gastos com investimentos do projeto A em relação ao B. Ora, se os dois projetos estão sendo analisados é porque existem recursos, ou a possibilidade de financia-los, para investir em qualquer um dos projetos. Assim, a diferença entre os investimentos deve também ser considerada. Se a TMA é de 10% ao ano, esta diferença poderia ser aplicada, ou deixada de ser financiada a esta taxa, e isto não é considerado pelo critério da TIR. Mas o critério do VPL embute esta consideração, pois qualquer valor aplicado à TMA gera um VPL igual a zero. No nosso caso a TMA, de 10%, é menor que a taxa de 18,3%, correspondente ao ponto em que as curvas se cruzam, fazendo com que ocorra a inversão de preferência pelos dois métodos. Se a TMA fosse maior, por exemplo, superior à taxa de 18,3%, o projeto escolhido seria o B, pois a diferença estaria sendo aplicada a taxas compensadoras. E o critério do VPL mostraria claramente esta afirmativa.
  9. 9. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 6 Como devemos então proceder para analisar corretamente através do critério TIR? Deve-se analisar se vale a pena investir a diferença dos valores na alternativa de maior investimento. Este processo é chamado de análise incremental, que veremos a seguir: ANÁLISE INCREMENTAL – Após verificar se as alternativas são atrativas, desenha-se o diagrama da diferença dos fluxos entre a alternativa de maior investimento e a de menor investimento (A-B): 300 100 100 100 200 A taxa que iguala o VPL do fluxo incremental a zero é 18,3%, ou seja, a taxa interna de retorno da diferença é de 18,3%. Assim, como esta TIR incremental é maior que a TMA de 10%, pode-se concluir que vale a pena investir na diferença, sendo escolhida a alternativa A. Se a TIR incremental fosse menor que a TMA, seria mais interessante investir na alternativa de menor investimento, que no nosso caso seria a B. Observe que a TIR incremental é exatamente a taxa onde ocorre o cruzamento das curvas na figura 2. De fato, a TIR incremental é a taxa que iguala o VPL do fluxo das diferenças a zero, que matematicamente é a mesma taxa que iguala o VPL do projeto A com o VPL do projeto B. Assim, para a taxa de 18,3%, os VPL’s são iguais.
  10. 10. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 7 1.3 PROBLEMAS PROBLEMA 1 Se o diretor da Companhia Catarinense de Tratores viesse lhe solicitar para aconselha- lo sobre qual dos tornos deveria comprar, a fim de tomar a decisão que maximize a rentabilidade de sua empresa. Qual seria sua resposta? São conhecidos os valores da tabela a seguir e o gráfico do VPL em função da taxa. TORNO A TORNO B Valor da compra $ 10.000,00 $ 10.000,00 Receita do 1º ano $ 2.000,00 $ 10.000,00 Receita do 2º ano $ 4.000,00 $ 3.125,00 Valor residual $ 8.000,00 0 Vida útil 2 anos 2 anos VPL 4000 3125 A B 25% 1548 11 % i% 20%
  11. 11. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 8 PROBLEMA 2 A administração de uma empresa está considerando a possibilidade de automatizar seu serviço de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente a um custo anual de $ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma função de automatização, gerando a economia do acondicionamento manual, encontram-se disponíveis no mercado, apresentando as seguintes características: Discriminação Equipamento A Equipamento B Custo Inicial $ 100.000,00 $ 70.000,00 Custo operacional anual $ 9.500,00 $ 15.000,00 Valor residual Zero Zero Vida Econômica 10 anos 10 anos Sendo a TMA da empresa igual a 12% ao ano, qual o equipamento deve ser escolhido? Utilizar o critério da TIR. PROBLEMA 3
  12. 12. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 9 A Gerência de Marketing de uma firma industrial está analisando duas possibilidades para a localização de uma central de distribuição para os seus produtos. Cada alternativa exige diferentes investimentos, devido ao preço do terreno, custo de construção do depósito necessário. Também são diferentes os valores residuais e reduções anuais nos custos de distribuição. Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as seguintes estimativas: LOCALIZAÇÃ INVESTIMENTO REDUÇÃO ANUAL VALOR TIR O NECESSÁRIO CUSTOS DISTRIB. RESIDUAL Gov. Valadares $ 680.000,00 $ 112.000,00 $560.000,00 15,63% Ipatinga $ 880.000,00 $ 160.000,00 $700.000,00 17,28% Determinar a localização mais interessante economicamente para a central de distribuição. PROBLEMA 4
  13. 13. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 10 Numa fábrica de bens de consumo de alta produção está sendo proposta uma alteração no método de armazenagem dos produtos. Duas alternativas encontram-se em consideração, sendo que em ambas será exigida a realização de investimentos na compra de sistemas de transporte e manuseio automatizados. A primeira alternativa exige um investimento inicial de $ 60.000,00 e são esperadas reduções de custos da ordem de $ 10.000,00 / ano. A segunda alternativa proporcionará a eliminação de um número maior de operações manuais e deverá custar originalmente $ 70.000,00, apresentando reduções de custos de $ 12.000,00 por ano. A vida estimada para ambas as alternativas é de 8 anos ao final dos quais não haverá valor residual. O retorno mínimo aceitável pela gerência é de 9% ao ano. Qual deverá ser a conclusão final do analista encarregado desse estudo, baseado no método da taxa interna de retorno?
  14. 14. Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 11 PROBLEMA 5 (Problema de curso de engenharia econômica I – para revisão dos métodos de tomada de decisão) Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos. Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas. A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $ 10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, após os quais os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor residual de $ 10.705 após dez anos. Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela gerência?
  15. 15. CAP. 3 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA 1. INTRODUÇÃO No fluxo de caixa esquemático mostrado na Figura 1, como se sabe na data zero, normalmente se tem o investimento necessário para o projeto, as demais parcelas são os resultados da composição de receitas, despesas de manutenção, mão de obra, matéria prima, energia elétrica, imposto, depreciação, financiamentos, etc... a acontecerem em cada uma das datas previstas dentro da vida do projeto. 0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n vida do projeto investimento Figura 1 - Fluxo de caixa esquemático de um projeto Os métodos que permitem avaliar o fluxo de caixa da Figura 1 do ponto de vista econômico são os métodos: do valor presente (VPL), o método do valor anual (VA) e a taxa interna de retorno (TIR). Acontece que na maioria das vezes ao analisar estes fluxos a consideração sobre os diversos dados é determinística. Será que isto ocorre na realidade? Como se sabe isto não é verdade. Existem variações sobre os diversos elementos que compõe o fluxo de caixa que precisam ser consideradas para o total sucesso da escolha da melhor alternativa. É comum se distinguir duas situações quanto a variação dos dados no fluxo de caixa. Estas situações são chamadas de análise de risco e análise de incerteza. Na análise de
  16. 16. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 2 risco é possível calcular uma distribuição de probabilidades associada a um resultado do fluxo de caixa (VPL, VA ou TIR). Com a distribuição probabilística é possível se calcular as chances do projeto se tornar inviável, fornecendo subsídios para decidir entre as alternativas que possuem diferentes graus de risco. As técnicas usuais de se trabalhar com o risco são: 1. Distribuição de probabilidades; 2. Simulação do fluxo de caixa; 3. Árvore de decisão. Na análise de incerteza não se conhece a distribuição estatística de um fluxo de caixa e vai se trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que terão de decidir sobre qual o melhor projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta a situação mais freqüente e também a qual os analistas estão menos preparados para enfrentar. Como responder as seguintes perguntas: “Qual será a inflação daqui a três anos?”, “Qual o valor do KW/h se as companhias de distribuição forem privatizadas?”, “Qual o valor do petróleo daqui a 5 anos?”..., pode-se notar que situações desta natureza sempre existem nos projetos. Então, a consideração de incertezas traz com um de seus objetivos a discussão de como reagir frente a decisões necessárias, em ambientes onde não é possível se ter valores exatos ou uma distribuição probabilística dos dados. As técnicas utilizadas para consideração da incerteza são: 1. Análise de sensibilidade; 2. Método de Laplace; 3. Método MAX MIN; 4. Método MAX MAX; 5. Método de Hurwicz; 6. Método de Savage; 7. Técnicas baseadas na teoria sobre Fuzzy Sets. Os métodos 2, 3, 4, 5 e 6 são baseados na teoria dos jogos, teoria que se consagrou no ano de 1994, quando o Prêmio Nobel de Economia foi conferido ao americano John F.
  17. 17. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 3 Nash, ao húngaro John Harsanyi e ao alemão Reinhard Selten pelo desenvolvimento mais rigoroso da teoria dos jogos e sua aplicação em economia. A concepção da teoria dos jogos em si se deve a John Von Neumann e Oskar Morgenstern que, inspirados em jogos como os de xadrez e de pôquer, publicaram em 1944 um volume de 640 páginas de matemática chamado “A Teoria dos jogos e o comportamento econômico”. Von Neumann foi um dos maiores matemáticos deste século e não recebeu o Nobel com Morgenstern pelo fato de ambos já se encontrarem falecidos em 1994. 2. A NATUREZA DAS INCERTEZAS Como mostrado esquematicamente na Figura 2: “O futuro pode revelar surpresas”. Quanto maior a vida do projeto maior as chances de se ter problemas com estimativas feitas na época da análise econômica do projeto. 0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n investimento Aumento das incertezas Fatores imprevistos Figura 2 - A incerteza que pode acontecer com os fluxos de caixas Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza. Alguns destes fatores estão sintetizados na Figura 3. Como se pode notar alguns fatores, por exemplo, aumento de impostos, podem afetar a todas empresas e são os chamados sistemáticos. Outros fatores, como, por exemplo, o aumento de preço de uma matéria prima específica, atinge empresas em casos isolados e são os não sistemáticos.
  18. 18. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 4 Econômicos Financeiros Técnicos Outros • Oferta • Insuficiência de • Inadequabilidade • Fatores políticos subdimensionada capital do processo utilizado • Demanda • Falta de • Inadequabilidade • Fatores superdimensionad capacidade de das matérias institucionais a pagamento primas • Dimensionamento • Inadequabilidade • Problema de incorreto da tecnologia gerenciamento de empregada projeto • Alteração dos • Greve produtos e subprodutos • Alteração dos • Inflação preços da matéria prima • Investimentos imprevistos Figura 3 - Fatores que levam a incerteza 3. MÉTODOS DE DECISÃO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZA Alguns dos conceitos que serão mostrados são problemáticos, mas o conhecimento destas técnicas pode ser útil em alguns casos. 3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas. Na verdade é mais um enfoque que uma técnica. Consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do investimento, ao se variar os dados de entrada. Deve-se variar cada parâmetro de uma vez estabelecendo o valor mais provável, o limite inferior e superior da variação. Para
  19. 19. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 5 cada valor calcula-se VPL, VA ou TIR e com isto pode-se ter uma idéia da sensibilidade do parâmetro em questão. A análise de sensibilidade é baseada no conceito de elasticidade. Supondo o fluxo de caixa da Figura 4, onde I é o investimento inicial, C os custos envolvidos, R a receita prevista, L o valor residual e n a vida útil do projeto. R+L R 0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n C I Figura 4 R é o resultado da venda de X unidades de um produto pelo preço P. C é o custo composto de duas parcelas, o custo fixo CF e o custo variável CV referente a utilização de 2 matérias primas, mp1 e mp2. A expressão que permite calcular o custo é a seguinte: C = CF + CV = CF + (µ1 P1 + µ2P2) X Nesta expressão µ1 e µ2 representam a razão com que as duas matérias primas mp1 e mp2 são utilizadas por unidade de produto. São também chamados de coeficientes técnicos. P1 e P2 são os preços das duas matérias primas. O valor presente do fluxo de caixa mostrado na Figura 4 pode ser representado pela seguinte expressão: n VPL = - I + {PX - [CF + ( µ1 P1 + µ2P2) X]}(P/A, i%, n) + L / (1 + i) Trabalhando a expressão, ela pode ser reescrita da seguinte forma: n VPL = - I + [(P - µ1 P1 - µ2P2) X - CF] (P/A, i%, n) + L / (1 + i) Ao se variar X na expressão acima se chega no gráfico da Figura 5, onde se nota perfeitamente o valor mínimo a ser vendido do produto para que VPL possa ser maior que zero. O ponto de cruzamento da curva com a abscissa é chamado de ponto de nivelamento.
  20. 20. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 6 VPL(x) 0 X0 X quantidade vendida Figura 5 - Ponto de nivelamento Pela análise da Figura 5 nota-se que quantidades de X abaixo de X0 faz o projeto ser inviável. O ponto de nivelamento pode ser alterado para qualquer variável do fluxo de caixa (I, P, P1, P2, i,...) e com isto pode-se estudar a viabilidade para as diversas alterações, além de se descobrir quais são os parâmetros mais sensíveis, que fazem o projeto se inviabilizar mais facilmente. Sobre estes parâmetros é que se devem estabelecer controles mais rígido. É a maneira mais simples de se analisar a incerteza, e consiste no primeiro passo para a análise de risco, pois se toma conhecimento dos parâmetros mais sensíveis que necessitam de um estudo mais aprofundado. 3.1.1 EXEMPLO 1 Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa para manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A previsão de vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por garrafa. Os custos fixos serão de US$ 20.000,00 por mês e os custos variáveis de US$ 4,00 por garrafa. Ao final de três meses a empresa venderá a linha por US$ 30.000,00. Analise a TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da empresa é de 10% ao mês. SOLUÇÃO: a) Sob a previsão de vendas original:
  21. 21. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 7 Investimento = 100.000 Receita mensal = 10.000 x 10 = US$ 100.000,00 / mês Custos variáveis = 10.000 x 4 = US$ 40.000,00 / mês Custos fixos = US$ 20.000,00 Valor residual = US$ 30.000,00 Fluxo de caixa 30.000 + 40.000 40.000 100.000 TIR = 20,94 % ao mês Pela TIR para esta situação pode-se concluir que o projeto é viável. b) Vejamos o que pode acontecer se a previsão de vendas não for atendida. Imaginando variações negativas de 10%, 20% e 30%. Os resultados dos três casos são sintetizados a seguir: - 10% nas vendas - 20% nas vendas - 30% nas vendas Receita mensal = Receita mensal = Receita mensal = 9.000 x 10 = 90.000 8.000 x 10 = 80.000 7.000 x 10 = 70.000
  22. 22. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 8 Custos variáveis = Custos variáveis = Custos variáveis = 9.000 x 4 = 36.000 8.000 x 4 = 32.000 7.000 x 4 = 28.000 Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram Fluxo de caixa: Fluxo de caixa: Fluxo de caixa: 64 58 52 34 28 22 100 100 100 TIR: 13,56 % TIR: 6,02 % TIR: -1.75% Com as hipóteses de erros na previsão de vendas, pode-se elaborar a seguinte curva: TIR X Volume de vendas 25 Ponto de 20 equilibrio 15 TMA TIR 10 5 0 10000 9000 8500 8000 7000 -5 Volum e de vendas Pelo gráfico é possível visualizar a situação da rentabilidade do projeto em função do volume de vendas realizadas pela empresa. É necessário que pelo menos 8500 garrafas sejam vendidas para que o projeto não de prejuízo.
  23. 23. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 9 3.1.2 EXEMPLO 2 Considere o fluxo de caixa da Figura 4 e os seguintes parâmetros: I = 100 P1 = 2 i = 10 % a.a. L = 15 µ1 = 0.5 n = 5 anos X = 20 P2 = 3 CF = 10 P=9 µ2 = 2 Analise a sensibilidade do fluxo de caixa e calcule os pontos de nivelamento para X e I. SOLUÇÃO: I L X P P1 µ1 P2 µ2 CF i n Valor esperado Situação
  24. 24. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 10 pessimista ∆VP VPL Situação Tabela de análise de sensibilidade (variações de 10%, exceto para n). 3.1.3 Estudo de caso ASSUNTO: Sensibilidade – Exemplo extra Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A instalação deste novo gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em investimento fixo. Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar com um volume de gás para comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este gás um preço de US$0,90 por Milhão de btu. A empresa espera comercializar este gás a um valor de US$2,70 por Milhão de btu. O poder calorífico do gás é de 36785,43 (btu/m3). A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de manutenção de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas. O valor dos equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de US$200.000.000,00. A empresa tem um custo de capital de 15% ao ano. Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões: 1. Verificar a atratividade do projeto. 2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no volume de vendas de gás. 3. Calcular o preço de venda mínimo do gás. 4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do investimento fixo.
  25. 25. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 11 3.2 MÉTODOS BASEADOS NA TEORIA DOS JOGOS Antes de descrever os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage, são necessárias algumas considerações. Primeiramente uma definição importante é sobre o chamado “Estado da natureza”, que é um conjunto de situações possíveis de ocorrer e sobre as quais não se tem a princípio controle, mas que afetarão o resultado do projeto. Como exemplo, pode-se citar: 1. Entrada ou não de um novo concorrente no mercado; 2. Aumento desproporcional de um produto; 3. Aumento da inflação, etc... O problema consistirá em selecionar a alternativa ótima, segundo certos critérios, sem se conhecer qual o estado da natureza que se verificará no futuro. Para a decisão representam-se as diversas alternativas e estados da natureza em forma de matriz, como ilustrado na Figura 6. Rij representa VPL, VA ou TIR da alternativa Ai se a natureza assumir o estado Ej no futuro. Uma outra consideração importante é que tanto as alternativas como os estados da natureza são mutuamente exclusivos. Estado da natureza / eventos Alternativas / E1 E2 .... En ações A1 R11 R12 .... R1n A2 R21 R22 .... R2n : : : : Am Rm1 Rm2 .... Rmn Figura 6 - Matriz de resultados Antes de se aplicar qualquer dos métodos deve-se verificar se existem alternativas dominadas. As alternativas dominadas podem ser eliminadas da análise facilitando os cálculos. A relação de dominância é dada para a seguinte situação:
  26. 26. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 12 Rik ≤ Rjk Um exemplo de dominância pode ser entendido pelo exemplo seguinte. Uma empresa esta escolhendo um veículo de comunicação para empreender sua propaganda. Através de um estudo chegou-se ao número de consumidores que veriam a propaganda em função do tempo, estes dados estão na Figura 7. Tempo Veículo de Ruim Moderado Bom Excelente divulgação TV 200 190 170 130 Jornal 180 160 150 130 Outdoors 110 140 140 190 Figura 7 - Número de consumidores que vem a propaganda (em milhares) Pela análise da Figura 7 pode-se ver que alternativa Jornal é dominada pela TV. Em nenhuma situação de tempo, a alternativa Jornal será melhor que a TV, por isto pode ser retirada da análise. 3.2.1 MÉTODO DE LAPLACE Também conhecido como “princípio da razão insuficiente”. O método se baseia na consideração que se não se sabe a probabilidade de ocorrência dos eventos, elas devem ser consideradas iguais. Para entender os métodos vamos estudá-los através de um mesmo exemplo. A1, A2, A3 e A4 são alternativas que dependem do comportamento da inflação. A inflação poderá ter três cenários para o futuro, sendo eles: • E1 = a inflação aumenta no próximo ano; • E2 = a inflação se manterá no mesmo nível; • E3 = a inflação cairá.
  27. 27. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 13 Após os cálculos chegou-se a seguinte matriz: Estado da natureza / eventos Alternativas / E1 E2 E3 ações A1 106 60 20 A2 60 100 30 A3 20 40 80 A4 90 50 15 EXEMPLO Escolher a melhor alternativa para a matriz de resultados anterior pelo método de Laplace. SOLUÇÃO: 3.2.2 MÉTODO MAX MIN Este método é pessimista ao extremo. Baseia-se na escolha do pior caso para cada alternativa. Em seguida escolhe-se a alternativa “menos pior”. Representa a pior condição possível para o projeto. Consiste assim em um critério de extrema segurança. Este é o problema do método, o extremo conservadorismo.
  28. 28. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 14 EXEMPLO Decidir para a mesma situação do problema anterior através do método MAX MIN. SOLUÇÃO: 3.2.3 MÉTODO MAX MAX Ao contrário do método anterior, este é otimista ao extremo. Baseia-se na hipótese que o “estado da natureza” será o mais favorável ao projeto. EXEMPLO
  29. 29. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 15 Aplicar o método MAX MAX para o caso. SOLUÇÃO: 3.2.4 MÉTODO DE HURWICZ Os métodos anteriores baseiam-se em situações extremas. O primeiro é muito pessimista e o segundo muito otimista. O método de Hurwicz combina linearmente estes dois métodos, utilizando um índice de pessimismo relativo α, tal que:
  30. 30. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 16 0≤α≤1 Assim, para cada alternativa Ai obtém-se o melhor resultado Mi e o pior resultado mi. Pode-se associar a cada Ai um valor H(Ai) dado por: H(Ai) = α mi + (1- α) Mi A desvantagem do método e a de que o decisor tem de tomar uma posição quanto ao valor de α. EXEMPLO Aplicar o método de Hurwicz ao problema em discussão. SOLUÇÃO: 3.2.5 Método de savage Este método também conhecido como “min max - regret”. Busca minimizar um possível arrependimento. Baseia-se em determinar os desapontamentos das alternativas para cada evento, obtendo a matriz de desapontamento. Este procedimento é representado da seguinte forma:
  31. 31. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 17 Mrj = Rij - Rrj onde, Rij é o valor máximo para cada evento Ei. A escolha será sobre a alternativa que minimiza o “desapontamento”. EXEMPLO Aplicar o método de Savage ao exemplo. SOLUÇÃO: 3.2.6 EXEMPLO 01 Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte caso: Estado da natureza / eventos Alternativas / E1 E2 E3 E4 ações A1 18 11 11 10
  32. 32. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 18 A2 16 16 16 16 A3 17 20 8 17 A4 9 10 17 16 A5 10 13 17 18 SOLUÇÃO: 3.2.7 EXEMPLO 02 Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte caso: Alternativas / E1 E2 E3 E4 E5 E6 ações
  33. 33. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 19 A1 39 29 -2 3 10 9 A2 28 32 10 28 -8 10 A3 10 26 42 16 -6 16 A4 27 9 30 12 16 16 A5 15 -3 20 38 15 20 SOLUÇÃO: 3.2.8 Estudo de Caso Assunto: Teoria dos Jogos
  34. 34. Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 20 Uma empresa de gás deseja iniciar imediatamente investimentos em novas redes de distribuição. Entretanto, existem dúvidas sobre qual a política que será adotada nos próximos anos, para o setor. Sabe-se que o atendimento a demanda projetada de gás na área de atuação da empresa, pode ser atendida com três opções diferentes de origens do gás. Mas, estas opções são incertas, pois a opção a ser escolhida dependerá de discussões e política futura. Existem quatro alternativas de se iniciar o investimento, e cada uma tem um resultado econômico distinto em função da origem do gás. Os resultados previstos pelos analistas econômicos da empresa encontram-se na tabela a seguir. Utilizando os conceitos da teoria dos jogos, utilizar os diversos métodos para se ter um cenário para a discussão e decisão de qual alternativa de investimento deveria ser escolhida pela empresa. Cenários possíveis (resultados em VPL) Origem do gás GASBOL Bacia de Santos Argentina Opções de investimento Alternativa 1 1200 1000 -200 Alternativa 2 -100 1500 800 Alternativa 3 -300 1000 1700 Alternativa 4 1100 900 -250
  35. 35. CAP. 4 – MÉTODO DE ANÁLISE HIERÁRQUICA 1. TÉCNICA BASEADA NA TEORIA SOBRE FUZZY SETS Será mostrada aqui a utilização de um método, o AHP “Analytical Hierarchy Process” proposto por SAATY. O método se insere dentro dos objetivos de Fuzzy sets que lidar com a opinião do ser humano. O método será apresentado através de exemplos. Inicialmente é mostrada uma forma de quantificar opinião de especialistas. Fato sempre necessário em decisões de investimento, mas muito difícil de se fazer. Esta etapa é importante para árvores de decisão onde os pesos são atribuídos de uma forma muito subjetiva. O AHP consiste então num caminho para esta arbitrariedade. Em seguida é mostrada uma aplicação do método para decisão entre alternativas, empatadas quando analisadas por VPL, VA ou TIR, mas onde benefícios intangíveis, como por exemplo, status junto ao cliente ou percepção de risco, poderá ser analisado. 1.1 O CÁLCULO DO AUTO VETOR E AUTOVALOR Para a primeira etapa, o exemplo a ser mostrado é o caso de se estimar a distância entre a cidade da Filadélfia e outras seis cidades, através da opinião de um especialista, que para o caso é um viajante com grande quantidade de viagens aéreas entre as cidades. Vai se trabalhar com a sua opinião de sua percepção de quanto tempo passa em avião, quando se desloca de uma cidade para outra. As cidades analisadas estão mostradas na Figura 1.
  36. 36. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 2 O A H P através de um exem plo (estim ando distância entre 6 cidades e a Filadélfia) • Cairo; • Tóquio; • Chicago; • São Francisco; • Londres; • M ontreal. Figura 1 - Cidades a serem analisadas pelo AHP Saaty propõe o uso dos números racionais tirados de um conjunto finito, para montar uma matriz que será a base dos cálculos. A tabela sugerida por Saaty é mostrada na Figura 2. Intensidade de Definição Explicação importância 1 Igual importância Duas atividades contribuem igualmente para o objetivo 3 Fraca importância de uma sobre a Experiência e julgamento favorecem outra ligeiramente uma atividade e relação a outra 5 Essencial ou forte importância Experiência e julgamento favorecem fortemente uma atividade em relação a outra 7 Importância demonstrada Uma atividade é fortemente favorecida e sua dominância é demonstrada na prática 9 Absoluta importância A evidência favorecendo uma atividade sobre a outra é a mais alta ordem de afirmação 2, 4, 6, 8 Valores intermediários entre dois Quando se deseja um maior julgamentos sucessivos compromisso Recíprocos dos valores Se uma atividade i tem um dos acima valores não zero acima quando comparado com a atividade j , então j tem um valor recíproco quando comparado com i. Racionais Razões surgidas da escala Se a consistência foi forçada para obtenção de n valores numéricos para cobrir a matriz Figura 2 - Tabela de Saaty
  37. 37. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 3 Com base nesta Tabela o especialista monta uma matriz, comparando as cidades 2 a 2, e respondendo a seguinte pergunta: “qual a intensidade que a cidade i é mais distante que a cidade j da Filadélfia?”. Com isto, chega-se a seguinte matriz: Cairo Tokyo Chicago São Londres Montreal Francisco Cairo Tokyo Chicago São Francisco Londres Montreal n Utilizando a seguinte fórmula Vi = ( ∏ a ij )1/ n , estima-se o autovetor da matriz, que é j=1 calculado como mostrado a seguir: V1 = V2 = V3 = V4 = V5 = V6 = Em seguida este autovetor deve ser normalizado para que a cidade mais distante receba valor 1 (máximo) em relação as outras cidades. Este calculo é mostrado a seguir: Cidade Vi Vetor normalizado Cairo Tokyo Chicago São Francisco Londres Montreal ∑
  38. 38. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 4 O autovetor também deve ser normalizado para que o somatório de seus elementos seja igual a um. Isto é feito da seguinte maneira: T= / / / / / / O resultado é: T= Para testar a consistência da resposta, o que indica que os dados estão logicamente relacionados, é necessário se estimar o autovalor. A estimativa é feita pela seguinte relação: λmax = T.w. O elemento w é calculado pelo somatório da colunas da matriz montada pelo especialista, que será: w Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Agora se pode estimar λmax: ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ max = [ ]⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
  39. 39. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 5 Pode-se agora estimar um índice que indicará a consistência da resposta. Primeiramente, calcula-se CI baseado na seguinte expressão, onde n é o número de cidades: ( λ max − n) IC = = (n − 1) IC CR é calculado com base na relação RC = , onde CA é um índice randômico CA retirado da seguinte tabela: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CA aleatória 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 Se o índice RC for menor que 0.10, a resposta é baseada numa entrada de dados coerentes. Para o caso que esta sendo analisado: RC = Para se ter uma idéia do julgamento feito, analisemos a seguinte tabela: Cidade Distância da Distância autovetor Filadélfia (milhas) normalizada Cairo Tokyo Chicago São Francisco Londres Montreal
  40. 40. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 6 Como se pode notar o método apresentado propicia uma maneira de quantificar opinião de especialistas. 1.2 A CONSIDERAÇÃO DE INTANGÍVEIS EM ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Este método pode ser usado agora para decisão de forma a que benefícios intangíveis possam ser considerados na análise da melhor alternativa. Vamos imaginar que três projetos, X, Y e Z estejam próximos do ponto de vista de rentabilidade. Foram relacionadas algumas características que podem ajudar na decisão, mas que são difíceis de quantificar, são elas: Idoneidade do fornecedor principal A Benefício político interno B Status junto ao cliente C Percepção do risco D Inovação tecnológica E Segurança Ergonomia Risco ambiental Problemas de mão de obra F Resistência à mudança Foram escolhidas as características mais significativas para as alternativas, sendo que elas foram identificadas de A a F na tabela acima. Como primeiro passo é realizado uma comparação entre as características, com relação à importância relativa a cada uma para a escolha da melhor alternativa. Esta comparação gera uma matriz cujas entradas são baseadas na tabela de Saaty, mostrada anteriormente. A matriz é:
  41. 41. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 7 A B C D E F A B C D E F Desta matriz é calculado o seu autovetor, autovalor e o índice RC, conforme mostrado anteriormente, sendo eles: Autovetor Autovalor CR Deve-se agora comparar as três alternativas de investimento com respeito às seis características, isto é feito em seguida: A B X Y Z X Y Z X X Y Y Z Z autovetor autovetor λmax λmax C D
  42. 42. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 8 X Y Z X Y Z X X Y Y Z Z autovetor autovetor λmax λmax E F X Y Z X Y Z X X Y Y Z Z autovetor autovetor λmax λmax Para a obtenção do rank das alternativas, multiplica-se a matriz de autovetores relativo as alternativas e o que representa a importância das características na análise. Isto é feito a seguir: A B C D E F X Y = Z
  43. 43. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 9 X= Y= Z= Com esta resposta pode-se optar pela melhor alternativa segundo a opinião das pessoas entendidas e envolvidas com a decisão. Com isto se tem uma ferramenta sistematizada e metodológica para tratar com benefícios intangíveis. A figura abaixo mostra que o relacionamento entre os diversos elementos desta análise, ficando clara a dificuldade em optar por um projeto sem um mecanismo metodológico. Benefícios intangíveis do projeto A B C D E F X Y Z
  44. 44. Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 10 1.3 ESTUDO DE CASO Assunto: AHP Um grupo de investidores está avaliando alternativas para iniciar um novo projeto em geração de energia elétrica. Na reunião que aconteceu foram pensadas as seguintes alternativas: 1. Termoelétrica a gás; 2. Hidrelétrica; 3. Usina nuclear. Houve um consenso que os critérios que deveriam fazer parte da escolha fossem os seguintes: 1. Taxa interna de retorno; 2. Prazo de conclusão da obra; 3. Riscos ambientais; 4. Confiabilidade no fornecimento de energia. Para o critério 1, se a diferença for de até 2% ao ano, entre duas alternativas quaisquer, ambas são consideradas iguais e, acima de 6% ao ano, a melhor TIR tem importância muito grande. Se a diferença entre as taxas for intermediária, a preferência é proporcional. Para o critério 2, uma diferença entre alternativas de um ano, considera-se que as alternativas estejam empatadas. Uma diferença de 4 anos à importância absoluta é para a de menor prazo de construção. Para o critério 3, um projeto considerado de baixo risco ambiental é o de importância absoluta. O de alto risco é considerado de pouco preferência. Outras designações a preferência é proporcional. Para o critério 4, uma alternativa com confiabilidade acima de 95% é de importância grande. Entre 95% e 85% considera-se alternativas equivalentes. Abaixo de 85% a preferência é mínima. Entre os critérios a serem considerados, os investidores consideram que a TIR e a confiança no fornecimento de energia estão no mesmo nível de importância. Os critérios problemas ambientais e prazo de conclusão da obra são de mesmo nível de importância, entretanto TIR e confiança no fornecimento de energia têm importância muito grande sobre estes dois. A tabela a seguir com informações sobre as alternativas foi montada para os investidores. Critérios TIR Prazo de conclusão Riscos ambientais Confiabilidade da obra Alternativas Termoelétrica 20% 2 anos Baixo 94% Hidrelétrica 29% 7 anos Médio 99% Nuclear 22% 3 anos Alto 85% Ajudar aos investidores estabelecer a ordem de prioridades entre as alternativas.
  45. 45. CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO LINEAR 1. GENERALIDADES Sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional das mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização. Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, denominada de "Função Objetivo". É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou inequações, denomina-se "Restrições do Modelo". Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo, isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o nome de solução ótima. Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares. 2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Como foi dito anteriormente, está-se diante de um problema de PL quando os problemas práticos que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições que podem ser expressos sob a forma de inequações ou equações lineares. Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por programação linear:
  46. 46. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 2 a) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam, respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração. Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas. b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade de compra de dois seguintes tipos de ações: • Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%. • Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%. Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só possa conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim de um ano? c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos disponíveis e apresentados na tabela seguir. Projeto Investimento no Investimento no Vida útil Economia anual ano 1 ano 2 nos próximos 3 anos 1 12 3 5 anos 9.29 2 54 7 5 anos 26.85 3 6 6 5 anos 9.88 4 6 2 5 anos 7.92 5 30 35 5 anos 35.33 6 6 6 5 anos 8.14 7 48 4 5 anos 22.78 8 36 3 5 anos 16.91 9 18 2 5 anos 11.04 O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.
  47. 47. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 3 3. OBTENDO FUNÇÃO OBJETIVO E AS RESTRIÇÕES Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema será discutido como obter a função objetivo e as restrições. Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e as restrições: Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $14 relativo a mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal. Solução: Sabendo que a matéria prima necessária é obtida sem problemas, Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal (receitas - custos). Vamos então formular matematicamente a situação de Giapetto com o objetivo de maximizar o lucro semanal.
  48. 48. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 4 Primeiro ponto importante: Variáveis de decisão Em qualquer modelo de PL, as variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem feitas. Caso de Giapetto: quantos soldados e trens devem ser feitos na semana. Variáveis de decisão • X1 = número de soldados produzidos cada semana; • X2 = número de trens produzidos a cada semana. Segundo ponto importante: Função objetivo Em qualquer modelo de PL, o decisor quer maximizar ou minimizar alguma função das variáveis de decisão. Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel, seguro) não depende dos valores de X1 e X2, assim ele pode se concentrar em maximizar a venda da semana.
  49. 49. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 5 Receitas e custos: podem ser expressos em termos das variáveis X1 e X2. Seria tolice Giapetto produzir mais soldados que ele possa vender, assim assumimos que todos brinquedos produzidos podem ser vendidos. Assim: Receita da semana = receita dos soldados + receita dos trens Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana Receita por semana = 27*X1 + 21*X2 Também podemos escrever: • Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2 • Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2 Então Giapetto quer maximizar: (27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2 Assim o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para maximizar 3X1 + 2X2 Objetivo: maximizar Z = 3X1 + 2X2 ou max Z = 3X1 + 2X2 Variável usualmente utilizada
  50. 50. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 6 Terceiro ponto importante: restrições Se X1 e X2 aumentam, a função objetivo de Giapetto será sempre maior. Mas infelizmente X1 e X2 são limitados pelas seguintes restrições: • 1 - cada semana, não mais que 100 horas de acabamento; • 2 - cada semana, não mais de 80 horas de carpintaria; • 3 - limitação de demanda, não mais de 40 soldados por semana. M.P. ilimitada, portanto não há restrições. Como, próximo passo, é necessário expressar as restrições 1, 2 e 3, em termo das variáveis de decisão: X1 eX2. Restrição 1: não mais de 100 h de acabamento Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + horas de acab./trem * trens feitos/semana Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2 Restrição 1 - 2X1 + X2 <= 100
  51. 51. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 7 Restrição 2: não mais de 80 h de carpintaria Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + horas de carp./trem * trens feitos/semana Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2 Restrição 2 - 1X1 + X2 <= 80 Restrição 3: venda máxima de soldados: 40 Restrição 3 - X1 <= 40 Restrições: • 1 - 2X1 + X2 <= 100 Restrições para o • 2 - X1 + X2 <= 80 problema de PL de Giapetto • 3 - X1 <= 40 Coeficientes Usualmente tecnológicos: representam a refletem a quantia quantidade de usada para recursos diferentes produtos. disponíveis.
  52. 52. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 8 Quarto ponto importante: Restrições adicionais Para completar a formulação do problema: • X1 >= 0 • X2 >= 0 Significa que X1 e X2 precisam satisfazer Resumindo todas as restrições P.L. - todos os termos X são de • max Z = 3X1 + 2X2 (1) expoente 1 e as sujeito a: restrições são inequações • 2X1 + X2 <= 100 (2) lineares • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) O problema de Giapetto é tipico de muitos outros, • X1 >= 0 (5) onde precisa-se • X2 >= 0 (6) maximizar lucros sujeitos a recursos limitados 4. SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MÉTODO GRÁFICO Um problema de P.L. só pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo, apresentar duas variáveis.
  53. 53. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 9 O fato de que a função objetivo para um PL precisar ser uma função linear de variáveis tem 2 implicações: • 1 - A contribuição para a função objetivo de cada variável de decisão é proporcinal ao valor da variável de decisão; • 2 - A contribuição para a função objetivo para cada variável é independente dos valores de outras variáveis de decisão. Definição: região de solução - para um problema de PL é o conjunto de todos os pontos que satisfazem todas as restrições do problema. Giapetto: X1 = 40 X2 = 20 região de solução Restrições: • 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*40+20<=100 • X1 + X2 <= 80 (3), ok 40+20<=80 • X1<= 40 (4), ok 40<=40 • X1 >= 0 (5), ok 40>=0 • X2 >= 0 (6), ok 20>=0
  54. 54. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 10 Giapetto: X1 = 15 X2 = 70 não é região de solução Restrições: • 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*15+70<=100 • X1 + X2 <= 80 (3), não ok 15+70> 80 • X1<= 40 (4), ok 15<=40 • X1 >= 0 (5), ok 15>=0 • X2 >= 0 (6), ok 70>=0 região de solução Pontos que atendem e onde será procurada a solução ótima Solução ótima Ponto da região de solução, que leva ao maior valor da função objetivo. • A maioria dos problemas de PL, tem somente uma solução ótima; • Alguns não tem solução ótima; • Alguns tem infinitas soluções. Para o problema de Giapetto, solução ótima: X1=20 e X2 = 60 Z = 3*20 +2*60 = 180 lucro = 180 - 100 = 80/semana
  55. 55. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 11 Solução gráfica para o problema de 2 variáveis Um PL com 2 variáveis pode ser resolvido graficamente. Nós sempre nomeamos as variáveis X1 e X2 e os eixos coordenados por X1 e X2. Se nós queremos delimitar em um gráfico o conjunto de pontos que satisfaça a: 2X1+3X2 <= 6 (1) 3X2 <= 6 - 2X1 X2<=1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2) O conjunto de pontos que satisfaz (1) e (2) cai sobre a reta ou abaixo dela X2 6 X2 = 2 - 2/3X1 5 4 Região onde: 3 2X1+3X2>=6 2 1 X1 Região onde: 1 2 3 4 5 6 2X1+3X2<=6
  56. 56. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 12 A solução gráfica para o problema de Giapetto é a seguinte: Encontrando a região de solução do problema de Giapetto: • 2X1 + X2 <= 100 (2) Para um ponto (X1, X2) • X1 + X2 <= 80 (3) pertencer a região de • X1<= 40 (4) solução é preciso satisfazer todas • X1 >= 0 (5) estas inequações. • X2 >= 0 (6) (5) e (6) indicam o primeiro quadrante X2 (2) (4) 120 B Poligono DGFEH - região de solução 100 D 80 G 60 40 F (3) 20 E A C X1 H 20 40 60 80 100 120 Encontrando a solução ótima Após a identificação da região de solução, nós devemos procurar a solução ótima, que será o ponto da região que levar ao maior valor de Z = 3X1+2X2
  57. 57. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 13 Para encontrar a solução ótima, nós precisamos desenhar uma linha sobra a qual todos os pontos levem ao mesmo valor de Z. Escolhe-se qualquer ponto da região de solução: (20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60 Assim (20, 0) cai sobre a reta: Z = 3X1 + 2X2 = 60 X2 = 30 - 3/2X1 3X1 + 2X2 = 60 tem coeficiente angular = -3/2 Assim todas as retas 3X1+2X2 = constante terão o mesmo coeficiente angular. Importante: uma vez desenhada a reta, podemos encontrar todas as outras pelo movimento paralelo da reta que desenhamos. X2 (2) (4) 120 B 100 D 80 G Indica o ponto ótimo - G (20, 60) 60 40 F (3) 20 E A C X1 H 20 40 60 80 100 120 X2 = 30 - 3/2 X1
  58. 58. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 14 Ponto ótimo: Z = 3*20 + 2*60 = 180 5. PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR PROGRAMAÇÃO LINEAR O que será visto a seguir é a formulação de vários problemas complicados da Programação Linear. O passo mais importante na formulação de um modelo é a escolha apropriada das variáveis de decisão. Se as variáveis de decisão forem selecionadas adequadamente, a função objetivo e as restrições devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinação da função objetivo e restrições normalmente são devido a uma escolha incorreta das variáveis de decisão. 5.1 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e valor presente (em milhões de reais) é dado na tabela a seguir. A empresa tem no momento $ 40 milhões para investir; e estima-se que no primeiro ano estarão disponíveis $ 20 milhões para investimento. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente são ajustados de acordo com a proporção do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do investimento 3, então o pagamento necessário será de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor presente do investimento 3 será de 1/5 (16) = $3.2 milhões. A empresa quer maximizar o valor presente que pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opções 1 a 5.
  59. 59. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 15 Formular o problema para atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo não usado no instante 0 não poderá ser usado no primeiro ano (instante 1). Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5 Desembolso 11 53 5 5 29 instante 0 Desembolso 3 6 5 1 34 instante 1 Valor 13 16 16 14 39 presente 5.2 Exemplo 2: planejamento financeiro de curto prazo Uma empresa eletrônica que fabrica gravadores e rádios têm seus custos de mão de obra, matéria prima e preço de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir. Gravador Rádio Preço de venda 100 90 Mão de obra 50 35 Custo matéria prima 30 40 Em primeiro de dezembro de 98, a empresa terá matéria prima que é suficiente para fabricar 100 gravadores e 100 rádios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa é o mostrado a seguir, e a razão entre ativo circulante e as suas obrigações (dívida com banco) será 2 (20000/10000). Ativo circulante Obrigações Caixa 10000 Contas a receber 3000 Estoques 7000 Dívidas em bancos 10000 A empresa precisa determinar quantos gravadores e rádios deverão produzidos em Dezembro. A demanda é alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados serão vendidos. Todas as vendas são feitas a crédito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro não serão recebidos até primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa irá receber $2000 e precisará pagar $1000 devido ao empréstimo bancário e $1000 referente ao seu aluguel. Em primeiro de janeiro de 99, a empresa receberá um carregamento de matéria prima no valor de $2000, que será pago em Fevereiro de 99. A gerência decidiu que em primeiro de
  60. 60. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 16 janeiro de 99 precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Também o banco exige que a razão entre dinheiro disponível e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da produção em Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este mês? 5.3 Exemplo 3: Modelos de financiamento multi período O exemplo a seguir ilustra como a programação linear pode ser usada para problemas de gerenciamento de fluxo de caixa. A chave é determinar as relações de dinheiro nas mãos durante diferentes períodos. Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratégia de investimento para os próximos 3 anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponível para investir. Os investimentos A, B, C, D e E estão disponíveis. O fluxo de caixa associado com investir $1 em cada opção é dado na tabela a seguir. 0 1 2 3 A -$1 $0.50 $1 $0 B $0 -$1 $0.50 $1 C -$1 $1.2 $0 $0 D -$1 $0 $0 $1.9 E $0 $0 -$1 $1.5 Por exemplo, 1$ investido na opção B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50 no ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portifólio da empresa seja diversificado, a política da empresa é a de aplicar até $ 75.000 em um único investimento. Adicionalmente aos investimentos A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro não investido em fundos do mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro recebido no ano 1 do investimento C pode ser imediatamente reinvestido na opção B. A empresa tem como diretriz não emprestar dinheiro de fundos, assim o dinheiro disponível para investimento a qualquer tempo é limitado ao disponível. Formular a programação linear que maximiza o dinheiro em mãos no ano 3. 6. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE P.L. - MÉTODO SIMPLEX
  61. 61. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 17 Nas formulações anteriores, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser solucionados com o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro procedimento para a busca de soluções. Agora, será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de programação linear, denominado "Método Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por George B. Dantzig. O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a solução ótima de um problema de P.L.. 6.1 Teoremas Básicos Teorema 1 - O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de programação linear é um conjunto convexo cujos vértices (pontos extremos) correspondem a soluções básicas viáveis. Teorema 2 - Se a função objetiva possui um máximo (mínimo) finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo do teorema1. 6.2 Procedimentos do Método Simplex Supondo o seguinte problema para maximização: Max z = 5X1 + 2X2 Sujeito a: X1 ≤ 3 X2 ≤ 4 X1 + 2X2 ≤ 9 X1, X2 ≥ 0 A solução gráfica do problema é a seguinte: X2 Z ZB = 15 D(1, 4) E(0, 4) ZB = 15 ZD = 13 C(3, 3) ZE = 8
  62. 62. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 18 Pontos extremos Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução compatível básica do sistema, ou seja, um ponto extremo do polígono A,B,C,D,E. O método simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma solução compatível básica (solução inicial) do sistema, isto é, um dos pontos A,B,C,D,E do trapézio. Suponha-se que essa solução seja o ponto A. O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo está encerrado. Se não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A. Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto A para o ponto extremo adjacente que mais aumente o valor da função objetivo. No caso o ponto B. Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A é feito para o ponto extremo B. O processo finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes, fornecem valores menores que a função objetivo. Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro, a ele adjacente? Achar, portanto, a próxima solução básica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável não básica para entrar na base em sua substituição. O método simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos: 1. Achar uma solução compatível básica inicial. 2. Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário siga para o passo III. 3. Determinar a variável não-básica que deve entrar na base. 4. Determinar a variável básica que deve sair da base. 5. Achar a nova solução compatível básica, e voltar ao passo II 6.3 O Método Simplex
  63. 63. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 19 A seguir será mostrado passo a passo o método simplex. Definição Geral de Programação Linear: Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn sujeito a: a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn (≤ ou = ou ≥) b1 a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn (≤ ou = ou ≥) b2 a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn (≤ ou = ou ≥) b3 am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn (≤ ou = ou ≥) bm X1, X2, X3, Xn ≥0 O Método Simplex é aplicado diretamente quando: 1. todas as restrições são ≤ bi 2. todos os bi ≥ 0 3. se quer maximizar Z Quando uma dessas condições não é atendida estamos em presença de um caso particular. O Método Simplex será estudado, acompanhando a seguinte formulação: Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3 Sujeito a x1+ 2x2 + x3 ≤ 430 3x1 + 2x3 ≤ 460 xl + 4x2 ≤ 420 x1, x2, x3 ≥ 0 Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um sistema de M equações lineares. Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma variável não-negativa chamada “Variável de Folga".
  64. 64. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 20 Obs: Tem-se tantas variáveis de folga quantos forem as restrições. Representação das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m. Assim temos: x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430 3x1 + 2x3 + x5 = 460 xl + 4x2 + x6 = 420 Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 =0 x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430 3x1 +2x3 + x5 = 460 xl + 4x2 + x6 = 420 Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável. Pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma solução básica. Una solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas. Possui M variáveis diferentes de O (zero) e (N - M) variáveis iguais a 0 (zero). As variáveis diferentes de 0 (zero) são chamadas "Variáveis Básicas" e aquelas iguais a 0 (zero) são as "Variáveis Não Básicas". No Método Simplex escolhe-se como variáveis básicas aquelas em cuja coluna aparece um valor igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero). Quarto passo: verificar se a solução é ótima. Examinar os valores dos coeficientes das Variáveis não básicas na la linha (no exemplo, linha de Z) e concluir: a. Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única. b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única. c. Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se, então executar o 5o passo. Como pode se verificar na tabela a seguir, existem números negativos na primeira linha, assim a solução não é ótima, e precisa-se continuar os passos do método. Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.
  65. 65. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 21 Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3 Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe ) A variável que entra deve satisfazer as seguintes condições: - ser igual a 0 (zero) na solução atual (ou seja deve ser não básica) - ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha) - possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base aquela que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a coluna na tabela. Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs). Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a variável para a qual o quociente tiver o menor valor não negativo. Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela: entra Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3 sai Pivô Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes nas linhas da matriz. Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira: 10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo pivô (esta linha não muda mais). 20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi.
  66. 66. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 22 30 - Substituir na coluna base a variável que sai pela variável que entra. O resultado destas operações na tabela anterior resulta em: Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 0 X4 0 -0.5 2 0 1 -0.5 0 200 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 ind. 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3 Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um número negativo, a solução ainda não é a ótima. Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessárias, até que a solução ótima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na próxima iteração, e como não existem mais números negativos na primeira linha a solução é ótima. O resultado é mostrado a seguir. Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 0 X2 0 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 2 X6 0 2 0 0 -2 1 1 20 3 O máximo Z é 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20. 6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo simplex.
  67. 67. Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 23 Resolvendo o problema de Giapetto pelo simplex • max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: • 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6) Primeiro passo importante: converter o problema de PL na forma canônica • max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: • 2X1 + X2 + X3 = 100 (2) • X1 + X2 + X4 = 80 (3) • X1 + X5 = 40 (4) • X1, X2, X3, X4 e X5 >=0 • max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: • 2X1 + X2 + X3 = 100 (2) • X1 + X2 + X4 = 80 (3) • X1 + X5 = 40 (4) • X1, X2, X3, X4 e X5 >=0 Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0 Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40

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