2013 03 17_computer_science_seminar

474 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

2013 03 17_computer_science_seminar

  1. 1. Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì Åëåíà Èêîííèêîâà Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  2. 2. DPLL àëãîðèòìû Ðàñùåïëåíèå ïî êàæäîé ïåðåìåííîé. Ф x 1= 1 x 1= 0 Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  3. 3. Îòñå÷åíèå Ðåáðà ïîìå÷åíû âåðîÿòíîñòüþ èõ îòñå÷åíèÿ. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  4. 4. DPLL àëãîðèòì ñ îòñå÷åíèåì A âûáèðàåò ïåðåìåííóþ äëÿ ðàñùåïëåíèÿ B âûáèðàåò ïåðâîå ïðèñâàèâàåìîå ýòîé ïåðåìåííîé çíà÷åíèå C îáðåçàåò âåòâè äåðåâà ðàñùåïëåíèÿ Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  5. 5. DPLL àëãîðèòì ñ îòñå÷åíèåì Âõîä: Φ ôîðìóëà â ÊÍÔ. if Φ íå ñîäåðæèò íè îäíîãî äèçúþíêòà then return 1 end if if Φ ñîäåðæèò ïóñòîé äèçúþíêò then return 0 end if x ← A(Φ) c ← B(Φ, x) if C(Φ, x, c) = 1 then if DA,B,C (Φ[x := c]) = 1 then return 1 end if end if if C(Φ, x, 1 − c) = 1 then if DA,B,C (Φ[x := 1 − c]) = 1 then return 1 end if end if return 0 Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  6. 6. Îáçîð òåìû Dmitry Itsykson and Dmitry Sokolov Lower bounds for myopic DPLL algorithms with a cut heuristic. Áëèçîðóêàÿ ïðîöåäóðà èìåþùàÿ äîñòóï ê ôîðìóëå ñ óäàëåííûìè ñèìâîëàìè îòðèöàíèÿ. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  7. 7. Îáçîð òåìû Òåîðåìà Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ñòðîÿùèé çà ïîëèíîìèàëüíîå îò n âðåìÿ íåâûïîëíèìóþ ôîðìóëó Φ(n). Ñóùåñòâóåò δ 0, ò.÷. äëÿ ëþáûõ áëèçîðóêèõ ïîëèíîìèàëüíûõ A è C ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé Rn íà âûïîëíèìûõ ôîðìóëàõ, òàêîå ÷òî åñëè äëÿ íåê. B è ε 0 Prφ←Rn [DA,B,C (φ) = 1] ≥ 1 − ε, òî âðåìÿ ðàáîòû DA,B,C(Φ) íå ìåíåå (1 − ε)2N , ãäå N = min{nδ , r /K } è r = Ω(n). Ïðè ýòîì òàêîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ìîæíî ïîñòðîèòü çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  8. 8. Íàøè ýâðèñòèêè A äåòåðìèíèðîâàííàÿ B âûáèðàåò 0 èëè 1 ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ C îáðåçàåò ðåáðî óðîâíÿ s ñ âåðîÿòíîñòüþ q(s). (ïüÿíàÿ ýâðèñòèêà) Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  9. 9. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò íåôîðìàëüíî Trade-o: Ëèáî àëãîðèòì ñëèøêîì ÷àñòî îøèáàåòñÿ... ëèáî îí ñëèøêîì ÷àñòî ðàáîòàåò äîëãî. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  10. 10. Ýêñïàíäåðû G äâóäîëüíûé ãðàô, X,Y åãî äîëè. Îïðåäåëåíèå Ïóñòü I ⊆ Y . δ(I ) ýòî ìíîæåñòâî âåðøèí èç X, ñîåäèíåííûõ ðîâíî ñ îäíîé âåðøèíîé èç I è ðîâíî îäíèì ðåáðîì. Îïðåäåëåíèå Ãðàô G íàçûâàåòñÿ (r ; d; c)-ãðàíè÷íûì ýêñïàíäåðîì, åñëè ∀y ∈ Y deg (y ) ≤ d ∀I ⊆ Y , ò. ÷. |I | ≤ r , δ(I ) ≥ c|I | Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  11. 11. Çàìûêàíèå è åãî ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå Ïóñòü G (r , d, c)-ãðàíè÷íûé ýêñïàíäåð, J ⊆ X . Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà J íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî I ⊆ Y , ò. ÷. |I | ≤ r è δ(I ) ⊆ J . Îáîçíà÷åíèå: Cl(J) ëåêñèêîãðàôè÷åñêè ïåðâîå çàìûêàíèå J Ëåììà Ïóñòü I çàìûêàíèå J , òîãäà |I | ≤ |J| c Ñëåäñòâèå Ïóñòü c 1, J ⊆ X , |J| r /2. Òîãäà çàìûêàíèå J îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  12. 12. Ôîðìóëû, îñíîâàííûå íà ýêñïàíäåðàõ Ïóñòü G (r , d, c)-ãðàíè÷íûé ýêñïàíäåð ñ n âåðøèíàìè â êàæäîé äîëå, c 2, A ìàòðèöà ñìåæíîñòè (íàä F2 ). Ïóñòü Φ ôîðìóëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìå Ax = b Φ èìååò åäèíñòâåííóþ âûïîëíÿþùóþ ïîäñòàíîâêó. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  13. 13. Ëîêàëüíàÿ êîððåêòíîñòü Îïðåäåëåíèå ×àñòè÷íàÿ ïîäñòàíîâêà ρ äëÿ ïåðåìåííûõ èç x íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî êîððåêòíîé, åñëè |ρ| r /2 è ñèñòåìa Ax|I = b|I , ãäå I = Cl(vars(ρ)), èìååò ðåøåíèå, ñîãëàñîâàííîå ñ ρ. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  14. 14. Ñëó÷àé áåç ïðàâèë óïðîùåíèÿ Ïóñòü DA,B,C íå ïðèìåíÿåò ïðàâèë óïðîùåíèÿ ôîðìóëû. T äåðåâî ðàñùåïëåíèÿ äëÿ ôîðìóëû Φ. Ïðàâèëüíûé ïóòü îò äåðåâà ê ëèñòó â T ñîîòâåòñòâóþùèé âûïîëíÿþùåé ïîäñòàíîâêå. Äîõîäèò äî êîíöà ñ âåðîÿòíîñòüþ n−1 P= p(j), j=1 ãäå p(j) = 1 − q(j) âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé âåòâü âûæèâàåò íà j -ì øàãå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P 1 − ε. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  15. 15. Ïðàâèëüíûé ïóòü us âåðøèíû ïðàâèëüíîãî ïóòè ∗ us+1 èõ ïîòîìêè, íå ëåæàùèå íà ïðàâèëüíîì ïóòè u0 u 1* u1 u 2* u2 un-1 u n* un Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  16. 16. Ïðåîáðàçóåì äåðåâî... T T (óäàëèëè ïîääåðåâüÿ, êîðíè êîòîðûõ íå ëîêàëüíî êîððåêòíû ) Ëåììà  T äëèíà êàæäîãî ïóòè îò êîðíÿ ê ëèñòó, íå ëåæàùåìó íà ïðàâèëüíîì ïóòè, íå ìåíåå r /2 − 1. Ëåììà Íà ëþáîì ïóòè îò êîðíÿ ê ëèñòó â T ïî êðàéíåé ìåðå ïîëîâèíà èç ïåðâûõ r /2 − 3 âåðøèí èìåþò äâóõ ïðÿìûõ ïîòîìêîâ (ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàñùåïëåíèÿ). Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  17. 17. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ Ñëåäñòâèå Ïóñòü Ts+1 ïîääåðåâî â T ñ êîðíåì us+1, Ïî êðàéíåé ìåðå ∗ r /16 − 1 èç äåðåâüåâ Ts+1 èìååò ðàçìåð ïîðÿäêà 2Ω(r ) u0 u 1* u1 u 2* u2 T2 un-1 u n* un Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  18. 18. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ Ñëåäñòâèå Ïóñòü Ts+1 ïîääåðåâî â T ñ êîðíåì us+1, Ïî êðàéíåé ìåðå ∗ r /16 − 1 èç äåðåâüåâ Ts+1 èìååò ðàçìåð ïîðÿäêà 2Ω(r ) Äîêàçàòåëüñòâî. Ñðåäè âåðøèí us , s ∈ {0, . . . r /8 − 4}, õîòÿ áû r /16 − 2 òî÷êè ðàñùåïëåíèÿ â T (ñîîòâåñòâóþùèå èì äåðåâüÿ Ts+1 íåïóñòû). Äîêàæåì: â ëþáîì èç ýòèõ äåðåâüåâ íà êàæäîì ïóòè îò êîðíÿ ê ëèñòó áóäåò íå ìåíåå r /8 + 1 òî÷åê ðàñùåïëåíèÿ. Ïóòü îò êîðíÿ ê ëèñòó â ïîääåðåâå ýòî êóñîê íåêîòîðîãî ïóòè îò êîðíÿ ê ëèñòó â äåðåâå T. Åñëè äðóãàÿ ÷àñòü ýòîãî äëèííîãî ïóòè äëèíû íå áîëåå r /8 − 3, òî íà ïóòü â ïîääåðåâå ïðèõîäèòñÿ íå ìåíåå r /8 + 1 âåðøèí ñ äâóìÿ ïîòîìêàìè. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  19. 19. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ Ëåììà Ïóñòü W ÷èñëî âåðøèí â Ts+1. Òîãäà óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü Pr [DA,B,C ïîñåòèë W âåðøèí Ts+1 | DA,B,C ïîñåòèë us ] ∗ áîëüøå 1 − 2ε 2 Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  20. 20. Áîëüøèå ïîääåðåâüÿ Ëåììà Ïóñòü W ÷èñëî âåðøèí â Ts+1. Òîãäà óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü Pr [DA,B,C ïîñåòèë W âåðøèí Ts+1 | DA,B,C ïîñåòèë us ] ∗ áîëüøå 1 − 2ε 2 Äîêàçàòåëüñòâî. ∗ Pr [àëãîðèòì DA,B,C ïîñåòèë w |îí ïîñåòèë us ] = = p(s) · . . . · p(s + i − 1) ≥ 1 − ε Ïî íåðàâåíñòâó Ìàðêîâà ∗ 1 Pr [íå ïîñåùåííûõ âåðøèí µεW |DA,B,C ïîñåòèë us ] ≤ µ 1 Âîçúì¼ì µ= 2ε Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  21. 21. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò Òåîðåìà Åñëè àëãîðèòì DA,B,C ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé (1 − ε), âûäàåò ïðàâèëüíûé îòâåò íà ôîðìóëå Φ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå (1 − 2ε)(1 − 2−Ω(r ) ) åãî âðåìÿ ðàáîòû íà Φ íå ìåíåå 2Ω(r ) . Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  22. 22. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò Òåîðåìà Åñëè àëãîðèòì DA,B,C ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé (1 − ε), âûäàåò ïðàâèëüíûé îòâåò íà ôîðìóëå Φ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå (1 − 2ε)(1 − 2−Ω(r ) ) åãî âðåìÿ ðàáîòû íà Φ íå ìåíåå 2Ω(r ) . Äîêàçàòåëüñòâî. 1 C âåðîÿòíîñòüþ 1 − 2−Ω(r ) àëãîðèòì çàõîäèò â ïîääåðåâî Ts+1 . 2 C âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 1 − 2ε îí ïîñåùàåò â ýòîì äåðåâå 2Ω(r ) âåðøèí. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  23. 23. Ñëó÷àé ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðîùåíèé Ïóñòü òåïåðü DA,B,C èñïîëüçóåò ïðàâèëî åäèíè÷íûõ äèçúþíêòîâ. Ïîñòðîèì DA ,B,C , íå èñïîëüçóþùèé ïðàâèë óïðîùåíèÿ. T T Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  24. 24. Ïðåîáðàçóåì äåðåâî... Ñíîâà îñòàâëÿåì òîëüêî âåðøèíû ñ ëîêàëüíî êîððåêòíûìè ïîäñòàíîâêàìè. T T Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  25. 25. Äëèíà ïðàâèëüíîãî ïóòè Ëåììà Ïóñòü L äëèíà ïðàâèëüíîãî ïóòè â T . Òîãäà L ≥ r /4 − 2. T T Îáðåæåì âñå âåòâè T ïî óðîâíþ L. Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  26. 26. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðàâèëóïðîùåíèÿ Ëåììà Ω(r ) èç äåðåâüåâ Ts+1 èìååò ðàçìåð ïîðÿäêà 2Ω(r ) Ëåììà T íå áîëåå ÷åì â n ðàç áîëüøå T . Òåîðåìà Åñëè àëãîðèòì DA,B,C ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé (1 − ε), âûäàåò ïðàâèëüíûé îòâåò íà ôîðìóëå Φ, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå (1 − 2ε)(1 − 2−Ω(r ) ) åãî âðåìÿ ðàáîòû íà Φ íå ìåíåå 2Ω(r ) . Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì
  27. 27. Ñïàñèáî çà âíèìàíèå! Åëåíà Èêîííèêîâà Âåðîÿòíîñòíûå DPLL àëãîðèòìû ñ îòñå÷åíèåì

×