Upcoming SlideShare
×

20101021 proof complexity_hirsch_lecture05

328 views

Published on

0 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

• Be the first to like this

Views
Total views
328
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
7
Actions
Shares
0
3
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

20101021 proof complexity_hirsch_lecture05

1. 1. Ñëîæíîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch ÏÎÌÈ ÐÀÍ 21 îêòÿáðÿ 2010 ã. 1 / 5
2. 2. Cutting Plane: íèæíÿÿ îöåíêà Ìîíîòîííàÿ èíòåðïîëÿöèÿ. Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà èíòåðïîëÿíò. 2 / 5
3. 3. Cutting Plane: íèæíÿÿ îöåíêà Ìîíîòîííàÿ èíòåðïîëÿöèÿ. Òåîðåìà (Ïóäëàê) Ïóñòü â A(x, y) ⊃ B(x, z) âñå âõîæäåíèÿ xi â A è â B ïîëîæèòåëüíû. Òîãäà èç äîê-âà â Res (èëè CP) ïîëó÷àåòñÿ ìîíîòîííûé èíòåðïîëÿíò áóëåâà (èëè àðèôìåòè÷åñêàÿ) C(x) ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçìåðà. Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà èíòåðïîëÿíò. 2 / 5
4. 4. Cutting Plane: íèæíÿÿ îöåíêà Ìîíîòîííàÿ èíòåðïîëÿöèÿ. Òåîðåìà (Ïóäëàê) Ïóñòü â A(x, y) ⊃ B(x, z) âñå âõîæäåíèÿ xi â A è â B ïîëîæèòåëüíû. Òîãäà èç äîê-âà â Res (èëè CP) ïîëó÷àåòñÿ ìîíîòîííûé èíòåðïîëÿíò áóëåâà (èëè àðèôìåòè÷åñêàÿ) C(x) ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçìåðà. Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà èíòåðïîëÿíò. Òåîðåìà (Ðàçáîðîâ; Àëîí-Áîïïàíà; Ïóäëàê) Äëÿ áóëåâûõ (èëè àðèôìåòè÷åñêèõ) ñõåì, ðàçäåëÿþùèõ nêëèêè è (n − 1)ðàñêðàøèâàåìûå ãðàôû, |C| = 2Ω( √ n) ïðè n = 1 8(m/ log m)2/3 . 2 / 5
5. 5. Íèæíèå îöåíêè, îñíîâàííûå íà øèðèíå Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà: Ëèíåéíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà êàêîé-òî ïàðàìåòð (øèðèíó). Ëåììà: â êîðîòêîì äîê-âå π ìîæíî ïîíèçèòü øèðèíó äî ∼ ln |π|. 3 / 5
6. 6. Íèæíèå îöåíêè, îñíîâàííûå íà øèðèíå Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà: Ëèíåéíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà êàêîé-òî ïàðàìåòð (øèðèíó). Ëåììà: â êîðîòêîì äîê-âå π ìîæíî ïîíèçèòü øèðèíó äî ∼ ln |π|. Ðåçîëþöèÿ: Øèðèíà äèçúþíêöèè W(l1 ∨ . . . ∨ lk) êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ. 3 / 5
7. 7. Íèæíèå îöåíêè, îñíîâàííûå íà øèðèíå Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà: Ëèíåéíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà êàêîé-òî ïàðàìåòð (øèðèíó). Ëåììà: â êîðîòêîì äîê-âå π ìîæíî ïîíèçèòü øèðèíó äî ∼ ln |π|. Ðåçîëþöèÿ: Øèðèíà äèçúþíêöèè W(l1 ∨ . . . ∨ lk) êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ. Øèðèíà ôîðìóëû/âûâîäà øèðèíà ñàìîé øèðîêîé äèçúþíêöèè. G w H: åñòü âûâîä øèðèíû ≤ w. W (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíàÿ øèðèíà äîê-âà. S (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå êîë-âî äèçúþíêöèé äîê-âà. 3 / 5
8. 8. Íèæíèå îöåíêè, îñíîâàííûå íà øèðèíå Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà: Ëèíåéíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà êàêîé-òî ïàðàìåòð (øèðèíó). Ëåììà: â êîðîòêîì äîê-âå π ìîæíî ïîíèçèòü øèðèíó äî ∼ ln |π|. Ðåçîëþöèÿ: Øèðèíà äèçúþíêöèè W(l1 ∨ . . . ∨ lk) êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ. Øèðèíà ôîðìóëû/âûâîäà øèðèíà ñàìîé øèðîêîé äèçúþíêöèè. G w H: åñòü âûâîä øèðèíû ≤ w. W (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíàÿ øèðèíà äîê-âà. S (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå êîë-âî äèçúþíêöèé äîê-âà. Ëåììà (äëÿ ôîðìóëû F îò n ïåðåìåííûõ) W (F) ≤ W(F) + O( n ln S (F)) 3 / 5
9. 9. Íèæíèå îöåíêè, îñíîâàííûå íà øèðèíå Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà: Ëèíåéíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà êàêîé-òî ïàðàìåòð (øèðèíó). Ëåììà: â êîðîòêîì äîê-âå π ìîæíî ïîíèçèòü øèðèíó äî ∼ ln |π|. Ðåçîëþöèÿ: Øèðèíà äèçúþíêöèè W(l1 ∨ . . . ∨ lk) êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ. Øèðèíà ôîðìóëû/âûâîäà øèðèíà ñàìîé øèðîêîé äèçúþíêöèè. G w H: åñòü âûâîä øèðèíû ≤ w. W (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíàÿ øèðèíà äîê-âà. S (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå êîë-âî äèçúþíêöèé äîê-âà. Ëåììà (äëÿ ôîðìóëû F îò n ïåðåìåííûõ) W (F) ≤ W(F) + O( n ln S (F)) Ëåììà (ê ëåììå) 1. F|x=0 w C =⇒ F w+1 C ∨ x. 2. W (F|x=0) ≤ w−1, W (F|x=1) ≤ w =⇒ =⇒ W (F) ≤ max{w, W({C ∈ F|¬x ∈ C})}.3 / 5
10. 10. Íèæíèå îöåíêè, îñíîâàííûå íà øèðèíå Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà: Ëèíåéíàÿ íèæíÿÿ îöåíêà íà êàêîé-òî ïàðàìåòð (øèðèíó). Ëåììà: â êîðîòêîì äîê-âå π ìîæíî ïîíèçèòü øèðèíó äî ∼ ln |π|. Ðåçîëþöèÿ: Øèðèíà äèçúþíêöèè W(l1 ∨ . . . ∨ lk) êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ. Øèðèíà ôîðìóëû/âûâîäà øèðèíà ñàìîé øèðîêîé äèçúþíêöèè. G w H: åñòü âûâîä øèðèíû ≤ w. W (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíàÿ øèðèíà äîê-âà. S (F) ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå êîë-âî äèçúþíêöèé äîê-âà. Ëåììà (äëÿ ôîðìóëû F îò n ïåðåìåííûõ) W (F) ≤ W(F) + O( n ln S (F)) Ëåììà (ê ëåììå) 1. F|x=1 w C =⇒ F w+1 C ∨ ¬x. 2. W (F|x=1) ≤ w−1, W (F|x=0) ≤ w =⇒ =⇒ W (F) ≤ max{w, W({C ∈ F| x ∈ C})}.3 / 5
11. 11. Öåéòèíñêèå ôîðìóëû G = (V, E) ãðàô. Ïåðåìåííàÿ xe ∈ {0, 1} äëÿ êàæäîãî e ∈ E. Óñëîâèå e v xe = 1. |V| ... 2. 4 / 5
12. 12. Öåéòèíñêèå ôîðìóëû G = (V, E) ãðàô. Ïåðåìåííàÿ xe ∈ {0, 1} äëÿ êàæäîãî e ∈ E. Óñëîâèå e v xe = cv. Êîíñòàíòà cv ∈ {0, 1} äëÿ êàæäîé v ∈ V. v∈V cv = 1. 4 / 5
13. 13. Öåéòèíñêèå ôîðìóëû G = (V, E) ãðàô. Ïåðåìåííàÿ xe ∈ {0, 1} äëÿ êàæäîãî e ∈ E. Óñëîâèå e v xe = cv. Êîíñòàíòà cv ∈ {0, 1} äëÿ êàæäîé v ∈ V. v∈V cv = 1. Îïðåäåëåíèå Ðàñøèðèòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü e(G) = min |cut(V , V V )| V ⊆ V, 1 3|V| ≤ |V | ≤ 2 3|V| . G ðàñøèðèòåëü, åñëè e(G) = Ω(|V|). Ôàêò Ñóùåñòâóþò ñâÿçíûå ðåãóëÿðíûå ðàñøèðèòåëè ñòåïåíè 3. 4 / 5
14. 14. Öåéòèíñêèå ôîðìóëû Íèæíÿÿ îöåíêà Ω(|V|) íà øèðèíó âûâîäà Â âûâîäå åñòü äèçúþíêöèÿ C, ñëåäóþùàÿ â òî÷íîñòè èç óðàâíåíèé v∈U e v xe = cv , (1) ãäå |U| ∈ 1 3|V|..2 3|V| . 5 / 5
15. 15. Öåéòèíñêèå ôîðìóëû Íèæíÿÿ îöåíêà Ω(|V|) íà øèðèíó âûâîäà Â âûâîäå åñòü äèçúþíêöèÿ C, ñëåäóþùàÿ â òî÷íîñòè èç óðàâíåíèé v∈U e v xe = cv , (1) ãäå |U| ∈ 1 3|V|..2 3|V| . Êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ èç ñå÷åíèÿ (U, V U) ìåíÿåò èñòèííîñòü (1) äëÿ êàêîãî-òî íàáîðà. . . 5 / 5
16. 16. Öåéòèíñêèå ôîðìóëû Íèæíÿÿ îöåíêà Ω(|V|) íà øèðèíó âûâîäà Â âûâîäå åñòü äèçúþíêöèÿ C, ñëåäóþùàÿ â òî÷íîñòè èç óðàâíåíèé v∈U e v xe = cv , (1) ãäå |U| ∈ 1 3|V|..2 3|V| . Êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ èç ñå÷åíèÿ (U, V U) ìåíÿåò èñòèííîñòü (1) äëÿ êàêîãî-òî íàáîðà. . . . . . è äîëæíà âõîäèòü â C. 5 / 5