SlideShare a Scribd company logo

Obrada rezultata merenja

Pregled osnovnh pojmova

1 of 2
Download to read offline
1
OBRADA REZULTATA MERENJA
Merenje je upoređivanje neke fizičke veličine sa jedinicom mere. Greška merenja je odstupanje merene veličine od tačne vrednosti.
Rezultat merenja se sastoji od : 1. mernog broja 2. jedinice mere 3. greške merenja
Greška merenja je neizbežna i ne treba je shvatiti u negativnom značenju.
Vrste grešaka:
1. GRUBE GREŠKE (omaške): nastaju kada se 3 napiše kao 8, umesto 17.5, napiše 175 i
sl.
-paralaksa nastaje kada se kazaljka gleda pod uglom. (ovakva merenja treba odbaciti!)
2. SISTEMATSKE GREŠKE mogu nastati usled:
• greške instrumenta (npr. lenjir kraći za 2cm)
• greške metode merenja (npr. da li prvo meriti A ili B)
• brojne greške (npr. koju vrednost uzeti za π)
Ovde svi rezultati imaju odstupanje u istu stranu. Sistematske greške ze mogu otkloniti računom.
3. SLUČAJNE GREŠKE nastaju prisustvom malih neizbežnih efekata koji se ne mogu kontrolisati a utiču na ishod merenja.
Slučajne greške se mogu smanjiti ponavljanjem.
MATEMATIČKA DEFINICIJA GREŠAKA:
 APSOLUTNA GREŠKA je razlika izmedju merene (xm) i tačne (xt) vrednosti:
Δ = |xm - xt|
kako se ne zna tačna vrednost, ne zna se ni apsolutna greška ali se može proceniti gornja i donja granica apsolutne greške, tj. broj od kog
ona nije veća.
|xm-xt| ≤ Δx (tzv. majoranta)
tako da se tačna vrednost nalazi negde u intervalu (xm – Δx) ≤ xt ≤ (xm + Δx). Znači
APSOLUTNA GREŠKA je procenjena neizvesnost u vrednosti fizičke veličine x. Osnovni
zahtev za merenje je smanjiti taj interval. Ubuduće ćemo pisati Δx = |xm-xt|
RELATIVNA GREŠKA je δx = Δx/x ; gde je x najbolja procena tačne vrednosti fizičke veličine.
IREKTNA MERENJA su merenja kod kojih se rezultat dobija jednim očitavanjem na skali ili instrumentu.
Za najbolju procenu tačne vrednosti, direktno merene fizičke velicine, uzima se srednja vrednost više merenja iste veličine. Tada je
<x> = (x1+x2+x3+...)/n; (oznake su i xsr, x ), prema tome procena je bolja što je više merenja.
Apsolutna greška direktnog merenja ne može biti manja od najmanje vrednosti koja se može pouzdano izmeriti datim instrumentom to
je Δxmin. Najčešće se uzima da je jednaka veličini najmanjeg podeoka na skali instrumenta, medjutim, prema proceni eksperimentatora
može se uzeti i polovina najmanjeg podeoka (ako su podeoci veliki) ili više najmanjih podeoka (ako je položaj na skali teško odrediti).
Najčešće se vrednost apsolutne greške kod direktnih merenja odredjuje tako što se izračuna srednja vrednost više merenja i odstupanje
svakog merenja od srednje vrednosti |xi – xs| i uzme maksimalno odstupanje.
primer: merena je dužina instrumentom čija je vrednost najmanjeg podeoka 0.01mm
I slučaj : x1 = 5,26 mm x2 = 5,28 mm x3 = 5,31mm
xs = 5,283 mm Δx1 = |5,26 - 5,283| = 0,023 mm
Δx2 = |5,28 - 5,283| = 0,003 mm
Δx3 = |5,31 - 5,283| = 0,027 mm
znači uzimamo Δxmax = 0.027 mm zaokruženo Δxmax = 0.03
rezultat: x = (5,28 ± 0.03) mm
II slučaj : x1 = 5,26 mm x2 = 5,26 mm x3 = 5,26 mm  <x> = 5,26 mm i sve greške Δx1 = Δx2 = Δx3 = 0! Ali greška nije nula!
Sada se uzima minimalna greška 0,1 mm rezultat: x = (5,26 ± 0,01) mm
PRAVILA ZA PISANJE BROJNIH VREDNOSTI FIZIČKIH VELIČINA
Primer pogrešnog pisanja: (loš ukus!)
m = (34,56342 ± 0,04451)g razbacivanje nepotrebnom tačnošću! Broj treba zaokružiti.
prvo se zaokružuje greška
prvo treba apsolutnu grešku zaokružiti na jednu cifru različitu od nule i to uvek na veći broj. Izuzetak je da se cifra koju
zaokružujemo ne menja ako je sledeća cifra 0 ili 1
npr: Δx = 0.033 ≈ 0,04 ali Δx = 0.031 ≈ 0,03
Rezultati merenja se zaokružuju po matematičkim pravilima:
1. ako je odbačena cifa manja od 5 prethodna cifra se ne menja 32,42 ≈ 32,4
2. ako je odbačena cifra veća od 5 prethodna cifra se povećava 32,46≈ 32,5; 32,45001 ≈ 32,46;
3. ako je odbačena cifra tačno 5 važi pravilo parne cifre: parna cifra se ne povećava 32,45 ≈ 32,4 32,35 ≈ 32,4
gornji primer: m = (34,56 ± 0,05) g rezultat merenja ne može ići na veću tačnost nego greška!
piše se samo jedna nesigurna cifra
sigurne cifre nesigurna cifra
(sumnjiva) Primeri:
x = 425,02 ± 16,7  x = (430 ± 20) = (4,3 ± 0,2) · 102
očiglednije je ako se napiše kao standardni oblik broja 4,2502 ± 0,167 pa onda
izvrši zaokruživanje.
x = 2358,41 ± 87,2  x = (2360 ± 90) = (2,36 ± 0,09) · 103
ili x = (2400 ± 100) = (2,4 ± 0,1) · 104
D
256 = 2,56 · 102
standardni oblik broja (samo
sa cifrom jedinica)
0,0421 = 4,21 · 10-2
red veličine je 10-2
82674 = 8,2674 · 104
red veličine je 104
xm – Δx xm xm + Δx
xt
paralaksa
2
INDIREKTNA MERENJA
Veličina koja se traži određuje se po nekoj vezi sa direktno merenim veličinama.PRIMERI: v =
t
s
, V = a3
, V = π R2
H
Apsolutne greške indirektno merenih veličina:
B
A
y +
= B
A
B
A
y ∆
+
∆
=
+
∆
=
∆ )
( (apsolutna greška zbira je jednaka zbiru
apsolutnih grešaka)
Apsolutna greška razlike je jednaka zbiru apsolutnih grešaka:
B
A
y −
= B
A
y ∆
+
∆
=
∆ UVEK ZBIR GREŠAKA !
STEPENA FUNKCIJA:
n
x
y = x
nx
y n
∆
=
∆ −1
δy =
y
y
∆
= n
n
x
x
nx ∆
−1
=
x
x
n
∆
⋅
uvek (najčešće) se prvo nadje relativna greška δx= Δx/x pa onda apsolutna Δx=xδx
primer: neka fizička veličina y zavisi od veličina A, B i C na sledeći način:
y= k
n
m
C
B
KA
(k=konstanta)
računamo prvo relativnu grešku
0
δy =
y
y
∆
=
k
k
∆
+
A
A
m
∆
⋅ +
B
B
n
∆
⋅ +
C
C
k
∆
⋅
a apsolutna greška je Δy =yδy
UVEK SE RAČUNA SA NEZAOKRUŽENIM
VREDNOSTIMA
H
R
V ⋅
= 2
π δy =
H
H
R
R
V
V ∆
+
∆
+
∆
=
∆
2
π
π
Za zbir i razliku računamo relativnu grešku po definiciji:
B
A
y +
= δy = =
∆
y
y
=
+
+
∆
B
A
B
A )
(
B
A
B
A
+
∆
+
∆
B
A
y −
= δy = =
∆
y
y
=
−
−
∆
B
A
B
A )
(
B
A
B
A
−
∆
+
∆
Rezultati merenja se mogu prikazati tabelarno i grafički. Grafički prikazan
rezultat pregledno prikazuje zavisnost merenih veličina i dobijanje pouzdanijeg rezultata merenja.
UPUTSTVO ZA CRTANJE GRAFIKA
1. Uvek na milimetarskom papiru A4 format. 2. Koordinatne ose treba crtati po ivicama milimetarskog papira.
3. Razmeru izabrati tako da grafik bude preko celog papira 4. Ne sme manja razmera od Δx = 1mm na crtežu 5. Jedinica veličine koja
se prikazuje (ili njen umnožak sa 10n
, gde je n ceo broj) može da bude prikazana sa 1, 2, 2.5, 5, 10, 20, 25, 50, 100 itd. milimetara na
milimetarskom papiru (tj. razmere su 1:1; 1:2; 1:2,5;1:5; 1:10; 1:20; itd). Razmeru 1:4 treba izbegavati. Sve ostale razmere nisu
dopuštene. Na primer, jedinica fizičke veličine ne sme biti prikazana na milimetarskom papiru sa 3 mm ili 3 cm (najčešća greška), 6 mm,
7 cm, 12 mm 15 cm i sl. 6. Obavezno naslov grafika (zavisnost y od x) 7. Na ose ne pisati cifre iz eksperimenta već cele brojeve!
Tačke ucrtavati sa greškom + (krstiće-dužina jednog kraka krstića jednaka je Δx odnosno Δy, znači dimenzije krstića su 2Δx*2Δy)
Vrlo često kod jedne veličine se zanemari greška, onda se crta ovako:— (2Δx) ili I (2Δy). 8. koordinatne ose ne mora krenuti od nule.
Sad treba povući pravu između eksperimentalnih tačaka tj. interpolacija : spajaju se tačke unutar eksperimentalnih rezultata.
ekstrapolacija : ide se u oblast gde nema eksperimentalnih rezultata - treba izbegavati
odokativno: (za interpolaciju) isti broj krstića iznad i ispod. Treba (uvek) linearizovati grafik
Primeri direktnog izračunavanja
apsolutnih grešaka:
n
x
y =
x
nx
y n
∆
=
∆ −1
4
x
y = tada je x
x
y ∆
=
∆ 3
4 ;
2
T
y = tada je T
T
y ∆
=
∆ 2 ;
3
t
y = tada je t
t
y ∆
=
∆ 2
3
A
B
y
x
KOEFICIJENT
PRAVCA PRAVE
RAČUNA SE PO
FORMULI:
A
B
A
B
x
x
y
y
k
−
−
=
GREŠKA PRI ODREĐIVANJU KOEFICIJENTA PRAVCA
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
k
−
∆
+
∆
+
−
∆
+
∆
=
−
−
∆
+
−
−
∆
=
)
(
)
(
δ
za apsolutne greške Δy i Δx se uzimaju apsolutne greške najbliže
eksperimentalne tačke
PRIMER GRAFIKA
Ad

Recommended

Ембрионално развиће А.Мацура, М. Ајдуковић
Ембрионално развиће А.Мацура, М. АјдуковићЕмбрионално развиће А.Мацура, М. Ајдуковић
Ембрионално развиће А.Мацура, М. АјдуковићVioleta Djuric
 
Sistem organa za cirkulaciju
Sistem organa za cirkulacijuSistem organa za cirkulaciju
Sistem organa za cirkulacijuSanja Stefanović
 
Hromozomaska osnova nasleđivanja, nasleđivanje vezano za pol, rekombinacije
Hromozomaska osnova nasleđivanja, nasleđivanje vezano za pol, rekombinacijeHromozomaska osnova nasleđivanja, nasleđivanje vezano za pol, rekombinacije
Hromozomaska osnova nasleđivanja, nasleđivanje vezano za pol, rekombinacijeEna Horvat
 
Uvod u patologiju
Uvod u patologijuUvod u patologiju
Uvod u patologijudr Šarac
 
"Greške merenja i predstavljanje rezultata merenja" - dr Marjan Stankov
"Greške merenja i predstavljanje rezultata merenja" - dr Marjan Stankov"Greške merenja i predstavljanje rezultata merenja" - dr Marjan Stankov
"Greške merenja i predstavljanje rezultata merenja" - dr Marjan StankovDepartman za fiziku (PMF, Niš)
 
Sistem organa za razmnožavanje
Sistem organa za razmnožavanjeSistem organa za razmnožavanje
Sistem organa za razmnožavanjeIvana Damnjanović
 

More Related Content

What's hot

Митоза и мејоза
Митоза и мејозаМитоза и мејоза
Митоза и мејозаVioleta Djuric
 
Pubertet i adolescencija
Pubertet i adolescencija Pubertet i adolescencija
Pubertet i adolescencija Kristina Franka
 
Ćelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparat
Ćelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparatĆelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparat
Ćelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparatIvana Damnjanović
 
Типови наслеђивања особина
Типови наслеђивања особинаТипови наслеђивања особина
Типови наслеђивања особинаVioleta Djuric
 
42. nasledni materijal i nasledne osobine
42. nasledni materijal i nasledne osobine42. nasledni materijal i nasledne osobine
42. nasledni materijal i nasledne osobineppnjbiljana
 
Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka
Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomakaSabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka
Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomakaprofmarina
 
Mendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanjaMendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanjaIvana Damnjanović
 
нивои организације живог света
нивои организације живог светанивои организације живог света
нивои организације живог светаAlleteja
 
Mahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značaj
Mahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značajMahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značaj
Mahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značajElementary School "Bora Lazić"
 
Radioaktivno zagađenje i zaštita
Radioaktivno zagađenje i zaštitaRadioaktivno zagađenje i zaštita
Radioaktivno zagađenje i zaštitaEna Horvat
 
Sistem organa za cirkulaciju-ponavljanje
Sistem organa za cirkulaciju-ponavljanjeSistem organa za cirkulaciju-ponavljanje
Sistem organa za cirkulaciju-ponavljanjeEna Horvat
 

What's hot (20)

Митоза и мејоза
Митоза и мејозаМитоза и мејоза
Митоза и мејоза
 
Ћелија
ЋелијаЋелија
Ћелија
 
Pubertet i adolescencija
Pubertet i adolescencija Pubertet i adolescencija
Pubertet i adolescencija
 
Celijski ciklus
Celijski ciklusCelijski ciklus
Celijski ciklus
 
Ćelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparat
Ćelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparatĆelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparat
Ćelijske organele ribozomi, endoplazmatična mreža, Goldžijev aparat
 
Humana genetika rodoslovno stablo
Humana genetika rodoslovno stabloHumana genetika rodoslovno stablo
Humana genetika rodoslovno stablo
 
Типови наслеђивања особина
Типови наслеђивања особинаТипови наслеђивања особина
Типови наслеђивања особина
 
Гласовне промене
Гласовне променеГласовне промене
Гласовне промене
 
9. Mejoza
9. Mejoza9. Mejoza
9. Mejoza
 
42. nasledni materijal i nasledne osobine
42. nasledni materijal i nasledne osobine42. nasledni materijal i nasledne osobine
42. nasledni materijal i nasledne osobine
 
Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka
Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomakaSabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka
Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka
 
Žlezde sa unutrašnjim lučenjem
Žlezde sa unutrašnjim lučenjemŽlezde sa unutrašnjim lučenjem
Žlezde sa unutrašnjim lučenjem
 
Mendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanjaMendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanja
 
Genetika uvod, pravila nasledjivanja, odnosi medju alelima
Genetika uvod, pravila nasledjivanja, odnosi medju alelimaGenetika uvod, pravila nasledjivanja, odnosi medju alelima
Genetika uvod, pravila nasledjivanja, odnosi medju alelima
 
нивои организације живог света
нивои организације живог светанивои организације живог света
нивои организације живог света
 
Individualno razviće čoveka
Individualno razviće čovekaIndividualno razviće čoveka
Individualno razviće čoveka
 
Rast i pokreti biljaka, biljni hormoni
Rast i pokreti biljaka, biljni hormoniRast i pokreti biljaka, biljni hormoni
Rast i pokreti biljaka, biljni hormoni
 
Mahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značaj
Mahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značajMahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značaj
Mahovine, osnovne osobine, građa, raznovrsnost i značaj
 
Radioaktivno zagađenje i zaštita
Radioaktivno zagađenje i zaštitaRadioaktivno zagađenje i zaštita
Radioaktivno zagađenje i zaštita
 
Sistem organa za cirkulaciju-ponavljanje
Sistem organa za cirkulaciju-ponavljanjeSistem organa za cirkulaciju-ponavljanje
Sistem organa za cirkulaciju-ponavljanje
 

More from Siniša Ćulafić

Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docxKompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docxSiniša Ćulafić
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan radOdredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan radSiniša Ćulafić
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornostiOdredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornostiSiniša Ćulafić
 
Uopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaciUopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaciSiniša Ćulafić
 
задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021Siniša Ćulafić
 
Skripta vezbe gradivo za 2 test
Skripta vezbe   gradivo za 2 testSkripta vezbe   gradivo za 2 test
Skripta vezbe gradivo za 2 testSiniša Ćulafić
 
Greške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenataGreške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenataSiniša Ćulafić
 
одабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичењаодабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичењаSiniša Ćulafić
 
Priprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet aPriprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet aSiniša Ćulafić
 

More from Siniša Ćulafić (20)

Izazov 1 za ocenu 2.pdf
Izazov 1 za ocenu 2.pdfIzazov 1 za ocenu 2.pdf
Izazov 1 za ocenu 2.pdf
 
Mikrofiz.pptx
Mikrofiz.pptxMikrofiz.pptx
Mikrofiz.pptx
 
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docxKompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
 
Osnovni nivo.pdf
Osnovni nivo.pdfOsnovni nivo.pdf
Osnovni nivo.pdf
 
Mkmagazin 220107142015
Mkmagazin 220107142015Mkmagazin 220107142015
Mkmagazin 220107142015
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan radOdredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornostiOdredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti
 
OET - priprema za test JS
OET - priprema za test JSOET - priprema za test JS
OET - priprema za test JS
 
Uopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaciUopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaci
 
задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021
 
Skripta vezbe gradivo za 2 test
Skripta vezbe   gradivo za 2 testSkripta vezbe   gradivo za 2 test
Skripta vezbe gradivo za 2 test
 
Vezbe 2 test
Vezbe 2 testVezbe 2 test
Vezbe 2 test
 
Greške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenataGreške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenata
 
одабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичењаодабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичења
 
Zadaci za 1 pismeni oet
Zadaci za 1 pismeni oetZadaci za 1 pismeni oet
Zadaci za 1 pismeni oet
 
Zadaci za 26 10 2021
Zadaci za 26 10 2021Zadaci za 26 10 2021
Zadaci za 26 10 2021
 
Domaci zadatak 1
Domaci zadatak 1Domaci zadatak 1
Domaci zadatak 1
 
Zadaci za 21 10 2021
Zadaci za 21 10 2021Zadaci za 21 10 2021
Zadaci za 21 10 2021
 
Zadaci za vezbu 18.10.2021.
Zadaci za vezbu 18.10.2021.Zadaci za vezbu 18.10.2021.
Zadaci za vezbu 18.10.2021.
 
Priprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet aPriprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet a
 

Obrada rezultata merenja

  • 1. 1 OBRADA REZULTATA MERENJA Merenje je upoređivanje neke fizičke veličine sa jedinicom mere. Greška merenja je odstupanje merene veličine od tačne vrednosti. Rezultat merenja se sastoji od : 1. mernog broja 2. jedinice mere 3. greške merenja Greška merenja je neizbežna i ne treba je shvatiti u negativnom značenju. Vrste grešaka: 1. GRUBE GREŠKE (omaške): nastaju kada se 3 napiše kao 8, umesto 17.5, napiše 175 i sl. -paralaksa nastaje kada se kazaljka gleda pod uglom. (ovakva merenja treba odbaciti!) 2. SISTEMATSKE GREŠKE mogu nastati usled: • greške instrumenta (npr. lenjir kraći za 2cm) • greške metode merenja (npr. da li prvo meriti A ili B) • brojne greške (npr. koju vrednost uzeti za π) Ovde svi rezultati imaju odstupanje u istu stranu. Sistematske greške ze mogu otkloniti računom. 3. SLUČAJNE GREŠKE nastaju prisustvom malih neizbežnih efekata koji se ne mogu kontrolisati a utiču na ishod merenja. Slučajne greške se mogu smanjiti ponavljanjem. MATEMATIČKA DEFINICIJA GREŠAKA:  APSOLUTNA GREŠKA je razlika izmedju merene (xm) i tačne (xt) vrednosti: Δ = |xm - xt| kako se ne zna tačna vrednost, ne zna se ni apsolutna greška ali se može proceniti gornja i donja granica apsolutne greške, tj. broj od kog ona nije veća. |xm-xt| ≤ Δx (tzv. majoranta) tako da se tačna vrednost nalazi negde u intervalu (xm – Δx) ≤ xt ≤ (xm + Δx). Znači APSOLUTNA GREŠKA je procenjena neizvesnost u vrednosti fizičke veličine x. Osnovni zahtev za merenje je smanjiti taj interval. Ubuduće ćemo pisati Δx = |xm-xt| RELATIVNA GREŠKA je δx = Δx/x ; gde je x najbolja procena tačne vrednosti fizičke veličine. IREKTNA MERENJA su merenja kod kojih se rezultat dobija jednim očitavanjem na skali ili instrumentu. Za najbolju procenu tačne vrednosti, direktno merene fizičke velicine, uzima se srednja vrednost više merenja iste veličine. Tada je <x> = (x1+x2+x3+...)/n; (oznake su i xsr, x ), prema tome procena je bolja što je više merenja. Apsolutna greška direktnog merenja ne može biti manja od najmanje vrednosti koja se može pouzdano izmeriti datim instrumentom to je Δxmin. Najčešće se uzima da je jednaka veličini najmanjeg podeoka na skali instrumenta, medjutim, prema proceni eksperimentatora može se uzeti i polovina najmanjeg podeoka (ako su podeoci veliki) ili više najmanjih podeoka (ako je položaj na skali teško odrediti). Najčešće se vrednost apsolutne greške kod direktnih merenja odredjuje tako što se izračuna srednja vrednost više merenja i odstupanje svakog merenja od srednje vrednosti |xi – xs| i uzme maksimalno odstupanje. primer: merena je dužina instrumentom čija je vrednost najmanjeg podeoka 0.01mm I slučaj : x1 = 5,26 mm x2 = 5,28 mm x3 = 5,31mm xs = 5,283 mm Δx1 = |5,26 - 5,283| = 0,023 mm Δx2 = |5,28 - 5,283| = 0,003 mm Δx3 = |5,31 - 5,283| = 0,027 mm znači uzimamo Δxmax = 0.027 mm zaokruženo Δxmax = 0.03 rezultat: x = (5,28 ± 0.03) mm II slučaj : x1 = 5,26 mm x2 = 5,26 mm x3 = 5,26 mm  <x> = 5,26 mm i sve greške Δx1 = Δx2 = Δx3 = 0! Ali greška nije nula! Sada se uzima minimalna greška 0,1 mm rezultat: x = (5,26 ± 0,01) mm PRAVILA ZA PISANJE BROJNIH VREDNOSTI FIZIČKIH VELIČINA Primer pogrešnog pisanja: (loš ukus!) m = (34,56342 ± 0,04451)g razbacivanje nepotrebnom tačnošću! Broj treba zaokružiti. prvo se zaokružuje greška prvo treba apsolutnu grešku zaokružiti na jednu cifru različitu od nule i to uvek na veći broj. Izuzetak je da se cifra koju zaokružujemo ne menja ako je sledeća cifra 0 ili 1 npr: Δx = 0.033 ≈ 0,04 ali Δx = 0.031 ≈ 0,03 Rezultati merenja se zaokružuju po matematičkim pravilima: 1. ako je odbačena cifa manja od 5 prethodna cifra se ne menja 32,42 ≈ 32,4 2. ako je odbačena cifra veća od 5 prethodna cifra se povećava 32,46≈ 32,5; 32,45001 ≈ 32,46; 3. ako je odbačena cifra tačno 5 važi pravilo parne cifre: parna cifra se ne povećava 32,45 ≈ 32,4 32,35 ≈ 32,4 gornji primer: m = (34,56 ± 0,05) g rezultat merenja ne može ići na veću tačnost nego greška! piše se samo jedna nesigurna cifra sigurne cifre nesigurna cifra (sumnjiva) Primeri: x = 425,02 ± 16,7  x = (430 ± 20) = (4,3 ± 0,2) · 102 očiglednije je ako se napiše kao standardni oblik broja 4,2502 ± 0,167 pa onda izvrši zaokruživanje. x = 2358,41 ± 87,2  x = (2360 ± 90) = (2,36 ± 0,09) · 103 ili x = (2400 ± 100) = (2,4 ± 0,1) · 104 D 256 = 2,56 · 102 standardni oblik broja (samo sa cifrom jedinica) 0,0421 = 4,21 · 10-2 red veličine je 10-2 82674 = 8,2674 · 104 red veličine je 104 xm – Δx xm xm + Δx xt paralaksa
  • 2. 2 INDIREKTNA MERENJA Veličina koja se traži određuje se po nekoj vezi sa direktno merenim veličinama.PRIMERI: v = t s , V = a3 , V = π R2 H Apsolutne greške indirektno merenih veličina: B A y + = B A B A y ∆ + ∆ = + ∆ = ∆ ) ( (apsolutna greška zbira je jednaka zbiru apsolutnih grešaka) Apsolutna greška razlike je jednaka zbiru apsolutnih grešaka: B A y − = B A y ∆ + ∆ = ∆ UVEK ZBIR GREŠAKA ! STEPENA FUNKCIJA: n x y = x nx y n ∆ = ∆ −1 δy = y y ∆ = n n x x nx ∆ −1 = x x n ∆ ⋅ uvek (najčešće) se prvo nadje relativna greška δx= Δx/x pa onda apsolutna Δx=xδx primer: neka fizička veličina y zavisi od veličina A, B i C na sledeći način: y= k n m C B KA (k=konstanta) računamo prvo relativnu grešku 0 δy = y y ∆ = k k ∆ + A A m ∆ ⋅ + B B n ∆ ⋅ + C C k ∆ ⋅ a apsolutna greška je Δy =yδy UVEK SE RAČUNA SA NEZAOKRUŽENIM VREDNOSTIMA H R V ⋅ = 2 π δy = H H R R V V ∆ + ∆ + ∆ = ∆ 2 π π Za zbir i razliku računamo relativnu grešku po definiciji: B A y + = δy = = ∆ y y = + + ∆ B A B A ) ( B A B A + ∆ + ∆ B A y − = δy = = ∆ y y = − − ∆ B A B A ) ( B A B A − ∆ + ∆ Rezultati merenja se mogu prikazati tabelarno i grafički. Grafički prikazan rezultat pregledno prikazuje zavisnost merenih veličina i dobijanje pouzdanijeg rezultata merenja. UPUTSTVO ZA CRTANJE GRAFIKA 1. Uvek na milimetarskom papiru A4 format. 2. Koordinatne ose treba crtati po ivicama milimetarskog papira. 3. Razmeru izabrati tako da grafik bude preko celog papira 4. Ne sme manja razmera od Δx = 1mm na crtežu 5. Jedinica veličine koja se prikazuje (ili njen umnožak sa 10n , gde je n ceo broj) može da bude prikazana sa 1, 2, 2.5, 5, 10, 20, 25, 50, 100 itd. milimetara na milimetarskom papiru (tj. razmere su 1:1; 1:2; 1:2,5;1:5; 1:10; 1:20; itd). Razmeru 1:4 treba izbegavati. Sve ostale razmere nisu dopuštene. Na primer, jedinica fizičke veličine ne sme biti prikazana na milimetarskom papiru sa 3 mm ili 3 cm (najčešća greška), 6 mm, 7 cm, 12 mm 15 cm i sl. 6. Obavezno naslov grafika (zavisnost y od x) 7. Na ose ne pisati cifre iz eksperimenta već cele brojeve! Tačke ucrtavati sa greškom + (krstiće-dužina jednog kraka krstića jednaka je Δx odnosno Δy, znači dimenzije krstića su 2Δx*2Δy) Vrlo često kod jedne veličine se zanemari greška, onda se crta ovako:— (2Δx) ili I (2Δy). 8. koordinatne ose ne mora krenuti od nule. Sad treba povući pravu između eksperimentalnih tačaka tj. interpolacija : spajaju se tačke unutar eksperimentalnih rezultata. ekstrapolacija : ide se u oblast gde nema eksperimentalnih rezultata - treba izbegavati odokativno: (za interpolaciju) isti broj krstića iznad i ispod. Treba (uvek) linearizovati grafik Primeri direktnog izračunavanja apsolutnih grešaka: n x y = x nx y n ∆ = ∆ −1 4 x y = tada je x x y ∆ = ∆ 3 4 ; 2 T y = tada je T T y ∆ = ∆ 2 ; 3 t y = tada je t t y ∆ = ∆ 2 3 A B y x KOEFICIJENT PRAVCA PRAVE RAČUNA SE PO FORMULI: A B A B x x y y k − − = GREŠKA PRI ODREĐIVANJU KOEFICIJENTA PRAVCA A B A B A B A B A B A B A B A B x x x x y y y y x x x x y y y y k − ∆ + ∆ + − ∆ + ∆ = − − ∆ + − − ∆ = ) ( ) ( δ za apsolutne greške Δy i Δx se uzimaju apsolutne greške najbliže eksperimentalne tačke PRIMER GRAFIKA