´Indice de contenidos1 MATRICES Y DETERMINANTES 11.1 Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
vi3.1.4 Teorema de Rouch´e-Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Resoluci´on de sis...
1 MATRICES Y DETERMINANTESEste primer cap´ıtulo est´a dedicado a introducir los conceptos b´asicos relativosa las matrices...
2 DEFINICIONES B´ASICASDada una matriz A = (aij), una submatriz de A es cualquier matriz obtenida desdeA suprimiendo filas ...
MATRICES Y DETERMINANTES 3La traza de A ∈ Mn, tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal principal:tr(A) = a11 + a2...
4 OPERACIONES CON MATRICES.1.2 OPERACIONES CON MATRICES.1.2.1 Suma de matrices.No siempre es posible sumar dos matrices, p...
Resultado 1.2.1 Sean A, B, C ∈ Mm×n y 0 ∈ Mm×n la matriz cero. En-tonces se verifica:• (Conmutativa) A + B = B + A.• (Asoci...
MATRICES Y DETERMINANTES 51.2.2 Producto de una matriz por un n´umero.Sea A ∈ Mm×n y λ ∈ R, definimos la matriz producto de...
Resultado 1.2.2 Sean λ, µ ∈ R y A, B ∈ Mm×n. Entonces se cumplen lassiguientes propiedades:• (Distributiva respecto a la s...
6 OPERACIONES CON MATRICES. Ejemplo 1.9• Dada la matriz A =1 4 −20 4 30 −3 6, entonces A = B + C, dondeB =12(A + At) =1 2 ...
Propiedad 1.2.1 Propiedades del producto de matrices• (A · B) · C = A · (B · C), para A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p y C ∈ Mp×q.• (A +...
MATRICES Y DETERMINANTES 7Una observaci´on interesante es que, en general, el producto de matrices, a´un cuandoest´e defini...
Resultado 1.2.3 Propiedades de las potencias de una matriz:• Dada A ∈ Mn y k, l ∈ N0,Ak· Al= Al· Ak= Ak+l, (Ak)l= Akl.• Si...
8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.1.3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.1.3.1 Determinantes de orden 2Supongamos que...
Resultado 1.3.1 (Regla de Cramer para sistemas de orden 2 × 2)Si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema (...
MATRICES Y DETERMINANTES 9
Resultado 1.3.2a) El determinante de una matriz coincide con el de su transpuestaa11 a12a21 a22=a11 a21a12 a22.(Esta propi...
10 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.y1y2x2 x1ABCDEF´Area del paralelogramo= ´Area del rect´angulo − ´Area de A− ´Area d...
MATRICES Y DETERMINANTES 11 Ejemplo 1.121 −1 02 2 03 −2 1= 1 · 2 · 1 − 1 · 0 · 3 − 2 · 2 · 0 − 2 · 3 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 ·...
Resultado 1.3.3h) Si a una fila (columna) le sumamos una combinaci´on lineal de las restantesfilas (columnas), el determinan...
12 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.
Resultado 1.3.4 El determinante de la matriz A se puede obtener como lasuma de los elementos de una fila o columna multipli...
MATRICES Y DETERMINANTES 13Sea A una matriz cuadrada de orden nA =a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n............an1 an...
14 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. Ejemplo 1.157 4 1 92 0 6 35 1 6 11−1 7 2 8=F1 → F1 − 4F3F2 → F2F3 → F3F4 → F4 − 7F...
Resultado 1.3.5 Sean A, B ∈ Mn, entoncesa) Si A ∈ Mn es una matriz triangular, entonces el determinante de A se obtienemul...
Resultado 1.3.6 Sea A ∈ Mn una matriz regular, entoncesA−1=1|A|adj(A)t=1|A|adj At. Ejemplo 1.16• Supongamos que queremos c...
MATRICES Y DETERMINANTES 15En primer lugar hemos de probar que A es una matriz regular. Para ello calculamossu determinant...
16 RANGO DE UNA MATRIZ.En efecto, la submatriz cuadrada de orden 3 obtenida a partir de la matriz A selec-cionando las 3 p...
Resultado 1.4.1 Una matriz cuadrada A ∈ Mn es regular si, y s´olo si, surango es n.Como es l´ogico, desde esta proposici´o...
MATRICES Y DETERMINANTES 171) Comprobar si hay alguna fila (columna) que sea combinaci´on lineal de lasrestantes filas (colu...
18 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES1.- Calcular el determina...
2 ESPACIOS VECTORIALES.Los espacios vectoriales constituyen una de las estructuras algebraicas m´asimportantes en Matem´at...
20 DEFINICI´ON Y EJEMPLOS2.- La operaci´on de multiplicaci´on a izquierda por un n´umero real es una operaci´onexterna sob...
ESPACIOS VECTORIALES. 21En general, el conjunto Mm×n(R), de las matrices reales com m filas y n columnasy las operaciones u...
Propiedad 2.1.1 En un espacio vectorial (V, +, ·) se satisfacen las identidadessiguientes:p1) 0 · v = 0,p2) v + (−1)v = 0,...
22 DEFINICI´ON Y EJEMPLOSObservaciones:• Aunque hemos denotado a los elementos de Rncomo vectores fila de ordenn, en ocasio...
Resultado 2.1.1 Sea (V, +, ·) un espacio vectorial real y S un subconjunto novac´ıo de V. Entonces S es un subespacio vect...
ESPACIOS VECTORIALES. 23 Ejemplo 2.4• El conjunto S de las matrices cuadradas de orden 2 de la forma0 ab ces un subespacio...
Definici´on 1 Sea V un espacio vectorial. Se dice que el vector v es combinaci´onlineal de los vectores {v1, v2, . . . , v...
24 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORESque conduce al sistemaλ + 2µ = 3λ − µ = 0λ = −5Dado que el sistema anterior es incompati...
Definici´on 2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de un espacio vec-torial V se dice que es linealmente indep...
ESPACIOS VECTORIALES. 25 Ejemplo 2.3• El conjunto S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente, ya que ninguno...
Propiedad 2.2.1 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmenteindependiente si se cumple queλ1v1 + λ2v2 +...
Propiedad 2.2.2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmentedependiente si es posible expresar el vecto...
26 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORESTomando, por ejemplo, t = 1, obtenemos la soluci´on particular α = 1, β = 2,γ = −3, por ...
Resultado 2.2.1 El conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rnes lineal-mente independiente si, y solo si,rango (v...
ESPACIOS VECTORIALES. 27
Propiedad 2.2.3 En un espacio vectorial V se cumplen las siguientespropiedades:1) El conjunto S = {v} formado por un s´olo...
28 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORESSi despejamos (por ejemplo) λ en la primera igualdad λ = x1 − µ y sustituimos enlas rest...
ESPACIOS VECTORIALES. 29
Propiedad 2.2.4 Sean S = {v1, v2, . . . , vn} y S = {v1, v2, . . . , vn, w}. Si w escombinaci´on lineal de v1, v2, . . . ,...
Definici´on 3 Sea V un espacio vectorial y L un subespacio vectorial de V. Sedice que L es finitamente generado si existe u...
Propiedad 2.3.1 Un conjunto de vectores B = {v1, v2, . . . , vn} es una base deun espacio vectorial V si, y s´olo si, cual...
30 BASES Y DIMENSI´ONdonde λ1, λ2, . . . , λk, son n´umeros reales un´ıvocamente determinados.Los n´umeros reales λ1, λ2, ...
ESPACIOS VECTORIALES. 31El siguiente resultado nos permite decidir cuando un conjunto de n vectores de Rnforman una base d...
Resultado 2.3.1 Un conjunto B = {v1, v2, . . . , vn} de vectores de Rnes unabase de R si, y s´olo si,det (v1 | v2 | . . . ...
Resultado 2.3.2 Sea S = v1, v2, . . . , vk , donde v1, v2, . . . , vk ∈ Rn. En-tonces se cumple quedim(S) = rango (v1 | v2...
32 BASES Y DIMENSI´ONAn´alogamente, el vector x tendr´a unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de labase B , es de...
ESPACIOS VECTORIALES. 33 Ejercicio 2.12• Si x = (1, 2, −1) respecto de la base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}, hall...
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  1. 1. ´Indice de contenidos1 MATRICES Y DETERMINANTES 11.1 Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Suma de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Producto de una matriz por un n´umero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Producto de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 Potencia de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Determinantes de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Determinantes de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Menor complementario y adjunto de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Determinantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.5 Matriz adjunta. C´alculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 C´alculo del rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Ejercicios propuestos en ex´amenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 ESPACIOS VECTORIALES. 192.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1 El espacio vectorial Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Combinaci´on lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . 272.3 Bases y dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Base can´onica de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Dimensi´on de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3 Cambio de base en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Suma e intersecci´on de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1 Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Intersecci´on de dos subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.3 Teorema de la dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.4 Suma directa de dos subespacios. Subespacios complementarios. . . . . . . . . 362.5 Ejercicios propuestos en ex´amenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 393.1 Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.1 Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Definiciones y notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3 Clasificaci´on de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42v
  2. 2. vi3.1.4 Teorema de Rouch´e-Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Resoluci´on de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1 Sistemas diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.2 Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Sistemas equivalentes. M´etodo de resoluci´on de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.4 M´etodo de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.5 M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . 523.2.6 Sistemas homog´eneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Resoluci´on de sistemas con Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Ejercicios propuestos en ex´amenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
  3. 3. 1 MATRICES Y DETERMINANTESEste primer cap´ıtulo est´a dedicado a introducir los conceptos b´asicos relativosa las matrices y determinantes. Aunque tales cuestiones son de un ampliouso en diferentes sectores no s´olo de la econom´ıa sino de cualquier disciplinadel saber, nosotros inicialmente usaremos dichos conceptos como herramientaadecuada para la resoluci´on, en el siguiente cap´ıtulo, de sistemas de ecua-ciones lineales. As´ı la estructura del cap´ıtulo y los conceptos en ´el estudiadospersiguen primordialmente dicho objetivo.1.1 DEFINICIONES B´ASICASLlamamos matriz de n´umeros reales con m filas y n columnas, o de tipo m × n, auna lista de n´umeros reales ordenados en la forma:A = (aij)m×n =a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n............am1 am2 · · · amndonde aij ∈ R, para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. El elemento aij es el que seencuentra en la fila i y la columna j. Al conjunto de todas las matrices de ordenm×n se le denota mediante Mm×n. Cuando una matriz es del tipo 1×n se le llamamatriz fila o vector fila de orden n y una matriz columna o vector columna de ordenm si es del tipo m × 1.Dos matrices se dicen iguales si tienen igual n´umero de filas y columnas y coincidenelemento a elemento. Ejemplo 1.1• La matriz A =−2 1 04 2 4es una matriz de orden 2 × 3.La matriz B =10es una matriz columna de orden 2.1
  4. 4. 2 DEFINICIONES B´ASICASDada una matriz A = (aij), una submatriz de A es cualquier matriz obtenida desdeA suprimiendo filas y/o columnas. Ejemplo 1.2• Dada la matriz A =1 2 3 45 6 7 89 0 1 2, la matrizB =6 7 80 1 2es una submatriz de A obtenida suprimiendo la primera fila y la primera columnade A. De igual forma, la matrizC =1 2 45 6 89 0 2es la submatriz de A obtenida suprimiendo la tercera columna de A.Una matriz con igual n´umero de filas que de columnas (de tipo n×n) se dice que esuna matriz cuadrada de orden n. Denotaremos mediante Mn al conjunto de matricescuadradas de orden n.Sea A ∈ Mm×n. La matriz transpuesta de A, At∈ Mn×m, es la matriz que seobtiene, desde A, cambiando la posici´on de las filas y columnas, entre s´ı. Ejemplo 1.3•1 0 −12 3 2es la matriz transpuesta de1 20 3−1 2.De forma evidente, se obtiene la propiedad (At)t= A.La matriz de orden m × n con todos los elementos nulos se llama matriz cero. Sedenotar´a mediante 0m×n o simplemente por 0.0 =0 0 0 . . . 00 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0...............0 0 0 . . . 0.Dada A ∈ Mn, la diagonal principal de A es la matriz fila(a11, a22, . . . , ann).Es decir, los elementos en negrita en la figura siguiente:A =a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2na31 a32 a33 . . . a3n...............an1 an2 an3 . . . ann.
  5. 5. MATRICES Y DETERMINANTES 3La traza de A ∈ Mn, tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal principal:tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann =ni=1aii. Ejemplo 1.4• La traza de la matriz A =−1 0 30 0 120 0 −1 estr(A) = a11 + a22 + a33 = −1 + 0 − 1 = −2.Una matriz cuadrada A se dice triangular superior (inferior) si todos los elementospor debajo (encima) de la diagonal principal son nulos y se llamar´a diagonal si estanto triangular superior como triangular inferior (esto es, todo elemento fuera de ladiagonal es cero). En muchas ocasiones, para simplificar la notaci´on, designaremospor diag(a1, a2, · · · , an) a la matriz diagonaldiag(a1, a2, · · · , an) =a1 0 0 · · · 00 a2 0 · · · 0...............0 0 0 · · · an . Ejemplo 1.5• Las matrices −1 0 30 0 120 0 −1 ,1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1 y1 00 1son, respectivamente, triangular superior, triangular inferior y diagonal.Llamamos matriz identidad de orden n y la denotaremos por In ´o simplemente porI, a la matriz diagonal de orden n con todos los elementos de la diagonal principaliguales a 1.In = diag(1, 1,n)· · ·, 1) =1 0 . . . 00 1 . . . 0............0 0 . . . 1 .
  6. 6. 4 OPERACIONES CON MATRICES.1.2 OPERACIONES CON MATRICES.1.2.1 Suma de matrices.No siempre es posible sumar dos matrices, para ello ser´a necesario que ambas seandel mismo tipo. Dadas dos matrices A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n la matriz sumade A y B es una matriz (del mismo tipo a las anteriores), A + B = C ∈ Mm×n,cuyos elementos se obtienen sumando t´ermino t´ermino a t´ermino los elementos deA y de B, es decir, cij = aij + bij, i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n.A + B =a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n............am1 am2 . . . amn +b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n............bm1 bm2 . . . bmn=a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n............am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn . Ejemplo 1.6• Si A =1 23 4y B =−2 01 −4, entoncesA + B =1 23 4+−2 01 −4=−1 24 0.Como primeras propiedades de la suma de matrices obtenemos las siguientes:
  7. 7. Resultado 1.2.1 Sean A, B, C ∈ Mm×n y 0 ∈ Mm×n la matriz cero. En-tonces se verifica:• (Conmutativa) A + B = B + A.• (Asociativa) A + (B + C) = (A + B) + C.• (Elemento neutro) A + 0 = 0 + A = A.• (Elemento opuesto) Existe una matriz A ∈ Mm×n, que llamaremos matrizopuesta de A, tal que A + A = 0.• (A + B)t= At+ Bt.Resulta inmediato comprobar que la matriz A se obtiene cambiando de signo todoslos elementos de la matriz A, es decir, aij = −aij, i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m.En lo sucesivo denotaremos a esta matriz por −A.
  8. 8. MATRICES Y DETERMINANTES 51.2.2 Producto de una matriz por un n´umero.Sea A ∈ Mm×n y λ ∈ R, definimos la matriz producto de λ por A, y la denotamosmediante λ · A ∈ Mm×n como:λ ·a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n............am1 am2 . . . amn =λ a11 λ a12 . . . λ a1nλ a21 λ a22 . . . λ a2n............λ am1 λ am2 . . . λ amn .Con esta definici´on resulta que la matriz opuesta de A es precisamente la matriz(−1) · A, es decir, −A = (−1) · A. Ejemplo 1.74 ·1 −1 2 02 3 0 0=4 −4 8 08 12 0 0.
  9. 9. Resultado 1.2.2 Sean λ, µ ∈ R y A, B ∈ Mm×n. Entonces se cumplen lassiguientes propiedades:• (Distributiva respecto a la suma de matrices) λ · (A + B) = λ · A + λ · B,• (Distributiva respecto a la suma de escalares) (λ + µ) · A = λ · A + µ · A,• (Elemento unidad) 1 · A = A,• (Pseudoasociativa) (λ µ) · A = λ · (µ · A),• λ · 0 = 0, 0 · A = 0,• (λ · A)t= λ · At,Una matriz cuadrada A se dice sim´etrica si coincide con su transpuesta, esto es,A = At. Esto, a su vez, se traduce en la relaci´on entre coeficientes siguiente: aij =aj i, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n.La matriz cuadrada A se dir´a antisim´etrica si, cumple que At= −A. Esto es, siaij = −aji, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n. Es f´acil deducir, empleando la relaci´onentre coeficientes anterior para el caso i = j, que los elementos de la diagonalprincipal de matrices antisim´etricas son todos nulos. Ejemplo 1.8•1 2 −12 4 0−1 0 6es una matriz sim´etrica y0 2 −1−2 0 31 −3 0es antisim´etrica.Toda matriz cuadrada se puede expresar como suma de una matriz sim´etrica y otraantisim´etrica. M´as concretamente, dada la matriz A ∈ Mn se puede escribir comoA = B + C,donde B es la matriz sim´etrica B = 12(A + At) y C es la matriz antisim´etricaC = 12(A − At).
  10. 10. 6 OPERACIONES CON MATRICES. Ejemplo 1.9• Dada la matriz A =1 4 −20 4 30 −3 6, entonces A = B + C, dondeB =12(A + At) =1 2 −12 4 0−1 0 6es una matriz sim´etrica yC =12(A − At) =0 2 −1−2 0 31 −3 0es antisim´etrica.1.2.3 Producto de matrices.Al igual que ocurr´ıa con la suma, no siempre ser´a posible multiplicar dos matricesentre s´ı. De hecho, s´olo existir´a la multiplicaci´on cuando exista una cierta compat-ibilidad entre el n´umero de filas y columnas de ambas. M´as concretamente, dadaslas matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p se define la matriz producto de A y B, yla notaremos por A · B, como una matriz C = A · B ∈ Mn×p cuyos elementos seobtienen en la formacij =nr=1airbrj, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p.Es decir, el elemento de la matriz A · B en la posici´on (i, j) se obtiene sumando losproductos t´ermino a t´ermino de los elementos de la fila i de A y la columna j de B. Ejemplo 1.10−1 12 30 −22 04×2·2 −1 01 −1 1 2×3=−1 · 2 + 1 · 1 −1 · (−1) + 1 · (−1) −1 · 0 + 1 · 12 · 2 + 3 · 1 2 · (−1) + 3 · (−1) 2 · 0 + 3 · 10 · 2 − 2 · 1 0 · (−1) − 2 · (−1) 0 · 0 − 2 · 12 · 2 + 0 · 1 2 · (−1) + 0 · (−1) 2 · 0 + 0 · 1 =−1 0 17 −5 3−2 2 −24 −2 04×3
  11. 11. Propiedad 1.2.1 Propiedades del producto de matrices• (A · B) · C = A · (B · C), para A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p y C ∈ Mp×q.• (A + B) · C = A · C + B · C, para A, B ∈ Mm×n y C ∈ Mm×p.• A · (B + C) = A · B + A · C, para A ∈ Mm×n y B, C ∈ Mm×n.• I · A = A · I = A, 0 · A = A · 0 = 0, donde las matrices I y 0 han sidoconvenientemente elegidas, para que tengan sentido las operaciones, y A ∈Mn×m.• (A · B)t= Bt· At, para A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p.
  12. 12. MATRICES Y DETERMINANTES 7Una observaci´on interesante es que, en general, el producto de matrices, a´un cuandoest´e definido en ambos sentidos, no siempre es conmutativo. Es decir, dadas matricesA ∈ Mm×n y B ∈ Mn×m, A · B no tiene porqu´e coincidir con B · A. (De hecho,A·B ∈ Mm y B ·A ∈ Mn; la propiedad conmutativa tampoco es cierta, en general,para el caso m = n).1.2.4 Matriz inversaUna matriz B ∈ Mn se dice inversa de otra A ∈ Mn si satisfacen las igualdadesA · B = B · A = I.En tal caso, a la matriz B se le denotar´a mediante A−1y, como es l´ogico, tambi´enA es inversa de B, (es decir, A = B−1y A = (A−1)−1).Adem´as, la matriz inversa de A, en caso de existir, es siempre ´unica. Una matrizA ∈ Mn que posee inversa se le llama matriz regular. En caso contrario, se dice queA es singular. Ejemplo 1.11• La matriz1 11 0es inversa de0 11 −1, pues1 11 00 11 −1=0 11 −11 00 1=1 00 11.2.5 Potencia de una matrizDada una matriz cuadrada A y n´umero natural k ∈ N , donde N0 = N∪0, definimosla potencia k-´esima de A, de forma inductiva comoAk=I si k = 0Ak−1· A si k 0Las potencias de matrices, como productos matriciales que son, se rigen por lasmismas propiedades del producto de matrices; sin embargo, destacamos dos nuevaspropiedades de particular inter´es.
  13. 13. Resultado 1.2.3 Propiedades de las potencias de una matriz:• Dada A ∈ Mn y k, l ∈ N0,Ak· Al= Al· Ak= Ak+l, (Ak)l= Akl.• Si A ∈ Mn es una matriz diagonal, esto es,A = diag(a1, a2, · · · , an)y k ∈ N0, entonces Akes tambi´en una matriz diagonal, siendoAk= diag ak1, ak2, · · · , akn .
  14. 14. 8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.1.3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.1.3.1 Determinantes de orden 2Supongamos que queremos resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dosinc´ognitasS ≡a11x1 + a22x2 = c1a21x1 + a22x2 = c2(1.3.1)Usando el producto matricial y la igualdad de matrices, el sistema anterior puedeescribirse matricialmente en la formaa11 a12a21 a22x1x2=c1c2.La matriz A =a11 a12a21 a22se denomina matriz de coeficientes del sistema.Para resolver el sistema (1.3.1) aplicamos el m´etodo de reducci´on: (multiplicamosla primera ecuaci´on por a22 y la segunda ecuaci´on por −a12)a22(a11x1 + a22x2) = c1a22−a12(a21x1 + a22x2) = −c2a12⇒a11a22x1 + a12a22x2 = c1a22−a21a12x1 − a22a12x2 = −c2a12Sumando ambas ecuaciones se obtiene:(a11a22 − a21a12)x1 = c1a22 − c2a12.Si a11a22 − a21a12 = 0, entonces x1 =c1a22 − c1a21a11a22 − a21a12.Procediendo de forma an´aloga se llegar´ıa a que x2 =c2a11 − c1a21a11a22 − a21a12.El n´umero a11a22 − a12a21 se denomina determinante de la matriz A y se denotapordet(A) = deta11 a12a21 a22= |A| =a11 a12a21 a22= a11a22 − a12a21.Utilizando la definici´on de determinante podemos enunciar el siguiente resultadoconocido como regla de Cramer para sistemas de orden 2 × 2.
  15. 15. Resultado 1.3.1 (Regla de Cramer para sistemas de orden 2 × 2)Si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema (1.3.1) es distinto decero, entonces las soluci´on de (1.3.1) viene dada porx1 =c1 a12c2 a22a11 a12a21 a22, x2 =a11 c1a21 c2a11 a12a21 a22.1.3.1.1 Propiedades de los determinantes de orden 2. Enunciamos a conti-nuaci´on algunas de las propiedades de los determinantes de orden 2 cuya com-probaci´on resulta inmediata. Dichas propiedades se generalizar´an posteriormente adeterminantes de orden superior.
  16. 16. MATRICES Y DETERMINANTES 9
  17. 17. Resultado 1.3.2a) El determinante de una matriz coincide con el de su transpuestaa11 a12a21 a22=a11 a21a12 a22.(Esta propiedad nos permite que todos los resultados que enunciamos a continuaci´onpara las filas de una matriz sean tambi´en v´alidos para las columnas).b) Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros, su determinante es cero.c) Si intercambiamos dos filas (columnas) de una matriz, el determinante cambiade signo.d) Si una matriz tiene sus dos filas (columnas) iguales su determinante es cero.e) Si multiplicamos cada elemento de una fila (columna) por un n´umero, el de-terminante queda multiplicado por ese n´umero,λa11 a12λa21 a22= λa11 a12a21 a22.f) Si una matriz tiene dos filas (columnas) proporcionales, el determinante valecero.g) Si los elementos de una fila (columna) de una matriz vienen expresados comosuma de dos elementos, entonces el determinante se descompone en suma dedos determinantes del siguiente modoa11 + a11 a12a21 + a21 a22=a11 a12a21 a22+a11 a12a21 a22.h) Si a una fila (columna) le sumamos la otra fila (columna) multiplicada por unn´umero, el determinante no cambia.a11 + λa12 a12a21 + λa22 a22=a11 a12a21 a22.1.3.1.2 Una interpretaci´on geom´etrica del determinante. En el siguiente para-lelogramo se representa gr´aficamente la suma de los vectores (x1, y1) y (x2, y2).(x1, y1)(x2, y2)Para calcular el ´area comprobamos que
  18. 18. 10 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.y1y2x2 x1ABCDEF´Area del paralelogramo= ´Area del rect´angulo − ´Area de A− ´Area de B − · · · − ´Area de F= (x1 + x2)(y1 + y2) − x2y1 − x1y1/2− x2y2/2 − x2y2/2 − x1y1/2 − x2y1= x1y2 − x2y1As´ı, es f´acil concluir que el ´area del paralelogramo coincide con el valor del deter-minante siguientex1 x2y1 y2= x1y2 − x2y1 .1.3.2 Determinantes de orden 3Los determinantes de orden 3 surgen de forma an´aloga al considerar un sistemalineal de 3 ecuaciones y 3 inc´ognitasS ≡a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3⇔a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a23x1x2x3=c1c2c3.Mediante un proceso de reducci´on (un poco m´as engorroso) se llega a expresionesdel tipox1 =∆1∆, x2 =∆2∆, x3 =∆3∆,supuesto que ∆ = 0, donde∆ = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23. (1.3.2)El valor de ∆ se llama determinante de la matriz A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a23y se denotapordet(A) = deta11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a23= |A| =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a23.Para recordar la f´ormula (1.3.2) se recurre a la regla de Sarrus. Para ello se repitenlas dos primeras filas del determinante. Las diagonales trazadas desde a11, a21 y a31corresponden a los sumandos positivos y las diagonales trazadas desde a13, a23 y a33a los sumandos negativos.+ a11 a12 a13+ a21 a22 a23+ a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23a11 a12 a13 −a21 a22 a23 −a31 a32 a33 −a11 a12 a13a21 a22 a23
  19. 19. MATRICES Y DETERMINANTES 11 Ejemplo 1.121 −1 02 2 03 −2 1= 1 · 2 · 1 − 1 · 0 · 3 − 2 · 2 · 0 − 2 · 3 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 · 2 · 0 = 4.1.3.2.1 Propiedades de los determinantes de orden 3. Las propiedades de losdeterminantes de orden 3 son an´alogas a las de los determinantes de orden 2. Dehecho las propiedades a)-g) que figuran en la Proposici´on 1.3.2 se enuncian exacta-mente igual para determinantes de orden 3. Por otra parte, la propiedad h) admiteuna formulaci´on m´as general.
  20. 20. Resultado 1.3.3h) Si a una fila (columna) le sumamos una combinaci´on lineal de las restantesfilas (columnas), el determinante no var´ıa.i) Si una fila (columna) es combinaci´on lineal de las restantes filas (columnas),el determinante es cero.La propiedad h) es especialmente interesante porque nos permite efectuar transfor-maciones en las filas y columnas de una matriz A sin que se altere el valor de sudeterminante. De hecho est´e ser´a el procedimiento que seguiremos para el c´alculode determinantes de orden superior.1.3.3 Menor complementario y adjunto de un elementoConsideremos la matrizA =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a23.Se llama menor complementario del elemento aij, y lo representamos por αij, aldeterminante de la submatriz de orden 2 × 2 obtenida al suprimir la fila i y lacolumna j de la matriz A, es decir, al suprimir la fila y la columna en la que seencuentra dicho elemento. Por ejemplo:α11 =a22 a23a32 a33, α23 =a11 a12a31 a32, a22 =a11 a13a31 a33.Se llama adjunto del elemento aij, y lo denotaremos por Aij, al n´umeroAij = (−1)i+jαij,es decir, el adjunto del elemento aij tiene el mismo valor que el menor complemen-tario αij anteponiendo el signo + o − seg´un que la suma de los ´ındices i, j sea paro impar. Por ejemplo:A11 = (−1)1+1α11 =a22 a23a32 a33, A23 = (−1)2+3α23 = −a11 a12a31 a32.
  21. 21. 12 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.
  22. 22. Resultado 1.3.4 El determinante de la matriz A se puede obtener como lasuma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos corre-spondientesComprobemos que se cumple esta propiedad. En efecto,|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23= a11(a22a33 − a32a23) − a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22)= a11a22 a23a32 a33− a12a21 a23a31 a33+ a13a21 a22a31 a32= a11A11 + a12A12 + a13A13. (1.3.3)En la expresi´on (1.3.3) se dice que el determinante se obtiene desarrollando loselementos de la primera fila por sus adjuntos correspondientes. De igual forma puedecomprobarse f´acilmente que se obtiene el mismo resultado desarrollando por loselementos de cualquier fila o columna.1.3.3.1 Interpretaci´on geom´etrica de un determinante de orden 3. Tambi´enpuede darse una interpretaci´on geom´etrica para determinantes de orden 3. En estecaso, el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3)coincide (salvo el signo) con el valor del determinante de la matriz cuyas filas ocolumnas vienen dadas por las coordenadas de los vectores. Ejemplo 1.13• El volumen de la siguiente figura puede calcularse mediante el determinante(2, 0, 2)(0, 3, 1)(−1, 0, 1)2 0 −10 3 02 1 1= 121.3.4 Determinantes de orden superiorLa generalizaci´on de la definici´on de adjunto a matrices de orden n y la Proposici´on1.3.4 nos permitir´an calcular, de forma inductiva, el determinante de una matrizcuadrada de orden superior a 3. Basta observar que los menores complementariosde los elementos de una matriz de orden 4 ser´an determinantes de orden 3 que yasabemos calcular. De hecho vamos a definir los determinantes de orden superiorutilizando un desarrollo an´alogo al dado en la expresi´on (1.3.3).
  23. 23. MATRICES Y DETERMINANTES 13Sea A una matriz cuadrada de orden nA =a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n............an1 an2 . . . ann ,se define el determinante de A, y lo notaremos por cualquiera de las expresionessiguientes,det(A) = deta11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n............an1 an2 . . . ann = |A| =a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n............an1 an2 . . . ann,al valor obtenido desarrollando los elementos de la primera fila por sus adjuntoscorrespondientes, es decir,det(A) = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n =nj=1a1jA1j. (1.3.4)Observaciones:• El adjunto de un elemento tiene el mismo significado que el dado para matricescuadradas de orden 3.• La definici´on de determinante dada en (1.3.4) es inductiva, es decir, si sabemoscalcular determinantes de orden 2 sabemos calcular de orden 3 y, por tanto, deorden 4 y, por tanto, de orden 5, etc.• Puede probarse que el valor dado en (1.3.4) no var´ıa si hacemos el desarrollopor los elementos de cualquier otra fila o columna.• De igual forma, puede probarse por inducci´on, que los determinantes de ordensuperior cumplen las mismas propiedades que las enunciadas para determinantesde orden 2 y 3. Ejemplo 1.147 4 1 92 0 6 35 1 6 11−1 7 2 8=−42 6 35 6 11−1 2 8+ 07 1 95 6 11−1 2 8− 17 1 92 6 3−1 2 8+ 77 1 92 6 35 6 11= 1628.En el ejemplo anterior hemos calculado el determinante haciendo el desarrollo de loselementos de la segunda columna por sus adjuntos correspondientes. El c´alculo deldeterminante queda reducido al c´alculo de (como m´aximo) 4 determinantes de orden3. Observemos que la presencia de un cero en el elemento a22 de la matriz nos ahorrael c´alculo del adjunto correspondiente en el desarrollo. Por tanto, resulta convenienteutilizar para el desarrollo del determinante aquella fila o columna que tenga mayorn´umero de ceros. La presencia de un cero nos ahorra c´alculos y tiempo. Precisamenteen esto se basa la t´ecnica de c´alculo de determinantes de orden superior: “Si no hayceros, los hacemos”. Para ello utilizaremos la propiedad h) de los determinantes:“Si a una fila (columna) le sumamos una combinaci´on lineal de las restantes filas(columnas), el determinante no var´ıa”.
  24. 24. 14 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. Ejemplo 1.157 4 1 92 0 6 35 1 6 11−1 7 2 8=F1 → F1 − 4F3F2 → F2F3 → F3F4 → F4 − 7F3=−13 0 −23 −352 0 6 35 1 6 11−36 0 −40 −69=desarrollando porlos elementos de lasegunda columna= −1−13 −23 −352 6 3−36 −40 −69= 1628.Otras propiedades interesantes de los determinantes vienen recogidas en la propo-sici´on siguiente:
  25. 25. Resultado 1.3.5 Sean A, B ∈ Mn, entoncesa) Si A ∈ Mn es una matriz triangular, entonces el determinante de A se obtienemultiplicando los elementos situados en la diagonal principal, es decir,|A| = a11a22 · · · ann.b) En particular, si A es una matriz diagonal A = diag(a1, a2, · · · , an), entonces|A| = a1a2 · · · an.En particular, |I| = 1.c) (F´ormula de Binet-Cauchy): |A · B| = |A| · |B|.d) A es regular si, y s´olo si, |A| = 0. Adem´as, en tal caso, |A−1| =1|A|.e) |Ak| = |A|k, para k ∈ N0.1.3.5 Matriz adjunta. C´alculo de la matriz inversaDada una matriz A ∈ Mn se define la matriz adjunta de A, y se denota por adj(A),a la matriz cuyos elementos en la posici´on (i, j) son los adjuntos Aij de la matriz A.El c´alculo de la matriz adjunta nos proporciona un m´etodo para calcular la matrizinversa, A−1, de una matriz A regular.
  26. 26. Resultado 1.3.6 Sea A ∈ Mn una matriz regular, entoncesA−1=1|A|adj(A)t=1|A|adj At. Ejemplo 1.16• Supongamos que queremos calcular la inversa de la matrizA =1 1 1 1−1 0 0 11 2 1 −13 0 0 1 .
  27. 27. MATRICES Y DETERMINANTES 15En primer lugar hemos de probar que A es una matriz regular. Para ello calculamossu determinante|A| =1 1 1 1−1 0 0 11 2 1 −13 0 0 1=F1 → F1F2 → F2F3 → F3 − F1F4 → F4=1 1 1 1−1 0 0 10 1 0 −23 0 0 1= 1−1 0 10 1 −23 0 1= −4.Como el determinante es distinto de cero, la matriz A es regular. Ahora determi-namos la matriz adjunta, calculando los adjuntos de cada uno de los elementos dela matriz A,A11 =0 0 12 1 −10 0 1= 0, A12 = −−1 0 11 1 −13 0 1= 4, · · ·La matriz adjunta viene dada poradj(A) =0 4 −8 01 −6 8 −30 −4 4 0−1 −2 4 −1 .Finalmente, la matriz inversa ser´aA−1=1|A|adj(A)t= −140 1 0 −14 −6 −4 −2−8 8 4 40 3 0 −1t=0 −14 0 14−1 32 1 122 −2 −1 −10 34 0 14.Tambi´en con ayuda del Mathematica podr´ıamos haber obtenido dicho inversa1.4 RANGO DE UNA MATRIZ.Si en una matriz A ∈ Mm×m seleccionamos r filas y r columnas (r ≤ m, r ≤ n)se forma una submatriz cuadrada de orden r. Al determinante de esta matriz lollamaremos menor de orden r de la matriz A.El rango de A es el mayor de los ordenes de los menores de A no nulos; es decir, elmayor orden de las submatrices cuadradas de A con determinante distinto de cero.De forma evidente, se cumple que si A es una submatriz de B, entonces el rango deA es siempre menor o igual que el rango de B. Ejemplo 1.17• La matriz A =1 −1 10 0 21 2 10 0 1 tiene rango 3.
  28. 28. 16 RANGO DE UNA MATRIZ.En efecto, la submatriz cuadrada de orden 3 obtenida a partir de la matriz A selec-cionando las 3 primeras filas y las 3 primeras columnas1 −1 10 0 21 2 1tiene determinante no nulo.Este nuevo concepto nos permite obtener una caracterizaci´on de las matrices regu-lares en funci´on de ´el.
  29. 29. Resultado 1.4.1 Una matriz cuadrada A ∈ Mn es regular si, y s´olo si, surango es n.Como es l´ogico, desde esta proposici´on tambi´en se concluye una caracterizaci´on dela singularidad de una matriz cuadrada: A ∈ Mn es singular si, y s´olo si, su rangoes estrictamente menor que n.1.4.1 C´alculo del rango de una matrizPara la determinaci´on del rango de una matriz resulta conveniente tener en cuentalas siguientes observaciones:• De la definici´on inductiva de los determinantes se deduce inmediatamente quesi todos los memores de orden r de una matriz A son nulos, entonces tambi´enser´an nulos todos los menores de orden mayor que r que pudieran formarse en lamatriz A. Esto nos sugiere una estrategia para calcular el rango de una matriz:seleccionar menores no nulos comenzando por menores de orden 1, 2, etc.• Como sabemos, la operaci´on de sumar a una fila (columna) una combinaci´onlineal de las restantes filas (columnas) no afecta al valor del determinante deuna matriz y, por tanto, dicha operaci´on tampoco afectar´a al rango de la matriz.De igual modo las operaciones de permutaci´on de filas o columnas (que s´oloafectan al signo del determinante) y la de multiplicaci´on de los elementos deuna fila o columna por un n´umero distinto de cero (que s´olo afecta al valor deldeterminante pero no al hecho de que ´este sea o no distinto de cero), tampocoalterar´a el valor del rango de la matriz.Estas operaciones se llamar´an operaciones elementales y constituyen una buenaherramienta para simplificar el c´alculo del rango de una matriz.• Por otra parte, tambi´en sabemos que si una matriz cuadrada tiene una fila(columna) que es combinaci´on lineal de las restantes filas (columnas), el deter-minante vale cero. Esto se traduce en la siguiente propiedad: si una matriz tieneuna fila (columna) que es combinaci´on lineal de las restantes filas (columnas),dicha fila (columna) puede suprimirse dado que no afectar´a al rango de la ma-triz.Las observaciones anteriores nos sugieren el siguiente procedimiento para calcular elrango de una matriz:
  30. 30. MATRICES Y DETERMINANTES 171) Comprobar si hay alguna fila (columna) que sea combinaci´on lineal de lasrestantes filas (columnas). En tal caso, ´esta se suprime.2) Seleccionar un menor de orden 2 que sea distinto de cero y marcarlo sobre lamatriz. Si esto no es posible, el rango ser´ıa 1 (salvo en el caso trivial de quetodos los elementos de la matriz sean cero en que el rango ser´ıa 0).3) Formar posibles menores de orden 3 que contengan al menor de orden 2 selec-cionado anteriormente (este proceso se llama orlar filas o columnas). Si todosestos menores son cero, el rango ser´ıa 2; en caso contrario tomar´ıamos el menorde orden 3 y continuamos estudiando los de orden 4, etc. Ejemplo 1.18• Para calcular el rango de la matrizA =−1 3 0 1 20 5 1 2 3−3 −1 −2 −1 03 11 4 5 6 ,procedemos de la siguiente manera:1) Comprobamos si hay alguna fila (columna) que sea combinaci´on lineal de lasrestantes filas (columnas). Aparentemente no.2) Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero y lo se˜nalamos en lamatriz. En nuestro caso, el menor obtenido tomando las dos primeras filas y lasdos primeras columnas satisface esta condici´on,−1 30 5= −5 = 0.3) Orlamos la 3a fila y formamos menores de orden 3 con las columnas 3a, 4a y 5a.−1 3 00 5 1−3 −1 −2= 0,−1 3 10 5 2−3 −1 −1= 0,−1 3 20 5 3−3 −1 0= 0.Todos los menores de orden 3 obtenidos orlando la 3a fila son cero, lo cualsignifica que la 3a fila es combinaci´on lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puedesuprimirse.4) Continuamos formando determinantes de orden 3 orlando ahora la 4a fila con lascolumnas 3a, 4a y 5a.−1 3 00 5 13 11 4= 0,−1 3 10 5 23 11 5= 0,−1 3 20 5 33 11 6= 0.De nuevo todos los menores obtenidos orlando la 4a fila son cero, lo cual significaque tambi´en la 4a fila es combinaci´on lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puedesuprimirse.En consecuencia, se concluye que rango(A) = 2.Para concluir esta secci´on, indicaremos que el rango del producto de dos matriceses menor o igual que el m´ınimo del rango de las dos matrices.
  31. 31. 18 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES1.- Calcular el determinante de la matriz cuadrada de orden n, A = (aij), cuyoselementos vienen dados poraij = i + j − 1, i, j = 1, 2, . . . , n.2.- Dada la matrizA =0 130130 00 0 13calcular S = I + A + A2+ A3+ · · · + An.3.- Obtener el valor de x para que se cumpla que1 1 1 1sen 0 senπ6−1 −xsen20 sen2 π61 x2sen30 sen3 π6−1 −x3= 0.4.- Sabiendo que a = −1, obtener el valor de x en la siguiente ecuaci´on:7a + 7 a + 1 a + 1 a + 17 −1 1 −17 2 4 87 x x2x3= 0.5.- Sabiendo queA =1 −1 0 0 00 1 −1 0 00 0 1 −1 00 0 0 1 −10 0 0 0 1y A−1=1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 1,calcular la inversa de la matrizB =2 −1 0 0 0−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 1sabiendo que B = A.A .6.- Calcular a, b, c, d ∈ R para queA2− (a + d)A + (ad − bc)I + A =1 20 −1,siendo A =a bc d.7.- Resolver la ecuaci´ona −1 1 −1a a a2a3a −b b2−b3a (a − b) (a − b)2(a − b)3= 0.
  32. 32. 2 ESPACIOS VECTORIALES.Los espacios vectoriales constituyen una de las estructuras algebraicas m´asimportantes en Matem´aticas. La mayor´ıa de los objetos matem´aticos queusamos habitualmente: vectores, matrices, polinomios, funciones, ... tienenestructura de espacio vectorial.2.1 DEFINICI´ON Y EJEMPLOSSea V un conjunto, cuyos elementos llamaremos vectores y notaremos por u, v, · · · ,en el que tenemos definidas dos operaciones: la operaci´on ‘+’ que llamaremos sumade vectores y la operaci´on ‘·’ que llamaremos producto a izquierda por un n´umeroreal. Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real si se cumple que:1.- La suma de vectores es una operaci´on interna en V, es decir, si v, w ∈ V,entonces v + w ∈ V, verificando las siguientes propiedades:a1) Conmutativa: ∀u, v ∈ V, u + v = v + u.a2) Asociativa: ∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w).a3) Existencia de elemento neutro: Existe un vector, 0 ∈ V, que llamaremosvector nulo tal que v + 0 = v , para todo v ∈ V .a4) Existencia de elemento opuesto: Para cada vector v ∈ V existe otro vec-tor v ∈ V, que llamaremos vector opuesto de v, tal que v + v = 0.19
  33. 33. 20 DEFINICI´ON Y EJEMPLOS2.- La operaci´on de multiplicaci´on a izquierda por un n´umero real es una operaci´onexterna sobre V, es decir, si λ ∈ R y v ∈ V, entonces λ · v ∈ V, verificando lassiguientes propiedades:b1) Distributiva respecto a la suma de n´umeros reales: ∀ λ, µ ∈ R y ∀ v ∈ V,(λ + µ) · v = λ · v + µ · v.b2) Distributiva respecto a la suma de vectores:∀ λ, µ ∈ R, ∀u, v ∈ V,λ · (u + v) = λ · v + µ · v.b3) Pseudoasociativa: ∀ λ, µ ∈ R, ∀ v ∈ V, (λ µ) · v = λ · (µ · v).b4) Elemento unidad: ∀ v ∈ V, 1 · v = v.En lo que sigue, para simplificar la notaci´on, el producto de un n´umero real λ porun vector v ∈ V tambi´en lo notaremos simplemente por λ v. Ejemplo 2.1• El conjunto de vectores del plano es un espacio vectorial. Geom´etricamente un vectordel plano viene representado mediante un segmento orientado. Algebraicamente, unvector u del plano viene dado por un par de n´umeros reales u = (u1, u2) que sedenominan coordenadas del vector. El conjunto de vectores del plano se identificacon el conjuntoR2= R × R = {x = (x1, x2) : x1, x2 ∈ R},en el que se definen las operaciones usuales de suma de vectores y multiplicaci´on porun n´umero real dadas porx + y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),λ x = λ (x1, x2) = (λ x1, λ x2).(2.1.1)Entonces (R2, +, ·) es un espacio vectorial real.• El conjunto P2[x] de los polinomios grado menor o igual que 2 en la variable x,es decir, expresiones de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 con a0, a1, a2 ∈ R, tieneestructura de espacio vectorial con las operaciones algebraicas usuales:p(x) + q(x) = (a0 + a1x + a2x2) + (b0 + b1x + b2x2)= (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2.λ · p(x) = λ(a0 + a1x + a2x2) = (λa0) + (λa1) + (λa2)x2.En general, el conjunto Pn[x] (polinomios de grado menor o igual que n en la variablex con las operaciones usuales) tiene estructura de espacio vectorial).• El conjunto de matrices cuadradas reales de orden 2 que notaremos por M2×2(R)tiene estructura de espacio vectorial. Las operaciones de suma y producto porescalares vienen dadas por:A + B =a11 a12a21 a22+b11 b12b21 b22=a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22.λ · A = λ ·a11 a12a21 a22=λ a11 λ a12λ a21 λ a22
  34. 34. ESPACIOS VECTORIALES. 21En general, el conjunto Mm×n(R), de las matrices reales com m filas y n columnasy las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicaci´on de una matriz porun n´umero real, es un espacio vectorial.• El espacio de las funciones f : R → R es un espacio vectorial con las operacionesusuales:(f + g)(t) = f(t) + g(t), (λ f)(t) = (λ · f)(t) = λ f(t), t ∈ A.
  35. 35. Propiedad 2.1.1 En un espacio vectorial (V, +, ·) se satisfacen las identidadessiguientes:p1) 0 · v = 0,p2) v + (−1)v = 0,p3) λ · 0 = 0.para todo v ∈ V y λ ∈ R.Observemos que la propiedad p2) nos indica que el vector opuesto de un vector ves precisamente el vector (−1)v. En lo sucesivo notaremos a este vector por −v.Asimismo, definiremos la operaci´on de restar dos vectores en la formau − v = u + (−v). Ejercicio 2.2• Escribe el vector nulo en cada uno de los espacios vectoriales del Ejemplo 1.1.• Da un ejemplo concreto de un vector en cada uno de los espacios vectoriales delEjemplo 1.1 y escribe su vector opuesto.2.1.1 El espacio vectorial RnLa estructura de espacio vectorial definida sobre R2puede extenderse f´acilmente aRn, conjunto de vectores de n coordenadas,Rn= {x = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n},definiendo las operacionesx + y = (x1, x2, . . . xn) + (y1, y2, . . . , xn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),λ · x = λ (x1, x2, . . . xn) = (λ x1, λ x2, . . . λ xn). Ejemplo 2.3• El espacio R3 (vectores de 3 coordenadas) se identifica con el conjunto de los vectoresen el espacio tridimensional.
  36. 36. 22 DEFINICI´ON Y EJEMPLOSObservaciones:• Aunque hemos denotado a los elementos de Rncomo vectores fila de ordenn, en ocasiones, puede resultar m´as ventajoso utilizar la notaci´on de vectorescolumna de orden n,x =x1x2...xn .En este caso, las operaciones definidas anteriormente vendr´an dadas porx + y =x1x2...xn +y1y2...yn =x1 + y1x2 + y2...xn + yn , λ ·x1x2...xn =λ x1λ x2...λ xn . (2.1.2)• Por otra parte, si x = (x1, x2, · · · , xn) es un vector fila en Rn, tambi´en pode-mos utilizar la operaci´on de transposici´on de matrices, para denotar por xt=(x1, x2, · · · , xn)t, al correspondiente vector columna en Rn.x = (x1, x2, . . . , xn) ⇒ xt=x1x2...xn .• En lo que sigue utilizaremos indistintamente ambas notaciones, si bien, cuandosea necesario, distinguiremos entre vectores fila y vectores columna.2.1.2 Subespacios vectorialesSea (V, +, ·) un espacio vectorial real y sea S un subconjunto no vac´ıo de V. Diremosque S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) tiene estructura de espacio vectorialcon las operaciones ‘+’ y ‘·’ definidas en V.Notemos que el hecho de que (V, +, ·) sea un espacio vectorial real y que S ⊂ V,simplifica mucho las cosas a la hora de probar que (S, +, ·) tiene o no estructura deespacio vectorial.
  37. 37. Resultado 2.1.1 Sea (V, +, ·) un espacio vectorial real y S un subconjunto novac´ıo de V. Entonces S es un subespacio vectorial de V si, y s´olo si,i) ∀ u, v ∈ S ⇒ u + v ∈ S,ii) ∀ λ ∈ R, ∀ v ∈ S ⇒ λ v ∈ S.
  38. 38. ESPACIOS VECTORIALES. 23 Ejemplo 2.4• El conjunto S de las matrices cuadradas de orden 2 de la forma0 ab ces un subespacio vectorial de M2×2(R).Soluci´on: Hemos de comprobar que se cumplen las condiciones i) y ii) del Resul-tado 2.1.1.i) Tomemos dos matrices A, B ∈ S y veamos que A + B ∈ S.A =0 ab c, B =0 ab c,A + B =0 ab c+0 ab c=0 a + ab + b c + c∈ S.1.- Tomemos λ ∈ R y A ∈ S y probemos que λ · A ∈ S.λ · A = λ ·0 ab c=0 λ aλ b λ c∈ S. Ejercicio 2.5• Indica si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales:1) El conjunto de funciones trigonom´etricas de la formax(t) = a0 + a1 cos t + b1 sen t, a0, a1, b1 ∈ R.2) El conjunto de matrices cuadradas de orden 2 cuya traza es 0 con las operacionesusuales.3) El conjunto de vectores del plano cuyas coordenadas suman 1, con las operacionesusuales.4) El conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2 que se anulan en elpunto x = 1, con las operaciones usuales.2.2 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORES
  39. 39. Definici´on 1 Sea V un espacio vectorial. Se dice que el vector v es combinaci´onlineal de los vectores {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V, si puede escribirse en la formav = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk. Ejemplo 2.1• El vector v = (4, −5, −2) de R3 es combinaci´on lineal de los vectores v1 = (1, 1, 1) yv2 = (2, −1, 0), dado quev = −2v1 + 3v2.• Para saber si el vector v = (3, 0, −5) es combinaci´on lineal de los vectores v1 y v2anteriores, planteamos la igualdadv = λ · v1 + µ · v2 ⇒ (3, 0, −5) = λ(1, 1, 1) + µ(2, −1, 0)
  40. 40. 24 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORESque conduce al sistemaλ + 2µ = 3λ − µ = 0λ = −5Dado que el sistema anterior es incompatible (no tiene soluci´on) concluimos que elvector v no es combinaci´on lineal de los vectores v1 y v2.• En M2×2(R), para averiguar si la matriz A =3 1−6 4es combinaci´on lineal delas matricesA1 =1 −12 0, A2 =3 −10 2,planteamos la igualdadA = λ · A1 + µ · A2 ⇒3 1−6 4= λ1 −12 0+ µ3 −10 2que conduce al sistemaλ + 3µ = 3λ − µ = 02λ = −62µ = 4de donde se obtiene λ = −3, µ = 2. Por tanto, la matriz A es combinaci´on lineal delas matrices A1 y A2 ya queA = −3A1 + 2A2. Ejercicio 2.2• Determina si el polinomio p(x) = −1 − 6x2 + 19x − x3 es combinaci´on lineal de lospolinomios p1(x) = 1 + 3x − x3, p2(x) = 2 − 3x + x2, p3(x) = 4x − 4x2 + 2x3.• Determina si el vector v = (1, 0, −1, 4) de R4 es combinaci´on lineal de los vectoresv1 = (1, 1, 0, 1) y v2 = (2, 1, −1, 1).• En M2×3(R), determina si la matriz A =3 1 0−6 4 2es combinaci´on lineal delas matricesA1 =1 −1 02 0 −1, A2 =3 −1 −10 0 2, A3 =0 0 −11 0 2.2.2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores
  41. 41. Definici´on 2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de un espacio vec-torial V se dice que es linealmente independiente, si ninguno de los vectores de Spuede escribirse como combinaci´on lineal de los restantes vectores de S. En casocontrario, se dice que es un conjunto de vectores linealmente dependiente.
  42. 42. ESPACIOS VECTORIALES. 25 Ejemplo 2.3• El conjunto S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente, ya que ningunode ellos puede ponerse como combinaci´on lineal del otro.• El conjunto de vectores S = {(4, −5, −2), (1, 1, 1), (2, −1, 0)} de R3 es linealmentedependiente dado que el primer vector puede escribirse como combinaci´on lineal delos restantes:(4, −5, −2) = −2(1, 1, 1) + 3(2, −1, 0).
  43. 43. Propiedad 2.2.1 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmenteindependiente si se cumple queλ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λk = 0,es decir, si la ´unica forma de escribir el vector nulo como combinaci´on lineal delos vectores de S es que todos los coeficientes sean nulos.La propiedad anterior tambi´en puede enunciarse de esta otra forma:
  44. 44. Propiedad 2.2.2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmentedependiente si es posible expresar el vector nulo como combinaci´on lineal de elloscon al menos un coeficiente no nulo. Dicho en t´erminos matem´aticos, es posibleencontrar n´umeros λ1, λ2, · · · , λk no todos nulos, de forma queλ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = 0 Ejemplo 2.4• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmenteindependiente planteamos la igualdadλ(2, −1) + µ(1, 0) = (0, 0),que conduce al sistema2λ + µ = 0−λ = 0cuya ´unica soluci´on es λ = µ = 0. Por tanto, deducimos que el conjunto S eslinealmente independiente.• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4, −5, −2), (1, 1, 1), (2, −1, 0)} deR3 es linealmente independiente planteamos la igualdadα(4, −5, −2) + β(1, 1, 1) + γ(2, −1, 0) = (0, 0, 0). (2.2.1)que conduce al sistema4α + β + 2γ = 0−5α + β − γ = 0−2α + β = 0que admite soluciones distintas de la trivial:α = tβ = 2tγ = −3t, t ∈ R.
  45. 45. 26 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORESTomando, por ejemplo, t = 1, obtenemos la soluci´on particular α = 1, β = 2,γ = −3, por lo que la igualdad (2.2.1) nos asegura que es posible expresar el vectornulo como una combinaci´on lineal de los vectores de S con coeficientes no nulos.En el caso particular de que trabajemos con vectores de Rn, podemos aplicar elsiguiente resultado para determinar si son linealmente independientes:
  46. 46. Resultado 2.2.1 El conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rnes lineal-mente independiente si, y solo si,rango (v1 | v2 | . . . | vk) = k. Ejemplo 2.5• El conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente yaque−2 11 0= 0.• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4, −5, −2, 4), (1, 1, 1, 1), (2, −1, 0, 2)}de R4 es linealmente independiente calculamos el rango de la matrizA =4 −5 −2 41 1 1 12 −1 0 2.1) En primer lugar observamos que la 4a columna es igual que la 1a por lo quepuede suprimirse, es decir,rango4 −5 −2 41 1 1 12 −1 0 2= rango4 −5 −21 1 12 −1 0.2) Por otra parte,4 −51 1= 9 = 0,4 −5 −21 1 12 −1 0= 0,de donde se concluye que rango(A) = 2 y por tanto, el conjunto de vectores S eslinealmente dependiente.
  47. 47. ESPACIOS VECTORIALES. 27
  48. 48. Propiedad 2.2.3 En un espacio vectorial V se cumplen las siguientespropiedades:1) El conjunto S = {v} formado por un s´olo vector es linealmente dependientesi, y solamente si, v = 0.2) Si 0 ∈ S, entonces S es un conjunto linealmente dependiente.3) El conjunto S = {u, v} es linealmente dependiente si, y solamente si, v = λu(vectores proporcionales).4) Si S es un conjunto linealmente independiente y S ⊂ S, entonces S es lin-ealmente independiente.5) Si S es un conjunto linealmente dependiente y S ⊂ S , entonces S es lineal-mente dependiente.2.2.2 Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectoresSea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. Elconjunto L(S) de todos los vectores que se pueden obtener como combinaci´on linealde los vectores de S es subespacio vectorial de V que se llama subespacio vectorialgenerado por S y se representa porL(S) = v1, v2, . . . , vn .El conjunto S se llama sistema de generadores de L(S).Un vector x ∈ L(S) si se puede expresar como combinaci´on lineal de los vectores deS, es decir, si x se puede escribir en la formax = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn, λ1, λ2, . . . , λn ∈ R. Ejemplo 2.6• Sea S = {u, v} un conjunto de vectores de R4 con u = (1, −1, 1, 2) y v = (1, 3, −2, 1).El subespacio vectorial L(S) viene dado por el conjunto de vectores x ∈ R4 talesquex = λ u + µ v, con λ, µ ∈ R.Si tomamos x = (x1, x2, x3, x4), la igualdad anterior se escribe como(x1, x2, x3, x4) = λ(1, −1, 1, 2) + µ(1, 3, −2, 1), λ, µ ∈ R.La igualdad anterior se denomina ecuaci´on vectorial de L(S).De la ecuaci´on anterior se obtienen las igualdadesx1 = λ + µx2 = −λ + 3µx3 = λ − 2µx4 = 2λ + µ, λ, µ ∈ R.Los n´umeros λ, µ son n´umeros reales arbitrarios que reciben el nombre de par´ametros.De ah´ı que a las ecuaciones anteriores se denominen ecuaciones param´etricas deL(S).Las ecuaciones param´etricas son ´utiles para obtener vectores que pertenezcan aL(S). Para ello basta darle valores concretos a los par´ametros λ y µ. Por ejemplo,para λ = 1 y µ = 1, se obtiene el vector x = (2, 2, −1, 3) ∈ L(S).
  49. 49. 28 COMBINACI´ON LINEAL DE VECTORESSi despejamos (por ejemplo) λ en la primera igualdad λ = x1 − µ y sustituimos enlas restantes ecuaciones se obtienex2 = −(x1 − µ) + 3µx3 = (x1 − µ) − 2µx4 = 2(x1 − µ) + µ⇒x2 = −x1 + 4µx3 = x1 − 3µx4 = 2x1 − µSi ahora repetimos lo mismo con el par´ametro µ (lo despejamos en la ´ultima ecuaci´onporque es m´as f´acil), µ = 2x1 − x4 , y sustituimos en las restantes ecuaciones, seobtienex2 = −x1 + 4(2x1 − x4)x3 = x1 − 3(2x1 − x4)⇒7x1 − x2 − 4x4 = 05x1 + x3 − 3x4 = 0Se obtienen 2 ecuaciones donde no intervienen los par´ametros λ, µ. Estas ecuacionesse denominan ecuaciones cartesianas o ecuaciones impl´ıcitas de L(S).Las ecuaciones cartesianas de L(S) son ´utiles para comprobar si un determinadovector pertenece o no a L(S). Por ejemplo, el vector (2, −1, 3, 4) no pertenece aL(S) ya que no se cumplen las dos ecuaciones param´etricas.7x1 − x2 − 4x4 = 7(2) − (−1) − 4(4) = −2 = 0.El vector (3, 1, 0, 5) ∈ L(S) ya que7x1 − x2 − 4x4 = 7(3) − (1) − 4(5) = 0, 5x1 + x3 − 3x4 = 5(3) + (0) − 3(5) = 0.• Sea M el subespacio vectorial de R3 dado por las ecuaciones param´etricasx1 = µx2 = λ − µx3 = λ + 2µ, λ, µ ∈ R.Para determinar un sistema de generadores de M podemos escribir las ecuacionesparam´etricas en la formax1x2x3= λ011+ µ1−12.Entonces resulta que S = {(0, 1, 1), (1, −1, 2)} es un sistema de generadores de L, esdecir, podemos escribirM = L(S) = (0, 1, 1), (1, −1, 2)• Sea L el subespacio vectorial de R5 determinado por las ecuaciones cartesianasx1 − 2x3 + x5 = 0x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 0Para determinar un sistema de generadores de L resolvemos el sistema dado por lasecuaciones cartesianas.
  50. 50. ESPACIOS VECTORIALES. 29
  51. 51. Propiedad 2.2.4 Sean S = {v1, v2, . . . , vn} y S = {v1, v2, . . . , vn, w}. Si w escombinaci´on lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces se cumple que:L(S) = L(S ),es decir, los subespacios vectoriales generados por S y S son el mismo.2.3 BASES Y DIMENSI´ON
  52. 52. Definici´on 3 Sea V un espacio vectorial y L un subespacio vectorial de V. Sedice que L es finitamente generado si existe un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vn}de V de forma queL = L(S) = v1, v2, . . . , vn .El conjunto S se dice que es un sistema de generadores del subespacio L. Si adem´as,S es un conjunto de vectores linealmente independientes entonces se dice que S esuna base del subespacio vectorial L.La propiedad 2.2.4 nos dice que si S es un sistema de generadores de L y elimi-namos aquellos vectores de S que sean combinaci´on lineal de los restantes, entoncesseguimos teniendo un sistema de generadores de L. De esta forma siempre ser´aposible obtener un sistema de generadores que adem´as sea linelmente independientey, en definitiva, siempre ser´a posible obtener una base de un subespacio vectorialfinitamente generado. Ejemplo 2.7• Los vectores {(1, 0), (0, 1)} forman un base de R2.• Sea S el subespacio vectorial de R3 generado por los vectoresv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (2, −1, 0, 1), v3 = (0, 3, 2, 1).El conjunto {v1, v2, v3} es un sistema de generadores de S, sin embargo no es unabase de S dado que no son linealmente independientes al ser v3 combinaci´on linealde v1 y v2,v3 = 2v1 − v2.Ahora bien, teniendo en cuenta queS = v1, v2, v3 = v1, v2 ,donde ahora los vectores v1 y v2 son linealmente independientes. Por tanto, podemosconcluir diciendo que {v1, v2} es una base de S.
  53. 53. Propiedad 2.3.1 Un conjunto de vectores B = {v1, v2, . . . , vn} es una base deun espacio vectorial V si, y s´olo si, cualquier vector de V se expresa de forma ´unicacomo combinaci´on de los vectores de B.Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V. Por la Propiedad 2.3.1, cualquier vectorv ∈ V puede escribirse como combinaci´on lineal ´unica de los vectores de B, es decir,v = λ1 v1 + λ2 v2 + λk vk,
  54. 54. 30 BASES Y DIMENSI´ONdonde λ1, λ2, . . . , λk, son n´umeros reales un´ıvocamente determinados.Los n´umeros reales λ1, λ2, . . . , λk se denominan coordenadas del vector v respecto dela base B.2.3.1 Base can´onica de RnComo sabemos el conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2. Dicha base recibeel nombre de base can´onica de R2y es la que suele utilizarse para estudiar losproblemas de geometr´ıa en el plano. Cualquier vector de R2viene determinado deforma ´unica como combinaci´on lineal de los vectores de B. M´as concretamente,cualquier (x, y) ∈ R2, puede escribirse como(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).Los n´umeros x e y se denominan coordenadas del vector (x, y).En general, el conjunto B = {e1, e2, · · · , en} de vectores de Rn, definidos porei = (0, 0, . . . ,i1 , 0, . . . , 0),para i = 1, 2, · · · , n, determinan una base de Rnque se denomina base can´onica deRn. Cualquier vector x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rnse escribe comox = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.2.3.2 Dimensi´on de un espacio vectorialUn espacio vectorial V no tiene una base ´unica. As´ı, por ejemplo, los conjuntosB = {(1, 0), (0, 1)} y B = {(1, 1), (0, 1)} son bases de R2(De hecho, una base deR2estar´a formada por dos vectores cualesquiera v1 y v2, no nulos, que no seanproporcionales; geom´etricamente significar´ıa que tienen distinta direcci´on).Sin embargo, todas las bases de un espacio vectorial V tienen algo en com´un: elmismo n´umero de vectores. A tal n´umero se le llamar´a dimensi´on del espacio vec-torial V, y lo denotaremos mediante dim(V ). Ejemplo 2.8• Dado que la base can´onica de Rn tiene n vectores, podemos asegurar que cualquierbase de Rn tendr´a n vectores y que, por tanto, dim(Rn) = n. .• El conjunto de polinomios {1, x, x2, x3, . . . , xn} forman una base de Pn[x], por lo quedim(Pn[x]) = n + 1.• Las matrices1 00 0,0 10 0,0 01 0,0 00 1forman una base de M2(R), por lo que dim (M2×2(R)) = 4.En general, se cumple que dim (Mm×m(R)) = m n.
  55. 55. ESPACIOS VECTORIALES. 31El siguiente resultado nos permite decidir cuando un conjunto de n vectores de Rnforman una base de Rn.
  56. 56. Resultado 2.3.1 Un conjunto B = {v1, v2, . . . , vn} de vectores de Rnes unabase de R si, y s´olo si,det (v1 | v2 | . . . | vn) = 0. Ejemplo 2.9• Los vectores v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, −1, 3) y v3 = (3, 1, 1) forman una base de R3,dado quedet (v1 | v2 | v3) =1 0 30 −1 11 3 1= −1 = 0.• Los vectores v1 = (1, 2), v2 = (−2, −4) no son una base de R2, dado quedet (v1 | v2) =1 −2−2 4= 0.El resultado anterior puede establecerse de manera m´as general como sigue,
  57. 57. Resultado 2.3.2 Sea S = v1, v2, . . . , vk , donde v1, v2, . . . , vk ∈ Rn. En-tonces se cumple quedim(S) = rango (v1 | v2 | . . . | vk) . Ejemplo 2.10• Sea S el subespacio vectorial de R4, generado por los vectores,v1 = (1, 1, 1, 1) , v2 = (2, −1, 0, 1) y v3 = (0, 3, 2, 1) .Entonces, dim(S) = rango (v1 | v2 | v3) = rango1 1 1 12 −1 0 10 3 2 1= 2.2.3.3 Cambio de base en un espacio vectorialSea V un espacio vectorial de dimensi´on n y supongamos que tenemos dos basesB = {u1, u2, . . . , un} y B = {v1, v2, . . . , vn}. Como sabemos, cualquier vector x deV podr´a escribirse de forma ´unica como combinaci´on lineal de los vectores de B yde B .Respecto de la base B, el vector x tendr´a unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn), es decir,se podr´a expresar en la formax = x1u1 + x2u2 + · · · + xnun = (x1, x2, . . . , xn)u1u2...un . (2.3.1)
  58. 58. 32 BASES Y DIMENSI´ONAn´alogamente, el vector x tendr´a unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de labase B , es decir,x = x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn = (x1, x2, . . . , xn)v1v2...vn . (2.3.2)¿Qu´e relaci´on existe entre (x1, x2, . . . , xn) y (x1, x2, . . . , xn)?A partir de (2.3.1) y (2.3.2) obtenemos la igualdad en forma matricial(x1, x2, . . . , xn)u1u2...un = (x1, x2, . . . , xn)v1v2...vn (2.3.3)que se llama ecuaci´on general del cambio de base. La ecuaci´on (2.3.3) puede es-cribirse abreviadamente en la forma(x1, x2, . . . , xn)B = (x1, x2, . . . , xn)B , (2.3.4)donde B y B son las matrices cuyos vectores fila son las coordenadas de los vectoresde las bases B y B respectivamente. Dado que B y B son bases, entonces necesari-amente las matrices B y B son regulares (su determinantes es distinto de cero) y,por tanto, existen sus matrices inversas B−1y (B )−1.La ecuaci´on (2.3.3) nos permite conocer las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto deB conocidas las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de B o viceversa, mediante lasigualdades(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)B(B )−1,(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)B B−1. Ejemplo 2.11• En R2 se consideran la base can´onica B = {(1, 0), (0, 1)} y la base B = {(2, −1), (3, 0)}.La ecuaci´on general del cambio de base vendr´a dada por(x1, x2)1 00 1= (x1, x2)2 −13 0.Si el vector x = (1, −5) respecto de la base B para determinar sus coordenadasrespecto de la base B utilizamos la igualdad(1, −5)1 00 1= (x1, x2)2 −13 0,de donde se obtiene que(x1, x2) = (1, −5)1 00 12 −13 0−1= (1, −5)0 13−1 23= (13, −1),luego x = (13, −1) respecto de B .
  59. 59. ESPACIOS VECTORIALES. 33 Ejercicio 2.12• Si x = (1, 2, −1) respecto de la base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}, hallar las coor-denadas del vector x respecto de la base can´onica de R3.• Sean B = {u1, u2, u3} y B = {v1, v2, v3} dos bases de R3 , tales que v1 = u2 + u3,v2 = u1 + u3 y v3 = u1 + u2. Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B yde la base B a B.• Dadas las bases de R3, B = {u1 = (2, 1, 0), u2 = (−1, 0, 1), u3 = (0, 1, −2)} y B ={v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 0), v3 = (2, 0, 1)}.a) Hallar la expresi´on anal´ıtica del cambio de base de B a B , de B a B y de B ala base can´onica.b) Si a = (1, 1, 1) respecto de B, ¿cu´ales son sus coordenadas respecto de B .?c) Si b = v1 − v2, escribir la expresi´on de b respecto de B.2.4 SUMA E INTERSECCI´ON DE SUBESPACIOS2.4.1 Suma de subespacios
  60. 60. Definici´on 4 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectorialesde V. Se define el conjuntoL + M = {w : w = u + v con u ∈ L, v ∈ M},es decir, un vector w ∈ L + M si se puede escribir como suma de un vector de L yun vector de M.El conjunto L + M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vec-torial suma de L y M.Si conocemos un sistema de generadores de los espacios L y M, entonces es muyf´acil determinar cu´al es el subespacio L + M.
  61. 61. Propiedad 2.4.1 Si L = L(S) y M = L(S ), entonces L + M = L(S ∪ S ). Ejemplo 2.13• Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados porL = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1) , M =2x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0.Para determinar el subespacio L+M necesitamos conocer un sitema de generadoresde L y de M. En nuestro caso, s´olo hemos de determinar un sistema de generadoresde M. Para ello resolvemos el sistema dado por las ecuaciones cartesianas de M.2x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0⇒x1 = −x4x3 = 2x2⇒x1 = −x4x2 = λx3 = 2x2x4 = µ⇒x1 = −µx2 = λx3 = 2λx4 = µ⇒x1x2x3x4 = λ−1001 + µ0120 .
  62. 62. 34 SUMA E INTERSECCI´ON DE SUBESPACIOSLuego M = (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0) y, por tanto,L + M = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0) .Ahora bien, dado que1 2 3 4−1 1 2 1−1 0 0 10 1 2 0= 0dichos vectores no forman una base de L + M.Para determinar una base de L+M debemos seleccionar un conjunto de vectores quesean linealmente independientes. Para ello podemos calcular el rango de la matrizA =1 2 3 4−1 1 2 1−1 0 0 10 1 2 0De esta forma sabremos cu´antos vectores hay linealmente independiente y cu´alesson. Para ello procedemos de la siguiente forma:1) Seleccionamos un menor de orden 2 distinto de cero. En nuestro caso, podemostomar el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnasdado que1 2−1 1= 0.2) Tomamos los menores de orden 3 obtenidos orlando filas y columnas al menorde orden 2 seleccionado anteriormente hasta encontrar un menor de orden 3 quesea distinto de cero.Orlamos la 3a fila y la 3a columna1 2 3−1 1 2−1 0 0= −1 = 0,Por lo que concluimos que rango(A)=3 y que una base de L + M viene dada porlos vectores {(1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1)}. Por tanto, dim(L + M) = 3.2.4.2 Intersecci´on de dos subespacios
  63. 63. Definici´on 5 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectorialesde V. Se define el conjuntoL ∩ M = {w : w ∈ L y w ∈ M}.El conjunto L ∩ M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vec-torial intersecci´on de L y M.
  64. 64. Propiedad 2.4.2 Las ecuaciones cartesianas de L ∩ M vienen dadas por elsistema formado por las ecuaciones cartesianas de L y las de M.
  65. 65. ESPACIOS VECTORIALES. 35 Ejemplo 2.14• Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados porL = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1) , M =2x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0.Para determinar el subespacio L∩M necesitamos conocer las ecuaciones cartesianasde L y de M. En nuestro caso, s´olo hemos de determinar las ecuaciones cartesianasde L. Para ello partimos de las ecuaci´ones param´etricasx ∈ L ⇒x1x2x3x4 = λ1234 + µ−1121 ⇒x1 = λ − µx2 = 2λ + µx3 = 3λ + 2µx4 = 4λ + µ.Eliminando los par´ametros λ y µ en las ecuaciones param´etricas de L se obtienenlas ecuaciones cartesianasL =x1 − 5x2 + 3x3 = 02x1 + 5x2 − 3x4 = 0.Por tanto, el subespacio vectorial L ∩ M viene dado por las ecuaciones cartesianasL ∩ M =x1 − 5x2 + 3x3 = 02x1 + 5x2 − 3x4 = 02x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0Resolviendo el sistema anterior se obtienex1 = −αx2 = αx3 = 2αx4 = α, α ∈ R ⇒x1x2x3x4 = α−1121 ,por lo que L ∩ M = (−1, 1, 2, 1) y, en consecuencia, dim(L ∩ M) = 1.2.4.3 Teorema de la dimensi´on
  66. 66. Resultado 2.4.1 Sean L y M subespacios vectoriales de V. Entonces secumple quedim(L + M) = dim(L) + dim(M) − dim(L ∩ M). Ejercicio 2.15• Probar que se cumple el Teorema de la dimensi´on para los subespacios L y M delEjemplo 2.10.• Sea L el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que la suma de suscolumnas es cero y M el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que lassuma de sus filas es cero.a) Probar que L y M son subespacios vectoriales de M2×2(R).b) Obtener una base de L, M, L + M y L ∩ M.c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩ M).
  67. 67. 36 SUMA E INTERSECCI´ON DE SUBESPACIOSd) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimensi´on.• Sean L y M los siguientes subconjuntos de P4[x], el conjunto de los polinomios degrado menor o igual que 4 en la variable x, dados porL = {p(x) ∈ P4[x] : p(1) = 0, p (1) = 0}, M = 1 − x, 3 − 4x + x4.a) Probar que L es un subespacios vectorial de P4[x].b) Obtener una base de L, M, L + M y L ∩ M.c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩ M).4) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimensi´on.2.4.4 Suma directa de dos subespacios. Subespacios complementarios.
  68. 68. Definici´on 6 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Si L ∩ M = {0},entonces al subespacio vectorial L+M se le denomina suma directa de los subespaciosL y M y se denota por L ⊕ M.Aplicando el Teorema de la dimensi´on se obtiene que:dim(L ⊕ M) = dim(L) + dim(M) .
  69. 69. Definici´on 7 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Se dice que L y Mson subespacios complementarios si,V = L ⊕ M. Ejemplo 2.16• En P2[x] consideramos el subespacio vectorial L formado por todos los polinomiostales que p (1) = 0. Nos planteamos encontrar el subespacio vectorial complemen-tario de L, es decir, un subespacio M de P2[x] de forma queL ⊕ M = P2[x].Cualquier polinomio p(x) ∈ P2[x] puede escribirse en la formap(x) = a0 + a1x + a2x2.Observemos que el polinomio p(x) puede identificarse con el vector de R3 dado porp = (a0, a1, a2), es decir,P2[x] ←→ R3p(x) = a0 + a1x + a2x2 ←→ p = (a0, a1, a2)Esta identificaci´on nos permite trabajar exactamente igual que lo har´ıamos convectores de R3.La condici´on p (1) = 0 se transforma en la ecuaci´on a1 + 2a2 = 0. En efecto,p (x) = a1 + 2a2x, p (1) = 0 ⇒ a1 + 2a2 = 0,que determina la ecuaci´on cartesiana del subespacio L. Resolviendo esta ecuaci´onobtenemosa1 + 2a2 = 0 ⇒a0 = λa1 = −2µa2 = µ⇒a0a1a2= λ100+ µ0−21
  70. 70. ESPACIOS VECTORIALES. 37por lo que un sistema de generadores de L viene dado por los vectores p1 = (1, 0, 0) yp2 = (0, −2, 1) que se corresponden con los polinomios p1(x) = 1 y p2(x) = −2x+x2,es decir,L = p1, p2 = (1, 0, 0), (0, −2, 1) = p1(x), p2(x) = 1, −2x + x2.Adem´as, puesto que los vectores p1 y p2 son linealmente independientes podemosasegurar que {p1, p2} forman una base de L.Para determinar el subespacio M lo que se hace es completar la base de L hastaobtener una base de R3. Para ello basta a˜nadir un vector p3 de forma quedet(p1|p2|p3) = 0.En nuestro caso, podemos considerar el vector p3 = (0, 0, 1) dado quedet(p1|p2|p3) =1 0 00 −2 10 0 1= −2 = 0.El subespacio M complementario de L ser´a el generado por el vector p3 = (0, 0, 1)que se corresponde con el subespacio vectorial de P2[x] generado por el polinomiop3(x) = x2, es decir,M = p3 = (0, 0, 1) = p3(x) = x2. Ejercicio 2.17• Sea L el subespacio vectorial de M2×2(R) formado por las matrices tales que la sumade las filas es cero. Determinar el espacio complementario de L.• En R4 se consideran los subespacios dados porL =x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 − x4 = 0, M = (1, 0, −1, 0), (0, 2, 0, 1) .Probar que L ⊕ M = R4.2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORES1.- En el espacio vectorial M2×3(R) se considera el conjunto de matricesS =a b a0 c 0: a, b, c ∈ R .a) ] Probar que S es un subespacio vectorial de M2×3(R).b) Escribir las ecuaciones cartesianas y param´etricas de S.c) Calcular la dimensi´on de S y encontar una base de S.d) Encontrar un subespacio T de M2×3(R) de forma queS ⊕ T = M2×3(R).2.- Sea H el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 dado porH =λ λ + µλ − µ λ: λ, µ ∈ R .
  71. 71. 38 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EX´AMENES ANTERIORESa) Probar que H es un subespacio vectorial de M2×2(R).b) Escribir las ecuaciones cartesianas y param´etricas de H.c) Calcular la dimensi´on de H y encontrar una base de H.d) Dado el subespacioH1 =0 1a 0,1 00 1,obtener, si es posible, el valor de a para que H1 = H.3.- Dados los subespacios vectoriales L y M de R4definidos porL = (1, 2, α, 1), (1, 0, 1, 1) ,M = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4: x2 − x3 = 0, x1 − x2 + x4 = 0},determinar, si es posible, el valor de α para que L ⊕ M = R4.4.- Sean B y B dos bases de R2. Obtener la base B sabiendo que B = {(1, 1), (2, −1)}y que la matriz del cambio de base de B a B es1 22 5.5.- Sea F el espacio vectorial de las funciones continuas de R en R. Se considerael subespacio vectorial L generado por las funciones f1(x) = 1, f2(x) = sen2x,f3(x) = cos2x, f4(x) = sen 2x y f5(x) = cos 2x.a) Determinar una base de L.b) Calcular las coordenadas de f(x) = cos 2x + sen 2x respecto de la base ante-rior.Nota: Se sabe que sen2x =1 − cos 2x2y cos2x =1 + cos 2x2.6.- Sea P2[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 yW1 el subespacio vectorial vectorial de P2[x] dado porW1 = {p(x) ∈ P2[x] : p(x) = a + c + (2b + c − a)x + (b + c)x2, a, b, c ∈ R}.a) Encontrar las ecuaciones impl´ıcitas de W1.b) Determinar un subespacio vectorial W2 de P2[x] de forma queW1 ⊕ W2 = P2[x].7.- Dados los subespacios vectoriales de M2×2(R) definidos porF = {A ∈ M2×2(R) : tr(A) = 0}, G = I2 .a) Determinar las ecuaciones cartesianas y param´etricas de F.b) Probar que F ⊕ G = M2×2(R).
  72. 72. 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en cualquier campo de la ciencia.Este cap´ıtulo trata sobre los t´opicos relativos a la resoluci´on de sistemas deecuaciones lineales. Estudiaremos su clasificaci´on y algunos m´etodos de res-oluci´on de los mismos, como el teorema de Rouch´e-Fr¨obenius y el m´etodo deGauss.3.1 PRELIMINARES.3.1.1 Primeros conceptosConsideremos los siguientes sistemas de ecuaciones de orden 2 × 2.S1 ≡x + 2y = 32x − y = 1, S2 ≡2x − y = 14x − 2y = 8, S3 ≡2x − y = 14x − 2y = 2.Estos sistemas pueden resolverse utilizando cualquiera de los m´etodos algebraicosconocidos (reducci´on, igualaci´on o sustituci´on).Por otra parte, si consideramos cada una de las ecuaciones de los sistemas anteriorescomo la ecuaci´on de una recta en el plano podemos dar una interpretaci´on gr´aficade la soluciones de cada uno de los sistemas.Las soluciones ser´an precisamente lospuntos de intersecci´on de ambas rectas.El sistema S1 est´a formado por las ecua-ciones de dos rectas r y s que se cortanen el punto (1, 1). El sistema S1 tienesoluci´on ´unica:x = 1y = 1.(1, 1)s:2x−y=1r : x + 2y = 339
  73. 73. 40 PRELIMINARES.r:2x−y=1r:4x−2y=8El sistema S2 est´a formado por las ecua-ciones de dos rectas r y s que sonparalelas. Por tanto, las rectas r y sno tienen ning´un punto en com´un, loque significa que el sistema S2 no tienesoluci´on.Finalmente, el sistema S3 est´a formadopor las ecuaciones de dos rectas coinci-dentes. El sistema tiene, por tanto, infi-nitas soluciones. Cualquier punto de larecta r es soluci´on del sistema. Para obte-ner soluciones particulares del sistemadamos un valor a la inc´ognita x y, susti-tuyendo en la ecuaci´on 2x − y = 1, obte-nemos el correspondiente valor de y.x = 1 ⇒ y = 1.r:2x−y=1s:4x−2y=2Para expresar la soluci´on general del sistema damos a x un valor arbitrario (x =λ, λ ∈ R) y calculamos el correspondiente valor de y.x = λ ⇒ y = 2λ − 1.La soluci´on general del sistema S3 ser´a,x = λy = 2λ − 1, λ ∈ R.El n´umero λ se llama par´ametro. Obs´ervese que la soluci´on general del sistema vienedada, precisamente, por las ecuaciones param´etricas de la recta r.Resolvamos algebraicamente los sistemas anteriores, utilizando el m´etodo de re-ducci´on, para ver c´omo se traducen estas tres situaciones:S1 ≡x + 2y = 32x − y = 1⇔E1 → E1E2 → E2 − 2E1⇔x + 2y = −1−5y = −5.La segunda ecuaci´on del sistema resultante nos permite despejar la inc´ognita y. Seobtiene y = 1. Sustituyendo este valor en la primera ecuaci´on se llega a que x = 1.S2 ≡2x − y = 14x − 2y = 8⇔E1 → E1E2 → E2 − 2E1⇔2x − y = 10 = 6.La segunda ecuaci´on del sistema resultante es una contradicci´on. Esto significa quelas ecuaciones del sistema son incompatibles. El sistema no tiene soluci´on.S2 ≡2x − y = 14x − 2y = 2⇔E1 → E1E2 → E2 − 2E1⇔2x − y = 10 = 0.
  74. 74. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 41La segunda ecuaci´on del sistema resultante es una identidad. Esto significa que laecuaci´on 4x − 2y = 2 no aporta nada al sistema y podr´ıa suprimirse. De hecho, seobserva que esta ecuaci´on es combinaci´on lineal de la primera (E1 = 2E2).3.1.2 Definiciones y notacionesUn sistema lineal de m ecuaciones y n inc´ognitas es un conjunto de ecuaciones dela formaS ≡a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = cm, (3.1.1)siendo aij ∈ R, los coeficientes, ci ∈ R, los t´erminos independientes y xj lasinc´ognitas, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.Una soluci´on del sistema (3.1.1) es cualquier conjunto de n valores reales(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rnque satisfacen el sistema. Resolver un sistema lineal consistir´a en:1.- determinar si tiene soluci´on y,2.- en caso afirmativo, hallar el conjunto de todas sus soluciones, que notaremospor CS. Ejemplo 3.1• Las ternas (−3, 0, 0) y (2, 4, 1) son soluciones del sistemaS ≡−x + 2y + 3z = 3y + 4z = 0x − y + z = −3x + 5z = −3En este caso, el conjunto soluci´on del sistema S esCS = {(−3 − 5λ, −4λ, λ), λ ∈ R},que habitualmente se indica en la formax = −3 − 5λy = −4λz = λ, λ ∈ R.La expresi´on anterior recibe el nombre de soluci´on general del sistema o ecuacionesparam´etricas del sistema.3.1.2.1 Expresi´on matricial de un sistema. El sistema (3.1.1) puede escribirseen forma matricial comoa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n.........an1 an2 · · · amnx1x2...xn =c1c2...cm .
  75. 75. 42 PRELIMINARES.LlamandoA =a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n.........an1 an2 · · · amn , X =x1x2...xn , C =c1c2...cm ,el sistema (3.1.1) puede escribirse abreviadamente comoA · X = C. (3.1.2)La matriz A se denomina matriz de coeficientes del sistema, X vector columna deinc´ognitas y C vector columna de t´erminos independientes.En lo que sigue tambi´en consideraremos la matrizB =a11 a12 · · · a1n c1a21 a22 · · · a2n c2............an1 an2 · · · amn cmque llamaremos matriz ampliada del sistema. Ejemplo 3.2• El sistema S ≡−x + 2y + 3z = 3y + 4z = 0x − y + z = −3x + 5z = −3puede escribirse matricialmente como−1 2 30 1 41 −1 11 0 5xyz=30−3−3 .En este caso,A =−1 2 30 1 41 −1 11 0 5 , X =xyz, C =30−3−3 , B =−1 2 3 30 1 4 01 −1 1 −31 0 5 −3 .3.1.3 Clasificaci´on de los sistemas linealesLos ejemplos que hemos comentado en la secci´on 2.1 muestran las 3 situacionesque nos podemos encontrar cuando resolvamos un sistema de ecuaciones lineales.Atendiendo al conjunto de soluciones, los sistemas pueden ser:SistemaCOMPATIBLE Tiene soluci´onDETERMINADO Soluci´on ´unicaINDETERMINADO Infinitas solucionesINCOMPATIBLE No tiene soluci´onPor otra parte, atendiendo al vector de t´erminos independientes un sistema se dicehomog´eneo si la matriz C = 0; en caso contrario, el sistema se dice completo.
  76. 76. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 43Obs´ervese que cualquier sistema homog´eneo admite siempre como soluci´on a lasoluci´on trivial (0, · · · , 0), as´ı todo sistema homog´eneo es compatible. Ejemplo 3.3• El sistema S ≡x + y + z = 0x − y − z = 02x + 2y + z = 0es un sistema homog´eneo y compatible determi-nado con soluci´on trivial (x, y, z) = (0, 0, 0).3.1.4 Teorema de Rouch´e-Frobenius.El siguiente teorema nos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales medi-ante el c´alculo de los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
  77. 77. Teorema 3.1.1 Consideremos el sistemaS ≡a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = cmEntonces se cumple que el sistema S esi) compatible determinado si, y s´olo si, rango(A) = rango(B) = n,ii) compatible indeterminado si, y s´olo si, rango(A) = rango(B) n.iii) Incompatible si, y s´olo si, rango(A) = rango(B).Resulta evidente que no existe la posibilidad de que rango(A) = rango(B) n, puesA ∈ Mm×n. Ejemplo 3.4• Consideremos el sistemax + t = 1y + z + t = 1y + z = 0−x + y = 1x − t = 0⇔1 0 0 10 1 1 10 1 1 0−1 1 0 01 0 0 −1xyzt =11010.En primer lugar observemos que rango(A) = 4, dado que podemos seleccionar unmenor de orden 4 en la matriz A que es distinto de cero,1 0 0 10 1 1 0−1 1 0 01 0 0 −1= −1 0 1−1 1 01 0 −1= −1 11 −1= 2 = 0.A continuaci´on estudiamos el rango de la matriz ampliadaB =1 0 0 1 10 1 1 1 10 1 1 0 0−1 1 0 0 11 0 0 −1 0.
  78. 78. 44 RESOLUCI´ON DE SISTEMASPuesto que |B| = −1 = 0, resulta que rango(B) = 5.Como rango(A) = rango(B), el teorema de Rouch´e-Frobenius nos asegura que elsistema es incompatible. Ejercicio 3.5• Clasificar el siguiente sistema seg´un los diferentes valores de m(m + 2)x1 + x2 + x3 + mx4 = 0mx1 + (m − 1)x2 + x3 + (m − 1)x4 = −1 − m(m + 1)x1 + (m + 1)x3 = −4Soluci´on: Estudiamos el rango de la matrizA =m + 2 1 1 mm m − 1 1 m − 1m + 1 0 m + 1 0.Para ello, calculamos el valor de los posibles menores de orden 3 de la matriz A,1 1 mm − 1 1 m − 10 m + 1 0= (m + 1) (m − 1)2m + 2 1 mm 1 m − 1m + 1 m + 1 0= −m2+ 1m + 2 1 mm m − 1 m − 1m + 1 0 0= (m + 1) 2m − 1 − m2m + 2 1 1m m − 1 1m + 1 0 m + 1= (m − 1) m (m + 1) .Todos los menores de orden 3 se anulan simult´aneamente s´olo cuando m = −1. As´ı resultaque, para m = −1, rango(A) = 3. Sustituyendo el valor m = −1 en la matriz A se deducef´acilmente que, en este caso, rango(A) = 2.Estudiaremos, a continuaci´on, el rango de la matriz ampliada. Puede comprobarse quepara cualquier valor de mrango(B) = rangom + 2 1 1 m 0m m − 1 1 m − 1 −1 − mm + 1 0 m + 1 0 −4= 3.Resumiendo, pueden presentarse los siguientes casos:1.- m = −1 rango(A) = rango(B) = 3 = n´umero de inc´ognitas ⇒ sistema compatibledeterminado2.- m = −1 rango(A) = 2 = rango(B) = 3 ⇒ sistema incompatible.
  79. 79. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 453.2 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS3.2.1 Sistemas diagonalesObviamente, los sistemas de ecuaciones lineales m´as f´aciles de resolver son los que“ya est´an resueltos”. En estos sistemas, la matriz de coeficientes es la matriz iden-tidad, 1 0 · · · 00 1 · · · 0............0 0 · · · 1x1x2...xn =c1c2...cn ,y las ecuaciones del sistema son sencillamente de la forma xi = ci, i = 1, 2, · · · , n.Estos sistemas son un sistema particular de sistemas diagonales. Un sistema se dicediagonal si la matriz de coeficientes del sistema es una matriz diagonal. En formamatricial, un sistema diagonal, viene dado pora11 0 · · · 00 a22 · · · 0............0 0 · · · annx1x2...xn =c1c2...cn .Las ecuaciones de un sistema diagonal son de la formaaii xi = ci, i = 1, 2, · · · , n.Si aii = 0, para cada i = 1, 2, · · · , n, la soluci´on se obtiene directamente en laforma xi = ci/aii, i = 1, 2, · · · , n, y el sistema ser´a compatible determinado. Porel contrario, si aii = 0 para alg´un valor de i, el sistema ser´a indeterminado si elcorrespondiente ci = 0 (la ecuaci´on i-´esima ser´a de la forma 0 = 0) o incompatiblesi ci = 0 (la ecuaci´on i-´esima resulta una contradicci´on 0 = ci = 0).3.2.2 Sistemas triangularesUn sistema de ecuaciones lineales de orden m × n se llama triangular superior si severifica queaii = 0, i = 0, 1, · · · , k ; aij = 0, si i j,siendo k = min{m, n}; es decir, la matriz de coeficientes verifica que los elementossituados en la diagonal principal son todos distintos de cero y los elementos situadosdebajo de la diagonal principal son todos nulos.3.2.2.1 Resoluci´on de sistemas triangulares. Podemos encontrarnos con las si-guientes situaciones:1.- m = n El n´umero de ecuaciones es igual al n´umeros de inc´ognitas.En este caso, el sistema ser´a de la formaa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1a22x2 + · · · + a2nxn = c2· · · · · · · · · · · ·annxn = cnLa soluci´on del sistema se obtiene de forma recursiva:
  80. 80. 46 RESOLUCI´ON DE SISTEMAS• Despejamos xn en la ´ultima ecuaci´on.• Sustituimos su valor en la ecuaci´on anterior y despejamos xn−1.• Continuamos el proceso hasta determinar el valor de cada una de las inc´ognitas.Observemos que esto es posible por la condici´on de que aii = 0, i =1, 2, · · · , n.La soluci´on viene dada porxnn =cnann, xi =1aiici −nj=iaijxj , i = n − 1, · · · , 1.El sistema tiene, por tanto, soluci´on ´unica, es decir, se trata de un sistemacompatible determinado.2.- m n El n´umero de ecuaciones es mayor que el n´umeros de inc´ognitas.El sistema ser´a de la formaa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1a22x2 + · · · + a2nxn = c2· · · · · · · · · · · ·annxn = cn0 = cn+1...0 = cmSi alguno de los ci, i = n+1, · · · , m, es distinto de cero, entonces se presenta unacontradicci´on, es decir, el sistema es incompatible. En cambio, si ci = 0 parai = n + 1, · · · , m, las ´ultimas m − n ecuaciones quedan reducidas a igualdadesdel tipo 0 = 0, es decir, no aportan nada al sistema y pueden suprimirse. Acontinuaci´on se procede como en el caso a).3.- m n El n´umero de ecuaciones es menor que el n´umero de inc´ognitasEl sistema ser´a del tipoa11x1 + a12x2 + · · · + a1m + · · · + a1nxn = c1a22x2 + · · · + a2m + · · · + a2nxn = c2· · · · · · · · · · · ·amm + · · · amnxn = cmEn este caso se dice que las inc´ognitas xm+1, · · · , xn “no est´an sometidas acontrol” y, por tanto, podr´an tomar valores arbitrarios. Para resolver el sistemaprocedemos de la siguiente manera:• Asignamos a las variables xm+1, · · · , xn valores arbitrariosxn+1 = λ1, xn = λn−m.• A continuaci´on despejamos el resto de las inc´ognitas xi, j = m, · · · , 1, si-guiendo el procedimiento descrito en el caso a). Los valores de estas inc´og-nitas vendr´an dados en funci´on de λ1, · · · , λm−n que se llaman par´ametros.El sistema es, por tanto, compatible indeterminado (con n−m par´ametros).
  81. 81. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 47 Ejemplo 3.6• El sistemaS ≡−x + 2y + 3z − 3t = 3y + 4z − 2t = 11,es un sistema triangular con 2 ecuaciones y 4 inc´ognitas. Las inc´ognitas z y t noest´an sometidas a control. Para resolver el sistema asignamos a estas inc´ognitasvalores arbitrarios,S ≡−x + 2y + 3z − 3t = 3y + 4z − 2t = 11z = λt = µ, λ, µ ∈ R.Ahora podemos despejar el valor de las inc´ognitas y y x, de forma recursiva,x = 19 − 6λ + 3µy = 11 − 4λ + 3µz = λt = µ, λ, µ ∈ R.Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 2 par´ametros).3.2.3 Sistemas equivalentes. M´etodo de resoluci´on de GaussDos sistemas de ecuaciones S y S se dicen equivalentes cuando ambos tienen elmismo conjunto de soluciones, es decir, toda soluci´on de S es tambi´en soluci´on deS y viceversa. Resolver un sistema ser´a, por tanto, lo mismo que resolver otro quesea equivalente a ´el.
  82. 82. Resultado 3.2.1 Las operaciones que permiten pasar de un sistema lineal aotro equivalente son:1.- Cambiar de orden las inc´ognitas.2.- Cambiar de orden las ecuaciones.3.- Multiplicar una ecuaci´on por un n´umero distinto de cero.4.- Sumar a una ecuaci´on una combinaci´on lineal de las restantes.5.- Suprimir del sistema una ecuaci´on que sea combinaci´on lineal de las restantes.Observemos que estas operaciones guardan una estrecha relaci´on con las operacioneselementales sobre matrices que no alteraban el rango de una matriz. De hecho,en el m´etodo de Gauss (que exponemos a continuaci´on), las operaciones b)-e) setraducir´an en hacer operaciones elementales en las filas de la matriz ampliada delsistema.3.2.3.1 M´etodo de Gauss. El m´etodo de Gauss consiste en aplicar operacioneselementales sobre un sistema S para transformarlo en otro que sea equivalente a ´ely adem´as sea triangular superior.
  83. 83. 48 RESOLUCI´ON DE SISTEMASConsideremos el sistemaS ≡a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = c2· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = cmEl m´etodo de Gauss consiste en lo siguiente:1) Suponemos que a11 = 0. Si esto no fuera cierto reordenamos las ecuaciones y/olas inc´ognitas del sistema para situar en la posici´on (1, 1) un coeficiente distintode cero.(En la pr´actica es aconsejable que a11 = 1, esto podr´ıa conseguirsedividiendo la primera ecuaci´on por −a11 o reordenando las ecuaciones y/o lasinc´ognitas, seg´un lo que m´as interese).2) A continuaci´on mantenemos la 1aecuaci´on E1 → E1 y transformamos el restode las ecuaciones sum´andoles la primera ecuaci´on multiplicada por −ai1/a11,Ei → Ei −ai1a11E1 , i = 2, · · · , m.Tras esta operaci´on se consigue un sistema S , equivalente al anterior, dado porS ≡a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = c1a∗22x2 + a∗23x3 + · · ·+ a∗2nxn = c∗2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a∗m2x2 + a∗m3x3 + · · · + a∗mnxn = c∗mdonde, a∗ij = aij −ai1a1ja11, c∗i = ci −ai1c1a11, i = 2, · · · , m, j = 2, · · · , n.3) Ahora repetimos el procedimiento anterior para el subsistema (∗), suponiendoque a∗22 = 0. En caso contrario reordenamos las ecuaciones y/o las inc´ognitasdel subsistema (∗) para conseguir situar un elemento en la posici´on (2, 2) quesea distinto de cero, ... (En el caso de que sea necesaria una reordenaci´on delas inc´ognitas ´esta tambi´en afectar´a a la ecuaci´on primera).4) Reiteramos el procedimiento hasta encontrarnos con alguna de las siguientessituaciones:• Hemos agotado todas las ecuaciones.• Hemos agotado todas las inc´ognitas.• Todos los coeficientes del subsistema obtenido son cero.La resoluci´on del sistema triangular resultante se har´a teniendo en cuenta la t´ecnicadescrita en la secci´on 3.2.2. Ejercicio 3.7• Resolver el sistema S ≡x + y = 2−2x − y + 2z = −32x − 4z = 2aplicando el m´etodo de Gauss
  84. 84. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 49Soluci´on:S ≡x + y = 2−2x − y + 2z = −32x − 4z = 2⇔E1 → E1E2 → E2 + 2E1E3 → E3 − 2E1⇔x + y = 2y + 2z = 1−2z − 4z = −2⇔E1 → E1E2 → E2E3 → E3 + 2E2⇔x + y = 2y + 2z = 10 = 0La inc´ognita z no est´a sometida a control, por lo que le asignamos un valor arbitrariox + y = 2y + 2z = 1z = λ, λ ∈ R.Despejando las inc´ognitas y y x se obtienex = 1 + 2λy = 1 − 2λz = λ, λ ∈ R.Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 1 par´ametro).En la pr´actica, con objeto de simplificar las notaciones, las transformaciones anterioresse aplican directamente sobre la matriz de coeficientes del sistema. Las operaciones sobrecada una de las ecuaciones del sistema se traducen en las correspondientes operacioneselementales sobre las filas de la matriz ampliada.x + y = 2−2x − y + 2z = −32x − 4z = 2⇔1 1 0 2−2 −1 2 −32 0 −4 2⇔F1 → F1F2 → F2 + 2F1F3 → F3 − 2F1⇔1 1 0 20 1 2 10 −2 −4 −2⇔F1 → F1F2 → F2F3 → F3 + 2F2⇔1 1 0 20 1 2 10 0 0 0⇔x + y = 2y + 2z = 10 = 0Por otra parte, las transformaciones que hemos efectuado sobre las filas de la matrizampliada pueden expresarse matricialmente en la formaF1 → F1F2 → F2 + 2F1F3 → F3 − 2F1⇔F1F2F3→1 0 02 1 0−2 0 1F1F2F3F1 → F1F2 → F2F3 → F3 + 2F2⇔F1F2F3→1 0 00 1 00 2 1F1F2F3.Las matricesM1 =1 0 0−2 1 02 0 1y M2 =1 0 00 1 00 2 1,se llaman matrices de cambio correspondientes a cada una de las transformaciones. Elefecto producido sobre la matriz ampliada del sistema por cada una de estas transfor-maciones puede obtenerse multiplicando a izquierda por cada una de estas matrices decambio. M´as concretamente, la transformaci´on 1a puede expresarse comoM1 · B =1 0 0−2 1 02 0 11 1 0 2−2 −1 2 −32 0 −4 2=1 1 0 20 1 2 10 −2 −4 −2= B
  85. 85. 50 RESOLUCI´ON DE SISTEMASy la transformaci´on 2a se corresponde con el producto,M2 · B =1 0 00 1 00 2 11 1 0 20 1 2 10 −2 −4 −2= B .La matriz B resultante tras estas transformaciones se puede escribirB = M2 · B = M2 · (M1 · B) = (M2 · M1) · B = M · B,donde M = M2 · M1 =1 0 00 1 00 2 1·1 0 00 1 00 2 1=1 0 02 1 0−2 2 1.Podemos decir que la matriz M es la matriz que sintetiza todos las transformaciones quehemos de efectuar sobre las filas de la matriz ampliada o sobre las ecuaciones del sistemapara convertirlo en un sistema triangular equivalente.Adem´as, puesto que la 3a fila de la matriz final es nula, la 3a fila de la matriz M tiene unsignificado especial:−2F1 + 2F2 + 3F3 = 0 ⇒ F3 = 2F1 − 2F2,lo que nos dice que la 3a fila de la matriz B es combinaci´on lineal de la 1a y la 2a filas, olo que es lo mismo, que la 3a ecuaci´on del sistema S es combinaci´on lineal de la 1a y de la2a. De hecho, E3 = −2E1 + 2E2 como puede comprobarse directamente.3.2.4 M´etodo de CramerUn sistema lineal de n ecuaciones y n inc´ognitas se dice que es un sistema de Cramersi la matriz de coeficientes del sistema es regular.Si escribimos el sistema en la forma matricial abreviadaA · X = C, (3.2.1)donde A ∈ Mn, entonces la condici´on para que (3.2.1) sea un sistema de Cramer esque det(A) = 0. Esta condici´on es equivalente a que rango(A) = n, lo que implicaque tambi´en rango(B) = n. Por tanto, aplicando el Teorema de Rouch´e-Frob¨eniusconcluimos que todo sistema de Cramer es compatible determinado. Adem´as, la´unica soluci´on del sistema (3.2.1) se puede obtener comoX = A−1· C, (3.2.2)o equivalentemente, en cada coordenadaixi =a11 · · · c1 · · · a1na21 · · · c2 · · · a2n...............an1 · · · cn · · · ann|A|, i = 1, 2, · · · , n, (3.2.3)donde el determinante que figura en el numerador es el determinante de la matriz decoeficientes en la que hemos sustituido la i-´esima columna por el vector de t´erminosindependientes.

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