1. PRIMER CURSO DE ESPECIALIZACIÓN
“ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL ELÁSTICO
DE ESTRUCTURAS”
Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
ing_erlyenriquez@hotmail.com
10 DE JUNIO 2018
Tacna – Perú

2. Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
ing_erlyenriquez@hotmail.com
10 DE JUNIO 2018
Tacna – Perú
SESIÓN N° 01
“ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS”

3. ÍNDICE
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN
1.2 OBJETIVOS
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN
2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD
2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
2.5 EJERCICIOS RESUELTOS

4. ÍNDICE
CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
3.4 EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES
4.2 VECTOR FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
4.4 EJERCICIOS RESUELTOS

5. ÍNDICE
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS LOC.
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS

6. ÍNDICE
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
7.4 EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES
8.2 RECOMENDACIONES
8.3 BIBLIOGRAFÍA

7. CAPÍTULO I
GENERALIDADES
Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo XIX,
tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática.
Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los
aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto.
Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de
reducir el conjunto de cálculos. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico
fueron apareciendo (Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran
aplicable sólo a determinados tipos de estructuras.
1.1 INTRODUCCIÓN

8. CAPÍTULO I
GENERALIDADES
La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos
conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de
resolver manualmente.
Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no
tiene ahora sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto
explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las
estructuras más al siglo XIX que al XX.
1.1 INTRODUCCIÓN

9. CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1 INTRODUCCIÓN

10. CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 OBJETIVO GENERAL
La presente sesión tiene como objetivo realizar el análisis matricial de estructuras
por el método de la matriz Rigidez, para determinar las deformaciones en los nudos
y las fuerzas internas en los elementos.

11. CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.2 OBJETIVOS
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Comprender el método de la flexibilidad y rigidez.
- Realizar el análisis matricial de armaduras.
- Realizar el análisis matricial de vigas.
- Realizar el análisis matricial de pórticos.
- Realizar el análisis matricial de muros.
- Realizar el análisis matricial de 2° Orden (Efecto P – Δ)

12. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN
Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua
real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas
propiedades pueden expresarse en forma matricial.
Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de
manera un poco arbitraria por el analista. A continuación se calculan las propiedades
elásticas de cada elemento mediante la teoría de un medio elástico continuo, se
efectúa el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y se procede
entonces a resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamaño de los
elementos se incrementa la convergencia entre el comportamiento del modelo y el
de la estructura continua original.

13. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN
El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas bien
definidas, a saber:
- Acción sobre la estructura
- Acción sobre los elementos
- Respuesta de los elementos
- Respuesta de la estructura

14. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
2.1 INTRODUCCIÓN

15. 2.2 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
2.2.1 COMPATIBILIDAD
Las deformaciones de la estructura deben ser compatibles con las deformaciones de
los elementos.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

16. 2.2.2 EQUILIBRIO
Toda la estructura
o cualquier parte
de ella, debe estar
en equilibrio bajo
la acción de
cargas externas y
fuerzas internas.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

17. 2.2.3 LEYES CONSTITUTIVAS
Son las curvas esfuerzo – deformación del material. La ley constitutiva para
materiales elásticos es la ley de Hooke.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
𝜎 = 𝐸𝜀

18. 2.3 MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD
En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura
estática determinada y estable. Luego se obtienen soluciones complementarias que
permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de
ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se aplica la
condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

19. 2.4 MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
En este método se obtiene primero una estructura modificada bloqueando los
desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego se
superponen otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos
desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es
igual al número del grado de grados de libertad. Primero se aplica el principio de
compatibilidad y luego el de equilibrio.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

20. 2.5 EJERCICIOS RESUELTOS
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
L
w
B C
L/2 L/2
P
A

21. Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y
RC.
Estructura real
L
L/2 L/2
w
P
A B C
RB RC
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

22. L
L/2 L/2
w
P
A
B C
B0
C0
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y
RC.
Estructura primaria (estática y estable)

23. L
A B C
B1
C1
F = 1
L
x RB
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y
RC.
Primera solución complementaria
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

24. L
A B C
B2
C2
F = 1
L
x RC
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
a) Mediante el método matricial de la flexibilidad determinar las reacciones RB y
RC.
Segunda solución complementaria
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

25. Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
Equilibrio: Resolver cada sistema simple
Compatibilidad:
0 = ∆B = ∆B0 + ∆B1 x RB + ∆B2 x RC (1.1)
0 = ∆C = ∆C0 + ∆C1 x RB + ∆C2 x RC (1.2)
Expresado Matricialmente las Ec. (1.1) y (1.2):
0
0
=
∆B
∆C
=
∆B0
∆C0
+
∆B1 ∆B2
∆C1 ∆C2
x
RB
RC
(1.3)
Despejando las Reacciones en la Ec. (1.3):
RB
RC
=
∆B1 ∆B2
∆C1 ∆C2
-1
x -
∆B0
∆C0
(1.4)
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

26. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
L
L/2 L/2
w
P
A
B
C
B
B
C
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y
C.
Estructura real

27. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
L
L/2 L/2
w
P
A
B C
MB0 MC0
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y
C.
Estructura primaria (se bloquean los desplazamientos)

28. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
L
A
B C
MB1 MC1
L
=1
=1
x B
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y
C.
Primera solución complementaria

29. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
L
A
B C
MB2 MC2
L
=1
x C
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide
b) Mediante el método matricial de la rigidez determinar los giros en los nudos B y
C.
Segunda solución complementaria

30. CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ RIGIDEZ
Compatibilidad: Determinación de cada sistema
Equilibrio:
0 = MB = MB0 + MB1 x θB + MB2 x θC (1.5)
0 = MC = MC0 + MC1 x θB + MC2 x θC (1.6)
Expresado Matricialmente las Ec. (1.5) y (1.6):
0
0
=
MB
MC
=
MB0
MC0
+
MB1 MB2
MC1 MC2
x
θB
θC
(1.7)
Despejando los giros en la Ec. (1.7):
θB
θC
=
MB1 MB2
M M
-1
x -
MB0
M
(1.8)
Pregunta 1. Para la estructura mostrada se pide

31. Pregunta 2. Para la estructura mostrada formada por los 4 resortes con rigideces
K1, K2, K3 y K4 se pide:
a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
k1
4 2
3 5
1
k4
k3
F1
k2
F3

32. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
Desplazamientos en los nudos
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
k1
k4
k3
k2
2
4
1
3 5

33. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
Fuerzas internas en los Elementos
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
k1
k4
k3
k2
p4
p4
p1
p1
p2
p2
p3
p3

34. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
Equilibrio en nudos
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
F1
F2
p3
p4 p4
1
p1
F4
4
p2
p1
2
p2
F3
3
F5
p3
5

35. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
Relación de compatibilidad deformación – desplazamiento
ε1 = Δ2 – Δ4 (a2.1)
ε2 = Δ3 – Δ2 (a2.2)
ε3 = Δ5 – Δ3 (a2.3)
ε4 = Δ1 – Δ2 (a2.4)
Relación de Constitutivas
p1 = k1ε1 (a2.5)
p2 = k2ε2 (a2.6)
p3 = k3ε3 (a2.7)
p4 = k4ε4 (a2.8)

36. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
Relación de Equilibrio
F1 = p4 (a2.9)
F2 = p1 – p2 – p4 (a2.10)
F3 = p2 – p3 (a2.11)
F4 = -p1 (a2.12)
F5 = p3 (a2.13)
Introduciendo las Ec. (a2.1), (a2.2), (a2.3) y (a2.4) en las Ec. (a2.5), (a2.6), (a2.7) y (a2.8)
p1 = k1(Δ2 – Δ4) (a2.14)
p2 = k2(Δ3 – Δ2) (a2.15)
p3 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.16)
p4 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.17)

37. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
Introduciendo las Ec. (2.14), (2.15), (2.16) y (2.17) en las Ec. (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) y (2.13)
F1 = k4(Δ1 – Δ2) (a2.18)
F2 = k1(Δ2 – Δ4) – k2(Δ3 – Δ2) – k4(Δ1 – Δ2) (a2.19)
F3 = k2(Δ3 – Δ2) – k3(Δ5 – Δ3) (a2.20)
F4 = -k1(Δ2 – Δ4) (a2.21)
F5 = k3(Δ5 – Δ3) (a2.22)
Ordenando Matricialmente
F1
F2
F3
F4
F5
=
k4 -k4
0
-k4
k1+k2+k4 -k2
0 0
-k1
0
0 -k2
k2+k3
0 -k1
0
0 0 -k
0 -k3
k1 0
0 k3
x
∆1
∆2
∆3
∆4
∆5
(a2.23)

38. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
Introduciendo condiciones de borde
F1
0
F3
R4
R5
=
k4 -k4
0
-k4
k1+k2+k4 -k2
0 0
-k1
0
0 -k2
k2+k3
0 -k1
0
0 0 -k3
0 -k3
k1 0
0 k3
x
∆1
∆2
∆3
0
0
(a2.24)

39. a) El sistema de ecuaciones que define la solución del problema.
CAPÍTULO II
MÉTODO DE LA MATRIZ FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
Sistema de Ecuaciones que define la solución del Problema
F1
0
F3
=
k4 -k4
0
-k4
k1+k2+k4 -k2
0 -k2
k2+k3
x
∆1
∆2
∆3
(a2.25)
R4
R5
=
0 -k1
0
0 0 -k3
x
∆1
∆2
∆3
(a2.26)
De la Ec. (2.25) determinamos los desplazamientos Δ1, Δ2 y Δ3.
De la Ec. (2.26) determinamos las reacciones R4 y R5.

40. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
E, A, L
1
3
2
1
4
2
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘11 𝑘12
𝑘21 𝑘22
𝑘13 𝑘14
𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32
𝑘41 𝑘42
𝑘33 𝑘34
𝑘43 𝑘44
∆1
∆2
∆3
∆4

41. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
culo de la primera columna de la matriz rigidez:
∆1= 1 ; ∆2= 0 ; ∆3= 0 ; ∆4= 0
E, A, L
1 2
1
D=1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘11
𝑘21
𝑘31
𝑘41
=
𝐸𝐴/𝐿
0
−𝐸𝐴/𝐿
0

42. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
∆1= 0 ; ∆2= 0 ; ∆3= 1 ; ∆4= 0
E, A, L
1
1 D=1
2
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘13
𝑘23
𝑘33
𝑘43
=
−𝐸𝐴/𝐿
0
𝐸𝐴/𝐿
0

43. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Matriz rigidez en coordenadas locales:
𝑘′ =
𝐸𝐴/𝐿
0
−𝐸𝐴/𝐿
0
0
0
0
0
−𝐸𝐴/𝐿
0
𝐸𝐴/𝐿
0
0
0
0
0

44. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
xi
xj
yj
yi
Ø

45. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES
𝑥𝑖
′
= 𝑥𝑖𝑐𝑜𝑠Ø + 𝑦𝑖𝑠𝑒𝑛Ø
𝑦𝑖
′
= −𝑥𝑖𝑠𝑒𝑛Ø + 𝑦𝑖𝑐𝑜𝑠Ø
𝑥𝑗
′
= 𝑥𝑗 𝑐𝑜𝑠Ø + 𝑦𝑗 𝑠𝑒𝑛Ø
𝑦𝑗
′
= −𝑥𝑗 𝑠𝑒𝑛Ø + 𝑦𝑗 𝑐𝑜𝑠Ø
𝑥𝑖
′
𝑦𝑖
′
𝑥𝑗
′
𝑦𝑗
′
=
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4

46. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES
𝑇 =
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
𝐹′ = 𝑇𝐹 → 𝐹 = 𝑇−1
𝐹′
𝐹 = 𝑘∆→ 𝐹′ = 𝑘′∆′
∆′
= 𝑇∆→ 𝐹 = 𝑇−1
𝑘′𝑇∆
𝑘 = 𝑇 𝑇
𝑘′ 𝑇

47. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez 𝑘′𝑖 de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz transformación 𝑇𝑖 de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
𝑘𝑖 = 𝑇 𝑇
𝑘′𝑖 𝑇𝑖
4) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
𝐹 = 𝐾 ∆
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
𝐹 = 𝐹
𝑎

48. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
6) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
𝐹1
𝐹2
=
𝐾11 𝐾12
𝐾21 𝐾22
∆1
∆2
7) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
∆1 = 𝐾11
−1
𝐹1
8) Determinar las Reacciones de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
𝐹2 = 𝐾21 ∆1
9) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
𝑆𝑖 = 𝑘′𝑖 𝑇𝑖 𝑢𝑖

49. CAPÍTULO III
ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS
3.4 EJERCICIOS RESUELTOS
EA Constante
2 Kip
5 Kip
8 ft
8 ft 6 ft

50. CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS
4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA VIGA EN COORDENADAS GLOBALES
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘11 𝑘12
𝑘21 𝑘22
𝑘13 𝑘14
𝑘23 𝑘24
𝑘31 𝑘32
𝑘41 𝑘42
𝑘33 𝑘34
𝑘43 𝑘44
∆1
∆2
∆3
∆4

51. 4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
∆1= 1 ; ∆2= 0 ; ∆3= 0 ; ∆4= 0
E, I, L
2
1 3
4
1
D=1
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘11
𝑘21
𝑘31
𝑘41
=
12𝐸𝐼 𝐿3
6𝐸𝐼 𝐿2
−12𝐸𝐼 𝐿3
6𝐸𝐼 𝐿2
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

52. 4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
∆1= 0 ; ∆2= 1 ; ∆3= 0 ; ∆4= 0
E, I, L
2
1 3
1
D=1
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘11
𝑘21
𝑘31
𝑘41
=
6𝐸𝐼 𝐿2
4𝐸𝐼 𝐿
−6𝐸𝐼 𝐿2
2𝐸𝐼 𝐿
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

53. 4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
∆1= 0 ; ∆2= 0 ; ∆3= 1 ; ∆4= 0
E, I, L
1
3 D=1
2
1
2
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘11
𝑘21
𝑘31
𝑘41
=
− 12𝐸𝐼 𝐿3
−6𝐸𝐼 𝐿2
12𝐸𝐼 𝐿3
−6𝐸𝐼 𝐿2
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

54. 4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
∆1= 0 ; ∆2= 0 ; ∆3= 0 ; ∆4= 1
2
E, I, L
1
1 3
D=1
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
=
𝑘11
𝑘21
𝑘31
𝑘41
=
6𝐸𝐼 𝐿2
2𝐸𝐼 𝐿
− 6𝐸𝐼 𝐿2
4𝐸𝐼 𝐿
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

55. 4.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Matriz rigidez en coordenadas globales:
𝑘 =
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
−
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

56. 4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Carga uniformemente repartida:
WL
L
12
2
WL
WL
12
WL
2
1 2
𝐹′1
𝐹′2
𝐹′3
𝐹′4
=
𝑊𝐿 2
𝑊𝐿2
12
𝑊𝐿 2
−𝑊𝐿2
12
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

57. 4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Carga puntual en el medio del tramo:
PL
P
L/2
8
P
2
PL
8
P
2
1 2
L/2
𝐹′1
𝐹′2
𝐹′3
𝐹′4
=
𝑃 2
𝑃𝐿 8
𝑃 2
−𝑃𝐿 8
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

58. 4.2 VECTOR FUEZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Carga puntual dentro del tramo:
Pab
P
a
L
Pb
L
Pa
L
1 2
b
L
2
2
Pa b
L
2
2
𝐹′1
𝐹′2
𝐹′3
𝐹′4
=
𝑃𝑏 𝐿
𝑃𝑎𝑏2
𝐿2
𝑃𝑎 𝐿
−𝑃𝑎2
𝑏 𝐿2
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

59. 4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar la matriz rigidez 𝑘′𝑖 de los elementos en coordenadas globales.
2) Ensamblar la matriz de rigidez 𝐾 de la estructura.
3) Determinar el vector fuerzas de empotramiento 𝐹𝑒𝑖 de los elementos.
4) Determinar el vector fuerzas en los nudos.
𝐹 = 𝐹
𝑎 − 𝐹
𝑒
5) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
𝐹1
𝐹2
=
𝐾11 𝐾12
𝐾21 𝐾22
∆1
∆2
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

60. 4.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
6) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
∆1 = 𝐾11
−1
𝐹1
7) Determinar las Reacciones de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
𝐹2 = 𝐾21 ∆1
8) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
𝑆𝑖 = 𝑘𝑖 𝑢𝑖 + 𝐹𝑒𝑖
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

61. 4.4 EJERCICIOS RESUELTOS
EI constante.
24ft
36ft
3 kip/ft
2 kip/ft
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS MATRICIAL DE VIGAS

62. CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES
E, A, I, L
1
4
2
1
6
3
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
=
𝑘11 𝑘12 𝑘13
𝑘21 𝑘22 𝑘23
𝑘31 𝑘32 𝑘33
𝑘14 𝑘15 𝑘16
𝑘24 𝑘25 𝑘26
𝑘34 𝑘35 𝑘36
𝑘41 𝑘42 𝑘43
𝑘51 𝑘52 𝑘53
𝑘61 𝑘62 𝑘63
𝑘44 𝑘45 𝑘46
𝑘54 𝑘55 𝑘56
𝑘64 𝑘65 𝑘66
∆1
∆2
∆3
∆4
∆5
∆6

63. 5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la primera columna de la matriz rigidez:
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
∆1= 1 ; ∆2= 0 ; ∆3= 0 ; ∆4= 0 ; ∆5= 0 ; ∆6= 0
E, A, I, L
1 2
1
D=1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
=
𝑘11
𝑘21
𝑘31
𝑘41
𝑘51
𝑘61
=
𝐸𝐴/𝐿
0
0
−𝐸𝐴/𝐿
0
0

64. 5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la segunda columna de la matriz rigidez:
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
∆1= 0 ; ∆2= 1 ; ∆3= 0 ; ∆4= 0 ; ∆5= 0 ; ∆6= 0
E, A, I, L
2
1 5
6
2
D=1
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹
=
𝑘12
𝑘22
𝑘32
𝑘42
𝑘52
𝑘
=
0
12𝐸𝐼 𝐿3
6𝐸𝐼 𝐿2
0
−12𝐸𝐼 𝐿3
6𝐸𝐼 𝐿2

65. 5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la tercera columna de la matriz rigidez:
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
∆1= 0 ; ∆2= 0 ; ∆3= 1 ; ∆4= 0 ; ∆5= 0 ; ∆6= 0
E, A, I, L
2
1 5
2
D=1
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
=
𝑘13
𝑘23
𝑘33
𝑘43
𝑘53
𝑘63
=
0
6𝐸𝐼 𝐿2
4𝐸𝐼 𝐿
0
−6𝐸𝐼 𝐿2
2𝐸𝐼 𝐿

66. 5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la cuarta columna de la matriz rigidez:
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
∆1= 0 ; ∆2= 0 ; ∆3= 0 ; ∆4= 1 ; ∆5= 0 ; ∆6= 0
1
1 D=1
2
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
=
𝑘14
𝑘24
𝑘34
𝑘44
𝑘54
𝑘64
=
−𝐸𝐴/𝐿
0
0
𝐸𝐴/𝐿
0
0

67. 5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la quinta columna de la matriz rigidez:
∆1= 0 ; ∆2= 0 ; ∆3= 0 ; ∆4= 0 ; ∆5= 1 ; ∆6= 0
E, A, I, L
1
5 D=1
2
1
3
2
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
=
𝑘15
𝑘25
𝑘35
𝑘45
𝑘55
𝑘65
=
0
− 12𝐸𝐼 𝐿3
−6𝐸𝐼 𝐿2
0
12𝐸𝐼 𝐿3
−6𝐸𝐼 𝐿2
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS

68. 5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Cálculo de la sexta columna de la matriz rigidez:
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
∆1= 0 ; ∆2= 0 ; ∆3= 0 ; ∆4= 0 ; ∆5= 0 ; ∆6= 1
2
E, A, I, L
1
2 5
D=1
1
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐹4
𝐹5
𝐹6
=
𝑘16
𝑘26
𝑘36
𝑘46
𝑘56
𝑘66
=
0
6𝐸𝐼 𝐿2
2𝐸𝐼 𝐿
0
− 6𝐸𝐼 𝐿2
4𝐸𝐼 𝐿

69. 5.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UNA BARRA EN COORDENADAS LOCALES
Matriz rigidez en coordenadas locales:
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
𝑘 ′ =
𝐸𝐴
𝐿
0 0 −
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
0
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
0 −
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
𝐸𝐴
𝐿
0 0
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
0
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
0
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
0 −
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿

70. 5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
xi
xj
yj
yi
Ø
Mi
Mj

71. CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
𝑥𝑖
′
= 𝑥𝑖𝑐𝑜𝑠Ø + 𝑦𝑖𝑠𝑒𝑛Ø
𝑦𝑖
′
= −𝑥𝑖𝑠𝑒𝑛Ø + 𝑦𝑖𝑐𝑜𝑠Ø
𝑀𝑖
′
= 𝑀𝑖
𝑥𝑗
′
= 𝑥𝑗 𝑐𝑜𝑠Ø + 𝑦𝑗 𝑠𝑒𝑛Ø
𝑦𝑗
′
= −𝑥𝑗 𝑠𝑒𝑛Ø + 𝑦𝑗 𝑐𝑜𝑠Ø
𝑀𝑗
′
= 𝑀𝑗
𝑥𝑖
′
𝑦𝑖
′
𝑀𝑖
′
𝑥𝑗
′
𝑦𝑗
′
𝑀𝑗
′
=
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑀𝑖
𝑥𝑗
𝑦𝑗
𝑀𝑗
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES

72. CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
𝑇 =
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
𝐹′ = 𝑇𝐹 → 𝐹 = 𝑇−1
𝐹′
𝐹 = 𝑘∆→ 𝐹′ = 𝑘′∆′
∆′
= 𝑇∆→ 𝐹 = 𝑇−1
𝑘′𝑇∆
𝑘 = 𝑇 𝑇
𝑘 ′ 𝑇
5.2 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES

73. 5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
1) Determinar la matriz rigidez 𝑘′𝑖 de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz de transformación 𝑇𝑖 de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
𝑘𝑖 = 𝑇𝑖
𝑇
𝑘′𝑖 𝑇𝑖
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura 𝐾 .
5) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos 𝐹′𝑒𝑖 .
6) Determinar el vector fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura 𝐹𝑒𝑖 .
𝐹𝑒𝑖 = 𝑇 𝑇
𝐹′𝑒𝑖
7) Determinar el vector fuerzas en los nudos 𝐹 .
𝐹 = 𝐹
𝑎 − 𝐹
𝑒

74. 5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
8) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
𝐹1
𝐹2
=
𝐾11 𝐾12
𝐾21 𝐾22
∆1
∆2
9) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
∆1 = 𝐾11
−1
𝐹1
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
𝐹2 = 𝐾21 ∆1
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
𝑆𝑖 = 𝑘′𝑖 𝑇𝑖 𝑢𝑖 + 𝐹′𝑒𝑖

75. 5.4 EJERCICIOS RESUELTOS
E = 20000000 kN/m2
I = 0.00035 m4
A = 0.02 m2
CAPÍTULO V
ANÁLISIS MATRICIAL DE PÓRTICOS
1
2
K
N
/
m
20 KN
3 m 2 m 2 m
4 m

76. CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.1 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CORTE EN COORDENADAS
LOCALES
𝑘′ =
𝐸𝐴
𝐿
0 0 −
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0
12𝐸𝐼
𝐿3 1 + 𝜃
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3 1 + 𝜃
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
0
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
4 + 𝜃 𝐸𝐼
1 + 𝜃 𝐿
0 −
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
2 − 𝜃 𝐸𝐼
1 + 𝜃 𝐿
−
𝐸𝐴
𝐿
0 0
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3 1 + 𝜃
−
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
0
12𝐸𝐼
𝐿3 1 + 𝜃
−
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
0
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
2 − 𝜃 𝐸𝐼
1 + 𝜃 𝐿
0 −
6𝐸𝐼
𝐿2 1 + 𝜃
4 + 𝜃 𝐸𝐼
1 + 𝜃 𝐿
𝜃 =
12𝐸𝐼
𝐺𝐴𝑐𝐿2
; 𝐴𝑐 =
5
6
𝐴

77. CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6.2 MATRIZ RIGIDEZ DE ELEMENTO CON BRAZOS RÍGIDOS EN COORD.
LOCALES
𝑘′ =
𝐸𝐴
𝐿
0 0 −
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑎
𝐿3
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑏
𝐿3
0
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑎
𝐿3
4𝐸𝐼
𝐿
+
12𝐸𝐼𝑎 𝐿 + 𝑎
𝐿3
0 −
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑎
𝐿3
2𝐸𝐼
𝐿
+
6𝐸𝐼 𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 2𝑎𝑏
𝐿3
−
𝐸𝐴
𝐿
0 0
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑎
𝐿3
0
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑏
𝐿3
0
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑏
𝐿3
2𝐸𝐼
𝐿
+
6𝐸𝐼 𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 2𝑎𝑏
𝐿3
0 −
6𝐸𝐼 𝐿 + 2𝑏
𝐿3
4𝐸𝐼
𝐿
+
12𝐸𝐼𝑏 𝐿 + 𝑏
𝐿3

78. 6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
X'
Y'
x'i
x'j
y'i
y'j
X
Y
xi
xj
yj
yi
Ø
Mi
Mj
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS

79. 𝑥𝑖
′
= 𝑥𝑖𝑐𝑜𝑠Ø + 𝑦𝑖𝑠𝑒𝑛Ø
𝑦𝑖
′
= −𝑥𝑖𝑠𝑒𝑛Ø + 𝑦𝑖𝑐𝑜𝑠Ø
𝑀𝑖
′
= 𝑀𝑖
𝑥𝑗
′
= 𝑥𝑗 𝑐𝑜𝑠Ø + 𝑦𝑗 𝑠𝑒𝑛Ø
𝑦𝑗
′
= −𝑥𝑗 𝑠𝑒𝑛Ø + 𝑦𝑗 𝑐𝑜𝑠Ø
𝑀𝑗
′
= 𝑀𝑗
𝑥𝑖
′
𝑦𝑖
′
𝑀𝑖
′
𝑥𝑗
′
𝑦𝑗
′
𝑀𝑗
′
=
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑀𝑖
𝑥𝑗
𝑦𝑗
𝑀𝑗
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS

80. 𝑇 =
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
𝐹′ = 𝑇𝐹 → 𝐹 = 𝑇−1
𝐹′
𝐹 = 𝑘∆→ 𝐹′ = 𝑘′∆′
∆′
= 𝑇∆→ 𝐹 = 𝑇−1
𝑘′𝑇∆
𝑘 = 𝑇 𝑇
𝑘 ′ 𝑇
6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS

81. 6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
1) Determinar la matriz rigidez 𝑘′𝑖 de los elementos en coordenadas locales.
2) Determinar la matriz de transformación 𝑇𝑖 de los elementos.
3) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
𝑘𝑖 = 𝑇𝑖
𝑇
𝑘′𝑖 𝑇𝑖
4) Ensamblar la matriz rigidez de la estructura 𝐾 .
5) Determinar el vector fuerzas en los nudos 𝐹 .

82. 6.4 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS
6) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
𝐹1
𝐹2
=
𝐾11 𝐾12
𝐾21 𝐾22
∆1
∆2
7) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
∆1 = 𝐾11
−1
𝐹1
8) Determinar las Reacciones de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
𝐹2 = 𝐾21 ∆1
9) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
𝑆𝑖 = 𝑘′𝑖 𝑇𝑖 𝑢𝑖

83. 6.5 EJERCICIOS RESUELTOS
t = 0.30 m (Viga)
t = 0.20 m (Placa)
E = 2000000 Tn/m2
G = 0.4E
2.5m 3.775m 0.45m
2.7m
0.6m
20 Tn
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS MATRICIAL DE MUROS

84. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN
Es bien sabido que en el análisis de sistemas estructurales sujetos a carga lateral, el
movimiento de la masa que participa en la respuesta estructural hacia su posición
deformada genera momentos adicionales en los elementos estructurales,
normalmente conocidos como momentos de segundo orden. En ingeniería
estructural, a este comportamiento se le conoce comúnmente como efecto P – Δ ya
que los momentos adicionales en la estructura pueden calcularse como la suma del
producto de los pesos de cada piso (P) por sus respectivos desplazamientos
laterales (Δ).

85. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.1 INTRODUCCIÓN
Con el avance de la tecnología de los sistemas de cómputo, ha sido posible
incorporar planteamientos rigurosos que se basan en técnicas matriciales que
permiten incorporar directamente las deformaciones no lineales en formulaciones de
rigidez y de flexibilidad de cada elemento, lo que permite considerar los efectos P –
Δ tanto en análisis estáticos como en análisis dinámicos de manera rigurosa, que en
muchos casos pudiera considerarse como exacta.
Los procedimientos directos para análisis de segundo orden se basan en satisfacer
las ecuaciones de equilibrio para la estructura deformada, linealizando en la mayor
parte de los casos el efecto P – Δ.

86. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Como se comentó anteriormente, el efecto P – Δ está asociado a los momentos
adicionales en los elementos estructurales asociados al movimiento de la masa que
participa en la respuesta estructural hacia su posición deformada asociada a la
carga lateral. De hecho, estos momentos están asociados a lo que en el análisis
avanzado de estructuras se define como no linealidad geométrica, la que se
presenta cuando la deformaciones son de una magnitud tal que provocan cambios
notables en la geometría de la estructura, por lo que en este caso las ecuaciones de
equilibrio se deben formular en la configuración deformada de la estructura. Esto
significa que la relación lineal que existe entre las cargas externamente aplicadas,
{F}, y los desplazamientos asociados a ellas, {u}, en rigor, no pueden seguirse
utilizando.

87. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Para tomar en cuenta los efectos del cambio en la geometría en la estructura a
medida que las cargas aplicadas se incrementan, se pueden obtener soluciones
para calcular los desplazamientos asociados {u} aproximando el problema no lineal
por medio de una secuencia de segmentos lineales, donde cada segmento
representa un incremento de carga. Sin embargo, al ser el problema no lineal, las
ecuaciones de continuidad (desplazamientos – deformaciones) contienen términos
no lineales que deben incluirse en la conformación de la matriz rigidez [K]. La
derivación de estas relaciones es objeto de desarrollos extensos que pueden
consultarse en otros trabajos relacionados con la teoría no lineal de la elasticidad.

88. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Los términos no lineales de las ecuaciones de continuidad modifican la matriz de
rigidez del elemento [k’], de manera que:
donde [k_E ] es la matriz de rigidez elástica del elemento en coordenadas locales
asociada a su configuración original y [k_G ] es la denominada matriz de rigidez
geométrica, que no depende exclusivamente de la geometría, sino también de las
fuerzas internas iniciales. Las matrices de rigidez elástica y geométrica se calculan
para cada elemento y se ensamblan, de manera que la matriz de rigidez global de la
estructura se calcula como:
𝑘´ = 𝑘𝐸 + 𝑘𝐺
𝐾 = 𝐾𝐸 + 𝐾𝐺

89. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.2 MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA
Dependiendo del tipo de problema, este procedimiento puede ser o no iterativo. Por
ejemplo, si se desea obtener la solución para una carga estáticamente aplicada
considerando que la estructura está compuesta por un materiales elástico, la
solución puede calcularse en un solo paso toda vez que se determinen las cargas
internas actuantes, lo que en estructuras razonablemente complejas es un proceso
en dos pasos; en el primero se realiza un análisis convencional para determinar las
cargas actuantes, y en el segundo se hace el análisis completo del sistema
calculando la matriz de rigidez geométrica a partir de las cargas definidas en el
primer paso. Sin embargo, si se involucran cargas dinámicas y/o el comportamiento
no lineal del material, se requiere de un proceso iterativo para llegar a obtener una
solución satisfactoria.

90. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1) Determinar las fuerzas axiales en los elementos (P) de un análisis lineal elástico.
2) Determinar la matriz rigidez elástica de los elementos en coordenadas locales.
𝑘𝐸 =
𝐸𝐴
𝐿
0 0 −
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
0
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
0 −
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
𝐸𝐴
𝐿
0 0
𝐸𝐴
𝐿
0 0
0 −
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
0
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
0
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
0 −
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿

91. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
3) Determinar la matriz rigidez geométrica de los elementos en coordenadas locales.
𝑘𝐺 =
0 0 0 0
𝐴
𝐿
0 0
0
6𝑃
5𝐿
𝑃
10
0 −
6𝑃
5𝐿
𝑃
10
0
𝑃
10
2𝑃𝐿
15
0 −
𝑃
10
−
𝑃𝐿
30
0 0 0 0
𝐴
𝐿
0 0
0 −
6𝑃
5𝐿
−
𝑃
10
0
6𝑃
5𝐿
−
𝑃
10
0
𝑃
10
−
𝑃𝐿
30
0 −
𝑃
10
2𝑃𝐿
15
4) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas locales.
𝑘′ = 𝑘𝐸 + 𝑘𝐺

92. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
5) Determinar la matriz de transformación.
𝑇 =
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
𝑐𝑜𝑠Ø
−𝑠𝑒𝑛Ø
0
0
0
0
𝑠𝑒𝑛Ø
𝑐𝑜𝑠Ø
0
0
0
0
0
0
1
6) Determinar la matriz rigidez de los elementos en coordenadas globales.
𝑘 = 𝑇 𝑇
𝑘′ 𝑇
7) Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.
𝐹 = 𝐾 ∆

93. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
8) Particionar la matriz de rigidez de la estructura.
𝐹1
𝐹2
=
𝐾11 𝐾12
𝐾21 𝐾22
∆1
∆2
9) Determinar las deformaciones desconocidas de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
∆1 = 𝐾11
−1
𝐹1
10) Determinar las Reacciones de la estructura. Si ∆2 = 0 luego:
𝐹2 = 𝐾21 ∆1
11) Determinar las fuerzas internas en los elementos.
𝑆𝑖 = 𝑘𝑖 𝑇𝑖 𝑢𝑖

94. CAPÍTULO VII
ANÁLISIS MATRICIAL DE 2° ORDEN (EFECTO P – Δ)
7.4 EJERCICIOS RESUELTOS
Vigas:
A = 0.01 m2
I = 0.000125 m4
E = 2x107 Tn/m2
Columnas:
A = 0.015 m2,
I = 0.00025 m4,
E = 2x107 Tn/m2
4.5m
10 Tn
4.5m
50 Tn 50 Tn
50 Tn 50 Tn

95. CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES
- El método de la matriz rigidez proporciona un sistema apropiado de análisis de
estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de
programas de computación.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las deformaciones de una
estructura para poder comparar con las deformaciones permisibles que se
indican en las normas.
- El método de la matriz rigidez nos permite obtener las fuerzas internas de los
elementos de una estructura para un posterior diseño sísmorresistente.

96. CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.1 CONCLUSIONES
- El método de la matriz geométrica nos permite obtener los desplazamientos
adicionales en la estructura debido a los momentos de segundo orden generados
por la carga vertical.
- Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación
final, el refinamiento en el análisis carece de sentido.
8.2 RECOMENDACIONES
- Se recomienda crear un programa en cualquier lenguaje de programación para la
solución lineal elástica de una estructura utilizando el método de la matriz rigidez.
- Se recomienda estudiar el método de la matriz rigidez para el análisis de
estructuras antes de usar cualquier software del mercado.

97. CAPÍTULO VIII
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y BIBLIOGRAFÍA
8.3 BIBLIOGRAFÍA
- Arturo Tena Colunga. Análisis de estructuras con métodos matriciales.
- Erly Marvin Enriquez Quispe. Análisis Estructural de 2° Orden (Efectos P – Δ)
- Hugo Scaletti Farina. Análisis Estructural.
- Jairo Uribe Escamilla. Análisis de estructuras.
- Luis G. Quiroz Torres. Introducción al Análisis Matricial.
- Mohamed Mehdi Hadi Mohamed. Análisis Matricial de Estructuras.
- R. C. Hibbeler. Análisis Estructural.
- Roberto Aguiar Falconí. Análisis matricial de estructuras.
- Victor Rojas. Análisis Matricial de Estructuras.

98. Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE
ing_erlyenriquez@hotmail.com
10 DE JUNIO 2018
Tacna – Perú
SESIÓN N° 01
PREGUNTAS Y CONSULTAS