Geometria ii

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Geometria ii

  1. 1. Geometria II Manaus 2007
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Oliveira, Disney Douglas de Lima.O48g Geometria II / Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva, Helisângela Ramos da Costa. – Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 141 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Geometria. I. Silva, Domingos Anselmo Moura da. II. Costa, Helisângela Ramos da. III. Título. CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Noções primitivas e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Conceitos primitivos, postulados e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11UNIDADE II – Distâncias, diedros e triedros ...................................................... 23TEMA 02 – Distâncias e diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25UNIDADE III – Poliedros, prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 03 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 04 – Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 05 – Planificação e área do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 06 – Volume do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 07 – Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49UNIDADE IV – Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 08 – Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 09 – Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65UNIDADE V – Superfícies de revolução e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73TEMA 10 – Superfícies e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75UNIDADE VI – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 11 – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83UNIDADE VII – Noções de geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91TEMA 12 – Geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Disney Douglas de Lima Oliveira Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Helisângela Ramos da Costa Bacharela em Matemática – UFAM Bacharela em Processamento de Dados – UFAMEspecialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF)
  5. 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico–científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhesuma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  6. 6. UNIDADE INoções primitivas e posições relativas
  7. 7. Geometria II – Noções primitivas e posições relativas 2.2 Postulados da determinação TEMA 01 P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta. CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E POSIÇÕES RELATIVAS1. Conceitos primitivos Notação: São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos P4) Por três pontos não-colineares passa um sem definição) na Geometria espacial os con- único plano. ceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto. •A Notação: α = (A,B,C) Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto 2.3 Postulados da inclusão P5) Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano α, então a reta r está contida nesse plano: Planos: letras minúsculas do alfabeto grego Simbolicamente, temos: Observações: 1. Espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto, desenvolveremos a Geo- metria Espacial. 3. Retas concorrentes e paralelas 2. Axiomas ou postulados (P), são propo- sições aceitas como verdadeiras sem de- 3.1 Definição de retas concorrentes monstração e que servem de base para o Diremos que duas retas r e s são concorrentes desenvolvimento de uma teoria. se, e somente se, elas têm um único ponto em Assim, iniciaremos a Geometria Espacial com comum. alguns postulados, relacionando o ponto, a reta e o plano.2. Postulados2.1 Postulados da existência r ∩ s = {P} P1) Dada uma reta r, existem nela, bem como 3.2 Definição de retas paralelas fora dela, infinitos pontos. Diremos que duas retas r e s são paralelas, se P2) Dado um plano α, existem nele, bem como e somente se, elas são coincidentes ou elas fora dele, infinitos pontos. são coplanares e não têm pontos em comum. 11
  8. 8. UEA – Licenciatura em Matemática 1.° caso Exemplo 2 Quantas retas há no espaço? Demonstre. Notação: r = s ⇒ r//s Solução: Infinitas. 2.° caso De fato, consideremos dois pontos distintos do espaço A e B. Esses pontos determinam uma reta r (postulado P3). Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s Retas paralelas e concorrentes no cotidiano Seja C um ponto do espaço, fora da reta r (postulado P1). Os pontos A e C determinam uma reta S, e os pontos B e C determinam uma reta t. Desse modo, podemos construir “tantas retas quantas quisermos”, isto é, construiremos “infi- Exemplo 1 nitas” retas. Dado um plano β, nele existem infinitas retas. Exemplo 3 Solução: Fazendo uso do postulado da exis- Mostre que, três retas duas a duas concor- tência (P2), considere, no plano β dado, dois rentes, não passando por um mesmo ponto, pontos distintos A e B. estão contidas no mesmo plano. Solução: Sejam r, s e t as retas tais que r ∩ s = {A}, r ∩ t = {B}, s ∩ t = {C} e A, B e C são pon- tos não- colineares. Pelo postulado da determinação (P3), temos que existe uma reta r1, a qual está contida no plano β (postulado da inclusão P5). Pelo postulado P4, existe um único plano β passando pelos pontos A, B e C em que Fazendo uso dos postulados P1 e P2, con- β = (A, B, C). sidere em β e fora de r1 um ponto C. Os pon- tos A e C, B e C determinam duas retas r2 e r3 (postulado P3) respectivamente, as quais estão contidas no plano β (postulado P5). Sendo A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C com A, B, C ∈ β, concluímos que as retas r, s e t estão contidas no mesmo plano β (postulado P5), pois são Desse modo, podemos construir em β “tantas determinadas pelos pontos A, B e C de modo retas quantas quisermos”, isto é, “ infinitas” retas. que . 12
  9. 9. Geometria II – Noções primitivas e posições relativas Observe que o ponto P ∈ α, e a reta r = AB ⊂ α (postulado P5), ficando assim provada a existência do plano α.1. Quantas retas podemos traçar por um ponto Vamos agora mostrar a unicidade do plano α: no espaço? Justifique sua resposta. Se existisse um outro plano, digamos β, pas-2. Quantos são os planos determinados por qua- sando por P e r teríamos que: tro pontos distintos dois a dois? Justifique sua α = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ α = (A,B,P) e resposta β = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ β = (A,B,P).3. É comum encontrarmos mesas com 4 “pernas” que, mesmo apoiada em um piso plano, ba- lançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das “pernas”, se a quisermos firme. Explique, usando argumento de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 “pernas”.4. Determinação de um plano Portanto (postulado P2) concluímos que α = β. Existem mais três modos de determinar um Exemplo1 plano, além do postulado P2, os quais vamos enunciar em forma de proposição; Quantos são os planos que passam por uma reta dada? Justifique sua resposta. Proposição 1 – Um plano fica determinado de modo único, por uma reta (r) e um ponto (P) Solução: Infinitos. que não pertença a essa reta. Seja r a reta e A um ponto fora de r (postulado P1). A reta r e o ponto A determinam um plano α (Proposição 1). Fora do plano α, tomamos um ponto B (postulado P2). Desse modo, te- mos que a reta r e o ponto B determinam um plano β (Proposição 1). Fora de α e β, toma- Notação: α = (P, r) mos um ponto C (postulado P2). A reta r e o Demonstração: ponto C determinam um plano γ (Proposição 1). Tome na reta r dois pontos distintos A e B (pos- tulado P1). Dessa forma, temos que os pontos A, B e P não são colineares, pois o ponto P ∉ r. Desse modo, podemos construir, por r, tantos planos quantos quisermos, isto é, construire- mos infinitos planos. Sendo assim, temos que existe um plano α Exemplo 2 determinado pelos pontos A, B e P(postulado Quantos planos passam por dois pontos distin- P2), o qual vamos denotar por α =(A, B, P). tos? Justifique sua resposta. Solução: Infinitos. Seja A e B tais pontos distintos. Pelo postulado P3, temos que existe uma única reta r passan- do por eles. 13
  10. 10. UEA – Licenciatura em Matemática Sendo assim, fazendo uso do exercício ante- rior, concluímos que existem infinitos planos passando pelos pontos A e B. Retas reversas no cotidiano1. (Proposição 2) Mostre que um plano fica deter- minado de modo único, por duas retas concor- rentes.2. (Proposição 3) Mostre que um plano fica deter- minado de modo único, por duas retas parale- las entre si e distintas. 5. Quadrilátero reverso3. Prove que duas retas paralelas distintas e uma Definição – Um quadrilátero é chamado rever- so se, e somente se, não existe plano con- concorrente com as duas são coplanares. tendo seus quatros vértices.4. Mostre que, se duas retas são paralelas distin- tas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra.5. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican- do sua resposta. a) Três pontos distintos determinam um plano. b) Um ponto e um reta determinam um único plano. Se α = (A, B, D) e C ∉ α, então ABCD é um c) Três retas distintas, duas a duas paralelas, quadrilátero reverso. determinam um ou três planos. Exemplo 1 d) Três retas distintas, duas a duas concor- Mostre que todo quadrilátero reverso não pode rentes, determinam um ou três planos. ser um paralelogramo. e) Três retas distintas, duas a duas concor- Solução: (Demonstração pelo método indireto) rentes, determinam um único plano. Suponha que um quadrilátero reverso ABCD, f) Quatro pontos distintos e não-colineares seja um paralelogramo ⇒ ⇒ ∃α determinam um único plano. “plano” tal que ⊂ α, ⊂ α, portanto os pontos A, B, C e D estão contidos em α. Isso4. Retas reversas gera um absurdo em relação à hipótese . Definição – Diremos que duas retas r e s são Logo, o quadrilátero reverso ABCD, não pode ditas reversas se, e somente se, não existe ser um paralelogramo. plano que as contenha. Exemplo 2 Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e As diagonais de um quadrilátero reverso são r∩s=∅ reversas. 14
  11. 11. Geometria II – Noções primitivas e posições relativas Solução: (Demonstração pelo método indireto) e. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para ⎯ ⎯ que r e s sejam reversas. Sejam AC e BD as diagonais do quadrilátero reverso ABCD. Sendo assim, suponha que as f. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é suficiente para ⎯ ⎯ que r e s sejam reversas. diagonais AC e BD não sejam reversas ⇒ e são coplanares ⇒ ∃ α “plano” tal que, g. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que os pontos A, B, C e D estão que as duas retas distintas r e s sejam contidos em α. Isso gera um absurdo em reversas. relação ao fato do quadrilátero ser reverso. h. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para ⎯ ⎯ Logo, as diagonais AC e BD de um que as duas retas distintas r e s sejam quadrilátero reverso são reversas. paralelas. i. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária e suficiente para que as duas retas distin- tas r e s sejam reversas. 6. Interseção de planos1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican- 6.1 Postulados da interseção do sua resposta. P6) Se dois planos distintos têm um ponto em a. ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são comum, então eles têm pelos menos um outro distintas. ponto em comum. b. ( ) Duas retas ou são coplanares ou são Notação: reversas. α ≠ β, P ∈ α e P ∈ β ⇒ ∃Q; P ≠ Q, Q ∈ α e c. ( ) Duas retas distintas determinam um Q∈β plano. Uma conseqüêcia natural do postulado P6 é que: d. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto em comum. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por e. ( ) Duas retas concorrentes têm um único uma única reta que passa por esse ponto. ponto em comum. f. ( ) Duas retas que têm um ponto em co- mum são concorrentes. g. ( ) Duas retas que têm um único ponto em comum são concorrentes. h. ( ) Duas retas coplanares são concorrentes. i. ( ) Duas retas não-coplanares são reversas. 7. Paralelismo de retas2. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican- 7.1 Postulado das paralelas (postulado do sua resposta. de Euclisdes) Obs.: Em cada caso, abaixo, r e s são retas. P7) Dados uma reta r e um ponto P ∉ r, existe a. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são reversas. uma única reta s, passando por P, tal que r seja paralela a s. b. ( ) r e s são reversas ⇒ r ∩ s = ∅. c. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são paralelas. d. ( ) r//s, r ≠ s ⇒ r ∩ s = ∅. 15
  12. 12. UEA – Licenciatura em Matemática7.2 Teorema das Paralelas comum; sendo assim, pela conseqüêcia natu- ral do postulado P6, eles têm uma reta em co- Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si, ou seja, r, s e mum, que chamaremos de x (não podemos di- t retas, em que r//t e s//t ⇒ r//s. zer que as retas s e x são as mesmas, pois estaríamos admitinto a tese que queremos pro- Temos dois casos a considerar: var). 1.o) As três retas são coplanares. (r = β ∩ γ , x = α ∩ γ , t = α ∩ β e r//t) ⇒ r//x e t//x O ponto P pertence, então, às retas s e x, e ambas são paralelas à reta t. Logo, fazendo uso do postulado das paralelas, temos que 2.o) As retas são não-coplanares. x = s. Donde concluímos que r = s. Vamos considerar o segundo caso, que é o mais geral. 1. Mostre que duas retas sendo paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si (para o caso das três retas serem coplanares). 2. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são os vértices de um Demonstração: paralelogramo. Fazendo uso do postulado P7, as retas r e s não têm ponto comum, pois caso essa afirmação 8. Paralelismo entre retas e planos não fosse verdadeira, teríamos duas retas pas- sado por um mesmo ponto e paralelas à reta t, 8.1 Definição contrariando o postulado das paralelas. Sejam α e r um plano e uma reta respectiva- mente. Diremos que a reta r é paralela ao plano α se, e somente se, eles não têm ponto em comum. Notação: α // r ⇔ α ∩ r = ∅ Vamos enunciar, como exercício resolvido, uma condição necessária e suficiente para que uma reta dada seja paralela a um plano dado. Exemplo 1 (Condição Suficiente) Diremos que uma reta, que não está contida num plano e é paralela a pelo menos uma reta desse plano, é paralela ao plano. Considere os planos β = (r, t) e α = (s, t), ou seja, o plano β é determinado pelas retas r e t, Em outras palavras: pois r//t, e o plano α é determinado pelas retas Sejam r e α uma reta e um plano respectiva- s e t, pois s//t. mente, tal que r ⊄ α. Se a reta r é paralela a Tomemos um ponto P em s; dessa forma, uma reta s do plano α, então a reta r é paralela podemos obter um plano γ = (P, r). ao plano α. Os planos distintos α e γ têm um ponto P Hipótese: r ⊄ α, r//s, s ⊂ α ⇒ Tese r//α 16
  13. 13. Geometria II – Noções primitivas e posições relativasDemonstração: Demonstração: Conduzimos por r um plano β que intercepta α. Seja s a reta dada pela interseção dos planos α e β. As retas r e s são coplanares, pois estão em β e não têm pontos em comum, pois r ∩ α = ∅, s ⊂ α ⇒ r ∩ s = ∅. Logo, r//s.Temos por hipótese que r//s com r ∩ s = ∅.Então, existe um plano β determinado por r es, onde s ⊂ α, s ⊂ β e α ≠ β implicando ques = α ∩ β.Se r e α têm um ponto em comum, digamos A,teremos A ∈ r e r ⊂ β ⇒ A ∈ β. Como A ∈ βe A ∈ α, decorre daí que A ∈ s. Observação – Uma condição nescessária eSendo assim, concluímos que A ∈ r e A ∈ s. suficiente para que uma reta (r), não contidaLogo, existe um ponto A ∈(r ∩ s) = ∅, o que num plano (α), seja paralela a esse plano, é sergera um absurdo. Logo, concluímos que a reta paralela a uma reta (s) contida no plano (α).r não pode ter ponto em comum com o planoα, isto é, r//α. 9. Posições relativas entre uma reta e um plano São três as posições relativas entre uma reta e um plano: 1.a) A reta está contida no plano. Ou seja, dois pontos distintos da reta, di- gamos A e B também são pontos do plano.Exemplo 2(Condição necessária) Se uma reta é paralelaa um determinado plano, então ela é paralela auma reta desse plano. r⊂α ⇔r∩α=rEm outras palavras: 2.a) A reta e o plano são concorrentes ou a retaSejam r e α uma reta e um plano respectiva- e o plano são secantes.mente. Se r//α, então existe uma reta s ⊂ α talque r//s. r r ∩ α = {P}Hipótese: r //α ⇒ Tese: ∃ s ⊂ α |r//s 3°) A reta e um plano são paralelos. 17
  14. 14. UEA – Licenciatura em Matemática rentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano. j. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas do planos. k. ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. r // α ⇔ r ∩ α = ∅ l. ( ) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele. 10. Paralelismo entre planos1. Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção. Definição: Dois planos são paralelos se, e somente se,2. Se duas retas paralelas são dadas e uma delas eles não têm ponto comum ou são iguais é paralela a um plano, então a outra é parale- (coincidentes). las ou está contida nesse plano. 1.° caso:3. Dadas duas retas reversas r e s, construa por s um plano paralelo a r.4. Construa por um ponto uma reta paralela a dois planos secantes. 2.° caso:5. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican- do sua resposta. Notação: α // β ⇔ α = β ou α ∩ β = ∅ a. ( ) Uma reta e um plano que têm um ponto Uma condição necessária e suficiente para comum são concorrentes. que dois planos distintos sejam paralelos é b. ( ) Uma reta e um plano secantes têm um que um deles contenha duas retas concor- único ponto comum. rentes, ambas paralelas ao outro. c. ( ) Uma reta e um plano paralelos não têm Exemplo 1 ponto comum. (Condição suficiente) Sejam α e β dois planos. d. ( ) Um plano e uma reta secantes têm um Se um deles, digamos β, possui duas retas a e ponto comum. b concorrentes, ambas paralelas ao plano α, e. ( ) Se uma reta está contida num plano, então o plano α e β são paralelos. eles têm um ponto comum. f. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano. g. ( ) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa à reta dada. h. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, Hipótese: {a ⊂ β, b ⊂ β, a ∩ b = {O}, a // α, b // α existe no plano uma reta concorrente ⇒ Tese: {α // β com a reta dada. Demonstração: i. ( ) Se uma reta e um plano são concor- Sendo os planos α e β distintos, vamos mostrar 18
  15. 15. Geometria II – Noções primitivas e posições relativasque eles são paralelos, fazendo uso do método gamos P em reta a, que seria também pontoindireto de demonstração, ou seja, supondo do plano α.que os planos α e β não sejam paralelos. Dessa forma, teríamos: a ⊂ β, a ∩ α ≠ ∅ ⇒ α ∩ β ≠ ∅, o que é um absurdo, pois os planos α // β tais que α ∩ β = ∅. Portanto a tese é verdadeira. 11. Posições relativas entre dois planos As posições relativas de dois planos, digamos α e β, podem ser de três formas. 1. Planos coincidentesLogo, existiria uma reta, a qual vamos denotarde i, tal que i = α ∩ β. Dessa forma, teríamos: α∩β=α=βa // α, a ⊂ β, i = a ∩ β ⇒ a//i e b// α, b ⊂ β, 2. Planos paralelos distintosi = a ∩ β ⇒ b//i.Logo, pelo teorema das paralelas, temos queas retas a e b são paralelas, o que é um absur-do, pois por hipótese as retas a e b são con-correntes. α∩β=∅Assim, concluímos que os planos α e β são 3. Planos secantesparalelos.Exemplo 2(Condição necessária) Se dois planos distintosα e β são paralelos, então um deles, digamosβ, contém duas retas concorrenres, ambasparalelas ao outro (α). α∩β=i Exemplo 1 Sejam α, β dois planos distintos e paralelos. Mostre que toda reta r de α é paralela ao pla- no β.Hipótese: {α // β ⇒ Tese {∃a ⊂ β, ∃b ⊂ β, Hipótese: {α // β, r ⊂ α ⇒ Tese {r // βa ∩ b = {O}, a // α, b // α Demonstração:Demonstração: Sendo α e β planos paralelos distintos e r ⊂ α,Sabemos que num plano dado (β) existem vamos mostrar que r // β. Para isso, vamosinfinitas retas; tome duas (a e b) que sejam fazer uso do método indireto de demons-concorrentes, digamos, no ponto O, ou seja, tração, ou seja, vamos supor que a reta r nãoα ∩ β = {O}. Basta mostrar que as retas a e b seja paralela ao plano β.são ambas paralelas ao plano α. Logo, existiria pelo menos um ponto Q ∈ r, talFazendo uso do método indireto de demons- que o ponto Q ∈ β. Como Q ∈ α, pois r ⊂ α etração, ou seja , supondo que as retas a e b Q ∈ β, teríamos que Q ∈ α ∩ β, o que seria umnão sejam paralelas ao plano α. Logo, existiria absurdo, pois por hipótese α ∩ β = ∅. Logo,pelo menos um ponto de uma das retas, di- vale a tese, ou seja, r // β. 19
  16. 16. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 2 h. ( ) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas Sejam α, β e γ três planos distintos. Se α, β distintas de um sejam paralelas ao outro. são paralelos, e γ encontra α segundo a reta r, então γ encontra β segundo a reta s. i. ( ) Se dois planos são paralelos, então toda reta que tem um ponto comum com um Hipótese: {α, β, γ planos, α // β e γ ∩ α= r ⇒ deles, tem um ponto comum com o outro. Tese: {γ ∩ β = s 2. Se dois planos paralelos interceptam um ter- Demonstração: ceiro, então as interseções são paralelas. Basta considerar, em γ, uma reta t concorrente 3. Se dois plano são paralelos, toda reta paralela com a reta r. a um deles é paralela ou está contida no outro. Como γ ≠ α, concluímos que t é concorrente com α. Sendo α // β, teremos que t é concor- 4. Mostre a transitividade entre planos, isto é, se rente com o plano β num ponto, digamos Q. dois planos são paralelos a um terceiro , então Logo, fazendo uso da conseqüêcia natural do eles são paralelos entre si. postulado P6, temos que existe uma reta, di- gamos s, tal que Q ∈ s e s = γ ∩ β. 12. Retas e planos perpendiculares Definição Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α.1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican- do sua resposta. a. ( ) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concor- rente com o outro. b. ( ) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concor- rente com uma reta do outro. Observações: c. ( ) Se dois planos são secantes, então 1. Se uma reta r e um plano são concorrentes uma reta de um deles pode ser reversa e não são perpendiculares, eles são oblí- com uma reta do outro, quos. d. ( ) Dois planos distintos paralelos têm um 2. se uma reta r é perpendicular a um plano α, ponto em comum. então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de α: e. ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é paralela ao outro. f. ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um e uma reta de outro podem ser concorrentes. g. ( ) Se um plano contém duas retas distin- tas e paralelas a um outro plano, então Como conseqüência, temos o seguinte Teo- esses planos são paralelos. rema, que vamos admitir sem demonstração. 20
  17. 17. Geometria II – Noções primitivas e posições relativasTeorema (Fundamental) – Para que uma reta r 3.° Casoseja perpendicular a um plano α, basta ser per-pendicular a duas retas concorrentes, contidasem α. Exemplo 1Hipótese: ⇒ Tese {r ⊥ α Classifique em verdadeiro ou falso. Justifican- do sua resposta.Como conseqüência deste teorema, temos os a) Uma reta e um plano secantes são perpen-seguintes corolários. diculares.Corolário 1 – Num plano (α), há duas retas (b Resposta: Falso, pois a reta e o planoe c) concorrentes (em P). Se uma reta (a) é podem ser secante oblíquos.perpendicular a uma delas (b em O) e ortogo-nal à outra (c), então essa reta (a) é perpendi-cular ao plano (α). b) Uma reta é perpendicular a um plano é per- pendicular a infinitas retas desse plano.Corolário 2 – Se uma reta é ortogonal a duas Resposta: Verdadeiro. Use a definição deretas concorrentes de um plano, então ela é perpendicularismo entre reta e plano.perpendicular ao plano.1.° Caso c) Um reta perpendicular a um plano é reversa a todas as retas do plano. Resposta: Falso. Use o Teorema (Funda-2.° Caso mental) e observe que a reta é perpendicu- lar a pelo menos duas retas do plano. 21
  18. 18. UEA – Licenciatura em Matemática d) Uma reta perpendicular a um plano é ortog- c. ( ) Se dois planos são perpendiculares, onal a infinitas retas do plano. então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro ou está conti- Resposta: Verdadeiro. Use o corolário 2 “Se uma reta (r) é ortogonal a duas retas (s da neste outro. e t) concorrentes de um plano, então ela é d. ( ) Se dois planos são paralelos, todo perpendicular ao plano” e observe que, no plano perpendicular a um deles é per- plano, existem infinitas retas paralelas às pendicular ao outro. retas (s e t) e ortogonais à reta dada. e. ( ) Uma reta e um plano são paralelos. Se um plano é perpendicular ao plano13. Planos perpendiculares dado, então ele é perpendicular à reta. Definição f. ( ) Se dois planos são secantes, então eles Dois planos (α e β) são perpendiculares se, e são perpendiculares. somente se, existe uma reta de um deles que é g. ( ) Se dois planos são perpendiculares, perpendicular ao outro. então toda reta de um deles é perpendi- Fazendo uso da definição, temos a seguinte, cular ao outro. proposição. Proposição – Sejam α, β planos, e i uma reta tal que i = α ∩ β. Se α ⊥ β e r é uma reta con- tida em um deles, digamos r ⊂ α e r ⊥ i. Então, r ⊥ β. Demonstração: Sendo α ⊥ β, temos que existe uma reta a tal que a ⊂ α, em que α ⊥ β. Então, concluímos que a reta a é perpendicular à reta i. No plano α, temos que a ⊥ i e r ⊥ i ⇒ a//r. Sendo a//r e α ⊥ β, concluímos que r ⊥ β. Finalmente, vamos enunciar, sem demons- tração, uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam perpen- diculares. Proposição – Uma condição necessária e sufi- ciente para que dois planos secantes sejam perpendiculares é que toda reta de um deles, perpendicular à interseção, seja perpendicular ao outro.1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican- do sua resposta. a. ( ) Dois planos, perpendiculares a um ter- ceiro, são perpendiculares entre si. b. ( ) Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são paralelos. 22
  19. 19. UNIDADE IIDistâncias, diedros e triedros
  20. 20. Geometria II – Distâncias, diedros e triedros Se a reta não é perpendicular ao plano, tere- mos a seguinte definição. TEMA 02 Definição – Chama-se projeção ortogonal de uma reta r, não perpendicular a um plano α, DISTÂNCIAS E DIEDROS sobre esse plano, ao traço em α, do plano β, perpendicular a α, conduzido por r.1. Projeção ortogonal Geometricamente, temos: Definiçao – A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P. r’ = projα r 2. Distâncias geométricas Vamos definir distâncias geométricas entre P’ = projα P entes geométricos. 2.1 Distância entre ponto e ponto1.1 Projeção ortogonal de uma figura geométrica Definição – Chama-se distância entre dois pon- A projeção ortogonal de uma figura geométrica tos distintos A e B ao comprimento do segui- F (qualquer conjunto de pontos) sobre um ⎯ mento de reta AB ou ao comprimento qual- plano α é o conjunto das projeções ortogonais ⎯ quer segmento congruente a AB. Se A = B, a de todos os pontos de F sobre α. distância entre A e B é nula. Notação: d(A, B) = AB 2.2 Distância entre ponto e reta Definição – Chama-se distância entre um ponto (A) e um reta (r) à distância entre esse ponto e o pé da perpendicular à reta conduzi- F’ = projα F da pelo ponto.1.2 Projeção de uma reta Se a reta (r) é perpendicular ao plano (α), tere- mos como projeção ortogonal exatamente um ponto, digamos P. Notação: d(A, r) = AB B é o pé da perpendicular à reta r conduzido por A, ou seja, B é a intersecção de uma reta conduzida por A e perpendicular à reta r. 2.3 Distância entre ponto e plano Definição – A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal P’ = projα r sobre o plano. 25
  21. 21. UEA – Licenciatura em Matemática 1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican- do sua resposta. ⎯ Notação: d(P, α) = PP’ a. ( ) Se PA é um seguimento oblíquo a um plano α, com A ∈ α, então a distância2.4 Distância entre uma reta e um plano paralelo entre P e A é a distância entre P e α. Definição – A distância entre uma reta e um b. ( ) A distância entre um ponto e um plano plano paralelo é a distância entre um ponto é a reta perpendicular ao plano pelo qualquer da reta e o plano. ponto. c. ( ) A distância de um ponto P a um plano α é a distância de P ao ponto P’ de inter- seção de α com a reta r, perpendicular a α por P. d. ( ) A distância entre um plano e uma reta, Notação: d(r, a) = d(P, α) = PP’ sendo eles paralelos distintos, é a dis- tância de um ponto qualquer do plano a2.5 Distância entre dois planos paralelos reta. Definição – A distância entre dois planos para- e. ( ) A distância entre um plano e uma reta, lelos é a distância entre um ponto qualquer de sendo eles paralelos e distintos, é a dis- um deles e o outro plano tância de um ponto qualquer do plano a um ponto qualquer da reta. 3. Ângulos entre retas reversas Definição – De modo geral, definimos ângulo entre duas retas reversas como sendo o ângu- dα . β= PP’ lo agudo que uma delas forma com uma reta Notação: d(α, β) = d (P, β) = PP’ paralela à outra.2.6 Distância entre duas retas reversas Geometricamente, temos: Definição – A distância entre duas retas rever- sas (r e s) é a distância entre um ponto qual- quer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta. θ é o ângulo entre r e s. 4. Ângulos entre reta e planos Definição – O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo agudo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano. Notação: d(r, s) = PP’ Gemetricamente, temos: 26
  22. 22. Geometria II – Distâncias, diedros e triedros θ é o ângulo entre r e α5. Diedros5.1 Definição – Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo dié- drico, ou simplesmente diedro. 1. Defina: a) Diedro reto. b) Diedro agudo. c) Diedro obtuso. d) Diedros adjacentes. e) Diedros opostos pela aresta. 5.3 Congruência entre diedros Definição – Dois diedros são congruentes se,5.2 Secção de um diedro e sommente se, uma secção normal de um é Definição – Secção de um diedro é a interseção congruente à secção normal do outro. do diedro com um plano secante à aresta. Exemplo: Duas secções paralelas de um diedro são con- gruentes. Solução: De fato, as secções são dois ângulos de lados com sentidos respectivamente concordantes, e portanto são congruentes. Notação: αrβ = α’ r’ β’ ⇔ xy ≡ x’ y’ 27
  23. 23. UEA – Licenciatura em Matemática6. Triedos Definição – Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométri- ca chamada ângulo triédrico, ou simples- mente triedro.7. Ângulo poliédrico Definição – Sejam n semi-retas (n ≥ 3) de mesma origem, tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determi- nam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi- espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico. 28
  24. 24. UNIDADE IIIPoliedros, prismas e pirâmides
  25. 25. Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides 3. Poliedros convexos e côncavos TEMA 03 Um poliedro é dito convexo se limita uma re- gião do espaço que é convexa. Essa região identifica o interior do poliedro convexo. POLIEDROS A região interior de um poliedro é convexa se, ao tomar arbitrariamente dois pontos quais-1. Definição quer da região, todo o segmento definido por Chamamos de poliedro o sólido limitado por esses pontos também está totalmente contido quatro ou mais polígonos planos, pertencentes na região. Outra maneira de identificar a região a planos diferentes e que têm dois a dois interior como convexa é a seguinte: considere somente uma aresta em comum. Veja alguns uma face qualquer do poliedro e o plano que a exemplos contém. Se todo o poliedro fica totalmente em um dos lados deste plano, independente da 1. face escolhida, o poliedro é convexo. 2. Os exemplos 1, 2 e 3 são poliedros convexos. O exemplo 4 não é um poliedro convexo, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está 3. contido em apenas um semi-espaço. O poliedro do exemplo 5, denominado “toro”, tem o formato de uma câmara de ar dos anti- gos pneus e é formado por quatro tetraedos e quatro pirâmides de base triangular, sendo a região central vazada. Este poliedro também não é convexo. Os poliedros que não são con- vexos são chamados de poliedros côncavos. 4. 4. Classificação Os poliedros convexos possuem nomes espe- ciais de acordo com o número de faces, como por exemplo: 5. • Tetraedro: quatro faces. • Pentaedro: cinco faces. • Hexaedro: seis faces. • Heptaedro: sete faces. • Octaedro: oito faces. • Icosaedro: vinte faces.2. Elementos 5. Relação de Euler Os polígonos são as faces do poliedro; os la- dos e os vértices dos polígonos são as arestas Muitos dos símbolos matemáticos que são e os vértices do poliedro. usados hoje se devem ao matemático suíço 31
  26. 26. UEA – Licenciatura em Matemática Leonard Euler, nascido em Basiléia (1707- Exemplo: 1783). Ele foi o primeiro a usar a letra e para Verifique se os poliedros abaixo satisfazem a denotar a base dos logaritmos naturais, o pri- relação de Euler meiro a usar a letra grega π e o primeiro a usar i como sendo a raiz quadrada de –1 ( ). a) Embora a descoberta do resultado do teorema que relaciona vértices, faces e arestas de um poliedro regular convexo seja atribuída a Des- cartes (1596-1650), a fórmula V – A + F = 2 leva o nome de Euler, que além de tê-la redes- coberto, publicou uma demonstração em 1751. Solução: V = 9, A = 18, F = 11 V – A + F = 9 – 18 + 11 = 2 Portanto satisfaz a relação de Euler. b) Euler Além de estudar Matemática, dedicou-se tam- bém à Teologia, Medicina, Astronomia, Física e às línguas orientais. É considerado O mestre Solução: de todos os matemáticos do século XVIII pelo V = 14, A = 21, F = 9 fato de as suas pesquisas terem aberto novos caminhos para a Matemática. V – A + F = 14 – 21 + 9 = 2 Em 1741, recebeu um convite para exercer o Portanto satisfaz a relação de Euler. cargo de vice-presidente da seção de Mate- c) mática da Academia de Berlim. Durante o lon- go período em que aí permaneceu, escreveu mais de trezentos trabalhos científicos. Mas, em 1776, quando retorna à Rússia, descobre que estava perdendo a visão do olho que lhe restava. Mesmo completamente cego, Euler, auxiliado por seus filhos Kraff e Lexill, escrevia numa lousa colocada em sua casa as novas descobertas Matemáticas que fazia. Solução: Em todo poliedro convexo, é válida a relação V = 16, A = 32, F = 16 seguinte: V – A + F = 16 – 32 + 16 = 0 V–F+A=2 Portanto não satisfaz a relação de Euler. Tal relação é demonimana relação de Euler, Observação – Os poliedros para os quais é em que V é o número de vértices, A é o válida a relação de Euler são chamados euleri- número de arestas e F, o número de faces. anos. 32
  27. 27. Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides5. Poliedros de Platão 6.2 Propriedade Esse nome dado a alguns poliedros deve-se ao Existem cinco, e somente cinco, tipos de filósofo grego Platão (427-348 a.C.), discípulo de poliedros regulares convexos, que são: tetrae- Sócrates e mestre de Aristóteles. Foi fundador dro regular, hexaedro regular, octaedro regular, da Academia de Atenas onde se ensinava dodecaedro regular e icosaedro regular. Matemática, Ginástica e Filosofia. Ele valorizava muito a Matemática, por ela nos dar a capaci- dade de raciocínio abstrato. Na entrada da sua academia, havia a seguinte afirmação: “Que aqui não adentre quem não souber geometria”. Observe que: a) se suas faces são polígonos regulares e congruentes, então todas têm o mesmo número de arestas; Platão b) se seus ângulos poliédricos são congru-5.1 Definição entes, então todos têm o mesmo número de arestas. Um poliedro é chamado “poliedro de Platão” se, e somente se, satisfaz as três seguintes Portanto temos: condições: Todo poliedro regular convexo é poliedro de a) todas as faces têm o mesmo número (n) de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é arestas; poliedro regular. b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo Por exemplo, uma caixa de bombons como a da número (m) de arestas, ou seja, de cada figura a seguir é um poliedro de Platão (hexae- vértice parte o mesmo número (m) de ares- dro), mas não é um poliedro regular, pois as faces tas; não são polígonos regulares e congruentes. c) vale a relação de Euler (V – F + A = 2).5.2 Propriedade Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão, que são: tetraedro, hexae- Johann Kepler (1571-1630) descobriu dois po- dro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Observe liedros que são, simultaneamente, regulares e que todos eles satisfazem as condições citadas. não-convexos: o pequeno dodecaedro estrela- do e o grande dodecaedro estrelado.6. Poliedros regulares6.1 Definição: Um poliedro convexo é regular quando: a) suas faces são polígonos regulares e con- gruentes; Pequeno dodecadro Grande dodecadro b) seus ângulos poliédricos são congruentes. estrelado estrelado 33
  28. 28. UEA – Licenciatura em Matemática Dentre os vários poliedros serão destacados nos temas a seguir os prismas e as pirâmides. Aula prática 1: Construção dos poliedros Objetivos: • Visualizar os poliedros bem como as suas planificações. • Verificar a relação de Euler nos poliedros construídos e nas embalagens do cotidi- ano. • Verificar as propriedades dos poliedros convexos, de Platão e regulares nos polie- dros construídos e nas embalagens. • Determinar experimentalmente a área total e o volume dos poliedros. ATIVIDADE 1 Material: ATIVIDADE 3 • Embalagens do cotidiano com formas difer- Material: entes. • Folhas de papel cartão. Descrição: • Tesoura. • Identificar, nas embalagens, as que são • Cola. poliedros, poliedros convexos, de Platão e/ou poliedros regulares. • Elásticos coloridos. • Modelo dos anexos 5 a 9. ATIVIDADE 2 Descrição: Material: • Confeccionar, em papel cartão, a planifi- • Canudinhos (com cores diferentes). cação dos poliedros de Platão conforme modelo do anexo 5 a 9. • Tesoura. • Colorir as faces dos poliedros; recortar a • Cola. planificação. • Barbante. • Obter o valor da área total dos poliedros • Modelo do anexo. antes de montá-los. Descrição: • Dobrar as arestas e depois unir com cola as que estiverem nas bordas da planificação. • Confeccionar, com canudinhos, os polie- dros de Platão conforme os modelos dos • Obter experimentalmente o valor do volume dos poliedros. anexos 1 a 4. 1. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 34
  29. 29. Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides2. Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. TEMA 04 Quantas faces tem esse poliedro?3. Num poliedro convexo, o número de arestas PRISMAS excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro. 1. Definição Consideremos um polígono convexo (região4. Um poliedro convexo apresenta faces quad- poligonal convexa) ABC...DE situado num plano rangulares e triangulares. Calcule o número de ⎯ α e o segmento de reta PQ, cuja reta suporte faces desse poliedro, sabendo que o número intercepta o plano α. Chama-se prisma (ou pris- de arestas é o quádruplo do número de faces ma convexo) à reunião de todos os segmentos triangulares, e o número de faces quadrangu- ⎯ congruentes e paralelos a PQ, com uma extre- lares é igual a 5. midade nos pontos do polígono e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por α.5. Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentago- nal. Calcule o número de faces desse poliedro.6. Calcule o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares de um po- liedro com 20 arestas e 10 vértices.7. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângu- Em outras palavras, prisma é um sólido los tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. geométrico (poliedro convexo) delimitado por Quantas arestas e quantas faces tem o faces planas, no qual as bases se situam em poliedro? planos paralelos. Várias embalagens utilizadas têm a forma de prisma, conforme mostra a8. Ache o número de faces de um poliedro con- figura a seguir. vexo que possui 16 ângulos triedros.9. Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por cinco triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédri- cos.10. Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaé- drico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triedros. Sabendo que o poliedro tem número 2. Elementos do prisma de faces triangulares igual ao número de faces Bases – São as regiões poligonais Ex.: quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no ABCDE e A’B’C’D’E’. total 21 faces, calcule o número de vértices do Faces laterais – São os paralelogramos. Ex.: poliedro convexo. ABA’B’ e BCB’C’.11. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadra- Arestas das bases – São os lados do polí- ⎯ das e oito triangulares. Determine o número de gono da base. Ex.: AB e . faces, arestas e vértices desse sólido euleri- Arestas laterais – São os lados dos paralelo- ⎯ ⎯ ano. gramos. Ex. AA’, CC’ 35
  30. 30. UEA – Licenciatura em Matemática Altura – É distância entre os planos que con- Solução: têm as bases. a) V = 2n; A = 3n; F = 7 Como no prisma é válida a relação de Euler, tem-se: V–A+F=2 2n – 3n + 7 = 2 n = 5 Logo, o prisma é pentagonal. b) V = 2n; A = 24; F = n+23. Classificação dos prismas V–A+F=2 Quanto à inclinação das arestas laterais, os 2n – 24 + n + 2 = 2 prismas podem ser retos ou oblíquos. 3n – 22 = 2 n = 8 Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são Logo, o prisma é octogonal. perpendiculares aos planos das bases. Nesse caso, as faces laterais são retângulos. 5. Secção do prisma Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são Secção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepta todas as arestas oblíquas aos planos das bases. laterais. A secção de um prisma é um polígono com vértice em cada aresta lateral. Secção reta ou secção normal é uma secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais. Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. Por exemplo, o prisma esquerdo da figura acima é um prisma regular.4. Natureza do prisma A natureza do prisma é dada de acordo com o polígono da base. 6. Tronco do prisma POLÍGONO NOME Quando se secciona um prisma por um plano triângulo Prisma triangular não paralelo aos planos das bases, a região quadrado Prisma quadrangular espacial delimitada pela base do prisma e pela pentágono Prisma pentagonal região poligonal do plano que o seccionou é hexágono Prisma hexagonal denominado tronco de prisma, conforme mos- ..... ..... tra a figura a seguir. Exemplo: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: a) 7 faces b) 24 arestas Secção do prisma Prisma seccionado 36
  31. 31. Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides7. Diagonal do prisma Solução: A diagonal de um prisma é o segmento de reta Seja d a diagonal do cubo, ƒ a diagonal da que une dois vértices situados em faces distintas. face do cubo (o quadrado), a aresta do cubo e x a distância do vértice B à sua diagonal d,7.1 Diagonal do cubo conforme a figura a seguir. Considere o cubo de aresta a, com diagonal da base ƒ e diagonal do cubo d, conforme mostra a figura. Considerando o triângulo ABC retângulo em B, podemos utilizar a relação métrica em que o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao pro- duto das medidas dos catetos. Iniciemos calculando a medida ƒ. Portanto: d.x = a.f (I) No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras, Cálculo da diagonal do cubo (d): temos: d=a = 100 cm Cálculo da diagonal do quadrado (ƒ): ƒ=a = 100 cm Substituindo d = 100 cm, ƒ = 100 cm e a = 100cm na expressão (I) temos: Racionalizando o valor de x, temos: ƒ2 = a2 + a2 ⇒ ƒ 2 = 2a2 ⇒ ƒ = ⇒ ƒ= a No ΔIHF, ao aplicar o teorema de Pitágoras, Resposta: A distância de um vértice do cubo à tem-se: sua diagonal é de . 7.2 Diagonal do paralelepípedo retângulo Considere o paralelepípedo retângulo de ares- tas a, b e c com diagonal da base ƒ e diagonal do paralelepípedo retângulo d. d2 = a2 + ƒ 2 ⇒ d2 = a2 + 2a2 ⇒ d2 = 3a2 ⇒ d=a Portanto: A diagonal de um cubo de aresta a é: d = a . Exemplo: Se a aresta de um cubo mede 100cm, encontre Iniciemos calculando a medida ƒ da diagonal a distância de um vértice do cubo à sua diagonal. da face EFGH: 37
  32. 32. UEA – Licenciatura em Matemática No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras, Descrição: temos: • Construir alguns prismas retos e oblíquos. • Construir alguns prismas regulares identifi- cando seus elementos, secções e verifi- cando a validade da relação de Euler. • Construir alguns prismas não-regulares, identificando a altura. ƒ 2 = a2 + b2 ⇒ ƒ = Atividade 2 No ΔHFI, ao aplicar o teorema de Pitágoras, Material: temos: • Acetato. (ou papel cartão). • Tesoura. • Cola. Descrição: • Construir o cubo e o paralelepípedo retân- gulo utilizando acetato (ou papel cartão). d2 = ƒ 2 + c2 ⇒ d2 = a2 + b2 + c2 ⇒ • Construir um triângulo retângulo em que um dos catetos tem a medidas da aresta do D= cubo construído, e o outro tem a medida da diagonal da face do cubo. Aula prática 2: Construção dos prismas • Calcular a diagonal do cubo utilizando o Objetivos: teorema de Pitágoras. • Visualizar os prismas construídos. • Construir um triângulo retângulo em que • Identificar os elementos de alguns prismas um dos catetos tem a medida da altura do regulares. paralelepípedo retângulo construído, e o • Classificar os prismas em retos ou oblíquos. outro tem a medida da face do para- lelepípedo. • Identificar os prismas regulares. • calcular a diagonal do paralelepípedo retân- • Visualizar a secção dos prismas. gulo utilizando o teorema de Pitágoras. • Determinar a quantidade de faces, arestas e vértices dos primas obtidos. • Verificar a validade da relação de Euler nos prismas. • Visualizar a diagonal do cubo e do para- lelepípedo retângulo. • Deduzir a expressão para o cálculo da dia- gonal do cubo e do paralelepípedo retângulo. Atividade 1 Material: • Geoplano 3D. • Elásticos coloridos. 38
  33. 33. Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides Em que: TEMA 05 A l é a área lateral, e Ab é a área de uma das bases. Afl é área de uma das face laterais. PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA n = quantidade de faces laterais.1. Planificação do prisma l = aresta da base. Para facilitar a obtenção da área da superfície h = altura do prisma. de um sólido é necessário representar o sólido (tridimensional) no plano (bidimensional). Para 2.1 Área do cubo isso, é preciso “abri-lo”, de modo que seus ele- mentos (faces laterais, bases, vértices e ares- tas) estejam representadas num determinado plano, conforme mostra a figura a seguir. Como o cubo possui 4 faces laterais quadran- gulares congruentes e 2 bases quadradas de mesma área, temos: At = Al + 2Ab2. Área do prisma Acubo = 4a2 + 2a2 Observe, na figura do prisma planificado, que Acubo = 6a2 para calcular a área lateral (Al) deve-se calcu- em que a = aresta do cubo. lar a área de uma das faces laterais (Afl) e, por serem congruentes, multiplicar o resultado 2.2 Área do paralelepípedo retângulo pela quantidade de faces (n). Logo: Al = n . Afl. Tratando-se de prisma reto, as faces laterais são retângulos e, portanto, a área do retângulo é dada pelo produto entre a medida da aresta da base (l) pela medida da altura do prisma (h). Logo: Al = n. l.h Para calcular a área das bases, deve-se calcu- lar a área de um dos polígonos da base (Ab) e, por serem congruentes, multiplicar o resultado por 2. Para a área lateral, temos: Para calcular a área total (At) deve-se somar a área lateral com a área das bases. Al = 2a.c + 2b.c Portanto: Substituindo na expressão da área do prisma temos: Área total do prisma: At = A l + 2Ab At = Al + 2Ab Aparalel. = 2a.c + 2b.c + 2a.b At = n . Afl + 2Ab em que a = comprimento; b = largura; At = n . l . h + 2Ab c = altura. 39
  34. 34. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 1: para a área da base (Ab) e área lateral (Al) na expressão da área total (At), temos: Calcule a área total do prisma de 8dm de altura e cuja base é um quadrado inscrito num círcu- Área total no prisma: lo de 6dm de raio. At = Al + 2Ab = 4 . 48 + 2 . 72 = 4 . 48 Solução: + 144 = 48(3 + 4 )dm2 Representando o prisma enunciado no proble- Resposta: ma, tem-se a figura a seguir. A área total do prisma é 48(3 + 4 )dm2. Exemplo 2: Joana pretende confeccionar embalagens em forma de prisma reto hexagonal regular com aresta da base medindo 3cm e aresta da face lateral medindo 6cm. Sabendo que para con- feccionar a embalagem o material utilizado custa R$3,00/cm2, quanto Joana gastará? Obs.: adote ≈ 1,73. Iniciemos calculando a área da base. Solução: Área da base (Ab) – Destacando o quadrado inscrito na circunferência, temos: Para saber quanto Joana irá gastar, é ne-cessário saber a área total da embalagem. Planificando o prisma hexagonal, temos a figura a seguir. Para calcular a medida da aresta da base l, deve- se utilizar a diagonal do quadrado, pois d = l . Sendo a diagonal do quadrado o dobro da medida do raio, tem-se: d=l ⇒ 2r = l ⇒ 2.6 = l ⇒ 12 = l Considerando: Medida da aresta lateral: r = 6cm Medida da aresta da base: s = 3cm Racionalizando o valor de l, temos: Iniciemos calculando a área lateral do prisma: Como o prisma possui 6 faces laterais (retân- l= gulos), a área lateral é igual a seis vezes a área de cada retângulo (Ar). Substituindo o valor de l na expressão da área Área lateral: Al = 6 . Ar = 6. r . s = 6.(6 . 3) = da base, temos: 108cm2. Área da base: Ab = l2 = (6 )2 = 36.2 = Área da base – Como a base é um hexágono 72dm2. (I) regular que pode ser decomposto em seis triângulos eqüiláteros, a área de um hexágono Agora, calculemos a área lateral do prisma (Al). regular é igual a seis vezes a área do triângulo Como o prisma possui 4 faces laterais (retân- eqüilátero(Atri.). gulos), a área lateral é igual a quatro vezes a área de cada retângulo (Ar). Al = 4Ar = 4 . l . h = 4 . 6 . 8 = 4.48 dm2 (II) Substituindo os valores obtidos em (I) e (II) 40
  35. 35. Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmidesSendo a medida do lado do triângulo Iniciemos calculando Al2:eqüilátero a mesma medida da aresta da base Sendo Ar a área do retângulo de cada face,(s), tem-se: temos:Ab = 6 . Atri = 6. = 6. = = Al2 = 3.Ar = 3 . l . h2 = 3.(10h2) = 30h2 ⇒ Al2 = 30(h + x) cm2. Para calcular a área total do prisma dado, éÁrea total: necessário calcular a área da base e a área la- teral deste prisma.At = Al + 2Ab Área da base do prisma dado:At = 108 + 2. (I)At = 9(12 + 3 )cm2.Agora, que temos a área total, podemos obter Área lateral do prisma dado:o custo total. Al1 = 3.(l . h) = 3.(10h) = 30h (II)Como o material utilizado na embalagem custa Substituindo os valores obtidos em (I) e (II) naR$ 0,30 cada centímetro quadrado, o custo expressão da área total do prisma dado, temos:total (Ct) será 0,3 vezes a área total. At1 = Al1 + 2Ab = 30h + 2.25 =Ct = 0,3. At = 0,3.9(12+3 ) = 46,413 ≈ R$ 46,41 30h + 50Resposta: Joana gastará aproximadamenteR$ 46,41. Como Al2= At1, temos: 30(h + x) = 30h + 50Exemplo 3: 30h + 30x = 30h + 50Um prisma triangular regular tem a aresta da 30x = 50base medindo 10dm. Em quanto se deve au-mentar a altura, conservando-se a mesmabase, para que a área lateral do novo prismaseja igual a área total do prisma dado?Solução:Sendo l = 10dm, considere Al2 a área lateral donovo prisma, At1 área total do prisma dado, emque Al2 = At1, h = altura do prisma dado, h2 1. A figura a seguir apresenta a planificação dealtura do novo prisma e x o acréscimo dado à um prisma triangular. Calcular sua área total.medida da altura do novo prisma, conformemostra a figura a seguir. 41

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