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Unidad didáctica

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  1. 1. Aritmética Mercantil Diego Sevillano Martín
  2. 2. Índice <ul><li>Progresiones geométricas </li></ul><ul><li>Anualidades de capitalización </li></ul><ul><li>Anualidades de amortización </li></ul>Ver
  3. 3. Progresiones geométricas Banco de España
  4. 4. Sucesiones de números reales <ul><li>SUCESIÓN es el conjunto de números ordenados mediante una regla o ley de formación. </li></ul><ul><li>Cada uno de los números ordenados se llama término. </li></ul><ul><li>El término general o genérico nos señala la ley de formación. </li></ul><ul><li>Las sucesiones más importantes son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. </li></ul><ul><li>Los intereses bancarios, las anualidades de capitalización o las mensualidades de amortización de préstamos son progresiones, bien aritméticas o bien, la mayoría, geométricas. </li></ul>
  5. 5. Progresiones aritméticas <ul><li>Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior más una constante, d, llamada DIFERENCIA </li></ul><ul><li>a n = a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , …, a k , …, a n-1 , a n </li></ul><ul><li>Deducimos la fórmula principal: </li></ul><ul><li>a 1 = a 1 </li></ul><ul><li>a 2 = a 1 + d </li></ul><ul><li>a 3 = a 2 + d = a 1 + 2.d </li></ul><ul><li>a 4 = a 3 + d = a 1 + 3.d </li></ul><ul><li>……………… </li></ul><ul><li>a n = a n-1 + d = a 1 + (n – 1).d </li></ul><ul><li>Fórmula: a n = a 1 + (n – 1).d </li></ul><ul><li>Es empleada para el cálculo del interés simple. </li></ul><ul><li>Cf = Co + Co.r.t , donde Co = a 1 , Co.r = d y t = n – 1 </li></ul>
  6. 6. Suma de términos en P.A. <ul><li>Sea la P.A. a n = 1 , 3 , 5 , 7, 9, 11 , 13 , 15 </li></ul><ul><li>Observar que 1+15 = 3+13 = 5+11 = 7+9 , es siempre 16 </li></ul><ul><li>En toda P.A. la suma del primero y del último es igual a la suma del segundo con el penúltimo, e igual a la suma del tercero con el antepenúltimo, ... </li></ul><ul><li>O sea que la suma (a 1 + a n ) se repite n / 2 veces, quedando: </li></ul><ul><li> (a 1 + a n ) </li></ul><ul><li>S = (a 1 + a n ) . (n/2) , o lo que igual: S = ‑--------‑‑‑‑ . n </li></ul><ul><li>2 </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Progresión geométrica </li></ul><ul><li>De Wikipedia, la enciclopedia libre </li></ul><ul><li>Saltar a navegación , búsqueda </li></ul><ul><li>Una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. </li></ul><ul><li>Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: </li></ul><ul><ul><li>15 = 5 × 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>45 = 15 × 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>135 = 45 × 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>405 = 135 × 3 </li></ul></ul><ul><li>y así sucesivamente. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Contenido </li></ul><ul><li>[ocultar] </li></ul><ul><li>1 Ejemplos de progresiones geométricas </li></ul><ul><li>2 Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas </li></ul><ul><li>3 Suma de términos de una progresión geométrica </li></ul><ul><ul><li>3.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica </li></ul></ul><ul><ul><li>3.2 Suma de términos infinitos de una progresión geométrica </li></ul></ul><ul><li>4 Véase también </li></ul><ul><li>Ejemplos de progresiones geométricas [ editar ] </li></ul><ul><li>La progresión 1, 4, 7,9, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40 . </li></ul><ul><li>La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. </li></ul><ul><li>La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. </li></ul><ul><li>Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 </li></ul><ul><li>Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0 . Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición. </li></ul>
  9. 9. Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas [ editar ] Si son los términos de una progresión geométrica con razón entonces se cumple la regla recursiva La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier término por su inmediato anterior: Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la razón. Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en de donde se infiere la fórmula para el término n -ésimo: Ejemplo . La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya que Dado el primer término, , podemos calcular directamente el término n -ésimo. Por ejemplo:
  10. 10. <ul><li>Suma de términos de una progresión geométrica [ editar ] </li></ul><ul><li>Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica [ editar ] </li></ul><ul><li>Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r . </li></ul><ul><li>Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión, </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>Si se procede a restar de esta igualdad la primera: </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>_______________________________ </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Sn r - Sn = - a1 + an r </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>o lo que es lo mismo, </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>Sn ( r - 1 ) = an r - a1 </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>Si se despeja Sn , </li></ul>
  11. 11. <ul><li>De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>an = a1 rn-1 </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente: </li></ul><ul><li>con lo que se obtiene la siguiente igualdad: </li></ul><ul><li>Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. </li></ul><ul><li>Suma de términos infinitos de una progresión geométrica [ editar ] </li></ul><ul><li>Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1, tiende hacia 0, de modo que: </li></ul><ul><li>En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula: </li></ul>
  12. 12. Anualidades de capitalización Lee el archivo de texto Video YouTube
  13. 13. Anualidades de amortización Anualidades Capitalización Amortización

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