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Vectores ejercicios 1

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Vectores ejercicios 1

  1. 1. Capítulo 2 Soluciones ejerciciosEjercicio 2.1 Demuestre las identidades (a × b) × c = (a · c)b − (b · c)a. (a × b) · c = a · (b × c). ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯a × b¯ = a2 b2 − (a · b)2 . Solución. Deben haber muchas demostraciones. La tercera es fácil puessi φ es el ángulo entre a y b ¯ ¯2 ¯ ¯ www.GRATIS2.com ¯a × b¯ = a2 b2 sin2 φ = m co = a2 b2 (1 − cos.2 φ) 2 sQ = a2 b2 − aob2 cos2 φ r = a2 b2 Lib(a · b)2 . − . wLa segunda, intercambiar la cruz conw punto, se demuestra así: w el (a × b) · c = (ay bz − az by )cx + (az bx − ax bz )cy + (ax by − ay bx )cz = cx ay bz − cx az by + cy az bx − cy ax bz + cz ax by − cz ay bx y a · (b × c) = (by cz − bz cy )ax + (bz cx − bx cz )ay + (bx cy − by cx )az = cx ay bz − cx az by + cy az bx − cy ax bz + cz ax by − cz ay bx
  2. 2. 18 Soluciones ejercicios resultan iguales. La primera es larga. Veamos la componente x de (a ×b) × c, esta es: (a × b)y cz − (a × b)z cy = (az bx − ax bz )cz − (ax by − ay bx )cy =cz az bx − cz ax bz − cy ax by + cy ay bx = (cy ay + cz az )bx − (cz bz + cy by )ax = (c · a − cx ax )bx − (c · b − cx bx )ax = (c · a)bx − (c · b)ax , de modo que es claro que algo similar ocurre con las otras dos componen-tes y luego (a × b) × c = (c · a)b − (c · b)a. NEjercicio 2.2 Si los lados de un triángulo son a, b, c determine los ángulosdel triángulo. www.GRATIS2.com Solución. Podemos obtenerlos de varias maneras, por ejemplo del teore-ma del coseno om c2 = a2 + b2 −.c cos γ, 2ab Q os + b2 − c2 br a2o bien cos γ i= L. , w 2aby otras dos similares w w a2 + c2 − b2 cos α = , 2ac c2 + b2 − a2 cos β = , 2bc C b γ A α a c β B
  3. 3. 19 NEjercicio 2.3 Considere los puntos cuyas coordenadas son A = (1, 1, 1),B = (1, 2, 1), C = (−1, 2, 0) determine a) El área del triángulo ABC. b) Los ángulos del triángulo ABC. c) Las magnitudes de los lados del triángulo ABC. d) Las alturas del triángulo ABC. Solución. Los vectores con magnitud y dirección los lados del triángulopueden escribirse C www.GRATIS2.com b γ m co A α a . Q os B c β i br .L w w −→ w c = AB = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) = (0, 1, 0) − −→ a = BC = (−1, 2, 0) − (1, 2, 1) = (−2, 0, −1) −→ b = CA = (1, 1, 1) − (−1, 2, 0) = (2, −1, 1)de manera que c × a = (0, 1, 0) × (−2, 0, −1) = (−1, 0, 2) b × c = (2, −1, 1) × (0, 1, 0) = (−1, 0, 2) a × b = (−2, 0, −1) × (2, −1, 1) = (−1, 0, 2) entonces el área del triángulo es 1 1√ A= |(−1, 0, 2)| = 5. 2 2las magnitudes de los lados son |c| = |(0, 1, 0)| = 1
  4. 4. 20 Soluciones ejercicios ¯ ¯ √ ¯ ¯ ¯b¯ = |(2, −1, 1)| = 6 √ |a| = |(−2, 0, −1)| = 5 los ángulos están dados por √ |b×c| sin α = b |c| = √5 || √ 6 |c×a| sin β = |a||c| = √5 = 1 5 |b×a| √√√ sin γ = |a| b = 5 5 6 = √61 || las alturas del triángulo se calculan de acuerdo a ¯ ¯ √ ¯ ¯ hC = ¯b¯ sin α = 5, √ 5 hB = |a| sin γ = √ , 6 hA = |c| sin β = 1. www.GRATIS2.com N mEjercicio 2.4 Considere un paralelógramo . co donde se dan tres vértices A =(0, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0). sQ o i br a) Determine el cuarto vértice..L w w w b) Determine el área del paralelógramo. c) Determine las longitudes de las diagonales. Solución. Construyamos los vectores −→ −→ − → AC = OC − OA = (1, 0, −1) , −→ − −→ − → AB = OB − OA = (1, −1, 0) ,de manera que − −→ − → − → AD = AB + AC = (2, −1, −1) ,entonces el cuarto vértice está en la posición (esta es una solución de otrasposibles) −→ − − → − − → OD = OA + AD = (2, 0, 0)
  5. 5. 21El área del paralelógramo será ¯− →¯ √ ¯ → − ¯ A = ¯AB × AC ¯ = |(1, 1, 1)| = 3,donde las longitudes de las diagonales serán ¯− →¯ √ ¯ → − ¯ ¯AB + AC ¯ = |(2, −1, −1)| = 6, ¯− →¯ √ ¯ → − ¯ ¯AB − AC ¯ = |(0, −1, 1)| = 2. NEjercicio 2.5 Escriba √ ecuación de un plano que es perpendicular a la ladirección n = (1, −1, 1)/ 3 y que pasa a distancia 3 del origen. ˆ Solución. La ecuación resulta www.GRATIS2.com n · r = 3, ˆ m coo sea √ x − y + z = 3 3. . sQ N b ro i .LEjercicio 2.6 Sea una recta w w w x = 2t + 1, y = −t + 2, z = 3t − 1,siendo t un parámetro. Determine su distancia al origen. Solución. La distancia de un punto arbitrario de la recta al origen es p d = x2 + y 2 + z 2 ,esto es p √ d= (2t + 1)2 + (−t + 2)2 + (3t − 1)2 = 14t2 − 6t + 6.La cantidad subradical, polinomio de segundo grado, tiene un mínimo justoen el punto medio entre sus dos raíces que son
  6. 6. 22 Soluciones ejercicios 3 5 √ 3 5 √ t1 = 14 + 14 i 3, t2 = 14 − 14 i 3 y el punto medio es 1 6 3 t= ( )= , 2 14 14y para ese valor d es la distancia de la recta al origen, cuyo valor resulta 5√ d= 42 = 2. 315, 14 NEjercicio 2.7 Sean a = (1, 1, 0), b = (−1, 1, 1) dos vectores. Determine laecuación de un plano que pase por el origen y que contenga los vectores a yb. Solución. Si los dos vectores a y b están sobre el plano, entonces unvector normal al plano es N = a × b. Calculando resulta www.GRATIS2.com N = (1, 1, 0) × (−1, 1, 1) = (1, −1, 2) .La ecuación del plano es, en general m . co Q r · N = constante, s roy si pasa por el origen ib .L r · N = 0. w wCalculando (x, y, z) · (1, −1, 2) = x − y + 2z de modo que la ecuación delplano es w x − y + 2z = 0. NEjercicio 2.8 Determine el área de un triángulo en función solamente desus lados a, b y c. Solución. En principio el área del triángulo puede ser escrita de muchasmaneras, por ejemplo 1¯¯ ¯ 1 ¯ A = ¯a × b¯ = ab sin γ, 2 2 1¯¯ ¯ 1 ¯ = ¯b × c¯ = bc sin α, 2 2 1 1 = |c × a| = ca sin β, 2 2
  7. 7. 23pero la tarea es eliminar los ángulos. Para ello considere c = a cos β + b cos α.Expresando los “cosenos” en términos de los “senos” se obtiene r r 2A 2 2A c = a 1 − ( ) + b 1 − ( )2 , ca bco bien p p c2 = c2 a2 − (2A)2 + b2 c2 − (2A)2 ,y el resto es álgebra. Para despejar A p p (c2 − c2 a2 − (2A)2 )2 = c4 − 2 (c2 a2 − 4A2 )c2 + c2 a2 − 4A2 = b2 c2 − 4A2 de donde p c2 + a2 − b2 = 2 (c2 a2 − 4A2 ) (c2 + a2 − b2 )2 = 4 (c2 a2 − 4A2 ) www.GRATIS2.com 16A2 = 4c2 a2 −(c2 +a2 −b2 )2 = (a + b − c) (a + b + c) (c − a + b) (c + a − b) m co y finalmente . 1p Q (a + b − c) (a + b + c) (c os a + b) (c + a − b). br A= − 4 i .L Intente otro camino. w w w NEjercicio 2.9 Con relación a la figura, demuestre que si F1 = −F2 enton-ces: r1 × F1 + r2 × F2 = 0. F1 r1 F2 r2
  8. 8. 24 Soluciones ejercicios Solución. Podemos escribir r1 × F1 + r2 × F2 = r1 × F1 − r2 × F1 = (r1 − r2 ) × F1 = 0,porque F1 es paralela a (r1 − r2 ). NEjercicio 2.10 Desde una determinada posición en un camino, una per-sona observa la parte más alta de una torre de alta tensión con un ángulode elevación de 25o . Si avanza 45 m en línea recta hacia la base de la torre,divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de 55o . Considerando quela vista del observador está a 1,7 m. Determine la altura h de la torre. www.GRATIS2.com m . co sQ h o 25º i br 55º β. L w 1.7 m w 45 m w Solución. Sea d la distancia del punto más cercano a la torre, entoncestenemos d = cot 55, h d + 45 = cot 25, hrestando 45 = cot 25 − cot 55 hde donde 45 h= cot 25 − cot 55
  9. 9. 25y numéricamente resulta h = 31. 157 mrespecto al observador y h = (31. 157 + 1,70) = 32. 857 m respecto al suelo. NEjercicio 2.11 Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura de2500 m, el piloto observa dos embarcaciones que se encuentran en un mismoplano vertical con ángulos de depresión de 62o 240 y 37o 180 respectivamente.Encuentre la distancia x entre las embarcaciones. www.GRATIS2.com 37º18 m . co Q 62º24 s ro 2500 m i b .L w w x w Solución. Expresando los ángulos son con decimales 62,4o y 37,3oSimilarmente al problema anterior si d es la distancia horizontal entre el avióny la embarcación más cercana se tiene x+d = tan(90 − 37,3), 2500 d = tan(90 − 62,4), 2500y restando se obtiene d = 2500(cot 37,3 − cot 62,4) = 1974. 751 m
  10. 10. 26 Soluciones ejercicios NEjercicio 2.12 Una persona se encuentra en la mitad de la distancia quesepara dos edificios y observa la parte más alta de éstos con ángulos de eleva-ción de 30o y 60o respectivamente. Demuestre la que las alturas de los edificiosestán en la relación 1 : 3. 30º 60º x www.GRATIS2.com Solución. Si las alturas son llamadas hmy h2 tenemos que 1 o .c h1 , Q os x/2 tan 30 = r ib = h2 , .L tan 60 w x/2 wde donde w h tan 30 1 √ 3 1 1 3 = = √ = . h2 tan 60 3 3 NEjercicio 2.13 Un mástil por efecto del viento se ha quebrado en dos par-tes, la parte que quedó vertical en el piso mide 3 m y la parte derribada quedóatada al extremo superior de la parte vertical, formando un ángulo de 30ocon el piso. Encontrar la altura del mástil. 3m 30º
  11. 11. 27 Solución. La hipotenusa c será dada por 3 1 = sin 30 = , c 2de donde c = 6 m,por lo tanto la altura del mástil era 9 m. NEjercicio 2.14 Una persona en su trote diario, desde su casa, corre 7 km alNorte, 2 km al Oeste, 7 km al Norte y 11 km al Este. Encuentre la distanciaa su casa a que se encuentra la persona . www.GRATIS2.com Solución. Sean los ejes cartesianos OX hacia el este y OY hacia el norte,entonces el desplazamiento resultante es r = 7ˆ + 2(−ˆ) + 7ˆ + 11ˆm co j ı j ı . sQ = 9ˆ + 14ˆ, ı jy su magnitud, la distancia a la casa, es ro √ ib .L r = 92 + 142 = 16. 64 km. w wN wEjercicio 2.15 Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm dealto. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja y el ángulo que éstaforma con cada uno de los ejes. Y 18 cm 10 cm Z 16 cm X
  12. 12. 28 Soluciones ejercicios Solución. El vector que representa la diagonal es ı j ˆ r = 16ˆ + 18ˆ + 10k,y entonces su longitud es √ r = 162 + 182 + 102 = 26. 077 cm. Los ángulos están dados por r ·ˆı cos α = (26. 077) 16 = 26. 077 r·j ˆ www.GRATIS2.com cos β = 26. 077 18 26.om = 077 c ˆ .r · k cos γ =sQ o 26. 077 i br= 10 .L w 26,077 wde donde w α = 52. 152 o , β = 46. 349 o , γ = 67. 4501o .Note que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. N ı j ˆ ı j ˆEjercicio 2.16 Dados los vectores r1 = 3ˆ − 2ˆ + k, r2 = 3ˆ − 4ˆ − 3k, ı j ˆ hallar los módulos de:r3 = −ˆ + 2ˆ + 2k, a) r3 b) r1 + r2 + r3
  13. 13. 29 c) 2r1 − 3r2 + 5r3 Respuestas: (a) 3; (b) 5,66; (c) 5,48Ejercicio 2.17 Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la ı j ˆ ı j ˆresultante de r1 + r2 , con r1 = 2ˆ + 42ˆ − 5k, r2 = ˆ + 2ˆ + 3k, ı 7ˆ 7ˆ Respuesta: 3 ˆ + 6 j − 2 k. 7 ı j ˆ ı j ˆEjercicio 2.18 Demostrar que los vectores A = 3ˆ+ˆ−2k, B = −ˆ+3ˆ+4k, ı j ˆC = 4ˆ− 2ˆ− 6k, pueden ser los lados de un triángulo, y hallar las longitudesde las medianas de dicho triángulo. Solución. Si tres a, b, y c forman un triángulo entonces debe ser a + b + c = 0, www.GRATIS2.comlo cual es satisfecho por los vectores m −A, B y C . co QLas medianas unen los puntos medios de losos br lados por lo tanto vectores a lo i .Llargo de las medianas son 1 w w1 2w 2 C + (−A), 1 1 (−A) + B 2 2 1 1 B+ C 2 2donde −A = (−3, −1, 2), B = (−1, 3, 4), C = (4, −2, −6), luego µ ¶ µ ¶ 1 3 3 1 , − , −2 , (−2, 1, 3) , , , −1 2 2 2 2y sus longitudes son q 1 + 9 + 4 = 2. 549 5 √4 4 q 4 + 1 + 9 = 3. 741 7 32 22 + 212 + 1 = 1. 870 8
  14. 14. 30 Soluciones ejercicios N j ˆEjercicio 2.19 Hallar el ángulo formado por los vectores A = 2ˆ + 2ˆ − k, ı ı j ˆB = 6ˆ − 3ˆ + 2k. Solución. Tenemos A·B cos α = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯A¯ ¯B ¯ 12 − 6 − 2 4 = √ √ = 9 49 21de donde α = 79. 017o www.GRATIS2.com N m ı j ˆ ı j ˆ ˆ forman un triángulo .coEjercicio 2.20 Demostrar que los vectores A = 3ˆ− 2ˆ+ k, B = ˆ− 3ˆ+ 5k,C = 2ˆ + j − 4k, ı ˆ rectángulo. Q Solución. Usted puede constatarsque ro ib .L − B = C, w A wo sea w B + C = A,de manera que forma un triángulo. Además calcule A · C = (3, −2, 1) · (2, 1, −4)) = 0luego A⊥Ces decir se trata de un triángulo rectángulo. NEjercicio 2.21 Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado ı j ˆ ı j ˆpor A = 2ˆ − 6ˆ − 3k, B = 4ˆ + 3ˆ − k.
  15. 15. 31 Solución. Calcule ı j ˆ A × B = 15ˆ − 10ˆ + 30k,luego un vector normal al plano es ı j ˆ N = 15ˆ − 10ˆ + 30k,y uno unitario 15ˆ − 10ˆ + 30k ı j ˆ ˆ N = √ , 152 + 102 + 302 15ˆ − 10ˆ + 30k ı j ˆ = , 35 3ˆ − 2ˆ + 6k ı j ˆ = . 7 www.GRATIS2.com N j ˆ mEjercicio 2.22 Dados , A = 2ˆ − 3ˆ − k y B = co 4ˆ − 2k determinar ˆ ı ˆ+ j ı . osQ br a) A × B i b) B × A .L w w c) (A + B) × (A − B) w Solución. (2, −3, −1) × (1, 4, −2) = (10, 3, 11) (1, 4, −2) × (2, −3, −1) = (−10, −3, −11) (A + B) × (A − B) = −A × B + B × A = 2B × A = (−20, −6, −22) . NEjercicio 2.23 Hallar el área del triángulo cuyos vértices son P (1, 3, 2),Q(2, −1, 1), R(1, 2, 3). Solución. Dos lados del triángulo pueden ser representados por los vec-tores −→ − → − → P Q = OQ − OP = (2, −1, 1) − (1, 3, 2) = (1, −4, −1) −→ − → − → P R = OR − OP = (1, 2, 3) − (1, 3, 2) = (0, −1, 1),
  16. 16. 32 Soluciones ejerciciosluego −→ − → P Q × P R == (−5, −1, −1)y el área será √ 1 ¯− →¯ ¯ → − ¯ 1√ 27 A = ¯P Q × P R¯ = 25 + 1 + 1 = . 2 2 2 NEjercicio 2.24 Hallar los ángulos agudos formados por la recta que une lospuntos (1, −3, 2) y (3, −5, 1) con los ejes coordenados. Solución. Un vector a lo largo de la recta es A = (1, −3, 2) − (3, −5, 1) = (−2, 2, 1) www.GRATIS2.comluego los ángulos que ese vector forma con los eje están dados por m ˆ · Ao −2 cos α = ¯ .c = ı Q¯ 3 s ¯A¯ ¯ ¯ o i br cos βL = . j · A −2 ˆ ¯ ¯ = w ¯ ¯ w ¯A¯ 3 w ˆ k·A 1 cos γ = ¯ ¯ = ¯ ¯ 3 ¯A¯de donde los ángulos agudos son: (tome los valores absolutos del coseno) 48.190o , 48. 190o y 70. 531o . NEjercicio 2.25 Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por lospuntos (3, 2, −4) y (1, −1, 2). Solución. Similarmente al problema anterior A = (3, 2, −4) − (1, −1, 2) = (2, 3, −6)
  17. 17. 33de donde ˆ· A 2 ı cos α = ¯ ¯ = ¯ ¯ 7 ¯A¯ j·A 3 ˆ cos β = ¯ ¯ = ¯ ¯ 7 ¯A¯ ˆ k·A −6 cos γ = ¯ ¯ = ¯ ¯ 7 ¯A¯o si tomamos −A 2 cos α = − 7 3 www.GRATIS2.com cos β = − 7 6 cos γ = m 7 . co N Q ros ib L triángulo. ı j ˆEjercicio 2.26 Dos lados de un triángulo son los vectores A = 3ˆ + 6ˆ− 2k ˆ . wy B = 4ˆ − j + 3k. Hallar los ángulos del ı ˆ w w Solución. El otro lado puede escribirse ı j ˆ C = A − B = −ˆ + 7ˆ − 5k,y calculamos A·B = 0 B·C = −26 · ¯ A¯ C = 49 ¯ ¯ ¯A¯ = 7 ¯ ¯ √ ¯ ¯ ¯B ¯ = 26 ¯ ¯ √ ¯ ¯ ¯C ¯ = 5 3luego los ángulos son 90o , 53. 929o y 36. 071o
  18. 18. 34 Soluciones ejercicios N j ˆEjercicio 2.27 Las diagonales de un paralelogramo son A = 3ˆ − 4ˆ − k y ıB = 2ˆ + 3ˆ − 6k ı j ˆ . Demostrar que dicho paralelogramo es un rombo y hallarsus ángulos y la longitud de sus lados. Solución. En términos de los lados a y b se tiene a + b = A, a − b = B,entonces 1 1 ˆ a = (A + B) = (5ˆ − j − 7k), ı ˆ 2 2 1 1 ˆ b = (A − B) = (ˆ − 7ˆ + 5k), ı j www.GRATIS2.com 2 2entonces ¯ ¯ 5√ |a| = ¯b¯ = om ¯ ¯ 3, .c2por lo tanto es un rombo y sQ b ro a ·Li 5 + 7 − 35 . 2b = 23 cos α = w =− , w |a| 74 74 wde donde los ángulos son 108. 11o y 71. 894o . N ı j ˆEjercicio 2.28 Hallar la proyección del vector 2ˆ − 3ˆ + 6k sobre el vectorı j ˆ.ˆ + 2ˆ + 2k Solución. ı j ˆ ı j ˆ (2ˆ − 3ˆ + 6k) · (ˆ + 2ˆ + 2k) ¯ ¯ ¯ ˆ¯ ¯ˆ + 2ˆ + 2k¯ ı j 2 − 6 + 12 8 = √ = . 1+4+4 3 N
  19. 19. 35 j ˆEjercicio 2.29 Hallar la proyección del vector 4ˆ− 3ˆ+ k sobre la recta que ıpasa por los puntos (2, 3, −1) y (−2, −4, 3). Solución. Un vector sobre la recta es (2, 3, −1) − (−2, −4, 3) = (4, 7, −4)luego la proyección es (4, 7, −4) · (4, −3, 1) |(4, 7, −4)| 9 = − = −1, 9de manera que la magnitud de la proyección es 1. N www.GRATIS2.com ˆ ˆEjercicio 2.30 Si A = 4ˆ − j + 3k y B = −2ˆ + j − 2k , hallar un vector ı ˆ ı ˆunitario perpendicular al plano de A y B. m o .c Solución. Q A × B os n = ±¯ ˆ ¯ br¯ , A ×i B ¯ ¯ .L ¯ w w wdonde (4, −1, 3) × (−2, 1, −2) = (−1, 2, 2) por lo tanto (−1, 2, 2) n=± ˆ , 3 N ˆ ı j ˆ ı j ˆEjercicio 2.31 Demostrar que A = 2ˆ−2ˆ+k , B = ı j 3 ˆ+2ˆ+2k 3 , y C=2ˆ+ˆ−2k 3 sonvectores unitarios mutuamente perpendiculares. Solución. Calculando ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯A¯ = ¯B ¯ = ¯C ¯ = 1, A · B = A · C = B · C = 0. N

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