Lista polinomio equaçoes_3_ano_2012_pdf

11,168 views

Published on

Equações polinomiais

Published in: Education
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
11,168
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,011
Actions
Shares
0
Downloads
220
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Lista polinomio equaçoes_3_ano_2012_pdf

  1. 1. Professor Cristiano Marcell Colégio Pedro II – Unidade Realengo II Grau Lista de exercícios de Polinômios e Equações Polinomiais Coordenador: Turno:Tarde Data:_____/_____ Aluno (a):________________________________________turma______n0:____Polinômios Exemplo: Verifique se uma das raízes de P(x) = 3x5 – 7x4 + 12x3 - 8x2 + x + 1 é igual a 1. Denominamos polinômios na variável x e indicamos por SoluçãoP(x) a expressão do tipo:P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ….....+a1.x + a0 Os números complexos a0, a1, a2, a3,....., an-1 e an são números reis e os coeficientes desse polinômio. Igualdade (identidade de polinômios) Seus termos são: Sejam A(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an ean.xn ;an-1.xn-1 ; an-2.xn-2 ;…..;a1.x;a0 e o termo ao é chamado de B(x) = b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + ... + bn–1x + bn, temos que A(x)termo independente. = B(x) ou A(x) ≡ B(x), se, e somente se, n é um número natural a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn e A(k) = B(K), para todo K complexo. A variável x∈ C. Exemplo: Considere P(x)= x3+4x2- kx+1, onde -3 é uma deGrau do polinômio. suas raízes. Calcule o valor de k. Solução É representado pelo maior expoente da variável x, quepossui coeficiente não-nulo e é indicado por gr(P). Não se define grau num polinômio nulo.Exemplo:A(x) = 3x5 – 7x4 + 12x3 - 8x2 + x + 55 Gr(P) =________ Exemplo: Num polinômio P(x), do 3º grau, onde P(x) = x3 + mx2 + nx + p, sendo P(1) = P(2) = 0 eB(x) = x6 – 9x3 + 56x2 + 3 Gr(P) =________ P(3)=30. Calcule o valor de P(-1).C(x) = 9x10 – 6x4 + 16 Gr(P) =________ Solução Devemos levar em consideração que os polinômios A(x) eB(x) não estão na forma completa. Coloque-os:A(x) =__________________________________________B(x) =__________________________________________Valor Numérico. Obtemos o valor numérico de um polinômio P(x) para x =k, quando substituímos a variável x pelo número k e efetuamosas operações indicadas.Exemplo: Seja P(x) = x3 – 5x2 + 6x – 10, calcule o valor deP(2) Solução Se P(k) = 0, diremos que k é uma raiz de P(x). Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
  2. 2. Professor Cristiano MarcellDivisão de polinômios Dispositivo de Briot-Ruffini. Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) sendo um Exemplo: Divida o polinômio P(x) = 3x³ - 8x² +5x + 6 por x-2.polinômio não nulo. Devemos determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que +satisfaçam as duas condições abaixo: +I ) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) + 2 3 -8 5 6II) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 3 -2 1 8Chamamos P(x) de dividendo, D(x) de divisor, Q(x) de Resto R(x) x x xquociente e R(x) é o resto da divisão.P(x) é divisível por D(x) se, e somente se, R(x)=0Exemplo: Determinar o quociente de P(x) =x4 + x3-7x2 + 9x -1por D(x) = x2 +3x -2. Resposta: 3x² -2x +1 e resto R(x) = 8 Solução Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x + 10 por D(x) = x - 2. Solução Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio 𝒃 ax+b é igual a 𝑷 − 𝒂 . Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x + Divisão de P(x) por um binômio da forma ax+b 10 por D(x) = x - 2.Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x + Solução10 por D(x) = x-2. Solução Teorema de D’Alembert Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se 𝒃 𝑷 −𝒂 . Exemplo: Determine o valor de m no polinômio P(x) = x³ - 6x² + 11x + m seja divisível por x – 3. Solução Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
  3. 3. Professor Cristiano Marcell Exercícios 14) (UNICAMP-SP) – O resto da divisão do polinômio P(x) =1) O resto da divisão de P(x) = ax3- 2x + 1 por Q(x) = x - 3 é 4. x3 – 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 – 4 é:Nessas condições, o valor de a é: a) R(x) = 2x – 2 b) R(x) = -2x + 4a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 7 c) R(x) = x + 2 d) R(x) = 4x – 42) A divisão do polinômio p(x) = x5 - 2x4 - x + m por q(x) = x - e) R(x) = -x + 41 é exata. O valor de m é 15) (PUC-PR) – O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 + 5x + 1a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 por x – 2 é:3) Sejam P(x) = 2x3 – x2 - 2x + 1 e Q(x) = x - a dois a) 1 b) 20 c) 0 d) 19 e) 2polinômios, com valores de x em IR . Um valor de a para que opolinômio P(x) seja divisível por Q(x) é 16) (PUC-BA) – O quociente da divisão do polinômio P = x3 – 3x2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:a) 1. b) -2. c) - 1/2. d) 2. e) 3. a) x b) x – 1 c) x2 – 1 3 2 24) Se o polinômio x + px + q é divisível pelo polinômio x - d) x2 – 2x + 1 e) x2 – 3x + 36x + 5, então p + q vale: 17) (UEM-PR) A divisão do polinômio 2x4 + 5x3 – 12x + 7 pora) -1 b) 3 c) 5 d) -4 e) 10 x – 1 oferece o seguinte resultado: a) Q = 2x3 + 7x2 + 7x – 5 e R = 25) Na divisão do polinômio P(x) = x5 – 10x3 + 6x2 + x – 7 por b) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 2D(x) = x(x – 1)(x + 1) encontrou-se como resto o polinômio c) Q = 2x3 + 3x2 – 3x – 9 e R = 16R(x). Calcule R(1). d) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 0 e) Q = 2x3 + 3x2 – 15x + 22 e R = 26) Determine o valor de a sabendo que 2 é raiz de P(x) = 2x3 –ax + 4 18) (CESGRANRIO-RJ) – O resto da divisão de 4x9 + 7x6 + 4x3 + 3 por x + 1 vale:7) Qual o valor de m para que o polinômio x3 + 2x2 – 3x + mao ser dividido por x + 1, deixe resto 3? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 48) Considere o polinômio P(x) = ax2 + bx + c, onde P(0) = 80, 19) (UFRS) A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 eP(20) = 65 e P(60) = 0. Com isso, determine o valor de a. resto 1. O polinômio P(x) é:9) Sabendo-se que o polinômio x4 + 4x3 + px2 + qx + r é a) x2 + x – 1divisível por x3 + 3x+2 + 9x + 3, segue que p é igual a b) x2 + x + 1 c) x2 + xa) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. d) x3 – 2x2 + x – 2 e) x3 – 2x2 + x – 110) Sabendo-se que A(x) = x3 + ax2 + bx - 6 é divisível porB(x) = x2 - 3x + 2, calcule a + b. 20) (UFSE) Dividindo-se o polinômio f = x4 pelo polinômio g = x2 – 1, obtém-se quociente e resto, respectivamente, iguais a:11) (UFMG) – O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – a) x2 + 1 e x + 11 por q(x) = 4x3 +1 é: b) x2 – 1 e x + 1 c) x2 + 1 e x – 1a) x – 5 b) x – 1 c) x + 5 d) x2 – 1 e -1d) 4x – 5 e) 4x + 8 e) x2 + 1 e 112) (UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x 21) (FATEC-SP) Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x2 ++ 1 por x2 – x + 2 ? 7x – 2 é Q(x) = x2- 3x + 1, então o outro fator é:a) x + 1 b) 3x + 2 c) -2x + 3 a) x – 2 b) x + 2 c)-x – 2d) x – 1 e) x – 2 d) -x + 2 e) x + 113) (CEFET-PR) O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x2 22) Determine a e b de forma que, para todo x real e tal que | x |+16x – 12 por Q(x) = x – 3 é: ≠ 1, se tenha 𝑎 + 𝑏 = 2 2𝑥 𝑥−1 𝑥+1 𝑥 −1 3 2 2a) x – 3 b) x – x + 1 c) x – 5x + 6d) x2 – 4x + 4 e) x2 + 4x – 4 Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
  4. 4. Professor Cristiano Marcell23) Reduzir a expressão mais simples: Equações Polinomiais. 3 3 3 a  b  c a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ ….....+an–1x+ an = 0, com a  b a  c  b  c  b  a  c  a  c  b números complexos a0, a1, a2, a3,....., an-1 e an são os coeficientes desse polinômios e n pertence aos naturais.24) O retângulo ABCD da figura abaixo tem base igual a x  y Pode ser escrita na forma fatorada.. O segmento AF tem medida z . Sabe-se que x 2  y 2  z 2  3,54 e que x z  y z  x y  0,62 . A área do a0(x – x1). (x – x2). (x – x3). (x – x4)...... (x – xn)=0quadrado FBCE é Teorema Fundamental da álgebra. Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n≥1 admite,a) 2,10 pelo menos, uma raiz complexa..b) 2,20c) 2,30 Relações de Girard.d) 2,40e) 2,50 I) x1+ x2+ x3=  b a 𝑥+5 𝑎 𝑏25) Se a expressão 4𝑥 2 −1 = 2𝑥=1 + 2𝑥−1 , onde a e b são II) x1. x2+ x2.x3+ x1.x3= cconstantes, é verdadeira para todo número real x · •1/2, então ao valor de a + b é: III) x1. x2. x3=  da) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3 a Rascunho Exemplo: Uma das raízes da equação x3 – 6x2 +11x – 6 = 0 é igual a 1. Determine as suas outras raízes. Solução Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
  5. 5. Professor Cristiano MarcellMultiplicidade da raiz de um polinômio 27) Uma das raízes da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0 é 1. As outras raízes são:Sabendo-se que 3 é raiz da equaçãox7-15x6+94x5-330x4 +765x³-1323x² +1620x- 972 = 0, a) -2 e 2 b) 2 e 4 c) -2 e 3 d) 3 e 4a) Determine a multiplicidade dessa raiz.b) Encontre as outras raízes desse polinômio. 28) Se 3 + 2 i é raiz da equação x2 + mx + n = 0 com a e b números reais, então m + n vale: Solução a) 7 b) – 4 c) – 6 d) 19 e) 2 29) Dada a equação polinomial com coeficientes reais x3 - 5x2 + 9x - k = 0: a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação. b) Para o valor de k encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação. 30) Os zeros do polinômio a seguir formam uma P.A. p(x) = x3 - 12x2 + 44x - 48 O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por: a) {0, 4, 8} b) {2, 4, 6} c) {-1, 4, 9} d) {-2,- 4,- 6} 31) Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x3 - 2x2 + x - 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a a) 1. b) 2. c) 4. d) 8. e) 9. 32) As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio x3 - 14x2 + 56x - 64. Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo. 33) Uma loja de produtos de beleza construiu sua vitrine em acrílico, com as dimensões representadas na figura. A equação matemática do volume desse paralelepípedo, definido quando x > 4, sendo conhecidos a, b e c, é dada pelo polinômio P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8. Sabendo que a soma de duas das raízes do polinômio é igual a 5, pode-se afirmar, a respeito das raízes, que:Exercícios a) nenhuma é real.26) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – b) são todas iguais e não-nulas.mx2 + 4x + 3 é igual a -1. Determinar c) somente uma delas é nula. d) constituem uma progressão aritmética.a) o valor de m. e) constituem uma progressão geométrica.b) as raízes de p. Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
  6. 6. Professor Cristiano Marcell GABARITO 1 (a) 2 (e) 3 (a) 4 (a) 5 -9 6 10 7 -1 8 -7/480 9 (d) 10 5 11 (b) 12 (c) 13 (d) 14 (d) 15 (d) 16 (d) 17 (a) 18 (c) 19 (e) 20 (d) 21 (a) 22 a=b=1 23 0 24 (c) 25 (c) 26 a) m = 7 b) 3/2; 1 - 2 e 1 + 2 27 (c) 28 (a) 29 a) k = 5 b) 2 - i e 1 30 (b) 31 (e) 32 64 m2 33 (e) Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

×