Leis do Movimento

1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶
³sica 1 { IFA (prof. Marta)

GUIA DE ESTUDO 2
¶
Modulo 2: As Leis do Movimento

»~
1. INTRODUCAO
Neste m¶dulo, estudaremos os princ¶
o ³pios da din^mica | a descri»~o do movi-
a ca
mento de um corpo a partir de suas intera»~es. Esta discuss~o tem por base
co a
as Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»a, massa,
c
referenciais inerciais, e faremos aplica»~es.
co
Leituras indispens¶veis
a
Os t¶picos citados acima correspondem aos cap¶
o ³tulos 4 (se»~es 4.1 a 4.5) e 5
co
(se»~es 5.1 a 5.3), e as se»~es 13.1 e 13.2 do cap¶
co co ³tulo 13 do livro texto, de H.
M. Nussenzveig.

2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA

Atividade 1
Discuss~o
a
{ da lei da in¶rcia e o conceito de referenciais inerciais (se»~es 4.1 e
e co
4.2);
{ do conceito de for»a e massa, e a segunda lei de Newton (se»~es 4.3
c co
e 4.4);
{ da terceira lei de Newton (se»~o 4.5);
ca
{ das intera»~es fundamentais (se»~o 5.1);
co ca
{ e dos exemplos 1 a 6 da se»~o 4.5 do livro texto (p¶g. 78 a 80).
ca a

Atividade 2
Resolu»~o dos exerc¶
ca ³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Din^mica.
a

Atividades extras 1
1. Leia todo o cap¶tulo 4 do livro.
³
2. Resolva os exerc¶cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6.
³

F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 2
³

3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto.

Atividade 3
Discuss~o sobre as intera»~es fundamentais e as for»as de contato (se-
a co c
co
»~es 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»~o 5.3.
ca

Atividade 4
ca ³cios 8 e 14 da Lista 6.

Atividades extras 2
1. Leia todo o cap¶tulo 5.
³
2. Releia o cap¶tulo 4.
³
3. Resolva todos os exerc¶cios j¶ feitos novamente.
³ a
4. Resolva os exerc¶cios 16 a 21 da Lista 6.
³

Atividade 5
Discuss~o da cinem¶tica da rota»~o (se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto) e
a a ca co
o exemplo 4 da se»~o 5.3 do livro texto.
ca

Atividade 6
Resolu»~o de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^-
ca a
mica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~o Inerciais).
a

Atividades extras 3
1. Leia as se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto.
co
2. Releia o cap¶tulo 5.
³
3. Resolva os exerc¶cios 18 a 24 do cap¶tulo 3 do livro texto.
³ ³
4. Resolver problemas que ¯caram para tr¶s no Guia de Es-
a
tudo 1, das listas 1, 2 e 3.

Atividade 7
Resolu»~o dos problemas 20 e 25 da Lista 6.
ca

F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 3
³

Atividade 8
Discuss~o dos conceitos de velocidade relativa (se»~o 3.9), mudan»a de
a ca c
sistema de refer^ncia, referenciais inerciais e n~o inerciais (se»~es 13.1,
e a co
13.2 e 13.3 do livro texto), exempli¯cando com exerc¶ ³cios das Listas 8
e 9.

¶
3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 2

1. Releia os cap¶
³tulos 4 e 5 do livro texto.

2. Termine a lista de exerc¶cios de 6, sobre Din^mica.
³ a

3. Fa»a os exerc¶cios do Cap¶
c ³ ³tulo 4 e 5 do livro texto.

4. Releia os cap¶ ³tulos 2 e 3, fazendo todos os exerc¶
³cios que faltavam
(inclusive os de movimento circular e de movimento relativo).

5. Leia as se»~es 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto.
co

6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do cap¶
³tulo 13 do livro texto.

7. Resolva todos os exerc¶
³cios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^-
a
mica), 7 Cinem¶tica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo)
a
e 9 (Referenciais N~o Inerciais).
a

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 4
³s1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

Lista de exerc¶
³cios 5

Vetores Novamente

1. Represente em termos dos unit¶rios ^ ^ das dire»~es x; y os vetores
a ³, ´ co
representados na ¯gura.
y
r 2
c r
1 a
x
−3 −2 −1 1 2 3
−1
r
−2 b

2. Considere os vetores:
~ = 3^ + 2^
a ³ ´
~ = ¡^ + 2^
b ³ ´
c
~ = 2^ ¡ ^
³ ´
~
d = ¡2^ ¡ 3^
³ ´

(a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y).
(b) Represente neste plano os vetores ~ + ~ e ¡ 2 ~.
a b c
(c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores
(i) ~
a
(ii) ~
b
(iii) d~
(iv) ~ + ~
a b
(v) 3 ~ c
(vi) ~ ¡ 2 ~
a b
c ~
(vii) ~ + d

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5
³s1

3. O produto escalar de dois vetores ¶ uma opera»~o que associa a dois
e ca
vetores ~ e b
a ~ um n¶mero real de valor igual a a b cos µ , onde µ ¶ o
u e
a
^ngulo entre ~ e b
a ~ , medido de ~ para ~ . Usa-se a nota»~o ² para
a b ca
representar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»~o, observa-se que
ca

~ ² ~ = a b cos µ = a ba ;
a b

onde ~a ¶ a proje»~o de ~ sobre a dire»~o de¯nida por ~ .
b e ca b ca a
r
b

θ
r r
ba a

Demonstre que

(a) ~ ² ~ = a2 .
a a
(b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~o ~ ² ~ = 0 , ~ ?~
a a b a b.
(c) ^ ² ^ = 0 ; ^ ² ^ = 1 ; ^ ² ^ = 1 .
i ´ ³ ³ ´ ´
(d) ax = ~ ² ^
a ³
(e) ~ ² ~ = ~ ² ~
a b b a
³ ´
(f) ~ ² ~ + ~ = ~ ² ~ + ~ ² ~.
a b c a b a c

a ³ ´ ^
(g) Se ~ = ax ^ + ay ^ + az k e ~ = bx ^ + by ^ + bz ^ , ent~o
b ³ ´ k a
~ ² ~ = ax bx + a y by + a z bz
a b

4. Para ~ = ^ ¡ 2^ , ~ = 2^ + 3^ e ~ = ¡^ + ^ calcule
a ³ ´ b ³ ´ c ³ ´

(a) ~ + ~
a b
(b) ¡ 3~
c
(c) 2~ ¡ ~
a b
³ ´
(d) ~ ² ~ + ~
a b c

(e) ~ ² (~ ¡ 2 ~)
b a c

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6
³s1

5. Um bloco de massa m est¶ apoiado e em repouso sobre um plano in-
a
clinado de um ^ngulo ® em rela»~o µ horizontal.
a ca a

y

x

(a) Isole o bloco e indique todas as for»as que atuam sobre ele.
c
(b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente y
de cada uma das for»as atuando sobre o corpo.
c
(c) Calcule o m¶dulo de cada uma das for»as e o ^ngulo entre cada
o c a
uma delas e o eixo x.

6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»as constantes, ex-
c
pressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um
sistema de coordenadas cartesianos como
F 1 = ^ + 2^ ¡ 3 ^
~ ³ ´ k
~ ´ ^
F2 = ^ ¡ k
~
F3 = ¡ ^ + ^
i ´
O observador que descreve este sistema ¶ um observador inercial.
e

(a) Calcule a for»a resultante sobre este corpo.
c
(b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»as e da
c
for»a resultante.
c
c ~
(c) Calcule o ^ngulo que a for»a F1 faz com o eixo x.
a
c ~ ~
(d) Calcule o ^ngulo entre as dire»~es das for»as F2 e F3.
a co
(e) Obtenha o ^ngulo que a for»a resultante faz com o eixo z.
a c
c ~
(f) Obtenha o vetor unit¶rio da dire»~o de¯nida pela for»a F1 .
a ca
(g) Qual o vetor acelera»~o deste corpo?
ca
(h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~± = 12^¡16 ^
v ´ k,
e sua posi»~o em rela»~o a um ponto ¯xo para o observador vale
ca ca
vecr± = 0, qual a trajet¶ria que o corpo descreve?
o

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7
³s1

7. Considere o vetor posi»~o de uma part¶
ca ³cula de massa m = 0; 5 kg
medido por um observador ¯xo a um sistema inercial:
~(t) = 5 t2 ^ + (10 t ¡ 4) ^ + 6 exp (¡2 t) ^
r ³ ´ k.

(a) Obtenha o valor do vetor posi»~o desta part¶cula nos instantes de
ca ³
tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s.
(b) Obtenha a express~o que descreve a velocidade desta part¶cula
a ³
como fun»~o do tempo, ~ (t).
ca v
(c) Obtenha a express~o que descreve a acelera»~o desta part¶cula
a ca ³
como fun»~o do tempo.
ca
(d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»~o da part¶cula nos
ca ³
instantes t = 1 s e t = 4 s.
(e) Calcule a for»a resultante sobre a part¶
c ³cula no instante t = 4 s.

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 8
³s1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

Lista de exerc¶
³cios 6
Din^mica de uma Part¶
a ³cula
1. Quais as for»as que atuam sobre a ma»~ da ¯gura? Onde est~o as
c ca a
rea»~es a essas for»as? Considere as mesmas perguntas com a ma»~
co c ca
caindo. Despreze a resist^ncia do ar.
e

2. Ao caminhar, a for»a de atrito ¶ que aparentemente produz o movi-
c e
mento. Qual o sentido desta for»a? Explique.
c
3. Um homem de peso PH, de p¶ sobre uma superf¶
e ³cie, empurra um
arm¶rio de peso PA. Considerando a exist^ncia de atrito entre a su-
a e
perf¶cie do sapato do homem e o ch~o, bem como entre o arm¶rio
³ a a
e o ch~o, esquematize claramente as for»as aplicadas no arm¶rio, no
a c a
homem e no ch~o. Especi¯que a origem de cada uma dessas for»as.
a c

4. Uma part¶ ³cula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8 m=s2 . (a)
Quais s~o o peso e a massa da part¶
a ³cula, se ela for para um ponto no
2
espa»o onde g = 4; 9 m/s ? (b) Quais s~o o peso e a massa da part¶
c a ³cula,
se ela for deslocada para um ponto do espa»o onde a acelera»~o de queda
c ca
livre seja nula?

5. Suponha que no futuro a Companhia de Pesquisas Lunaresquot; monte
laborat¶rios na Lua e na Terra, mantendo um servi»o de foguetes entre
o c
eles. Nos dois laborat¶rios s~o usados quilograma-padr~o. Um bloco de
o a a
masa 10 kg ¶ usado como carrinhoquot; para experi^ncias em uma mesa
e e
sem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o bloco
est¶ na Lua, sua massa ¶ igual µ massa lida na Terra?
a e a
Os experimentadores possuem uma balan»a de mola A, calibrada em
c
Newtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com uma
for»a de 4 N. (b) No laborat¶rio da Terra, com uma for»a de 4 N, qual
c o c
ser¶ a acelera»~o do bloco? Explique. (c) No laborat¶rio da Lua, com
a ca o
a mesma for»a de 4 N, qual ser¶ a acelera»~o do bloco? Explique.
c a ca

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 9
³s1

Os experimentadores possuem tamb¶m uma balan»a de mola B, n~o
e c a
graduada. No laborat¶rio da Terra, eles a calibram em quilogramas-
o
pesoquot;, suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~o. Outra a
balan»a n~o graduada C est¶ dispon¶
c a a ³vel. Ela ¶ calibrada no Labo-
e
rat¶rio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidade
o
e
¶ quilograma-pesoquot;. (d) No laborat¶rio da Terra, puxa-se o mesmo
o
bloco com a balan»a de mola B (calibrada em quilogramas no Labo-
c
rat¶rio da Terra). Se a leitura da balan»a for 2,0, qual ¶ a acelera»~o
o c e ca
do bloco? (e) No laborat¶rio da Lua, o mesmo bloco ¶ puxado com a
o e
mesma balan»a B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua).
c
Se a leitura for 2,0, a acelera»~o do bloco ser¶ maior, menor ou igual
ca a
a
µ encontrada no item anterior? Explique. (f) No laborat¶rio da Lua,
o
o mesmo bloco ¶ puxado, agora com o aux¶ da balan»a C (calibrada
e ³lio c
na Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»~o do bloco ser¶ maior, menor
ca a
ou igual µ encontrada no item (e)?
a
6. Dois blocos, de massas M e m, est~o em contato apoiados sobre uma
a
c ~
mesa horizontal lisa. Uma for»a F de m¶dulo F e que faz um ^ngulo µ
o a
com a horizontal ¶ aplicada sobre o bloco M , como mostrado na ¯gura.
e
Calcule o valor da for»a de contato entre os dois blocos em fun»~o dos
c ca
dados do problema e da acelera»~o da gravidade g. Calcule tamb¶m os
ca e
valores da normais de contato entre os blocos e a superf¶cie.
³
Ex. 6 Ex. 7
r m1
F r
F m2
θ
M m

7. Dois blocos est~o em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma for»a
a c
horizontal ¶ aplicada a um dos blocos, como mostrado na ¯gura. (a) Se
e
m1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a for»a de contato
c
entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma for»a F for aplicada
c
a m2, ao inv¶s de m1, a for»a de contato entre os dois blocos vale 2,1
e c
N, que n~o ¶ o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferen»a.
a e c
8. Tr^s blocos s~o ligados, como mostrado na ¯gura abaixo, por ¯os de
e a
massa desprez¶³vel. Os blocos est~o apoiados sobre uma mesa horizontal
a

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10
³s1

lisa, e s~o puxados para a direita por uma for»a horizontal de m¶dulo
a c o
T 3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule
(a) a acelera»~o do sistema e (b) as tens~es T1 e T2 da ¯gura.
ca o

Ex. 8
T1 T2
r
T3
m1 m2 m3

9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶ parado sobre o ch~o. O coe¯ciente
a a
de atrito est¶tico entre ele e o ch~o ¶ 0,68 e o de atrito cin¶tico ¶ 0,56.
a a e e e
Em quatro diferentes tentativas para mov^-lo, foi empurrado com for»as
e c
horizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine,
para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶dulo da for»a de
o c
atrito sobre ele. O arquivo est¶ sempre parado antes de cada tentativa.
a

10. Um bloco de massa 2 kg est¶ apoiado sobre uma mesa plana e lisa.
a
Voc^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»a horizontal de m¶dulo
e c o
5,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? Qual o valor da for»a
ca c
normal de contato entre o bloco e a superf¶ da mesa?
³cie
Ex. 10 Ex. 11

θ

11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobre
a mesa plana e lisa. Voc^ passa a empurr¶-lo com uma for»a de mesmo
e a c
±
m¶dulo 5,0 N, mas agora fazendo um ^ngulo µ = 30 com a horizontal.
o a
Qual a acelera»~o do bloco? E qual o valor da for»a normal de contato
ca c
entre o bloco e a superf¶
³cie?

12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶ apoiado
e
sobre uma mesa plana mas n~o lisa. O coe¯ciente de atrito est¶tico
a a
entre o bloco e a superf¶ vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶tico
³cie e
vale 0,20.

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 11
³s1

(a) Voc^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»a horizontal de
e c
m¶dulo 4,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? Qual o valor da
o ca
for»a normal de contato entre o bloco e a superf¶ da mesa?
c ³cie
(b) Voc^ agora aumenta o empurr~o, passando a exercer uma for»a
e a c
horizontal de m¶dulo 8,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco?
o ca
Qual o valor da for»a normal de contato entre o bloco e a superf¶
c ³cie?
(c) Voc^ passa a empurrar o bloco com uma for»a de m¶dulo 8,0 N que
e c o
faz um ^ngulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»~o do bloco,
a ca
agora? E qual o valor da for»a normal de contato entre o bloco e a
c
superf¶
³cie?

13. Um preso num c¶rcere decide escapar deslizando por uma corda forne-
a
cida por um c¶mplice. Tem como companheiro de cela um macaco, de
u
massa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situado
na parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende um
pouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de
60 kg. O gancho pode suportar uma tra»~o de 400 N sem quebrar. A
ca
janela est¶ a 15 m do n¶ do solo. Para n~o se arriscar, o preso resolve
a ³vel a
veri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Ao
descer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula.
Qual a velocidade m¶ ³nima com que o macaco e o preso dever~o atingir
a
o solo de modo a n~o quebrar o gancho?
a

14. Um bloco de massa m ¶ colocado sobre outro bloco de massa M , e o
e
conjunto ¶ apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior,
e
~
aplica-se uma for»a horizontal F de m¶dulo F . Observa-se que os dois
c o
blocos movem-se juntos, o de cima n~o deslizando sobre o de baixo. Os
a
coe¯cientes de atrito est¶tico e cin¶tico entre os blocos valem respec-
a e
tivamente ¹ E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶ de apoio ¶
³cie e
desprez¶³vel. Qual o valor m¶ximo F MAX que a for»a F pode ter para
a c
que o bloco m n~o se mova em rela»~o ao bloco M? Qual o valor,
a ca
quando F = FMAX , da for»a de contato entre os dois blocos?
c

m

M

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12
³s1

15. Um bloco de 4,0 kg ¶ colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Para
e
fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶ mantido ¯xo,
e
uma for»a horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima.
c
O conjunto de blocos ¶ agora colocado sobre uma mesa horizontal sem
e
atrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»a horizontal F m¶xima
c a
aplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b)
a acelera»~o resultante dos blocos.
ca
4,0 kg

5,0 kg

16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~o li- a
gados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o t^m massas
e
desprez¶
³veis, e n~o h¶ atrito entre A e a superf¶ horizontal.
a a ³cie
(a) Calcule a acelera»~o do sistema e a for»a F exercida pelo ¯o em A.
ca c
(b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria
ter a massa de B para que a for»a F 0 atuando sobre A seja o dobro da
c
for»a F calculada no item (a)?
c
Ex. 16
(c) Comente o resultado do item (b) A

para os casos em que mA = mB
e mA < mB .
B

17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶ sobre um plano liso com in-
a
±
clina»~o de 30 , preso por uma corda que passa por uma polia, de
ca
massa e atrito desprez¶
³veis. Na outra extremidade da corda est¶ colo-
a
cado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ¯ca pendurado
verticalmente (veja ¯gura). Quais s~o
a
Ex. 10
(a) os m¶dulos das acelera»~es de cada bloco e
o co
(b) o sentido da acelera»~o de m2?
ca m1
m2
(c) Qual a tens~o na corda?
a
18. Dois blocos s~o ligados atrav¶s de uma polia, como mostrado na ¯gura.
a e
A massa do bloco A ¶ de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶tico ¶ 0,20.
e e e

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13
³s1

O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante.
Qual a massa de B?

m1
m2

19. A ¯gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) que
n~o est~o presos um ao outro. O coe¯ciente de atrito est¶tico entre eles
a a a
e
¶ ¹ E = 0,38, mas na superf¶ embaixo de M n~o h¶ atrito. Qual a
³cie a a
for»a horizontal m¶
c ³nima F necess¶ria para manter m em contato com
a
M?
Ex. 19 Ex. 20

r
F

sem atrito

~
20. Uma for»a horizontal F , de m¶dulo 50 N, empurra um bloco de peso
c o
20 N contra uma parede vertical. O coe¯ciente de atrito est¶tico entre
a
a parede e bloco ¶ 0,40 e o de atrito cin¶tico ¶ 0,30. Suponha que
e e e
inicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco come»ar¶ a se
c a
mover? (b) Qual a for»a exercida pela parede sobre o bloco?
c

21. Uma part¶ ³cula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo com
a equa»~o x = 0; 2 sen (5t ¡ ¼=6), onde x ¶ dado em metros e t em
ca e
segundos. Qual a for»a que age sobre a part¶cula em t = 0 s? Qual o
c ³
valor m¶ximo dessa for»a?
a c

22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte de
areia, e afunda 5 cm at¶ parar. Se supusermos que a for»a de resist^ncia
e c e
que atua no corpo quando ele penetra na areia ¶ constante, quanto ela
e
vale?

23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~es desprez¶
o ³veis est¶ caindo
a
verticalmente em dire»~o µ superf¶ da Terra. Quando est¶ a 10 m de
ca a ³cie a

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 14
³s1

altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a a»~o de um forte tuf~o que lhe
ca a
imprime uma for»a de componente horizontal dada por 3t (em Newtons,
c
com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima.
Quais a velocidade e a posi»~o da part¶cula em cada instante? Qual
ca ³
a equa»~o da trajet¶ria descrita pela part¶
ca o ³cula? Esboce a curva desta
trajet¶ria.
o

24. Um homem de 80 kg pula para um p¶tio, da beirada de uma janela que
a
est¶ a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos,
a
quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa dist^ncia de 2,0 cm.
a
(a) Qual a acelera»~o m¶dia do homem, entre o primeiro instante em
ca e
que seus p¶s tocaram o ch~o, ao instante em que ¯cou completamente
e a
parado? (b) Qual a for»a que o impacto transmitiu µ sua estrutura
c a
¶ssea?
o

25. Um disco de massa M que est¶ ligado por um ¯o leve a outra massa
a
m pode deslizar sobre a mesa com atrito desprez¶vel, como mostrado
³
na ¯gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descreva
um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !?

m
r

M

26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunfer^ncia hori-
e
zontal em torno das paredes verticais de um po»o cil¶
c ³indrico de raio R.
(a) Com que velocidade m¶nima ele deve andar se o coe¯ciente de atrito
³
est¶tico entre os pneus e a parede ¶ ¹E ? (b) Calcule esta velocidade
a e
para R = 5 m e ¹ E =0,9.

27. Uma curva circular de auto-estrada ¶ projetada para velocidades de
e
60 km/h. (a) Se o raio da curva ¶ 150 m, qual deve ser o ^ngulo
e a
de inclina»~o da rodovia? (b) Se a curva n~o fosse inclinada, qual
ca a
deveria ser o coe¯ciente de atrito m¶nimo entre os pneus e a estrada
³
para permitir o tr¶fego a essa velocidade sem derrapagem?
a

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15
³s1

28. Uma crian»a coloca uma cesta de piquenique na parte externa de um
c
carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Qual
a velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deve
ser o coe¯ciente de atrito est¶tico entre a cesta e o carrossel, para que
a
a cesta n~o deslize sobre este?
a

29. Um p^ndulo c^nico ¶ formado por massa de 50 g presa por um cord~o
e o e a
de 1,2 m. A massa gira formando um c¶ ³rculo horizontal de 25 cm de
raio. (a) Qual ¶ a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»~o? (c) Qual
e ca
a tens~o no cord~o?
a a

30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante,
tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu peso
aparente no ponto mais baixo?

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16
³s1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

Lista de exerc¶
³cios 7

¶
Cinematica do Movimento Circular

1. Um prato girat¶rio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»~es por
o co
minuto. Qual a velocidade angular de rota»~o deste disco?
ca

2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a
cada 2 segundos. Calcule o m¶dulo da velocidade do objeto se ele
o
estiver a uma dist^ncia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O.
a

3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em um
ponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»~o vale 0; 1 ¼ m/s. Em
ca
t = 2 s, sua velocidade ¶ o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual a
e
acelera»~o angular m¶dia deste corpo? (b) Supondo que a velocidade
ca e
angular est¶ aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶ necess¶rio
a a a
para que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s?

4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma dist^ncia ` = 10 cm em
a
torno de um ponto O com per¶ ³odo de rota»~o ¯xo e igual a 4 s. Qual
ca
a for»a resultante agindo sobre este objeto?
c

5. O objeto do exerc¶ anterior num certo instante passa a descrever um
³cio
movimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. A
acelera»~o angular vale 0; 1 ¼ rad/s2. Qual a for»a resultante agindo
ca c
sobre o objeto?

6. Na lista de exerc¶cios 2, sobre Vetores, voc^ demonstrou no exerc¶
³ e ³cio
9 uma rela»~o entre os vetores unit¶rios na representa»~o polar e os
ca a ca
vetores unit¶rios na representa»~o cartesiana,
a ca

r = cos µ^ + sen µ ^
^ ³ ´
^
µ = ¡ sen µ ^ + cos µ^
³ ´

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17
³s1

Observando que a dire»~o destes dois vetores varia com o tempo, calcule
ca

d^
r ^
dµ
e
dt dt
A partir destas express~es, e usando que o movimento ¶ circular (r ¶
o e e
constante)
~ =r^
r r
demonstre que
^
~ =!rµ
v
^
~ = ¡ !2 r r + ® r µ
a ^
onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt.

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18
³s1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

Lista de exerc¶
³cios 8

Movimento Relativo

1. Um piloto de ultraleve est¶ voando, e quer ir de um ponto A a um
a
ponto B distantes entre eles de 2 km. O vento est¶ soprando a seu
a
favor, na dire»~o A-B. A velocidade do vento em rela»~o ao ch~o ¶ de
ca ca a e
20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidade
de 40 km/h em rela»~o ao ar. Qual a velocidade que um observador no
ca
ch~o mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A at¶
a e
B? Se as condi»~es do vento continuarem iguais, e ele resolver voltar
co
de B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade,
observada do ch~o, na volta?
a

2. A dist^ncia entre dois pontos A e B ¶ L. Um avi~o voa de A at¶ B e
a e a e
volta, com velocidade de m¶dulo v constante em rela»~o ao ar. Calcule
o ca
o tempo total que gastar¶ para realizar o percurso, se o vento sopra
a
com uma velocidade de m¶dulo u:
o

(a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B;
(b) na dire»~o perpendicular µ linha que une A e B.
ca a

Demonstre que a dura»~o da viagem sempre ¶ maior quando h¶ vento.
ca e a

3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a ¶gua move-se com ve-
a
locidade de m¶dulo u em rela»~o µs margens. Um barco parte de um
o ca a
ponto A em uma das margens, para alcan»ar um ponto B na outra,
c
desenvolvendo uma velocidade de m¶dulo v em rela»~o µ ¶gua. Qual
o ca a a
a orienta»~o que ele deve tomar, e que tempo levar¶ para atravessar o
ca a
rio, se

(a) o ponto B ¯ca diretamente oposto a A?
(b) o ponto B ¶ tal que o tempo de travessia ¶ o menor poss¶
e e ³vel?

F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19
³s1

4. Um navio a vapor navega em dire»~o ao Sul a 25 km/h em uma regi~o
ca a
onde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o ^ngulo que a fuma»a
a c
saindo da chamin¶ forma com a dire»~o Norte?
e ca

5. Um navio est¶ navegando paralelamente a uma linha costeira reta com
a
velocidade de m¶dulo v. No instante que ele passa por um porto, um
o
barco da guarda-costeira sai para intercept¶-lo com uma velocidade de
a
m¶dulo u (u > v). Que dire»~o o barco da guarda costeira deve seguir
o ca
para alcan»ar o navio no menor tempo poss¶
c ³vel?

6. Um b^bado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante.
e
Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cacha»a quase
c
vazia. Ele somente nota o fato ap¶s ter remado meio hora. Nesse
o
instante ele retorna, remando com a mesma intensidade at¶ encontrar
e
a garrafa, que se encontrava a um quil^metro da ponte, rio abaixo.
o
Ache a velocidade do rio. (Sugest~o: utilize um sistema de refer^ncia
a e
parado em rela»~o µ ¶gua.)
ca a a

7. Duas part¶ ³culas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com veloci-
dades constantes ~1 = 2^ cm/s e ~ 2 = 3^ cm/s. No instante t = 0 elas
v ³ v ´
est~o nas posi»~es dadas por x1 = ¡3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = ¡3 cm.
a co
Obtenha o vetor ~2 ¡ ~1 que representa a posi»~o da part¶
r r ca ³cula 2 com
respeito µ part¶
a ³cula 1, como fun»~o do tempo. Determine em que ins-
ca
tante de tempo elas estar~o com a menor separa»~o poss¶
a ca ³vel, e qual ¶
e
esta dist^ncia de m¶xima aproxima»~o.
a a ca

F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20
³s1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

Lista de exerc¶
³cios 9

~
Referenciais Nao Inerciais

1. Um homem entra numa farm¶cia e pesa-se em uma balan»a calibrada
a c
em Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevador
que possui uma balan»a tamb¶m calibrada em Newtons. O que ler¶ se
c e a
repetir a pesagem dentro do elevador

(a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»~o cons-
ca
2
tante de 2 m/s ?
(b) subindo entre o terceiro e o d¶cimo andares com velocidade cons-
e
tante de 7 m/s?
(c) subindo entre o d¶cimo e o d¶cimo segundo andares com desace-
e e
lera»~o de 2 m/s 2?
ca
(d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerando
µ raz~o de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante
a a
de 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µ raz~o de 2 m/s 2?
a a

2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave pos-
sui acelera»~o ~ e est¶ num local do espa»o onde n~o existe campo
ca a a c a
gravitacional algum. O alvo est¶ na mesma altura das m~os do ob-
a a
servador, e a uma dist^ncia L deste. A velocidade inicial do proj¶til
a e
tem m¶dulo v0. Fa»a um desenho mostrando a trajet¶ria seguida pelo
o c o
proj¶til, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dados
e
do problema, ache o ^ngulo que o proj¶til deve fazer com a horizontal
a e
ao ser arremessado para que ele atinja o alvo.

F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21
³s1

~ 6
a

¾ -
t t
L

3. Um garoto est¶ sobre a carroceria de um caminh~o, que corre sobre o
a a
solo plano com acelera»~o ~ na dire»~o de seu movimento. Com que
ca a ca
a
^ngulo com a vertical o garoto deve lan»ar uma bola de massa m para
c
que, quando a bola cair, ele possa apanh¶-la sem se mover?
a

4. O passageiro de um avi~o, nervoso na decolagem, tira sua gravata e
a
deixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durante
a corrida para al»ar v^o, que dura 30 s, a gravata faz um ^ngulo de
c o a
0
15 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, e
quanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶e
horizontal, e que a acelera»~o do motor ¶ constante.
ca e

5. Um objeto de massa m est¶ preso por uma corda de massa desprez¶
a ³vel
ao teto de um vag~o. Num determinado instante, o vag~o ¶ colocado
a a e
em movimento, com uma acelera»~o ~ horizontal de m¶dulo constante,
ca a o
para a direita. O objeto ent~o encosta na parede (como na ¯gura). O
a
a
^ngulo que o ¯o faz com o teto ¶ µ. O atrito entre o objeto e a parede
e
e
¶ desprez¶
³vel.
µ¶
¶

¶u
¶ ~
a
-

(a) Fa»a um diagrama das for»as que agem sobre o objeto, para um
c c
observador ¯xo numa esta»~o,
ca
(b) Fa»a um diagrama das for»as que agem sobre o objeto, para um ob-
c c
servador dentro do vag~o, e diga onde est~o atuando suas rea»~es.
a a co

F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22
³s1

(c) Calcule o valor da for»a de contato entre o objeto e a parede do
c
vag~o.
a

6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶ ³cie
0
sem atrito inclinada de 30 em rela»~o µ horizontal. Suponha que esta
ca a
superf¶ seja acelerada para a esquerda com acelera»~o ~ constante.
³cie ca a
A magnitude da acelera»~o ¶ tal que o objeto n~o desliza. (a) Desenhe
ca e a
um diagrama que mostre as for»as que atuam sobre o objeto, em um
c
sistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»~o para
ca
que o objeto n~o deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do ponto
a
de vista de um observador (n~o inercial) que move-se junto com o plano
a
inclinado.

©
© © ©
© ©m A ©
©
A © ©©
A
©
© ©
©
© © ¾ ~
a
©
© © 300
©

7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas de
mesma massa m s~o colocados em cabines montadas nas extremidades
a
opostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶ girado com
e
velocidade angular - num c¶ ³rculo vertical em torno do ponto m¶dio da
e
barra, O. Cada cabine possui uma balan»a, e os astronautas se pesam
c
sobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na ver-
tical, (a) fa»a um diagrama das for»as que agem sobre cada um dos
c c
astronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este item
para um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a me-
dida da balan»a feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Que
c
velocidade de rota»~o ¶ necess¶ria para produzir a sensa»~o de impon-
ca e a ca
derabilidade na cabine de cima? Nesta situa»~o, qual a leitura feita na
ca
balan»a da outra cabine?
c

F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23
³s1

Â ¿

Á À

-O

Â ¿

Á À

8. Um corpo de massa m est¶ apoiado em um suporte dentro de um
a
cilindro de raio R que gira com velocidade angular constante - em
torno de seu eixo de simetria, como mostrado na ¯gura. Sendo ¹ o
coe¯ciente de atrito est¶tico entre o corpo e a parede interna do cilindro,
a
pergunta-se: (a) Qual o menor valor de - para que o qual se pode retirar
o suporte sem que o corpo deslize em rela»~o µ parede do cilindro? (b)
ca a
O que acontece com o valor da for»a de atrito se - for maior do que o
c
valor m¶³nimo encontrado no item anterior?

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24
³

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

TEXTO COMPLEMENTAR 1
Vetores
Muitas das grandezas usadas na F¶sica n~o podem ser representadas por
³ a
um unico n¶mero. Grandezas como a posi»~o de um objeto, sua velocidade,
¶ u ca
a for»a aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especi¯ca»~o
c ca
precisa, n~o s¶ de um valor num¶rico { a dist^ncia a um ponto de refer^ncia, o
a o e a e
valor medido no od^metro de um carro, a intensidade da for»a { mas tamb¶m
o c e
de dire»~o e sentido.
ca
De uma maneira simpli¯cada, um vetor ¶ uma grandeza que pode ser
e
representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento
e
¶ o m¶dulo do vetor, sua dire»~o ¶ fornecida pela dire»~o da reta que suporta
o ca e ca
o semento, e o sentido ¶ dado pela orienta»~o do segmento. Um vetor em
e ca
geral ¶ representado gra¯camente por uma letra com uma seta em cima, como
e
~ ; seu m¶dulo ¶ representado por j~ j = a.
a o e a
r
a

Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto ¶, um
e
vetor ¶ um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo
e
de diferentes pontos do espa»o. Um vetor tamb¶m ¶ um elemento de um
c e e
conjunto { chamado espa»o vetorial { que associado a duas opera»~es, a
c co
adi»~o e a multiplica»~o por escalar, tem algumas propriedades: ¶ fechado
ca ca e
em rela»~o a estas duas opera»~es (a soma de dois vetores ¶ um vetor,...),
ca co e
o elemento neutro da adi»~o (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos os
ca
vetores possuem elemento inverso em rela»~o µ adi»~o, ....
ca a ca
Um exemplo de vetor bem conhecido ¶ o vetor deslocamento de um objeto
e
pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser represen-
~
tado por um vetor d com m¶dulo igual µ dist^ncia entre os pontos A e B,
o a a
dire»~o de¯nida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B.
ca
r
d
B
A

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25
³

Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que cor-
responde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada.
Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do
ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C.
r B r
d1 d2
r C
d
A

A opera»~o de adi»~o de dois vetores ¶ de¯nida de forma an¶loga µ soma
ca ca e a a
de dois vetores deslocamentos. O vetor ~ que resulta da soma de dois outros
c
vetores ~ e ~ ~ = ~ +~ ¶ o vetor correspondente ao segmento de reta orientado
a b, c a b, e
obtido de acordo com a regra do paralelogramoquot;. Esta regra de soma tem
este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que
pode ser formado com lados ~ e ~
a b.

r r r
r c = a+b
a
r
b
A adi»~o de vetores ¶ comutativa
ca e

~ +~ = ~ + ~
a b b a

e ¶ distributiva:
e ³ ´ ³ ´
~ + ~ +~ = ~ +~ + ~
a b c a b c
o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente.
~
Um deslocamento d de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»~o, ca
a dire»~o da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a
ca
mesma dire»~o pode ser escrito como o produto deste deslocamento d por
ca ~
um n¶mero real ®, de forma tal que a dist^ncia percorrida seja ® d. Se ® ¶
u a e
positivo, os sentidos s~o os mesmos. Para voltar de B at¶ A, o deslocamento
a e
pode ser representado por um vetor com a mesma dire»~o, mesmo m¶dulo e
ca o
~
sentido oposto, ¡ d.
r r
−d 2d

r B
A d

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26
³

A opera»~o de multiplica»~o de um vetor ~ por um escalar ® (um n¶ mero
ca ca b u
real) ¶ de¯nida como sendo uma opera»~o cujo resultado ¶ um vetor ® ~
e ca e b
{ cujo m¶dulo ¶ dado por j®j b,
o e
{ cuja dire»~o ¶ a mesma dire»~o do vetor ~
ca e ca b,
{ e cujo sentido ¶ o de ~ no caso em que ® > 0, e contr¶rio se ® < 0.
e b a
Desta maneira, a diferen»a de dois vetores ¶ a soma de dois vetores, o
c e
primeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶mero real ¡1:
u
³ ´
~ ¡ ~ = ~ + ¡~ :
a b a b

r r r
d = a −b r r r
r c =a +b
a
r
b

Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m)
na dire»~o de A para B pode ser o padr~o de medida de todos os vetores que
ca a
t^m a dire»~o AB.
e ca
Da mesma maneira que ¶ necess¶ria uma unidade de medida, um padr~o,
e a a
para a descri»~o de grandezas escalares (como temperatura, massa), pre-
ca
cisamos de um padr~o de medida para vetores. Mas a especi¯ca»~o de um
a ca
vetor exige m¶dulo, dire»~o e sentido; um padr~o para descrev^-lo n~o pode
o ca a e a
ser um simples n¶mero, tem que ter tamb¶m dire»~o e sentido. Ou seja, ¶
u e ca e
tamb¶m um vetor.
e
Um vetor cujo m¶dulo vale 1 unidade ¶ chamado de vetor unit¶rio. A sua
o e a
representa»~o ¶ feita usuamente por um chap¶uquot; (acento circun°exo) sobre
ca e e
uma letra: ^. Da opera»~o de multiplica»~o por escalar, podemos escrever
a ca ca
imediatamente
~ ^
d = ad :

r ˆ
d
d
B
A

E para obter-se o vetor unit¶rio associado a um vetor qualquer basta divid¶
a ³-lo
pelo seu m¶dulo:
o
^ 1~
d= d:
d

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27
³

Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coor-
denadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»o, s~o necess¶rias tr^s
c a a e
coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, por-
tanto, precisamos de suas tr^s componentes ao longo de tr^s eixos { ou de
e e
tr^s unit¶rios de dire»~es independentes. O sistema de tr^s vetores unit¶rios
e a co e a
mais comum ¶ um sistema constitu¶do de tr^s unit¶rios mutuamente perpen-
e ³ e a
diculares, com a conven»~o de ordem indicada na ¯gura abaixo.
ca
ˆ
k z
y
)
j
ˆ
i
x

Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como
sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento
atrav¶s das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»~o ¯ca como
e ca
na ¯gura. As coordenadas do ponto A s~o as componentes segundo os eixos
a
x e y: A = (xA; yA ).
y
yA A
A = ( xA , yA )
O xA x

~ ~
O vetor OA = d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao
eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»~o ¯ca
ca

~A = ~ A + ~A
r x y

como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶rios das dire»~es x e y como
a co
sendo ^ e ^ temos
³ ´,
~ A = xA ^ + y A ^
r ³ ´

y
yA A A = ( xA, yA )

r
O xA x rA = x A ˆ + y A ˆj
i

O vetor componente de ~A na dire»~o x, ~ A, tem m¶dulo igual a jxAj, pois
r ca x o
xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~ A
x

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28
³

coincidir ou n~o com o sentido do unit¶rio ^ O mesmo ocorre para o vetor
a a ³.
componente de ~A na dire»~o de y, yA. Assim,
r ca

x
~ A = xA ^ ; ~A = yA ^ :
³ y ´

y
A r r r
r
yA rA = xA + yA =
= xA ˆ + y A ˆ
r
O xA x i j

Os valores xA e yA s~o chamadas de componentes do vetor ~A segundo os
a r
eixos x e y, ou segundo as dire»~es dos unit¶rios ^ e ^
co a ³ ´.
y A
y x = r cos θ
r y = r senθ
θ
x
x
Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; µ), onde r
corresponde µ dist^ncia µ origem de coordenadas e µ o ^ngulo que a dire»~o
a a a a ca
OA faz com um eixo arbitr¶rio { no caso o eixo x. As duas descri»~es
a co
A = (r; µ) = (x; y) est~o relacionadas atrav¶s das express~es
a e o

x = r cos µ ; y = r sen µ
q y
r= x2 + y2 ; µ = arctg
x
e ¶ imediatamente claro que 0 · µ < 2¼, x e y podem ser maiores, iguais ou
e
menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao m¶dulo
o
~
do vetor OA.
As opera»~es de adi»~o de vetores e multiplica»~o por escalar podem ser
co ca ca
feitas em termos de componentes.

r r r r
c = a+b
a r
c cx = a x + b x
x
r bx a x cx
b

Da ¯gura, para a adi»~o de vetores
ca
³ ´
cx = ~ + ~
a b = ax + bx
x

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29
³

e de forma an¶loga
a ³ ´
cy = ~ + ~
a b = ay + by
y

Para a multiplica»~o de um vetor por um escalar,
ca
r r r
b b=αa

r bx = α a x
a x
ax bx

bx = (® ~ )x = ® ax ;
a by = (® ~ )y = ® ay :
a

Duas outras opera»~es com vetores s~o usadas para a de¯ni»~o de con-
co a ca
ceitos f¶
³sicos.
A primeira opera»~o ¶ o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta
ca e
opera»~o, a um par de vetores ~ e ~ associa-se um n¶mero real ~ ¢ ~ de¯nido
ca a b u a b
como
~ ¢ ~ = a b cos µ
a b
onde µ ¶ o ^ngulo entre as dire»~es de ~ e ~
e a co a b.

r ab = a cos θ
a
θ r
ab b
Esta de¯ni»~o ¶ equivalente a dizer que o produto escalar de ~ por ~ ¶ o
ca e a be
produto do m¶dulo de b
o ~ pela proje»~o de ~ na dire»~o de ~ Geometricamente,
ca a ca b.
veri¯ca-se trivialmente que
~ ¢~ =~ ¢~
a b b a
~ ¢~ = a2
a a
~ ¢ ~ = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~ ? ~
a b a b
³ ´
~ ¢ ~ + ~ = ~ ¢~ + ~ ¢ ~
a b c a b a c

Se os vetores ~ e ~ s~o paralelos, ~ ¢ ~ = a b. Se s~o anti-paralelos (seus
a b a a b a
~ = ¡ a b.
sentidos s~o opostos) ~ ¢ b
a a
Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as pro-
priedades anteriores. Se ~ = ax ^ + ay ^ + az ^ e ~ = bx ^ + by ^ + bz k , ent~o
a ³ ´ k b ³ ´ ^ a
³ ´ ³ ´
~ ¢ ~ = ax ^ + ay ^ + az ^
a b ³ ´ k ^
¢ bx^ + by ^ + bz k = ax bx + a y by + az bz
³ ´

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30
³

Da de¯ni»~o do produto escalar, tamb¶m, pode-se demonstrar que
ca e

a x = ~ ¢ ^ ; ay = ~ ¢ ^ ; az = ~ ¢ ^
a ³ a ´ a k

~ ¢~
a b
cos µ =
ab
O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~es em F¶
o ³sica com
~ num deslocamento:
a de¯ni»~o de trabalho realizado por uma for»a F
ca c
Z
F
WAB = ~ r
F ¢ d~ :

A outra opera»~o, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois
ca
~ um terceiro vetor c
vetores ~ e b
a

~ = ~ £~
c a b

com o m¶dulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶ o (menor) ^ngulo entre ~ e ~
o e a a b,
~ e sentido dado pela
com dire»~o perpendicular ao plano que cont¶m ~ e b,
ca e a
chamada regra da m~o direitaquot;. Esta de¯ni»~o est¶ ilustrada na ¯gura a
a ca a
seguir.
r r r r r
c
c c = a× b r c = área
b
r
r
a b b senθ
r
a

O produto vetorial de dois vetores n~o ¶ comutativo { a ordem dos fatores
a e
troca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶m podem ser veri¯cadas
e
facilmente da de¯ni»~o,
ca
~ £~ = ¡~ £ ~
a b b a
³ ´
~ £ ~ + ~ = ~ £~ + ~ £ ~
a b c a b a c
³ ´
~ £ ®~ = ®~ £ ~
a b a b
a~ = 0
a
O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶ nulo.
e

F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31
³

Em componentes,

~ £ ~ = (ay bz ¡ az by ) ^ + (az bx ¡ ax bz ) ^ + (a x by ¡ ay bx) k
a b ³ ´ ^

O produto vetorial aparece em F¶sica na de¯ni»~o de torque de uma for»a
³ ca c
em rela»~o a um ponto, e momento angular de uma part¶
ca ³cula em rela»~o a
ca
um ponto:
r ~
¿ =~£F
~
LO = ~ £ p = m ~ £ ~
r ~ r v

F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32
³

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

Lista de exerc¶
³cios 6 { Respostas
1. Peso (rea»~o sobre a Terra) e sustenta»~o (rea»~o sobre a ponta do
ca ca ca
cabo). Quando a ma»~ est¶ caindo, atua apenas o peso.
ca a

2. No sentido do movimento do corpo.

3. No arm¶rio: peso, normal, atrito e empurr~o do homem. No homem:
a a
peso, normal, atrito, rea»~o ao empurr~o.
ca a

4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg.

5. (Discutir com o professor.)

6. For»a de contato entre os blocos: de m¶dulo F cos µ m=(M + m), ho-
c o
rizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»a de
c
contato entre m e a superf¶ ³cie: mg, vertical e para cima. For»a de
c
contato entre M e a superf¶ ³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima.

7. (a) 1; 1 N.

8. (a) 0; 97 m/s2 ; (b) T1 = 11; 6 N, T 2 = 34; 8 N.

9. (a) N~o, fat = 222 N. (b) N~o, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d)
a a
Sim, fat = 311 N.

10. a = 2; 5 m/s2 , N = 20 N.

11. a = 2; 2 m/s2 , N = 22 N.

12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2,
N = 24 N, caso a for»a tenha dire»~o e sentido como na ¯gura do
c ca
exerc¶ 11.
³cio

13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s 2.

14. F MAX = ¹E (M + m) g; f = ¹E mg e n = mg s~o as duas componentes
a
da for»a de contato entre os dois blocos.
c

F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33
³

15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2.

16. (a) a = mB g=(mA + mB), F = mAmBg=(mA + mB ).
(b) m0B = 2mAmB =(mA ¡ mB).

17. (a) 0; 75 m/s2 ; (b) para baixo; (c) 21; 3 N.

18. Supondo que o ^ngulo de inclina»~o do plano ¶ de 30±, mB = 3; 3 kg.
a ca e

19. 421 N.

20. (a) N~o. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente hori-
a
zontal: 50 N para a esquerda.

21. F (0) = 5 N, FMAX = 10 N.

22. 1000 N.

23. Sistema de coordenadas: unit¶rios ^ na dire»~o horizontal, com o sen-
a ³ ca
tido do tuf~o, ^ para cima; a origem est¶ no ch~o, bem embaixo do ponto
a ´ a a
v 2
inicial do corpo. ~(t) = 3t ^ + 10 (t ¡ 1) ^, ~(t) = t3 ^ + 5 (t2 ¡ 2t + 2)^.
³ ´ r ³ ´

24. (a) 250 m/s2 ; (b) 2; 0 £ 104 N.

25. m = M g=(!2r).
q
26. (a) vMIN = gR=¹E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h.

27. (a) 10± ; (b) 0,19.

28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02.

³rculo; (b) 2,1 m/s2 , apontando para o centro
29. (a) 0,72 m/s, tangente ao c¶
do c¶³rculo; (d) 0,5 N.

30. 192 kg.

1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

GUIA DE ESTUDO 3
¶
Modulo 3: Trabalho e Energia

»~
1. INTRODUCAO
Neste m¶dulo, estudaremos os conceitos de trabalho e energia. Vamos
o
discutir a lei da conserva»~o da energia mec^nica de uma part¶cula, o que
ca a ³
s~o energia cin¶tica, energia potencial, e o trabalho de for»as. Come»are-
a e c c
mos abordando o movimento unidimensional e a seguir generalizaremos nosso
estudo para o caso do movimento geral.
Leituras indispens¶veis
a
Os t¶picos citados acima correspondem aos cap¶
o ³tulos 6 (se»~es 6.1 a 6.5) e 7
co
(se»~es 7.1 a 7.3 e parte da se»~o 7.6) do livro texto, de H. M. Nussenzveig.
co ca

2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA

Atividade 1
Discuss~o
a
| da conserva»~o de energia mec^nica num campo gravitacional (se»~o
ca a ca
6.1),
| da de¯ni»~o de trabalho de uma for»a,
ca c
| da de¯ni»~o de energia cin¶tica e energia potencial de um corpo.
ca e
(se»~o 6.2).
ca

Atividade 2
ca ³cios 1 e 4 da Lista 10, Trabalho e energia.

Atividades extras 1
1. Leia as se»~es 6.1 e 6.2 do cap¶tulo 6 do livro.
co ³
2. Resolva os exerc¶³cios 2, 3, 5 e 6 da lista de trabalho e
energia.

F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 2
³

3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimento
relativo e referencias n~o inerciais).
a
4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto.

Atividade 3
Discuss~o sobre o trabalho de uma for»a constante de dire»~o qualquer,
a c ca
introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (se»~o 7.1);
ca
o trabalho de uma for»a no caso do movimento geral (se»~o 7.2); as
c ca
for»as conservativas (se»~o 7.3); e pot^ncia (item a da se»~o 7.6).
c ca e ca

Atividade 4
ca ³cios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia.

Atividades extras 2
1. Leia as se»~es 7.1 a 7.3 e item a da se»~o 7.6 do cap¶
co ca ³tulo
7 do livro texto.
2. Resolva os exerc¶cios 8 e 10 da lista de trabalho e energia.
³
3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livro
texto.

Atividade 5
Discuss~o sobre trabalho de uma for»a vari¶vel (se»~o 6.3) e a con-
a c a ca
serva»~o da energia mec^nica no movimento unidimensional (se»~o 6.4).
ca a ca

Atividade 6
ca ³cios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ou
outros, a crit¶rio do professor).
e

Atividades extras 3
1. Leia as se»~es 6.3 e 6.4 do cap¶tulo 6 do livro.
co ³
2. Resolva os exerc¶cios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalho
³
e energia.
3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto.

F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 3
³

Atividade 7
Discuss~o do movimento unidimensional sob a a»~o de for»as conser-
a ca c
vativas.

Atividade 8
ca ³cios 24 e 25 da lista de trabalho e energia.

Atividades extras 4
1. Termine de ler o cap¶³tulo 6 do livro.
2. Resolva os exerc¶
³cios 23, 26 e 27 da lista de trabalho e
energia.
3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 do
livro texto.

Atividade 9
Resolu»~o de exerc¶
ca ³cios e problemas escolhidos pelo professor.

Atividades extras 5
Releia os cap¶³tulos 6 e 7 (exceto as se»~es 7.4, 7.5 e 7.6b)
co
do livro texto.
1. Termine a lista de exerc¶cios de trabalho e energia.
³
2. Fa»a toda a lista de exerc¶
c ³cios 5, sobre movimento rela-
tivo e referenciais n~o inerciais.
a
3. Termine tudo que voc^ deixou para tr¶s.
e a
4. D^ uma lida na discuss~o sobre for»as n~o-conservativas
e a c a
na se»~o 8.12 do livro de Alonso&Finn (voc^ pode en-
ca e
contr¶-lo na biblioteca do Instituto de F¶sica).
a ³

3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA

1. Leia novamente os cap¶
³tulos 6 e 7 do livro texto.

2. Fa»a todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e
c
7) que voc^ ainda n~o fez.
e a

3. Leia o texto complementar anexo sobre conserva»~o de energia.
ca

F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4
³s1

IF { UFRJ { 2004/1
F¶

TEXTO COMPLEMENTAR 2
»~
A Conservacao da Energia
Richard P. Feynman

Texto extra¶ do Cap¶tulo 3 | Os grandes princ¶
³do ³ ³pios de conserva»~o
ca
| do livro O que ¶ uma lei f¶sica (The Character of Physical Law),
e ³
de Richard P. Feynman, vers~o baseada na tradu»~o portuguesa de
a ca
Carlos Fiolhais, editora Gradiva.

Quando estudamos as leis da f¶ descobrimos que s~o numerosas, com-
³sica, a
plicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravita»~o, da eletricidade e do
ca
magnetismo, das intera»~es nucleares, etc. Mas todas essas leis particulares
co
parecem obedecer a grandes princ¶ ³pios gerais. Exemplos destes ¶ltimos s~o
u a
os princ¶ ³pios de conserva»~o, algumas caracter¶sticas de simetria, a forma
ca ³
geral dos princ¶ ³pios da mec^nica qu^ntica e, infeliz ou felizmente, o fato,
a a
j¶ referido, de todas as leis terem uma natureza matem¶tica. Hoje quero
a a
falar-lhes dos princ¶pios de conserva»~o.
³ ca
O f¶³sico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele uma
lei de conserva»~o signi¯ca que existe um n¶mero que pode calcular num
ca u
dado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~o de a
mudan»as, se voltar a repetir o c¶lculo, o resultado ¶ o mesmo. Esse n¶ mero
c a e u
e
¶, pois, invariante. Um exemplo ¶ a conserva»~o de energia. Existe uma
e ca
quantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do c¶lculoa
e
¶ sempre o mesmo, independentemente do que aconte»a. c
Podemos agora ver como isso pode ser util. Suponhamos que a f¶
¶ ³sica, ou
melhor a Natureza, ¶ um grande jogo de xadrez, com milh~es de pe»as, e
e o c
que estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamente
por grandes deuses, sendo dif¶cil observ¶-los e compreender as respectivas jo-
³ a
gadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, h¶ a
algumas que n~o exigem a observa»~o de todos os movimentos. Por exemplo,
a ca
suponhamos que s¶ existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispo
o
se move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixar-
mos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a

F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 5
³s1

prestar aten»~o ao jogo, esperamos encontrar ainda um bispo branco, talvez
ca
¶
numa outra posi»~o, mas numa casa da mesma cor. E essa a ess^ncia das
ca e
leis de conserva»~o. N~o precisamos ver todos os pormenores para sabermos
ca a
alguma coisa sobre o jogo.
¶
E certo que no xadrez esta lei particular n~o ¶ necessariamente v¶lida em
a e a
todas as circunst^ncias. Se deixarmos de olhar o tabuleiro por muito tempo,
a
pode acontecer que o bispo seja capturado, que um pe~o seja promovido a
a
rainha ou que um deus decida que ¶ prefer¶vel que este pe~o seja promovido
e ³ a
a bispo, ¯cando o novo bispo numa casa preta. Infelizmente, pode aconte-
cer que algumas das leis que compreendemos hoje n~o sejam perfeitamente
a
exatas, mas vou consider¶-las tal qual as conhecemos.
a
Disse-lhes que usamos palavras correntes num sentido t¶cnico. Uma e
palavra que ¯gura no t¶tulo desta palestra ¶ grandequot; | Os grandes prin-
³ e
c¶pios de conserva»~oquot;. N~o se trata de um termo t¶cnico: foi colocado no
³ ca a e
t¶
³tulo apenas para obter um efeito mais dram¶tico. Podia muito bem ter
a
dito As leis de conserva»~oquot;. H¶ algumas leis de conserva»~o que n~o fun-
ca a ca a
cionam totalmente; s~o s¶ aproximadamente verdadeiras, o que n~o impede
a o a
que muitas vezes sejam ¶teis. Podemos chamar-lhes pequenasquot; leis de con-
u
serva»~o. Embora v¶ mencionar mais tarde uma ou duas destas leis que n~o
ca a a
funcionam totalmente, as leis principais que vou discutir s~o, tanto quanto
a
podemos a¯rmar hoje, absolutamente rigorosas.
Come»arei pela lei mais f¶cil de compreender, que diz respeito µ con-
c a a
serva»~o da carga el¶trica. Existe um n¶mero, a carga el¶trica total no uni-
ca e u e
verso, que n~o varia, seja o que for que suceda. Se perder carga num lugar,
a
acabo por encontr¶-la noutro. A conserva»~o refere-se ao conjunto de todas
a ca
as cargas el¶tricas. Este fato foi descoberto experimentalmente por Faraday.
e
(...)
Foram descobertas outras leis de conserva»~o, que s~o an¶logas aos prin-
ca a a
c¶pios de contagem que vimos. Por exemplo, os qu¶
³ ³micos pensavam a certa
altura que, em quaisquer circunst^ncias, o n¶mero total de ¶tomos de s¶dio
a u a o
a
se conservava. Os ¶tomos de s¶dio, por¶m, n~o s~o permanentes. E
o e a a ¶ poss¶ ³vel
transformar ¶tomos de um elemento noutro, desaparecendo completamente o
a
elemento original. Uma outra lei na qual se acreditou durante algum tempo
a¯rmava que a massa total de um objeto ¶ invariante. A sua validade depende
e
da maneira como se de¯ne a massa e se esta ¶ relacionada ou n~o com a
e a
energia. A lei de conserva»~o da massa est¶ inclu¶ numa outra lei de que
ca a ³da
vou falar a seguir: a lei de conserva»~o da energia.
ca

F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 6
³s1

A conserva»~o da energia ¶ um pouco mais dif¶ porque desta vez temos
ca e ³cil,
um n¶ mero que n~o varia com o tempo e n~o se refere a nenhum objeto
u a a
particular. Gostaria de usar uma analogia um pouco grosseira para explicar
o que se passa.
Imaginemos que uma m~e deixa o seu ¯lho sozinho num quarto a brincar
a
com 28 cubos absolutamente indestrut¶ ³veis. A crian»a brinca com os cubos
c
durante todo o dia e a m~e, quando regressa a casa, veri¯ca que ainda existem
a
28 cubos; constatando, assim, a conserva»~o dos cubos! A cena repete-se
ca
durante algum tempo, at¶ que um dia, ao voltar a casa, encontra s¶ 27
e o
cubos. No entanto, encontra um cubo ca¶ fora da janela, para onde a
³do
crian»a o tinha atirado. A primeira coisa que ¶ necess¶rio compreender numa
c e a
lei de conserva»~o ¶ que tem de se veri¯car se a mat¶ria observada n~o passa
ca e e a
para o outro lado da parede. O inverso tamb¶m poderia ter acontecido: um
e
amigo podia ter vindo brincar com a crian»a, trazendo alguns cubos consigo.
c
Obviamente, estas quest~es t^m de ser consideradas quando se discutem leis
o e
de conserva»~o. Suponhamos que um dia, ao contar os cubos, a m~e nota
ca a
que s¶ h¶ 25, mas suspeita de que a crian»a escondeu tr^s numa caixa de
o a c e
brinquedos. Vou abrir a caixaquot;, diz ent~o. N~oquot;, responde a crian»a, voc^
a a c e
n~o pode abrir a caixa.quot; Como a m~e ¶ inteligente, diria: Sei que a caixa
a a e
vazia pesa 600 g e que cada cubo pesa 100 g, de modo que vou pesar a caixa.quot;
Assim, para obter o n¶mero total de cubos a m~e escreveria
u a
Peso da caixa ¡ 600g
N¶mero de blocos observados +
u
100g
sendo o resultado 28. Este m¶todo funciona bem durante algum tempo, mas
e
um dia a soma n~o d¶ certo. A m~e veri¯ca, por¶m, que o n¶vel de ¶gua
a a a e ³ a
suja numa bacia mudou. Sabe que a profundidade da ¶gua ¶ de 6 cm, se n~o
a e a
houver cubos no fundo, e que o n¶ subiria de 0,5 cm se um cubo estivesse
³vel
dentro da ¶gua. Junta ent~o um novo termo, ¯cando agora com
a a
Peso da caixa ¡ 600g
N¶mero de blocos observados +
u +
100g
Altura da ¶gua ¡ 6cm
a
+
0; 5cm
µ
sendo o novo total de 28. A medida que aumenta o engenho do rapaz, au-
menta tamb¶m o da m~e, que, de cada vez, tem de somar mais termos, todos
e a

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