SlideShare a Scribd company logo

Mkmagazin 220107142015

Matematika

1 of 73
Download to read offline
NOV & MODERAN
mk magazin
J A N U A R 2 0 2 1
by / mirjana kokerić
N A Š I S A R A D N I C I
ANKICA SIMIĆ
BRANKA RANISAVLJEVIĆ
DARINA POLJAK
IVICA GREGUREC
ALEKSANDAR STOJKOVIĆ
SNEŽANA TOŠOVIĆ
SNEŽANA VLAJIN
SLAVICA BERONJA
SINIŠA ĆULAFIĆ
MILAN VUČETIĆ
MIRJANA KOKERIĆ
PLANA PEJOVIĆ
Mkmagazin 220107142015
Sadržaj magazina
1. Igrice u matematici
2. Umetnost u matematici
3. Sistem MMF
4. „Maths in English, please!”
5. Upotreba IKT tehnologije u učeničkim radovima u nastavi matematike u osnovnoj
školi
6. Problemski zadatak: Sabiranje i oduzimanje polinoma
7. Ideja za milijardera
8. Matematička revija
9. Imaju mišiće i znanje
10. Može i drugačije
11. Merenje senke drveta- osećaj slobode
12. Elementi matematičkog projekta učenja
13. Bingo igrica
14. Greške u matematici
15. Postavljanje ciljeva
16. Matematička darovitost - kako se sa njom nositi

More Related Content

Similar to Mkmagazin 220107142015

ICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarima
ICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarimaICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarima
ICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarimaNastavnici
 
Поко пројекат
Поко пројекатПоко пројекат
Поко пројекатJelena Volarov
 
Vizualizacija školskog prostora
Vizualizacija školskog prostoraVizualizacija školskog prostora
Vizualizacija školskog prostoraJelena Volarov
 
Matematikom kroz Evropu
Matematikom kroz EvropuMatematikom kroz Evropu
Matematikom kroz EvropuJelena Kenić
 
Đačka iskra br-7
Đačka iskra br-7Đačka iskra br-7
Đačka iskra br-7bbilja
 
конструкторски материјали
конструкторски материјаликонструкторски материјали
конструкторски материјалиivastankovic
 

Similar to Mkmagazin 220107142015 (20)

Kviz konstantinov nis_130401
Kviz konstantinov nis_130401Kviz konstantinov nis_130401
Kviz konstantinov nis_130401
 
Nauk nije bauk 2012 - Poziv direktorima
Nauk nije bauk 2012 - Poziv direktorimaNauk nije bauk 2012 - Poziv direktorima
Nauk nije bauk 2012 - Poziv direktorima
 
NasaSkola2012 - Bolja strana znanja - Saopštenje 18-06-2012
NasaSkola2012 - Bolja strana znanja - Saopštenje 18-06-2012NasaSkola2012 - Bolja strana znanja - Saopštenje 18-06-2012
NasaSkola2012 - Bolja strana znanja - Saopštenje 18-06-2012
 
Nauk nije bauk 2012
Nauk nije bauk 2012Nauk nije bauk 2012
Nauk nije bauk 2012
 
Spisak radova zbornik digitalni cas 2018 19 za sajt
Spisak radova zbornik digitalni cas 2018 19  za sajtSpisak radova zbornik digitalni cas 2018 19  za sajt
Spisak radova zbornik digitalni cas 2018 19 za sajt
 
To smo mi br.6
To smo mi  br.6To smo mi  br.6
To smo mi br.6
 
Образовање за дигитално доба
Образовање за дигитално добаОбразовање за дигитално доба
Образовање за дигитално доба
 
" Pokrenimo se"
" Pokrenimo se" " Pokrenimo se"
" Pokrenimo se"
 
агенда
агендаагенда
агенда
 
агенда
агендаагенда
агенда
 
ICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarima
ICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarimaICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarima
ICTeachers - Slavica Gomilanović - Seoskim sokacima, gradskim bulevarima
 
Поко пројекат
Поко пројекатПоко пројекат
Поко пројекат
 
Vizualizacija školskog prostora
Vizualizacija školskog prostoraVizualizacija školskog prostora
Vizualizacija školskog prostora
 
Matematikom kroz Evropu
Matematikom kroz EvropuMatematikom kroz Evropu
Matematikom kroz Evropu
 
Đačka iskra br-7
Đačka iskra br-7Đačka iskra br-7
Đačka iskra br-7
 
конструкторски материјали
конструкторски материјаликонструкторски материјали
конструкторски материјали
 
Kutija za Malog Princa
Kutija za Malog PrincaKutija za Malog Princa
Kutija za Malog Princa
 
Svet ii 2
Svet ii 2Svet ii 2
Svet ii 2
 
Obrazovni krug
Obrazovni krugObrazovni krug
Obrazovni krug
 
Tesla info kup 2012 - Regionalno takmičenje - Poziv
Tesla info kup 2012 - Regionalno takmičenje - PozivTesla info kup 2012 - Regionalno takmičenje - Poziv
Tesla info kup 2012 - Regionalno takmičenje - Poziv
 

More from Siniša Ćulafić

Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docxKompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docxSiniša Ćulafić
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan radOdredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan radSiniša Ćulafić
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornostiOdredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornostiSiniša Ćulafić
 
Uopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaciUopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaciSiniša Ćulafić
 
задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021Siniša Ćulafić
 
Skripta vezbe gradivo za 2 test
Skripta vezbe   gradivo za 2 testSkripta vezbe   gradivo za 2 test
Skripta vezbe gradivo za 2 testSiniša Ćulafić
 
Greške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenataGreške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenataSiniša Ćulafić
 
одабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичењаодабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичењаSiniša Ćulafić
 
Priprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet aPriprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet aSiniša Ćulafić
 

More from Siniša Ćulafić (20)

Izazov 1 za ocenu 2.pdf
Izazov 1 za ocenu 2.pdfIzazov 1 za ocenu 2.pdf
Izazov 1 za ocenu 2.pdf
 
Mikrofiz.pptx
Mikrofiz.pptxMikrofiz.pptx
Mikrofiz.pptx
 
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docxKompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
Kompleksni brojevi u Pythonu 1.docx
 
Osnovni nivo.pdf
Osnovni nivo.pdfOsnovni nivo.pdf
Osnovni nivo.pdf
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan radOdredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti zadaci za samostalan rad
 
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornostiOdredjivanje ekvivalentne otpornosti
Odredjivanje ekvivalentne otpornosti
 
OET - priprema za test JS
OET - priprema za test JSOET - priprema za test JS
OET - priprema za test JS
 
Uopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaciUopsteni omov zakon - zadaci
Uopsteni omov zakon - zadaci
 
задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021задаци предвиђени за 18.11.2021
задаци предвиђени за 18.11.2021
 
Skripta vezbe gradivo za 2 test
Skripta vezbe   gradivo za 2 testSkripta vezbe   gradivo za 2 test
Skripta vezbe gradivo za 2 test
 
Vezbe 2 test
Vezbe 2 testVezbe 2 test
Vezbe 2 test
 
Greške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenataGreške analognih i digitalnih instrumenata
Greške analognih i digitalnih instrumenata
 
одабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичењаодабрани задаци са такмичења
одабрани задаци са такмичења
 
Zadaci za 1 pismeni oet
Zadaci za 1 pismeni oetZadaci za 1 pismeni oet
Zadaci za 1 pismeni oet
 
Zadaci za 26 10 2021
Zadaci za 26 10 2021Zadaci za 26 10 2021
Zadaci za 26 10 2021
 
Domaci zadatak 1
Domaci zadatak 1Domaci zadatak 1
Domaci zadatak 1
 
Zadaci za 21 10 2021
Zadaci za 21 10 2021Zadaci za 21 10 2021
Zadaci za 21 10 2021
 
Zadaci za vezbu 18.10.2021.
Zadaci za vezbu 18.10.2021.Zadaci za vezbu 18.10.2021.
Zadaci za vezbu 18.10.2021.
 
Priprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet aPriprema za pismeni zadatak iz oet a
Priprema za pismeni zadatak iz oet a
 
E m-1-a4
E m-1-a4E m-1-a4
E m-1-a4
 

Mkmagazin 220107142015

  • 1. NOV & MODERAN mk magazin J A N U A R 2 0 2 1 by / mirjana kokerić
  • 2. N A Š I S A R A D N I C I ANKICA SIMIĆ BRANKA RANISAVLJEVIĆ DARINA POLJAK IVICA GREGUREC
  • 6. Sadržaj magazina 1. Igrice u matematici 2. Umetnost u matematici 3. Sistem MMF 4. „Maths in English, please!” 5. Upotreba IKT tehnologije u učeničkim radovima u nastavi matematike u osnovnoj školi 6. Problemski zadatak: Sabiranje i oduzimanje polinoma 7. Ideja za milijardera 8. Matematička revija 9. Imaju mišiće i znanje 10. Može i drugačije 11. Merenje senke drveta- osećaj slobode 12. Elementi matematičkog projekta učenja 13. Bingo igrica 14. Greške u matematici 15. Postavljanje ciljeva 16. Matematička darovitost - kako se sa njom nositi
  • 7. Igrice u matematici Učenje kroz igru – Minecraft u nastavi Virtualni svet od kockastih blokova, u kom uživaju igrači svetski popularne video igrice "Minecraft", obogaćen je za nišku Tvrđavu i Teslin Toranj. Tvorci ovih zdanja su osnovci niške škole "Sreten Mladenović Mika" kojima su video-radovi ovih objekata doneli priznanja na međunarodnom takmičenju i nacionalnom konkursu. U igrici koja je od nastanka 2009. godine postala jedna od najpopularnijih na svetu, čitav svet čine blokovi koje igrač pomera i slaže kako želi. Igri kraja nema, a njen fokus je na istraživanju i pravljenju objekata, tako da se igra svaki put učitava sa drugačijim okruženjem. Sve je počelo pojavljivanjem na NIMATU 3 – Festivalu matematike, maja 2016. u Regionalnom centru za stručno usavršavanje u Nišu. Za predstavljanje na ovoj zanimljivoj smotri učenici Luka Veličković,Milutin Kocić,Nikola Stamenković i Uroš Marković i njihov mentor nastavnik tehničkog i informatičkog obrazovanja su odabrali minecraft i matematičke pitalice –MATHCRAFT. Izazvali su interesovanje posetilaca i ljubitelja igrica na maštoviti njima svojstven način.
  • 8. Ovo je bio početak priče o igri koju obožavaju i spajanju sa predmetima u školi. Sledeći zadatak je izrada istorijskog spomenika u minecraftu i učešće na međunarodnom takmičenju edukativnog filma KREF .Veština gradnje i poznavanje školskih predmeta : tehničkog i informatičkog obrazovanja, matematike, istorije i geografije, mnogo sati truda i maštovitost su dali video “Niška Tvrđava u Minecraftu“. Đaci su u igri u kojoj se svet gradi od blokova hteli da naprave objekat karakterističan za Niš i, logično, setili se Tvrđave. Ali ona ne izgleda autentično,u svojoj unatrašnjosti ima Bali-Begovu džamiju, sahat-kulu, hamam - tursko kupatilo, barutane, konjušnice. Otvorile su se Beogradska i Vidin kapija. A da bi ovaj učenički rad povezali sa još nekoliko nastavnih predmeta, na prolazima kroz Tvrđavu igraču se pojavljuju pitalice, a tek tačan odgovor omogućava prolaz u drugu prostoriju. Naučeno je nešto novo , tvrđava je oživela a u lagumima postavljane zamke za igrače. Usledila je nagrada na KREF-u na Kopaoniku septembra 2016.godine i osvajanje “Prosvetnog oskara” u kategoriji “Najbolji minecraft video na Balkanu”. Četvorica učenika sedmog razreda niške OŠ “Sreten Mladenović Mika” u svetski poznatoj igrici “Majnkraft” napravili su edukativni Teslin toranj i zahvaljujući toj ideji ušli među 10 najboljih škola iz cele Srbije na nacionalnom konkursu “Budi kao Tesla”.2016.godine. Ovo nacionalno takmičenje inspirisano je životom i dostignućima Nikole Tesle, sa idejom da osnovci iz cele Srbije kroz svoje projekte popularizuju život i rad najvećeg srpskog naučnika. Do 16. juna2016.godine je na konkurs pristiglo preko stotinu radova iz 42 škole, a među deset najboljih su se, zajedno sa vršnjacima iz Zaječara, Požege, Kraljeva, Beograda, Kikinde, Kragujevca i Banatskog Karađorđeva, našli i učenici ove niške škole. I dok je učenicima na raspolaganju bila mogućnost da na konkurs pošalju video ili audio zapise, slike ili fotogradije, tekstove i grafičke dokumente čija se tematika može povezati sa Teslinim radom, Nišlije su se odlučile za video-igricu . Dve nedelje su sedmaci Luka, Milutin, Uroš i Nikola, pod mentorstvom nastavnika tehničkog i informatičkog
  • 9. obrazovanja Aleksandra Stojkovića, “gradili” Teslin toranj na poljima svetski poznatog “Majnkrafta”. Unutar “tornja“ postavljene su table sa pitanjima o Teslinom životu i radu, a svakim tačnim odgovorom na pitanja u ovom svojevrsnom kvizu, igrač prikuplja poene i prelazi nivoe. Video-igrica bila dobar način da se spoje edukacija i zabava. Neki su snimali filmove, radili pozorišne predstave, eksperimente, a ovi učenici su na originalan način uz popularni “Majnkraft”stvorili svoj toranj. U šestom razredu se na časovima tehničkog obrazovanja prave makete raznih građevina, pa zašto se ne bi i u igrici koji se zasniva na sklapanju kockica i blokova napravila željena građevina. Manje od dve nedelje im je bilo potrebno da naprave toranj. Bilo im je veoma zanimljivo i jako su se posvetili tome pored svih obaveza koje su imali pred kraj školske godine. Pobedničke škole bile su svečano proglašene 10. jula 2016. na Kalemegdanu, na centralnoj manifestaciji povodom proslave 160 godina od rođenja Nikole Tesle. Ideja, originalnost i timski rad se isplatio u vidu druge nagrade – 58” TV Smart Samsunga koji je svoje mesto našao u holu škole. Nastavljeno je u istom ritmu i sa novim nagradama i konkursima i u 2017. i 2018.godini: KREF 2017. Leskovac II mesto ( Moj kraj u buducnosti ), KREF 2018. Štip-Makedonija II mesto ( Hemcraft-igrica kombinacija hemije i minecrafta ), Biblioteka ”Vuk Karadžić” Aleksinac- Kulturno – istorijski spomenici moga kraja ( Ruska crkva i Deligrad )... U drugim zemljama postoji trend da se igrice upotrebljavaju u nastavi, jer je to odličan način da se deci približi nauka kroz tehnologiju koju svakodnevno koriste. Na Microsoft platformi “Minecraft in education “ moguće je danas da pomoću blokovskog programiranja sami ispisujemo kodove i na taj način učimo programiranje. “Ponosni smo na ove uspehe koje smo do sada postigli, u planu nam je da makar udvostručimo nagrade i iskustvo, ali još smo ponosniji što možemo biti primer mlađim generacijama i roditeljima da nisu sve igrice tu da "truju" mozak, već ima i onih koje ga razvijaju.” – kažu učenici. https://sway.com/EMaquUEmqgAKF2MV
  • 10. Aleksandar Stojković: 23 godina radnog iskustva, nastavnik TIO u OŠ”Sreten Mladenović Mika “ u Nišu, dipl.ing.elektronike ( Elektronski fakultet u Nišu), master profesor tehnike I informatike ( Tehnički fakultet u Čačku). Rođen decembra 1965 u Vranju. Osnovnu i srednju školu završio u Nišu. Otac dve ćerke, živi i radi u Nišu. Član PDIS (Pedagoškog društva informatičara Srbije), DPTKS ( Društva pedagoga tehničke kulture Srbije), aktivni učesnik eTwinning mreže Evrope, jedan od 28 MIEE Srbije ( Microsoft Innovative Education Experts ), SCIENTIX ambasador za Srbiju, EDMODO ambasador za Srbiju, nagrađivan i učesnik mnogih takmičenja i smotri ( TIO, Šta znaš o sabraćaju, ZEBRA, DABAR, Tesla info cup...) . Na stalnim usavršavanjima – kursevima Europeanschoolnetacademy, Educationmicrosoft, ShoolEducationGateway, inovativan u nastavi , koristi savremene nastavne metode i web 2.0 alate, voli Gamefication in Classroom. Umetnost u matematici Optički ornamenti u nastavi matematike Anđelka Simić Matematika i umetnost su povezane od davnina, a mnoge kompetencije učenika koje su potrebne na časovima matematike razvijaju se na časovima likovne kulture: vizuelno opažanje, stvaralačko mišljenje, radoznalost, mašta, inovativnost, kreativnost, samopouzdanje, kvalitetan grupni rad. Svaka promena u radu na časovima povećava interesovanje učenika, pa će ovom prilikom biti prikazano kako kroz zajedničke časove matematike i likovne kulture učenicima približiti matematiku. Za ostvarivanje svih navedenih ciljeva mogu se koristiti optički ornamenti. Na taj način učenici se upoznaju sa pojmom modularnosti u umetnosti i vrstama modularnosti koje se nalaze na granici između matematike i umetnosti. Pod pojmom modularnost podrazumeva se upotreba izvesnog broja osnovnih elemenata (modula) u cilju konstrukcije većeg broja različitih (modularnih) struktura. Veoma često, izvođenje modularnih struktura je zasnovano na simetriji. Kao primer modularne strukture koja se nalaze na granici između umetnosti i matematike imamo antisimetijske ornamente i njihovo izvođenje iz nekoliko osnovnih elemenata - "Op(tički) mozaik". Posmatranjem ovih ornamenata dolazi se do izvesnog uznemirujućeg vizuelnog utiska koji ovi ornamenti proizvode: stalnog utiska treperenja, koji nastaje kada oko naizmenično uočava crni i beli ornament, oscilujući između njih. Iz "crno-belih" osnovnih elemenata dobijamo odgovarajuće crno-bele ornamente. Niz takvih ornamenata izvedenih iz nekoliko osnovnih gradivnih elementa predstavlja "Op(tički) mozaik". Većina antisimetrijskih ornamenata može biti izvedena koristeći samo jedan osnovni element.
  • 11. Ako pokušamo da objasnimo šta vidimo kao jedan objekat, zaključićemo da ustvari uvek vršimo izbor u okviru beskonačnog niza objekata. Iz ove beskonačnosti, naša percepcija se najčešće opredeljuje birajući samo jednu "prirodnu" ( najverovatniju, ili često najjednostavniju moguću) interpretaciju. Pre nego što otpočne radionica tokom koje će se učenici baviti optičkim ornamentima, učenike treba upoznati sa pojmom i vrstama modularnosti u umetnosti i uopšte vezom između matematike i umetnosti. Tokom radionice učenici su podeljeni u grupe. Sve grupe dobijaju potreban material za rad: papire na kojima se nalaze osnovni elementi (slika 1), makaze, lepak i beli papir. Slika 1. Papir sa osnovnim elementima Učenici seku dobijeni material (slika 1) u cilju dobijanja osnovnih elemenata (slika 2) koje će nakon toga koristiti za slaganje složenijih struktura. Slika 2. Osnovni elementi Osnovni elementi, koje posle sečenja imamo na raspolaganju, su 5 različitih crno-belih kvadrata (slika 2). Princip formiranja ornamenata koristeći prva dva kvadrata sa sistemom dijagonalnih paralela korišćen je i u paleolitskoj umetnosti. Prelepe strukture mogu se dobiti korišćenjem samo jednog ili oba ova kvadrata željeni broj puta. Ovaj skup osnovnih elemenata proširen je antisimetričnim kvadratom i kvadratima na kojima crno-bele paralele vizuelno formiraju kružne lukove. Kombinacijom ovih osnovnih elemenata učenici formiraju složenije strukture, a pritom koriste kvadrate koje žele u broju koji im je potreban za željenu strukturu. Kvadrati se mogu ređati jedan do drugog, tj. ivicu uz ivicu, ali mnogo interesantniji motivi dobijaju se pomeranjem kvadrata. Takođe, od ovih elemenata mogu se praviti i slova koja su jasno vidljiva ako sliku gledamo pod odgovarajućim uglom. Kada slože ornament, odnosno formiraju svoju “beskonačnu” strukturu, potrebno je da je zalepe na beli papir. Zbog lepote optičkih ornamenata i utiska koji ostavljaju na svakog pojedinca, sigurno je da će se svi učenici, bez oklevanja, uključiti u rad.
  • 12. Na kraju se prezentuju radovi i razgovara se o tome gde vidimo matematiku u svim ovim radovima (simetrija, antisimetrija, rotacija, nizovi... ). Slika 3. Radovi učenika Osim što na ovaj način razvijamo kvalitetan grupni rad u učionici i podstičemo učenike da istražuju na polju matematike i umetnosti, ornamenti koje su učenici kreirali veoma su povoljni za detaljnije izučavanje sa matematičkog gledišta. Tako, npr. kada iz matematike na red dođe izučavanje složenih figura, zadaci koje sa učenicima možemo da radimo mogu biti upravo ornamenti koje su oni kreirali (slika 3). Zadaci se mogu prilagoditi učenicima u skladu sa njihovim sposobnostima ali i u skladu sa nastavnom temom koja je na programu. Rešavanje matematičkih zadataka učenici, nakon ovakvih časova, doživljavaju kao slaganje slagalice - od jednostavnih elemenata dobijaju se složenije strukture, a rešavanje konkretnog matematičkog zadatka je samo slaganje konkretnih elementarnih znanja za određenu oblast. Nakon ovakvih radionica, učenici više ne vide matematiku samo kroz formule i sama pomisao na matematiku, učenicima je pomisao na lepotu njene primene i na poseban osećaj koji optički ornamenti izazivaju u nama. Kruna celokupnog mog dosadašnjeg rada sa Optičkim ornamentima, je kolekcija nakita koji je inspirisan lepotom optičkih ornamenta. Nakit inspirisan optičkim ornamentima
  • 14. „Moja memorija funkcioniše!“ ili sistem MMF Darina Poljak Matematika je nauka, koju sam zavolela vrlo rano. Razne igre, matematičke mozgalice, kvizovi, rebusi, istraživački zadaci bili su moja svakodnevica od malih nogu a tu ljubav su gajili, zalivali i prihranjivali svi u mom životu – moji roditelji, učiteljica Anna, nastavnica Katarina i profesorka Branka, kojima se ovim putem zahvaljujem. Matematičke zadatke volim da posmatram kroz život, i tako ih često prenosim svojim prijateljima ako me pitaju za savet. Po struci sam profesorka informatike, ali matematika je ostala moja prva ljubav. Neke stvari je potrebno znati „u sekundi“ kako bi se lakše rešio zadatak, te imam jednu „priču“ za stepenovanje dvocifrenih brojeva, pomoću koje učenici u roku od 5-10 min nauče stepene brojeva od 11-20. Kada je to moguće, povezujem priču sa stvarnim likovima (brat, sestra, prijatelji koje poznaju…) Najpre: 112 = 1 i 1 se malo razmaknu a cifra 2 „upadne“ između njih. Dakle 112 = 121 12 i 15 = su dve sestre (kao npr. Kao ti, Darko i tvoja starija sestra Monika). 12 je mlađa sestra (to si ti) i njen stepen se završava sa DVE četvorke (jer 22 je 4), dok je (tvoja) starija sestra 15 i njen stepen počinje sa DVE dvojke (jer je 52 =25 ). Dakle: 122 = 144 i 152 = 225 13 i 14 su braća blizanci, svako od vas poznaje neke blizance (npr. Dejan i Denis). Zašto? Zato što imaju iste cifre, ali su poređane tako što se kod „mlađeg“ 6 okrene i dobijemo 9, a kod starijeg okrenemo 9 i dobijemo 6… 132 = 169 142 = 196 16 i 25 su mlađa sestra i stariji brat (npr. ti i tvoj dosta stariji brat Adrian). Zašto? Zato što imate iste brojeve, samo je kod mlađeg člana porodice cifra 6 na kraju (25 i 6) a kod starijeg člana cifra 6 na početku ( 6 i 25). Dakle: 162 = 256 a 252 = 625 Sad ponovimo ove brojeve tako što zažmurimo oči...tu ispitujem „random“ stepene brojeva od 11 do 16, kako bi se dete setilo moje priče. Obično dobijam odmah tačne odgovore kod 90% učenika. Kada se uverimo da nas sećanje odlično služi, dodaćemo još 3 broja, koja ćemo upamtiti.
  • 15. Stepen broja 17 počinje isto cifrom 2. Broj 17 se završava sa cifrom 7.. i onda nastavimo da brojimo – 8…9… (dopisujem iza cifre 2 cifre 8 i 9) 172 = 289 E sada prelazimo na cifru 3 ( pišem je u svesku ili na tablu ) kojom počinje stepen broja 18. Postavljam pitanje: Koliko je 8 x 3? ( pokazujem na cifru 8 iz broja 18 i cifru 3 koju sam upravo napisala…) Dobijem odgovor: 24 i odmah upisujem iza cifre 3. Dobijamo 182 = 324 192 = 3… Ovaj broj takođe počinje cifrom 3 i postavljam jednostavno pitanje – koliko je 9 x 9? ( pokazujem na cifru 9 u broju 19). Učenici obično ozareni očekuju da ću upisati 81 – ali ja upišem 61, slegnem ramenima uz komentar „ali ne upisujem 81 nego 61 a zašto - ne znam, verujte mi!“ 192 = 361 202 = 400 to svi već znaju… I na kraju, pošto već znamo da je 252 =625, kao gratis dopisujem 242 = 576 i 262 = 676 ( jedan broj iznad 25 a drugi ispod ) jer, eto, samo se razlikuju u jednoj stotki, šteta je da ih ne zapamtite…I opet provera prvo redom svi brojevi, a posle i „random“. Dakle, na svom času, a kod mene je to informatika, napravimo kratki predah i povežemo se sa ovom temom, najčešće je to u 7.razredu, pošto znam da su ovi stepeni jako važni kod binomskih formula, i dodajem „vetar u leđa“ i malo samopouzdanja učenicima. Ponovimo to i u 8.razredu, najčešće zbog slabijih učenika ali izbog završnih ispita koji se približavaju – opet sa istom namerom. :D “Ja sam zadovoljna kad vidim ta ozarena lica slabijih učenika koji postaju svesni da i oni mogu da zapamte tako te brojeve zbog kojih, eto, nisu baš voleli stepenovanje i korenovanje… a i vrlo dobri pa i dobri učenici posle ove naše priče lakše dobiju po neku peticu.” Darina Poljak
  • 16. „Maths in English, please!” Ivica Gregurec, mag.educ. učitelj savjetnik OŠ Đure Deželića Ivanić-Grad Sažetak: Kroz razredni projekt „Maths in English, please !“ poznati učenike s osnovnim nazivljem vezano za Algebru i Geometriju u 5. razredu osnovne škole školske godine 2107./18. Projekt je provođen u sklopu redovne nastave matematike, pretežno zadnji sat u mjesecu. U sklopu projekta doveo sam na sat matematike gošću, izvornu govornicu engleskog jezika koja je svoje školovanja završila u Australiji. Rješavali smo zadatke koje su nam poslali partneri u eTwinning projektima. Oni su snimili film na kojima su zadaci bili na engleskom i njihovom materinjem jeziku. Sami su odlučivali na koji će način prezentirati dobivene rješenja ( GeoGebra, PPT, preslike u word, plakat, …). Ključne riječi: Engleski jezik, matematika, učenički radovi, redovna nastava matematike u osnovnoj školi, eTwinning projekti Početkom školske godine 2017./18. započeo sam s projektom „Maths in English, please!“ u 5.a i 5.b razredu OŠ Đure Deželića Ivanić-Grad, 5.c je izostavljen iz projekta jer u tom razredu ne predajem. Na prvim roditeljskim sastancima u 5. razredu iznio sam ideju o projektu te dobio usmenu potporu. U sklopu plana i programa matematike u 5. razredima krajem mjeseca predvidio sam jedan sat mjesečno kako bi upoznao učenike s nazivljem za obrađeno gradivo. Cilj projekta nije bio govoriti na engleskom jeziku, već upoznati učenike sa nazivljem za obrađeno gradivo na redovnim satovima matematike. Moram reći da mi je velika pomoć bila učenica kojoj hrvatski nije materinji jezik jer kod kuće pretežno govore engleski ili portugalski. Nastava matematike u 5. razredu počinje s Prirodnim brojevima. Prirodne brojeve su već naučili izgovarati na engleskom jeziku, ali ne i pročitati zapis s osnovnim računskim operacijama te kako se zapisuju i čitaju ( slika 1.)
  • 17. ZNAMENKE / DIGITS : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 BROJ / NUMBER : 5 123 456 ( CRO) 5, 123.456 ( ENG) CRO : pet milijuna sto dvadeset i tri tisuće četiristo pedeset i šest ENG : five million one hundred twenty- three thousand and four hundred fifty- six Slika 1. Zapis i čitanje prirodnih brojeva Nakon toga upoznati su sa svim osnovnim računskim operacijama i način na koji se čita što je zapisano ( Slika 2. ) . Dodatni zadatka je bio da uz engleska nazive napišu i hrvatske. MNOŽENJE / MULTIPLICATION 7 x 3 = 21* ČITAMO: SEDAM PUTA TRI JE DVADESET JEDAN. READ : SEVEN TIMES THREE EQUALS TWENTY-ONE *U ENGLESKOM GOVORNOM PODRUČJU ZA ZNAK MNOŽENJA UOTREBLJAVA SE x Slika 2. Računske operacije u skupu prirodnih brojeva Kako bi provjerili je li ispravan način čitanja prirodnih brojeva i zapisa računskih operacija te kako bi saznali više o školovanju i nastavi matematike u Australiji, imali smo gošću na satu matematike. Gošća je bila gospođa Stella Martins, koja je svoje školovanje, diplomirana ekonimistica, završila u Australiji. ( slika 3.) . Učenici su pred njome čitali prirodne brojeve i rješavali govoreći što rade, zadatke s osnovnim računskim operacijama u skupu prirodnih brojeva.
  • 18. Slika 3. Gošća na satu matematike Nakon Prirodnih brojeva slijedila je Djeljivost. Koristeći mogućnost povezivanja preko eTwinninga, zamoli smo partnere u projektu da nam pošalju zadatke vezane za djeljivost na materinjem i na engleskom jeziku. Učenici su radili u nehomogenim grupama, izabrali su zemlju iz koje će rješavati zadatak ( Slika 4. ), pogledali film koji smo dobili ( Slika 5.), te preveli zadatak koji mi je bio postavljen na engleskom i materinjem jeziku učenika koji su poslali zadatke ( slika 6.) THE TASK FROM SERBIA (in Gypsy language translated in English ) The bus and the train were being at the station at 12 o’clock. The same train passes through the station every 1 and half hour and the bus every 2 hours. When will they meet at the same station again? Slika4. Zastave zemalja iz koji su pristigli zadatci Slika 5. Slika iz filma iz Armenije Slika 6. Zadatak iz Srbije. Učenici su rješavali zadatke izrađujući plakate, podijelili su si zadatke. Na plakat su zalijepili tekst zadatka na engleskom jeziku i preveli ga na hrvatski jezik. Na kraju sata je netko od učenika objasnio kako su preveli i riješili izabrani zadatak. ( Slika 7.)
  • 19. Slika 7. Rješenje zadatka iz Poljske Kada smo radili geometriju, učenici su upoznati s osnovnim pojmovima vezani za Skup točaka u ravnini. Usporedno smo ponovili nazive na hrvatskom te naučili kako se što kaže na engleskom jeziku. Provjerili smo postoje li razlike u označavanju pojedinih geometrijskih pojmova, likova, njihovih odnosa i veličina ( Slika 8. a, b). Slika 8.a) kut Slika8.b) Vrste kutova
  • 20. Svakako treba napomenuti da su samo nazivlje na engleskom ponavljali za mnom kako bi ispravno izrekli nazivlje. Vezano za razlomke nismo imali sat na engleskom jeziku kako se razlomci u cijelosti rade u 6. razredu te sam to predvidio da bi radili sljedeće godine. Kod decimalnih brojeva učenici su bili s dijelovima decimalnog broja ( Slika 9. ) upoznati s zapisom decimalnih brojeva ( slika 10. ), čitanjem decimalnog broja ( slika 11.) i načina kako se kod zbraja ( slika 12. ) i oduzimaju potpisuju decimalni brojevi. Učenici su samostalno nakon toga čitali decimalne brojeve na engleskom jeziku. Slika 9. Dijelovi decimalnog broja Slika 10. Zapis decimalnog broja Slika 11. Čitanje decimalnog broja Slika 12. Zbrajanja decimalnih brojeva Zaključak: Ovakvim načinom rada učenici/ice stječu dodatne sadržaje koji nisu predviđeni redovnim planom i programom. Kako nisu obavezni sadržaji, to su dodatne informacije koje im olakšavaju rad u eTwinning projektima i razmjeni stečenih znanja s učenicima/ama diljem Europe. U razgovoru s učenicima/ama i njihovim roditeljima imam podršku da i do godine nastavim s ovakvim razrednim projektima. Literatura i izvori : 1) Slikovni rječnik srpsko - hrvatski – engleski rječnik, Cankarjeva založba, Ljubljana, 2) Google translate, https://translate.google.hr/m/translate?hl=hr 3) Teach Starter, Obrazovna web-stranica Ashgrove, Queensland, Australia https://www.teachstarter.com/ 4) eTwinning
  • 21. Upotreba IKT tehnologije u učeničkim radovima u nastavi matematike u osnovnoj školi Ivica Gregurec, mag.educ. učitelj savjetnik OŠ Đure Deželića Ivanić-Grad Sažetak: Prezentirati neke od učeničkih radova koji su ostvareni koristeći IKT tehnologiju u redovnoj nastavi matematike u 5., 7. i 8. razredu osnovne škole. U nastavi matematike učenici su koristili GeoGegru kako bi rješavali zadatke na satu, redovnu domaću zadaću, dodatne zadatke za domaću zadaću ili zadatke vezane za eTwinning projekte. Sami su odlučivali na koji će način prezentirati dobivene rješenja ( GeoGebra, PPT, preslike u word, …). Ključne riječi: IKT tehnologija, GeoGebra, učenički radovi, redovna nastava matematike u osnovnoj školi, domaća zadaća, eTwining projekti Od školske godine 2015/.16. uveo sam na satove matematike upotrebu GeoGebre kod rješavanja zadataka koji se postavljaju pred učenike. Prije nego što sam počeo s tim projektom savjetovao sam se s višom savjetnicom profesoricom Draženkom Kovačić koja mi je dala usmeno odobrenje. Te godine predavao sam matematiku u sedmim razredima i umjesto ponavljanje gradiva i inicijalnog ispita na početku godine upoznao sam učenike s GeoGebrom i osnovnim naredbama kako bi učenici mogli primjenjivati taj alat. Učenici su Geogebru mogli instalirati besplatno preko službene stranice naše škole. Najveći problem s kojim smo se susreli je bila opremljenost učionice. Kako nismo mogli nastavu imati u učionici informatike, učenici su donosili svoja prijenosna računala. Radili su u nehomogenim grupama kako bi jedni drugima mogli pomagati u radu kao što je vidljivo na slikama 1.a) , b), c ).
  • 22. Slika 1. a),b), c) Rad u nehomogenim grupama na satovima matematike Tijekom školske godine, ovisno o nastavnim jedinicama, učenici su koristili IKT tehnologije na satu i kod kuće nakon što su uvježbali rješavati zadatke koristeći geometrijski pribor. Oni koji su željeli, mogli su domaću zadaću rješavati koristeći IKT tehnologiju. Rješenja izrađena pomoću IKT tehnologije su printali i lijepili u bilježnicu. Oni koji nisu imali tu mogućnost meni su na uvid donosili rješenja snimljene na USB-u te sam ja to isprintao u školi. Je li zadaće riješena pomoću geometrijskog pribora ili koristeći IKT tehnologiju nije utjecalo na ocjenu jer su neki od učenika unaprijed izjavili kako nemaju računala kod kuće. Učenici koji su izradili prezentaciju prenoseći korake rješavanja zadataka u obliku PPT-a, donosili su uratke na USB-e, a sakaćeni oblik prezentacije zalijepili u bilježnicu. Učenici koji su bili članovi e-Twinning tima OŠ Đure Deželića Ivanić-Grad, redovito su koristili GeoGebru u projektima u koje smo bili članovi kako bi prezentirali svoja rješenje zadanih zadataka. Nakon uvodnih satova na kojim sam im pokazao osnovne naredbe u GeoGebri te rješavanje jednostavnijih zadatak: crtanje točke, dužine, pravca, kružnice, usporednica, okomica, točke presjeka , geometrijskih likova i slično, učenici su u nehomogenim grupama pokušali nacrtati isto. Prve zadatke koje su zajednički rješavali su bile modeli rozete što je vidljivo na slikama 2.a),b),c) Slika 2.a) Model rozete sa crkve sv. Jakova u Barbanu ( grupa učenika 7.b) Slika 2.a) Model rozete sa crkve sv. Marina biskupa u Dugom Selu ( grupa učenika 7.b) Slika 2.c) Model rozete s Zagrebačke katedrale ( grupa učenika 7.a) Kasnije su se neki od učenika sami počeli osmišljavati i rješavati zadatke iz redovne nastave matematike. Na slikama 3.a) i b) vidljivi rješenja zadataka koji su učenici osmislili i riješili vezano za pravokutni koordinatni sustav u ravnini.
  • 23. Slika 3.a) Crtanje u pravokutnom koordinatnom sustavu ( N. Marasović, 7.b) Slika 3.b) Crtanje u pravokutnom koordinatnom sustavu ( K. Žučko, 7.a) Do kraja sedmog razreda ovisno o nastavnim jedinicama, sve je veći broj učenika primjenjivao IKT tehnologiju u rješavanju zadataka iz domaće zadaće. Neki su rješavali cijelu zadaću, a neki samo pojedine zadatke. Na slici 4.a je vidljivo rješenje zadatka „Duljinu dužine 7.2 cm podijeli u omjeru 2:5. Dobivene su dužine stranice toga pravokutnika. Konstruiraj taj pravokutnik“, a na slici 4.b) rješenje zadatka „Konstruiraj jednakokračni trokut ako mu se duljine stranice odnose kao 1:6. Na slici 4.c),d) rješenje zadatka „Konstruiraj pravilne mnogokute (osmerokut i dvanaesterokut) .“ Slika 4.a) Dijeljenje dužine u omjeru i konstrukcija pravokutnika ( A. Treppo,7.b ) Slika 4.b) Dijeljenje dužine u omjeru i konstrukcija jednakokračnog trokuta ( A.M. Blažan,7.a ) Slika 4.c) Konstrukcija pravilnog mnogokuta osmerekut ( E. Zetica , 7.a ) Slika 4.d) Konstrukcija pravilnog mnogokuta dvanaesterokut ( E. Furmek, 7.a ) Treba napomenuti da neki od učenika nisu koristili sve mogućnosti GeoGebre te ima nepotrebnih koraka u korištenju alata, ali su njihova rješenja zadataka točna. Osmi razredu započeli smo izradom replika apstraktnih umjetničkih djela koristeći Geogebru. Učenici su nakon prezentacije o apstraktnom slikarstvu, prvo izradili svoje zamisli koristeći geometrijski pribor. Nakon toga su pokušali izraditi iste koristeći IKT tehnologiju. Korelacijom matematike i likovne umjetnosti upotpunili su svoje vještine koristeći GeoGebru. Na slikama 5.a), b) prikazane su neki od njihovih uradaka. Slike 5.a) „Maska“( A.Treppo, 8.b ) Slike 5.b) „GMO riba“ ( P. Sporiš, 8.b )
  • 24. Na kraju cjeline Pitagorin poučak jedan od dodatnih zadatak je bio koristeći IKT tehnologiju, GeoGebru, izraditi spiralu drugog korijena. Neki od učeničkih radova vidljivi su na slikama 6.a), b), c). Učenici radili svoje uratke i prezentacije u desetak koraka. Slika 6.a)Spirala drugog korijena ( M. Starčić, 8.a ) Slika 6.b)Spirala drugo korijena ( M. Iverović, 8.b ) Slika 6.c)Spirala drugog korijena ( G. Hemen, 8.a ) Kod Geometrije prostora učenici koristeći IKT tehnologije su prikazivali odnos u prostoru. Odnos pravaca u prostoru vidljiv je na slici 7.a). Jedan od odnosa dviju ravnina kada se ravnine sijeku u prostoru vidljiv je na slici 7.b). Učenici su svoje radove prezentirali preko PPT-a. Slika 7.a) Odnos pravaca u prostoru ( M. Bećarević, 8.b) Slika 7.b) Presjek dviju ravnina u prostoru. ( M. Medved , 8.b) Kod Preslikavanja ravnine dodatni zadatak je bio „Istraži i prikaži jednu od preslikavanja ravnine kao primjenu u svakodnevnom životu“. Korelacija je prikazana tako da je sadnja u vrtu poslužila kao predložak za translaciju što je vidljivo na slici 8.a), vrtnja spinera je poslužila za prikaz rotacija što je vidljivo na slici 8.b), učenica koja je ljubiteljica književnosti istražila je pisanje slova „D“ u različitim pismima. Simetrije na slovu „D“ zapisano na uglatoj glagoljici vidljive su na slici 8.c). Učenici u svoje radove prezentirali preko PPT-a. Slike 8.a ) Primjena translacije - sadnja u vrtu ( G. Hemen, 8.a ) Slika 8.b ) Primjena rotacije - spiner ( G. Baković, 8.a) Slika 8.b ) Simetrije - uglata glagoljica, slovo „D“ ( P.Sporiš, 8.b ) Učenički radovi su preko e-Twinning projekata „Math and drawing with GeoGebra“, „My country is math beautiful“ i „Applied Mathematics in everyday life“ prezentirani ostalim učenicima diljem Europe. Svako treba istaknuti da smo e-Twinning projektom „Applied Mathematics in everyday life“ osvojili 1. nagradu „Nagrada COMET“ za najbolji projekt u kategoriji viših razreda osnovnih škola u Republici Hrvatskoj. Priznanje za projekt, odluku o nagradi i dodjelu nagrade možete vidjeti na slikama 9.a), b), c).
  • 25. Slike 9.a), b), c) Priznanje, odluka o nagradi i dodjela nagrade za projekt „Applied Mathematics in everyday life“ Školske godine 2017./18. matematiku predajem u 5.a i 5.b. Na isti način krenuo sam s upotrebom IKT tehnologije, u prvom redu GeoGebre, na satovima matematike. Za sada manji broj učenika koristi IKT tehnologije u samostalnom radu. Svakako treba izdvojiti uratke L.Počuča, 5a koji postiže izuzetne rezultate kroz natjecanja iz Informatike. Na slikama 10.a) crtanje kuta zadanog iznosa, b) iznos susjednih kutova vidljivo je kako učenik rješava zadatke iz domaće zadaće vezano za cjelinu Skup točaka u ravnini. Slika 10.a) Crtanje kuta zadanog iznosa Slika 10.b) Iznos susjednih kutova Neke od učeničkih radova možete vidjeti na : 1) Izrađene u GeoGebri https://www.geogebra.org/?lang=bs 2) Prezentacije učeničkih radova ( PPT) https://app.emaze.com/user/ivica.gregurec Zaključak: Ovakvim načinom rada učenici samostalno primjenjuju IKT tehnologiju korelirajući rješavanje probleme vezane za nastavu matematike i iz svakodnevnog života. Svakako se moglo još više postići kada bi imali dodatne satove matematike za naprednije učenike i bolje opremljene učionice u kojima se izvodi nastava. Smatram da je ovako, prema Bloomovoj taksonomiji, ostvareno stvaranja novih ideja, stvaranja novih obrazaca za posebne situacije ili slučajeve, izražavanje samopoštovanja i poštovanja prema drugima, spremnost za suradnju, mogućnost utvrđivanja objektivnih kriterija procjene, marljivost, samodisciplina i da učenici stvaraju pozitivnu sliku o sebi. Literatura: 5) grupa autora : Udžbenik i zbirka zadataka Matematika 5, Profil, Zagreb ,2013. 6) grupa autora : Udžbenik i zbirka zadataka Matematika 7, Profil, Zagreb ,2013. 7) grupa autora : Udžbenik i zbirka zadataka Matematika 8, Profil, Zagreb ,2013.
  • 26. 8) Matijević, M.: Ocjenjivanje u osnovnoj školi, Tipex, Zagreb, 2004. 9) grupa autora: Planiranje i evaluacija obrazovnog procesa. (U) Psihologija obrazovanja, IEP, d.o.o. Zagreb. 2003. глобалу: Проблемски задатак: Сабирање и одузимање полинома (седми разред) Милан Вучетић Разлог постављања овог проблема: Ученици врло често знају дефиницију полинома али не знају да је примене. Код сабирања полинома мешају правила сабирања и множења реалних бројева, мешају степене и константе. Веома често не уочавају шта је са чим поребно сабрати или од чега је шта потрено одузети. За постављени задатак у којем је потребно сабрати полиноме добијамо различите, некад и неочекиване резултате, посебно у „новије“ време. Тако, на пример, за постављени задатак: -2x+3x2 +3x, добијамо резултате: 4x или 4x2 , или 4x5 . На пример, за резултат 4x2 , на питање да образложе како, добијамo, на пример, одговор: -2+3+3=4, -x+x2 +x=x2 , 4*x2 =4x2 . Класични пример је сабирање 2x+2x=4x2 . Оваквих и сличних примера, заиста има много и потребно је осмислити најбољи начин рашавања таквог проблема. Циљ је да ученици развијају знања из области сабирања и одузимања (у скупу R бројева) , да их проширују а затим и примењују на наставну тему полином, да се оспособљавају за разликовање чланова полинома и да на основу тога буду оспособљени за операције сабирања и одузимања полинома Час је осмишљен тако да се ученици поделе у групе. Групе могу међусобно сарађивати само ако задатак тако захтева и не могу се мешати у рад других група. На претходном часу мора бити спроведен део припреме ученика за следећи час: Наставник подели ученике по групама, тако да у свакој групи, по могућству буду ученици различитог нивоа знања. Наставник саопшти ученицима да на следећи час: По један ученик из сваке групе донесе једну картонску кутију; Свако од ученика од картона направи (нацрта, обоји и изреже) по: три кромпира, три лука, три шаргарепе; Свако од ученика донесе: 3 кована новчића од по 1 динар, 1 фломастер, два папира формата А4,2 цедуљице; Прибор који редовно носе на час математике. Тема часа: Сабирање и одузимање полинома-Бакине намирнице су увек уредно сложене Ученици се на почетку часа, по договору, поделе у групе а наставник одреди које ће групе међусобно сарађивати 1 група написаће на својој кутији: бака Јанина кутија 2 група написаће на својој кутији: бака Марина кутија 3 група написаће на својој кутији: бака Дарина кутија
  • 27. Свака од група поређа у кутију донете „намирнице“ направљене од папира, и то по 8 кромпира, 8 шаргарепа, 8 лука и негде у угао кутије стави 10 кованица од по један динар. Наставник им скрене пажњу на то да би било боље поређати исте „намирнице“ једну до друге, колико год је то могуће. (узели смо број 8 за сваку од имитација намирница као и за новац, рачунајући на то да најмањи број чланова групе буде 4) Наставник свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке: Текст на папиру за прву групу: „Дечице, Тата и мама су, као што знате, на послу, дека сређује башту а и бака је од јутрос морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Договорила сам се и са бака Маром, да када завршите бројање и слагање намирница и новца у кутији и све ми то уредно запишете, онако како бака воли, да неко од вас оде до ње и узме неке ствари које ћу вам касније набријати. Ево шта би бака волела да урадите уместо ње: 1. Молим вас, пребројите колико чега има у кутији 2. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то, на пример овако: 2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. 3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире у један крај кутије, шаргарепе поред, лук поред и на крају, у други крај кутије ставите новац 4. Нека неко од вас оде до бака Маре и узме 2 лука, 3 шаргарепе, 1 кромпир и 5 динара. 5. Када намирнице и новац донесете, молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем реду на папиру, допишете и то што сте донели, и то онако како бака воли. (Узели сте 2 лука, 3 шаргарепе, 1 кромпир и 5 динара, значи могли би сте да запишите н апример овако: 2 лука + 3 шаргарепе + 1 кромпир + 5 динара. Али, пошто се ја не сећам како ствари стоје у кутији, ви то напишите тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите једне испод других, а новац испод новца. ) 6. На исти начин поређајте у кутију ствари које сте донели. Значи трудите се да у кутију не буде „хаос“ па да бака после не може да нађе где је шта. Тамо где је су кромпири, додајте кромпире, тамо где су шаргарепе, додајте шаргарепе и тако редом за све. Нека новац буде на другом крају кутије
  • 28. 7. Сада све то што сте написали на папиру у претходна два реда напишите заједно у трећем реду. Олакшајте баки, па се трудите да исте намирнице буду једна поред друге. На пример: 1 кромпир + 2 кромпира+...нека динари буду на самом крају реда -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ. Знам да сте приметили да је непотребно да пише на пример 3 кромпира + 4 кромпира, јер и сами знате да је то у ствари 7 кромпира 8. Зато, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате па у следећем-четвртом реду испод запишите колико чега сада има, на пример: 15 кромпира + 10 шаргарепа.... 9. Пребројите намирнице и новац у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти начин како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ИСТЕ СТВАРИ МОЖЕМО САБИРАТИ СА ИСТИМ СТВАРИМА А РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ НЕ МОЖЕМО А када се бака врати, од тога што сте сакупили, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Јана“ Текст на папиру за другу групу: „Дечице, Тата и мама су, као што знате, на послу, дека сређује башту а и бака је од јутрос морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Договорила сам се и са бака Јаном, да ћемо разменити неке ствари. Доћи ће неко од њених унучића да узме нешто што сам јој обећала. Потрудите се да будете љубазни. Ево шта би бака волела да урадите уместо ње: 1. Молим вас, пребројите колико чега има у кутији 2. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то, на пример овако: 2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. 3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире у један крај кутије, шаргарепе поред, лук поред и на крају, у други крај кутије ставите новац 4. Када неко од бака Јаниних унучића дође и затражи то што сам јој обећала ви им дајте 5. Сада испод онога што сте већ записали на папиру,у следећем-другом реду запишите и колико је чега узето. На пример ако је узето 3 лука, 1 шаргарепа, 2 кромпира и 3 динара, могли би сте то да запишите на пример овако: -3 лука - 1 шаргарепа - 2 кромпира -3 динара. Али,
  • 29. изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите једне испод других, а новац испод новца. 6. На исти начин опет поређајте у кутију ствари које су остале. Значи трудите се да у кутију не буде „хаос“ па да бака после не може да нађе где је шта. Тамо где је су кромпири, нека буду само кромпири, тамо где су шаргарепе, нека буду само шаргарепе и тако редом за све. Нека новац буде на другом крају кутије 7. Сада све то што сте написали на папиру у претходна два реда напишите заједно у трећем реду. Олакшајте баки, па се трудите да при записивању исте намирнице буду једна поред друге. На пример: 7 кромпира - 2 кромпира +...нека динари буду на самом крају реда -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ. Знам да сте приметили да је непотребно да пише на пример 7 кромпира - 2 кромпира, јер и сами знате да је то у ствари 5 кромпира 8. Зато, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате па у следећем-четвртом реду испод запишите колико чега сада има, на пример: 5 кромпира + 1 шаргарепа.... Пребројите намирнице и новац у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти начин како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ОД ИСТИХ СТВАРИ МОЖЕМО ОДУЗИМАТИ САМО ИСТЕ СТВАРИ ДОК ТО ЗА РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ НЕ ВАЖИ 9. Пребројите намирнице и новац у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти начин како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ИСТЕ СТВАРИ МОЖЕМО САБИРАТИ СА ИСТИМ СТВАРИМА А РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ НЕ МОЖЕМО А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Мара“ Текст на папиру за трећу групу: „Дечице, Тата и мама су, као што знате, на послу, дека сређује башту а и бака је од јутрос морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим вас, 1. Пребројите колико чега има у кутији 2. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то, на пример овако: 2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара.
  • 30. Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. 3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире у један крај кутије, шаргарепе поред, лук поред и на крају, у други крај кутије ставите новац Такође, договорила сам се са бака Маром, да ћу јој данас када се вратим сама вратити неке ствари које сам пре неки дан позајмила од ње и да ће она мени вратити неке ствари које сам ја њој позајмила. Дугујем јој 3 кромпира, 2 лука а она ће мени вратити 3 шаргарепе и 2 динара. 4. Испод тога што сте већ написали, у следећем-другом реду, на папиру, допишете колико чега дугујем бака Мари и колико чега ћу узети од ње. Оно што дугујем запишите као дуг, на пример -3 кромпира а оно што ћу узети од ње и додати у своју кутију напишите на пример овако +3 шаргарепе. Дугујем 2 кромпира и 3 лука а додајем у своју кутију 3 шаргарепе, и 2 динара, значи могли би сте да запишите н апример овако: - 2 кромпира – 2 лука + 3 шаргарепе + 2 динара. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите једне испод других, а новац испод новца. 5. На исти начин опет поређајте ствари у кутији. Значи трудите се да у кутију не буде „хаос“ па да бака после не може да нађе где је шта. Тамо где је су кромпири, нека буду само кромпири, тамо где су шаргарепе, нека буду само шаргарепе и тако редом за све. Нека новац буде на другом крају кутије 6. Сада све то што сте написали на папиру у претходна два реда напишите заједно у трећем реду. Олакшајте баки, па се трудите да при записивању исте намирнице буду једна поред друге. На пример: 8 кромпира - 2 кромпира +...нека динари буду на самом крају реда -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ. Знам да сте приметили да је непотребно да пише на пример 8 кромпира - 2 кромпира, или 5 шаргарепа + 3 шаргарепе јер и сами знате да је то у ствари 5 кромпира и 8 шаграрепа 7. Зато, на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико чега ће бити када додамо намирнице од бака Маре и када јој вратимо дуг, па у следећем реду испод -четвртом запишите колико чега ће остати у кутији, на исти начин како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ИСТЕ СТВАРИ МОЖЕМО САБИРАТИ ИЛИ ОДУТИМАТИ СА ИСТИМ СТВАРИМА А РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ ТО НЕ ВАЖИ 8. Извадите из кутије оне намирнице које ћемо вратити а на цедуљицу напишите број намирница или новаца које ћемо још додати у кутију-тако ћете проверити да ли се број намирница и новца које сте добили израчунавањем поклапа са бројем намирница и новца кји ће остати у кутији А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Дара“
  • 31. Други сео часа: Сабирање и одузимање полинома-Бакине намирнице за тајни рецепт Наставник саопшти ученицима да врате једни другима узете ствари и да у сваку кутију опет ставе по 8 кромпира, 8 шаргарепа, 8 главица лука и по 8 кованица од један динар, као и да замене групе. Прва постаје друга, друга постаје трећа а трећа постаје прва, на пример. Наставник опет свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке: Текст на папиру за прву групу: „Дечице, Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Ви знате да ми баке љубоморно чувамо своје рецепте а све то да би смо вама спремали најлепше посластице. Договорила сам се са бака Маром да једно од вас оде до ње и узме неке ствари за које смо се нас две договориле. Али пошто сумњам да неко ко испија кафу са бака Маром можда може открити како правимо наше специјалитете и које намирнице користимо, одлучила сам да их шифрујем. Корисићемо мало математике.Мистериозно, зар не? Али корисно, А може бити и занимљиво... Молим вас, 1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3 , сваку шаргарепу у кутији означите са x2 , сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве... 2. И запишите на папир, колико чега има. Могли би сте написати на пример овако: 2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Али, зар то није превише провидно за оне који шпијунирају наше рецепте? Зато употребите нашу тајну. Шифрујте! Онда би сте могли написати овако: 2 x3 + 3 x2 + 2 x + 10 . Е то је већ нешто! Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене овако како сам вам написала. 3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире то јест x3 у један крај кутије, шаргарепе то јест x2 , поред, лук то јест x поред и на крају, у други крај кутије ставите новац односно ...какп беше...бројеве 4. Када то завршите, нека неко од вас оде до бака Маре и узме 1 x, 2 x2, 4 x3 и 5. Знате о чему говорим, зар не? А и бака Мара зна, заједно сковале овај план. 5. Када намирнице и новац донесете, молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем, другом реду на папиру, допишете и то што сте донели, и то онако како бака воли. Узели сте 1 x, 2 x2 , 4 x3 и 5, значи могли би сте да запишите н апример овако: + 1 x + 2 x2 + 4 x3 + 5. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева.
  • 32. На пример 5x 6x2 7x 4x2 Када то завршите, 6. У следећем реду, трећем, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији и оно што сте додали, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример: 1 x + 2 x +...+3 x2 +345 x2 нека бројеви(константе) буду на самом крају реда. 7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате, 8. Пребројите „намирнице“ и бројеве у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали па у следећем, четвртом реду запишите колико чега сада има, на исти начин како сам вас научила... колико x3 + колико x2 +колико x+........ 9. Поређајте тако да колико x3 буде први по реду па колико x2 други и тако редом....и на крају константа (број) А кад се бака врати, од тога што сте сакупили, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Јана“ Текст на папиру за другу групу: „Дечице, Тата и мама су, као што знате, на опет послу, дека опет сређује башту а и бака опет је од јутрос морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим вас, 1. Употребићемо и мало математике: фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3 , сваку шаргарепу у кутији означите са x2 , сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве... 2. Пребројите колико чега има у кутији 3. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то на папир, на пример овако: 2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Ауххх... заборавих! Не ваља. Никако тако, већ смо то научили...
  • 33. Знате, причала сам са бака Јаном јуче и дошле смо до закључка да неко шпијунира наше намирнице и лако може открити наше рецепте. А знате да ми баке љубоморно чувамо наше рецепте да би смо вама правиле најлепше посластице. Зато смо сковале план. То је наша мала тајна. Сваку намирницу смо шифровали...а бака заборавила да вам каже зашто... Сад запишите на папир, колико чега има. Могли би сте написати на пример овако: 1 x + 2 x2 + 4 x3 + 5. Ово је само пример, а пошто ја нисам стигла ништа да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. Али поштујмо нашу малу тајну. Запишимо у облику оних наших шифара! 4. Такође, договорила сам се са бака Јаном, да ћу јој дати неке намирнице и нешто новца. Када неко од њених унучића дође и узме то што сам јој обећала ви им дајте, 5. Сада испод тога што сте већ записали на папиру, у следећем, другом реду, запишите колико је чега узето. На пример ако је узето 1 x2 , 3 x3 , 3 и 2 x , могли би сте то да запишите на пример овако: -1 x2 -3 x3 - 3 -2 x Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите једне испод других, а новац испод новца. На пример: 5x 6x2 4 -3x - 4x2 5 6. Када то завршите, у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији и оно што сте дали, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример: 5 x - 2 x +...нека бројеви буду на самом крају реда. 7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико сте чега имали и колико сте чега дали па у следећем, четвртом реду, напишите колико чега сада имате, 8. А затим пребројите „намирнице“ и саберите (одузмите) бројеве у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти начин како сам вас научила... Колико сада има x3 + колико сад има x2 ....који број је резултат одузимања 9. Поређајте тако да колико сада има x3 буде први по реду па колико сад има x2 други и тако редом....и на крају константа (број) А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Мара“ Текст на папиру за трeћу групу: „Дечице,
  • 34. Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим вас, 1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3 , сваку шаргарепу у кутији означите са x2 , сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве... 2. Пребројите колико чега има у кутији 3. Сад морамо применити нови начин бројања. Зашто, сигурно се питате. Е...! Није вам бака рекла, али..свашта се по комшилуку прича. Тако сам на пример јуче чула страшну ствар. Неко покушава да открије тајну спремања наших посластица. Шпијуни.... Зато смо бака Јана, бака Мара и ја одлучиле да све намирнице које имамо, шифрујемо. Пошто ја нисам стигла, јер сам јако журила јутрос, препустила сам то вама јер у вас имам неизмерно поверење. Намирнице сте већ шифровали а сада их пребројите поново и запишите на папир, колико чега има, али у облику ових наших шифара. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то на папир. Могли би сте написати на пример овако: 1 x + 2 x2 + 4 x3 + 5. Ово је само пример, а пошто ја нисам ништа стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. Али поштујмо нашу малу тајну. Шифрујмо! 4. Такође, договорила сам се са бака Маром, да ћу јој данас вратити неке ствари које сам пре неки дан позајмила од ње и да ће она мени вратити неке ствари које сам ја њој позајмила. Дугујем јој 3 x3 , 2 x а она ће мени вратити 3 x2 и 2 (динара)...знате о чему причам, зар не? Молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем, другом реду, на папиру, допишете колико чега дугујем бака Мари и колико чега ћу узети од ње. Оно што дугујем запишите као дуг, на пример -3 x3 а оно што ћу узети од ње и додати у своју кутију напишите на пример овако +3 x2 . Значи, дугујем 3 x3 и 2 x а додајем у своју кутију 3 x2 , и 2 (динара), па би сте могли да запишите на апример овако: -3 x3 - 2 x + 3 x2 + 2. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева. На пример: 5x 6x2 4 -3x +4x2 -3 Када то завршите, 5. у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је у кутији и оно ћемо узети из кутије и оно што ћемо додати у кутију, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример: 8 x2 - 2 x2 +...нека бројеви буду на самом крају реда. -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ.
  • 35. И на крају, да се бака не мучи, 6. Израчунајте колико чега ће бити када додамо „намирнице „од бака Маре и када јој вратимо дуг, 7. У следећем, четвртом реду испод запишите колико чега ће остати у кутији, на исти начин како сам вас научила... Колико x2 +или- Колико x3. ... 8. Извадите из кутије „намирнице“ које ћемо вратити а на цедуљицу напишите број намирница или збир бројева које ћемо још додати у кутију па проверите да ли сте тачно израчунали А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Дара“ ДЕТАЉНИЈЕ: Наставна тема: Полиноми Наставна јединица: Сабирање и одузимање полинома Тип часа: Обрада Редни број часа: 67 Циљ часа: Упознавање ученика са рачунским операцијама над полиномима; примена знања из области сабирања и одузимања у скупову Z а затим и у скупу R бројева Очекивани исходи: да ученик зна шта сачињава полином, да зна да разликује чланове полинома, да зна да среди полином, да на основу чињенице да уме да разликује чланове полинома, уме да при сабирању или одузимању, поређа сличне чланове, два или више полинома, један до другог, да зна да сабере или одузме сличне чланове полинома Образовни задаци: Ученици треба да развију знања из области сабирања и одузимања и даље их примене на наставну тему полином Функционални задаци: Да ученици усавршавају вештину брзог и тачног рачунања, да развијају , да их проширују а затим и примењују, да се оспособљавају за разликовање чланова полинома и да на основу тога буду оспособљени за извођење операција сабирања и одузимања полинома, развијају вештине и способности решавања проблемских задатака Васпитни задаци: Ученици треба да развијају: • концентрацију; • способност за упоран и предан рад; • поступност и систематичност у раду; • тачност, прецизност и уредност у раду; • позитиван однос према математици и уважавање математике као подручја људске делатности; • самопоуздање и поверење у властите математичке способности; • навику самоконтроле и критичког мишљења. Кључни појмови: Полином, Сабирање полинома, Одузимање полинома
  • 36. Час развија: вештине рада са подацима и информацијама; вештине сарадање; вештине комуникација на материњем језику Корелација: Хоризонтална: Техничко и информатичко образовање ( израда материјала потребног за извођење часа), Математика (сабирање и одузимање у скупу Z, степен броја) Вертикална корелација: Ликовно васпитање (израда материјала потребног за извођење часа); Српски језик ( Прича) Образовни стамндарди: MA1.2.3. MA2.2.3. Облици рада: Групни рад Наставне методе: Дијалошка, монолошка, илустративна, демонстративна Наставна средства: Уџбеник, Збирка, табла, креда (фломастери), картон, папир А4, мобилни телефон за фотографисање радова Место извођења: Учионица Литература и додатни материјал за наставнике: • Н. Икодиновић, С. Димитријевић Математика 7, уџбеник за седми разред основне школе, Издавачка кућа Klett, Београд, 2011. • С. Милојевић, Н. Вуловић, Математика 7, збирка задатака са решењима за седми разред основне школе, Издавачка кућа Klett, Београд, 2011. Литература и додатни материјал за ученике: • Н. Икодиновић, С. Димитријевић Математика 7, уџбеник за седми разред основне школе, Издавачка кућа Klett, Београд, 2011. • С. Милојевић, Н. Вуловић, Математика 7, збирка задатака са решењима за седми разред основне школе, Издавачка кућа Klett, Београд, 2011 • Милица Вајукић, Ружица Павлићевић “Знам за више“ Математика 7, објашњења и вежбања за боље оцене, Издавачка кућа Klett, Београд, 2016. Напомене: И.О.П: Ученици који раде по индивидуалном образовном плану укључени су потпуно у садржај овог часа кроз рад у групи и у пару у групи са другим учеником који може све да прати и који им помаже у раду. Такође учествују у изради материјала (сецка, боји, распоређује, броји, слаже) Са завршног дела претходног часа:На претходном часу мора бити спроведен део припреме ученика за следећи час. Наставник подели ученике по групама, тако да у свакој групи, по могућству буду ученици различитог нивоа знања Наставник саопшти ученицима да на следећи час: По један ученик из сваке групе донесе једну картонску кутију, Свако од ученика од картона направи (нацрта, обоји и изреже) по: три кромпира, три лука, три шаргарепе,
  • 37. Свако од ученика донесе: 3 кована новчића од по 1 динар, 1 фломастер, два папира формата А4, 2 цедуљице Прибор који редовно носе на час математике Уводни део часа: (2 минута) Ученици се на почетку часа, на основу договора са наставником, поделе у групе а наставник нагласи које ће групе међусобно сарађивати 1 група напише на својој кутији: бака Јанина кутија 2 група напише на својој кутији: бака Марина кутија 3 група напише на својој кутији: бака Дарина кутија Главни део часа: (40 минут) Планирани временски термини за прву половину главног дела часа (20 мин): Планирано време за рад сваке групе: Читање, разумевање, повезивање и консултације са наставником: 4 минута Рад у групи: 7 минута Презентовање резултата 4 минута Питање наставника и закњучак: 5 минута Свака од група поређа у кутију донете „намирнице“ направљене од папира, и то по 8 кромпира, 8 шаргарепа, 8 лука и негде у угао кутије стави 10 кованица од по један динар. Наставник им скрене пажњу на то да би било боље поређати исте „намирнице“ једну до друге, колико год је то могуће. (узели смо број 8 за сваку од имитација намирница као и за новац, рачунајући на то да најмањи број чланова групе буде 4) Наставник свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке: Поруке су наведене у горњем тексту Питање наставника и закључак: 5 минута Шта сте уочили, из колико различитих елемената се састоји добијени израз?
  • 38. Шта мислите зашто кромпир слажемо поред кромпира? Шта представља број испред нпр. кромпира или испред нпр. шаргарепа? Да ли сте могли да сабирате шаргарепе и лук? Да ли шаргарепу можемо заменити неким словом, на промер са а или са? Да ли правила која важе у причи можемо применити на сличне изразе чији ду делови променљиве, нпр x или y? Шта сте дакле могли да сабирате и одузимате? Да ли бисте онда могли да саберете 2 x и 3 x 2 ? А 3 x 2 и 9x 2 ? Закључак: Можемо сабирати само исте (математички-сличне) елементе у наведеним изразима Друга половина главног дела часа(20 мин): Сабирање и одузимање полинома-Бакине намирнице за тајни рецепт Време за рад сваке групе: Читање, разумевање, повезивање и консултације са наставником: 4 минута Рад у групи: 7 минута Презентовање резултата 4 минута Питање наставника и закњучак: 5 минута Наставник саопшти ученицима да врате једни другима узете ствари и да у сваку кутију опет ставе по 8 кромпира, 8 шаргарепа, 8 главица лука и по 8 кованица од један динар, као и да замене групе. Прва постаје друга, друга постаје трећа а трећа постаје прва, на пример. Наставник опет свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке: Текст на папиру за прву групу: Драга дечице, Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Ви знате да ми баке љубоморно чувамо своје рецепте а све то да би смо вама спремали најлепше посластице. Договорила сам се са бака Маром да једно од вас оде до ње и узме неке ствари за које смо се нас две договориле. Али пошто сумњам да неко ко испија кафу са бака Маром можда може открити како правимо наше специјалитете и које намирнице користимо, одлучила сам да их шифрујем. Корисићемо мало математике.Мистериозно, зар не? Али корисно, А може бити и занимљиво... Молим вас,
  • 39. 1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3 , сваку шаргарепу у кутији означите са x2 , сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве... 2. И запишите на папир, колико чега има. Могли би сте написати на пример овако: 2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Али, зар то није превише провидно за оне који шпијунирају наше рецепте? Зато употребите нашу тајну. Шифрујте! Онда би сте могли написати овако: 2 x3 + 3 x2 + 2 x + 10 . Е то је већ нешто! Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене овако како сам вам написала. 3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире то јест x3 у један крај кутије, шаргарепе то јест x2 , поред, лук то јест x поред и на крају, у други крај кутије ставите новац односно ...какп беше...бројеве 4. Када то завршите, нека неко од вас оде до бака Маре и узме 1 x, 2 x2, 4 x3 и 5. Знате о чему говорим, зар не? А и бака Мара зна, заједно сковале овај план. 5. Када намирнице и новац донесете, молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем, другом реду на папиру, допишете и то што сте донели, и то онако како бака воли. Узели сте 1 x, 2 x2 , 4 x3 и 5, значи могли би сте да запишите н апример овако: + 1 x + 2 x2 + 4 x3 + 5. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева. На пример 5x 6x2 7x 4x2 Када то завршите, 6. У следећем реду, трећем, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији и оно што сте додали, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример: 1 x + 2 x +...+3 x2 +345 x2 нека бројеви(константе) буду на самом крају реда. 7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате, 8. Пребројите „намирнице“ и бројеве у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали па у следећем, четвртом реду запишите колико чега сада има, на исти начин како сам вас научила... колико x3 + колико x2 +колико x+........ 9. Поређајте тако да колико x3 буде први по реду па колико x2 други и тако редом....и на крају константа (број) А кад се бака врати, од тога што сте сакупили, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Јана“ Текст на папиру за другу групу: Драга дечице,
  • 40. Тата и мама су, као што знате, на опет послу, дека опет сређује башту а и бака опет је од јутрос морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим вас, 1. Употребићемо и мало математике: фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3 , сваку шаргарепу у кутији означите са x2 , сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве... 2. Пребројите колико чега има у кутији 3. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то на папир, на пример овако: 2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Ауххх... заборавих! Не ваља. Никако тако, већ смо то научили... Знате, причала сам са бака Јаном јуче и дошле смо до закључка да неко шпијунира наше намирнице и лако може открити наше рецепте. А знате да ми баке љубоморно чувамо наше рецепте да би смо вама правиле најлепше посластице. Зато смо сковале план. То је наша мала тајна. Сваку намирницу смо шифровали...а бака заборавила да вам каже зашто... Сад запишите на папир, колико чега има. Могли би сте написати на пример овако: 1 x + 2 x2 + 4 x3 + 5. Ово је само пример, а пошто ја нисам стигла ништа да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. Али поштујмо нашу малу тајну. Запишимо у облику оних наших шифара! 4. Такође, договорила сам се са бака Јаном, да ћу јој дати неке намирнице и нешто новца. Када неко од њених унучића дође и узме то што сам јој обећала ви им дајте, 5. Сада испод тога што сте већ записали на папиру, у следећем, другом реду, запишите колико је чега узето. На пример ако је узето 1 x2 , 3 x3 , 3 и 2 x , могли би сте то да запишите на пример овако: - 1 x2 -3 x3 - 3 -2 x Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите једне испод других, а новац испод новца. На пример: 5x 6x2 4 -3x - 4x2 5 6. Када то завршите, у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији и оно што сте дали, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример: 5 x - 2 x +...нека бројеви буду на самом крају реда. 7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико сте чега имали и колико сте чега дали па у следећем, четвртом реду, напишите колико чега сада имате,
  • 41. 8. А затим пребројите „намирнице“ и саберите (одузмите) бројеве у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти начин како сам вас научила... Колико сада има x3 + колико сад има x2 ....који број је резултат одузимања 9. Поређајте тако да колико сада има x3 буде први по реду па колико сад има x2 други и тако редом....и на крају константа (број) А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Мара Текст на папиру за трћу групу: Драга дечице, Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим вас, 1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3 , сваку шаргарепу у кутији означите са x2 , сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве... 2. Пребројите колико чега има у кутији 3. Сад морамо применити нови начин бројања. Зашто, сигурно се питате. Е...! Није вам бака рекла, али..свашта се по комшилуку прича. Тако сам на пример јуче чула страшну ствар. Неко покушава да открије тајну спремања наших посластица. Шпијуни.... Зато смо бака Јана, бака Мара и ја одлучиле да све намирнице које имамо, шифрујемо. Пошто ја нисам стигла, јер сам јако журила јутрос, препустила сам то вама јер у вас имам неизмерно поверење. Намирнице сте већ шифровали а сада их пребројите поново и запишите на папир, колико чега има, али у облику ових наших шифара. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то на папир. Могли би сте написати на пример овако: 1 x + 2 x2 + 4 x3 + 5. Ово је само пример, а пошто ја нисам ништа стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. Али поштујмо нашу малу тајну. Шифрујмо! 4. Такође, договорила сам се са бака Маром, да ћу јој данас вратити неке ствари које сам пре неки дан позајмила од ње и да ће она мени вратити неке ствари које сам ја њој позајмила. Дугујем јој 3 x3 , 2 x а она ће мени вратити 3 x2 и 2 (динара)...знате о чему причам, зар не? Молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем, другом реду, на папиру, допишете колико чега дугујем бака Мари и колико чега ћу узети од ње. Оно што дугујем запишите као дуг, на пример -3 x3 а оно што ћу узети од ње и додати у своју кутију напишите на пример овако +3 x2 . Значи, дугујем 3 x3 и 2 x а додајем у своју кутију 3 x2 , и 2 (динара), па би сте могли да запишите на апример овако: -3 x3 - 2 x + 3 x2 + 2. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева. На пример: 5x 6x2 4 -3x +4x2 -3
  • 42. Када то завршите, 5. у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је у кутији и оно ћемо узети из кутије и оно што ћемо додати у кутију, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример: 8 x2 - 2 x2 +...нека бројеви буду на самом крају реда. -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ. И на крају, да се бака не мучи, 6. Израчунајте колико чега ће бити када додамо „намирнице „од бака Маре и када јој вратимо дуг, 7. У следећем, четвртом реду испод запишите колико чега ће остати у кутији, на исти начин како сам вас научила... Колико x2 +или- Колико x3. ... 8. Извадите из кутије „намирнице“ које ћемо вратити а на цедуљицу напишите број намирница или збир бројева које ћемо још додати у кутију па проверите да ли сте тачно израчунали А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу. Воли вас ваша бака Дара Питање наставника и закључак: 5 минута Шта сте уочили, из колико различитих елемената се састоји добијени израз? !!! Тврђење: Овакве изразе називамо полиноми Шта представља број испред нпр. x2 или испред нпр. x? !!! Да ли сте могли да сабирате 3x2 и 4x? Шта сте дакле могли да сабирате и одузимате? 3x i 2x? 5x2 i 2x? 4x3 i 2x2 ? 8x2 i 2 x2 ? !!! Закључак: можемо сабирати само сличне елементе у наведеним изразима Завршни део часа: 3 минута Полином је.... Број испред променљиве је....и он служи за ..... Полиноме сабирамо тако што..... Полиноме одузимамо тако што..... Домаћи задатак: Израчунати: а) 3-5, б) 3x + 5x в) 5x2 - 2x2 , г) 5x2 +5x -2x2 +3x д) 5x2 +5x -2x2 +3x +3-5