Proporcionalidad

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Tema de Proporcionalidad para el nivel de 1º y 2º de ESO. Válido también para 4º ESO.

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Proporcionalidad

  1. 1. Relaciones de Proporcionalidad
  2. 2. <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul>
  3. 3. Antes de empezar Continuamente vemos distintas ofertas en supermercados y comercios que intentan atraer la atención del consumidor: <ul><li>Llévese 3 y pague 2.
  4. 4. La segunda unidad a mitad de precio.
  5. 5. Cuatro por el precio de tres.
  6. 6. 15% de descuento en todos los productos.
  7. 7. En este tema obtendrás los conocimientos necesarios para saber la oferta que más te interesa. A continuación pasamos revista, a modo de recordatorio, a una serie de situaciones reales que se resuelven con la proporcionalidad. También puedes recordar pinchando en la siguiente actividad: </li></ul>La proporcionalidad y el porcentaje
  8. 9. <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>1.-Razón de dos números </ul><ul>Hasta ahora, el cociente indicado de dos números, por ejemplo 8 y 7, era una división, 8 : 7 y también una fracción, </ul><ul>Vamos a añadir un nuevo significado a ese cociente. Es el de razón de dos números . Diremos que la razón de dos números es su cociente indicado. La expresaremos en forma de fracción y la leeremos “8 es a 7”. </ul><ul>Ejemplo: La razón de 5 y 8 es “5 es a 8” </ul><ul>En la práctica, podemos considerar a razón y fracción como cosas similares. Por ello podremos decir que la razón entre 15 y 20 es o , que es la fracción equivalente irreducible </ul>Cuando aplicamos la razón de dos números a cantidades estamos expresando la <ul>relación que hay entre ellas. Es decir, si la razón de dos cantidades es significa que por cada 5 unidades de la primera hay 8 de la segunda. Las escalas de planos y mapas son, en realidad, razones entre las medidas del papel y del terreno. </ul>
  9. 10. <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>2.- Proporción </ul><ul>Proporción es la igualdad de dos razones. Es decir, si dos razones son iguales, puedo escribir esa igualdad y a la expresión que resulta la llamamos proporción. </ul><ul>Las razones y son iguales. Puedo escribir por tanto . Es una </ul><ul>proporción y la leeremos: “1 es a 2 como 3 es a 6” </ul><ul>Al igual que en las fracciones equivalentes, también en una proporción puede haber algún término desconocido. Lo calcularemos de la misma forma. Fíjate en los ejemplos: </ul><ul>Y como en las fracciones equivalentes, también en una proporción al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado. Compruébalo en el ejemplo anterior. En el caso de las proporciones se dice que “el producto de medios es igual al producto de extremos”. </ul>
  10. 11. <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>3.- Magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales. </ul><ul>Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en el mismo sentido. Es decir: </ul><ul>A doble en la primera magnitud, doble en la segunda </ul><ul>Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en sentido contrario. Es decir: </ul><ul>A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda </ul><ul>. Número de personas que van en el autobús y recaudación del autobús . Tiempo que está encendida una bombilla y consumo de energía . Número de vacas que posee un granjero y pienso que gasta a la semana </ul><ul>. Número de obreros y tiempo en hacer un trabajo . Velocidad de un coche y tiempo en recorrer un trayecto . Número de vacas y tiempo que durará el pienso </ul>
  11. 12. <ul>Naranjas (kg) </ul><ul>2 </ul><ul>3 </ul><ul>4 </ul><ul>5 </ul><ul>Precio (€) </ul><ul>4 </ul><ul>6 </ul><ul>8 </ul><ul>10 </ul><ul>A </ul><ul>2 </ul><ul>3 </ul><ul>4 </ul><ul>5 </ul><ul>B </ul><ul>12 </ul><ul>18 </ul><ul>24 </ul><ul>30 </ul><ul>A </ul><ul>4 </ul><ul>5 </ul><ul>B </ul><ul>20 </ul><ul>10 </ul><ul>50 </ul><ul>A </ul><ul>4 </ul><ul>2 </ul><ul>5 </ul><ul>10 </ul><ul>B </ul><ul>20 </ul><ul>10 </ul><ul>25 </ul><ul>50 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>4.- Tablas en la proporcionalidad directa </ul><ul>A doble en la primera magnitud, doble en la segunda </ul><ul>2 </ul><ul>(es lo que corresponde a 1) </ul><ul>En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad directa y para completar tablas incompletas. El cociente se llama “razón de proporcionalidad”. </ul><ul> </ul><ul>Es una tabla de proporcionalidad directa (los cocientes son iguales) </ul><ul> </ul>
  12. 13. <ul>Operarios </ul><ul>2 </ul><ul>3 </ul><ul>4 </ul><ul>8 </ul><ul>Tiempo (h) </ul><ul>12 </ul><ul>8 </ul><ul>6 </ul><ul>3 </ul><ul>A </ul><ul>2 </ul><ul>3 </ul><ul>4 </ul><ul>10 </ul><ul>B </ul><ul>12 </ul><ul>8 </ul><ul>6 </ul><ul>2,4 </ul><ul>A </ul><ul>4 </ul><ul>6 </ul><ul>B </ul><ul>9 </ul><ul>12 </ul><ul>18 </ul><ul>A </ul><ul>4 </ul><ul>3 </ul><ul>6 </ul><ul>2 </ul><ul>B </ul><ul>9 </ul><ul>12 </ul><ul>6 </ul><ul>18 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>5.- Tablas en la proporcionalidad inversa </ul><ul>A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda </ul><ul>24 </ul><ul>(es lo que corresponde a 1) </ul><ul>En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas. El valor del producto es “la constante de proporcionalidad”. </ul><ul> </ul><ul>Es una tabla de proporcionalidad inversa (los productos son iguales) </ul><ul> </ul><ul>2 .12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 8 . 3 = </ul>
  13. 14. <ul>Naranjas (kg) </ul><ul>Precio (€) </ul><ul>2 </ul><ul>4 </ul><ul>3 </ul><ul>6 </ul><ul>4 </ul><ul>8 </ul><ul>5 </ul><ul>10 </ul><ul>Operarios </ul><ul>Tiempo (h) </ul><ul>2 </ul><ul>12 </ul><ul>3 </ul><ul>8 </ul><ul>4 </ul><ul>6 </ul><ul>6 </ul><ul>4 </ul><ul>6.- Tablas de proporcionalidad y proporciones </ul><ul>Proporcionalidad directa </ul><ul>En la proporcionalidad directa, la razón de dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón de las cantidades correspondientes en la otra magnitud. </ul><ul>Proporcionalidad inversa </ul><ul>En la proporcionalidad inversa, la razón de dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón inversa de las cantidades correspondientes en la otra magnitud. </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul>
  14. 15. <ul>POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD </ul><ul>Máquinas </ul><ul>8 </ul><ul>25 </ul><ul>Pieza </ul><ul>120 </ul><ul>? </ul><ul>En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas? </ul><ul>120 : 8 = 15 </ul><ul>Solución: 375 piezas </ul><ul>D </ul><ul>D </ul><ul>Solución: 375 piezas </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>7.- Problemas de proporcionalidad directa </ul><ul>Máquinas Piezas 8 -------- 120 25 -------- x </ul><ul>POR REGLA DE TRES </ul><ul>= 375 </ul><ul>25 . 15 = 375 </ul>
  15. 16. <ul>POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD </ul><ul>Oper </ul><ul>12 </ul><ul>8 </ul><ul>3 </ul><ul>Días </ul><ul>6 </ul><ul>? </ul><ul>? </ul>Practíca con estos ejercicios de proporcionalidad inversa <ul>Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ? ¿ Y 3 operarios ? </ul><ul>12 . 6 = 72 </ul><ul>Solución: 9 días 24 días </ul><ul>I </ul><ul>I </ul><ul>Solución: 9 días 24 días </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>8.- Problemas de proporcionalidad inversa </ul><ul>Operarios Días 12 -------- 6 8 -------- x 3 -------- y </ul><ul>POR REGLA DE TRES </ul><ul>72 : 8 = 9 </ul><ul>72 : 3 = 24 </ul>
  16. 17. Repasa la teoría con el siguiente archivo interactivo:
  17. 18. <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos: 1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa 2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de cada magnitud en la misma unidad. 3º.- Escribir la proporción correspondiente 4º.- Hallar x </ul><ul>Fíjate en los siguientes ejemplos . </ul><ul>Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? </ul><ul>(Es inversa porque a doble de obreros mitad de tiempo) Nº obreros Tiempo (h) 10 --------- 8 16 --------- x I Solución 5 horas </ul><ul>Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas? </ul><ul>( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero) </ul><ul>Camisetas Dinero(€) 12 ------- 96 57 -------- x </ul><ul>D </ul><ul>Solución 456 € </ul><ul>9.- Resolución de problemas de proporcionalidad por regla de tres </ul>
  18. 19. Practica con la Proporcionalidad Compuesta Ejercicios de proporcionalidad compuesta resueltos y propuestos <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>10.- Problemas de proporcionalidad compuesta (1) </ul><ul>Son problemas de proporcionalidad compuesta aquellos en los que intervienen más de dos magnitudes. </ul><ul>Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta debes seguir los siguientes pasos: 1º.- Plantea la regla de tres. Expresa las cantidades de la misma magnitud en la misma unidad. 2º.- Compara cada magnitud con la que lleva la x para ver si la proporcionalidad entre ellas es directa o inversa. Escribe D debajo de las directas e I debajo de las inversas. 3º.- Si hay alguna proporcionalidad inversa vuelve a plantear la regla de tres invirtiendo las cantidades en las que sean inversas. 4º.- Escribe una proporción de la siguiente forma: la primera razón con las cantidades de la magnitud donde está la x , la segunda razón con el producto de las cantidades de las demás magnitudes. Fíjate en el siguiente ejemplo. </ul>
  19. 20. Ejercicios propuestos sobre proporcionalidad compuesta <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO </ul><ul>11.- Problemas de proporcionalidad compuesta (2) </ul><ul>Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1 000 piezas. ¿Cuántos días tardará en hacer 3 000 piezas trabajando 10 horas diarias? </ul><ul>D </ul><ul>I </ul><ul>Nº Piezas Horas día Días 1000 -------- 8 -------- 5 (A doble de piezas, doble de días necesarios) 3000 -------- 10 -------- x (A doble de horas diarias, mitad de días) </ul><ul>1000 -------- 10 -------- 5 3000 -------- 8 -------- x </ul><ul>Tardará 12 días </ul>
  20. 21. 12.- Escalas y Proporcionalidad. Escalas en mapas y planos. Cuando trabajaste sobre proporcionalidad estudiaste cómo caracterizar las corresponden-cias de proporcionalidad directa. En este apartado vas a explorar otras aplicaciones de la proporcionalidad directa: la interpretación de planos y mapas mediante el análisis de la escala con que fueron hechos. La escala es la representación proporcional de los objetos. Todo mapa debe de indicar la escala a la que está hecho, ya que es la única manera de saber el tamaño de lo que se está representando. Existen dos maneras de representar la escala: (a) gráfica (con una barra dividida en tramos blancos y negros, en la que se indican las distancias), y (b) numérica (con una división del tipo 1:50.000), gracias a la cual podemos medir distancias y calcular matemáticamente la correspondencia exacta. Las escalas numéricas tipo 1:50.000 significan que una unidad en el mapa equivalen a 50.000 en la realidad. Estas unidades pueden ser de cualquier tipo, kilómetros, millas, metros cuadrados, etc. Así, un centímetro cuadrado en el mapa son 50.000 centímetros cuadrados en la realidad, o lo que es lo mismo 500 metros cuadrados; de la misma manera dos centímetros lineales en el mapa son 100.000 centímetros en la realidad (50.000 x 2), es decir 1000 metros, un kilómetro. En suma, para calcular la distancia real debemos medir la distancia en un mapa y multiplicarla por la escala. Para pasar de la distancia real a la representación sobre un mapa debemos dividir entre la escala. Siempre obtendremos resultados en las unidades en las que hayamos tomado las medidas. Si medimos en un mapa en centímetros obtendremos centímetros, y seguramente habrá que pasarlos a metros o kilómetros para hacernos una idea mejor de la realidad. Si medimos en la realidad en metros o kilómetros obtendremos metros o kilómetros, y habrá que pasarlos a centímetros o milímetros para dibujar sobre el mapa. Una vez que resuelvas el conjunto de actividades de la unidad vas a ser capaz de interpretar mapas y planos con mayores conocimientos acerca de lo que representan.
  21. 22. Ejemplo: En un plano elaborado en una escala de 1:100 ó , las medidas de la terraza son 2,4 cm y 0,85 cm ; entonces, las medidas reales se calculan de la siguiente manera: De donde 2,4 cm del plano equivalen a 240 cm de la realidad. Y 0,85 cm del plano equivalen a 85 cm de la realidad. En una escala (y puesto que es una división) cuanto mayor sea el denominador más pequeño será el mapa final que obtengamos. Así, para la misma superficie diremos que una escala es grande cuanto mayor sea el mapa que obtengamos, y pequeña cuanto menor sea ese mapa. De esta manera si queremos dibujar nuestro país y usamos una escala 1:1.000.000 necesitaremos una hoja más grande que si usamos una escala 1:5.000.000 Dependiendo de cuál sea la escala aparecen ante nuestros ojos diferentes motivos de estudio. A escala de 1:1.000 y 1:5.000 se pueden estudiar fenómenos de mucho detalle. Con escalas entre 1:5.000 y 1:20.000 podemos representar planos callejeros de ciudades. Entre 1:20.000 y 1:50.000 podemos estudiar comarcas y municipios. Entre 1:50.000 y 1:200.000 podemos estudiar provincias y regiones, y las carreteras. Entre 1:200.000 y 1:1.000.000 podemos ver las regiones y los países. A escalas inferiores a 1:1.000.000 podemos ver continentes y hasta el mundo entero. Ejercicio: En el libro &quot;Los viajes de Gulliver&quot;, Gulliver va al país de los enanos, los habitantes de esta tierra miden 15 cm y Gulliver 180 cm, ¿cuál es la razón de proporcionalidad si: un dedal les sirve de cubo de agua, un vaso de piscina infantil, un planto hondo de palangana, un hilo de maroma, un pincel de escoba y un palillo de lanza? ¿Halla la razón de proporcionalidad de los habitantes del país si los enanos midieran 8 centrímetros? Dibuja cómo sería la mano de Gulliver y la de los enanos a escala.
  22. 23. En las actividades de este tema vas a trabajar sobre planos y mapas y vas a hacer cálculos sobre ellos. Para esta primera actividad vas a necesitar hojas blancas de papel sin renglones, regla o escuadra y algún instrumento para medir del tipo cinta métrica o metro de carpintero. Para la actividad 2, hojas de papel cuadriculado, hojas de papel transparente o de calcar. Vé a buscar los materiales. 1. Un plano a escala: Vas a trabajar sobre el plano de una escuela rural de Huelva. El aula más grande mide 4 m x 7 m; dentro de ella hay un escritorio, un armario, una biblioteca y 20 mesitas para los alumnos. Se pide: a) Hacer un plano de esa aula con sus muebles. 1. Dibujar en un papel un rectángulo de 4 cm x 7 cm. 2. Dentro de él ubicar los muebles. Si te hace falta, mide los muebles de tu aula para darte una idea de las proporciones. 3. Al finalizar el dibujo, revisar si las medidas del aula y de los muebles guardan relación con las medidas reales. b) En el punto (a) trabajaste sobre el plano de otra escuela; ahora vas a hacer el plano de tu aula con los muebles que en ella se encuentren.
  23. 24. 1. Busca una hoja de papel en blanco, que no tenga renglones. Toma las medidas que necesites, tanto del aula como de los muebles. Para que las proporciones se conserven en el dibujo, usa una escala como la siguiente, en la que cada metro de la realidad se representa por un segmento de 1 cm. 2. Ahora haz en otra hoja un plano diferente de tu aula usando otra escala, por ejemplo: 1 cm del dibujo representa a 25 cm de la realidad, como muestra la figura. c) Compara tu trabajo con el de tus compañeros. Conversa con ellos sobre el tamaño de hoja que necesitaste y pensad juntos por qué un plano es más grande que el otro. d) Resuelve en tu cuaderno estas cuestiones: 1. ¿En cuál de los dos planos de tu aula puedes dibujar los muebles con más detalle? 2. ¿Cuál es el ancho de tu aula en la realidad? ¿Y en el plano 1:100? ¿Y en el plano 1:25? 3. ¿Cuántas veces entra el ancho del plano más pequeño en el ancho del plano más grande? 4. Calculá la razón entre las medidas de seis segmentos del plano pequeño y las correspondientes del plano más grande. Si no te acuerdas cómo averiguarlo, vuelve a leer las características de una correspondencia directamente proporcional que viste anteriormente. 5. Esa razón que calculaste, ¿es una constante? ¿Podrías decir que hay una correspondencia directamente proporcional entre las medidas de los dibujos? ¿Por qué? Anota la respuesta. Seguramente observaste que entre las medidas de uno y otro plano hay una relación de proporcionalidad directa.
  24. 25. Para representar superficies o terrenos respetando las proporciones utilizamos escalas. • La escala gráfica se representa mediante un segmento graduado. • La escala numérica se expresa con una fracción. El numerador es la medida de una unidad en el dibujo (1 cm o 1 mm) y el denominador es la medida real sobre el terreno, con la condición de que las dos estén expresadas en la misma unidad. Por ejemplo, la escala 1:1.000.000 ( ) indica que si dos puntos del plano están a 1 cm de distancia, les corresponde en la realidad una distancia de 1.000.000 cm, o sea, 10 km. e) Observa este plano de un almacén, que fue dibujado con una escala 1:250, y resuelve las cuestiones que se plantean a continuación. 1.Haz los cálculos necesarios para completar en tu carpeta las siguientes expresiones. Si dispones de calculadora haz los cálculos con ella. • El largo del almacén es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • El ancho del almacén es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ¿Qué operación hiciste para completar el punto 1? 3. Compara tus resultados con los de algún compañero.
  25. 26. En la actividad 1 viste que entre las medidas representadas y las reales hay una relación de proporcionalidad directa. Las escalas gráficas y las escalas numéricas muestran esa relación. En esta segunda actividad vas a calcular distancias trabajando sobre mapas. 2. Mapas y escalas a) Haz los dibujos y escribe los cálculos necesarios para resolver las siguientes situaciones. 1. En el mapa de Argentina, mide en centímetros la distancia entre Santa Rosa y Córdoba, y usa la escala para calcular, aproximadamente, la distancia real entre esas dos ciudades.
  26. 27. 2. Calcula ahora a partir del mapa la distancia real entre otras dos ciudades. En lo posible elegir dos ciudades de las cuales puedas obtener datos para verificar si tu cálculo es correcto. 3. Usa el mapa de Argentina y calca sobre papel transparente el contorno de la provincia de La Pampa. Pega ese calco sobre papel cuadriculado. 4. Traza en tu cuaderno una cuadrícula ampliada en la que el lado de un cuadrado sea una vez y media el del papel cuadriculado, de tal modo que a cada cuadradito del papel le corresponda un cuadrado mayor en la trama ampliada. 5. Dibuja el mapa ampliado de dicha provincia, siguiendo el trazado, cuadro por cuadro, como se muestra en la figura para el mapa de Sudamérica. 6. Contesta respecto del mapa que realizaste: • ¿Cuál es la escala del mapa de Argentina sobre el que trabajaste? • ¿Cuál es la escala que usaste para hacer el mapa de La Pampa? 7. En el mapa ampliado de La Pampa, ubicar la ciudad llamada ”General Pico”. Toma las medidas que necesites y aplica la escala para calcular, aproximadamente, la distancia entre dicha ciudad y la capital de La Pampa. Anota la respuesta debajo del mapa.
  27. 28. b) La distancia real entre la ciudad de Buenos Aires y la de Ushuaia es de aproximadamente 3.496 km. Como recodarás, en matemáticas, la distancia entre dos puntos se mide sobre una línea recta. Representa en tu cuaderno la escala gráfica que corresponde al mapa de Argentina y escribe la escala numérica. c) Observa los siguientes mapas de la provincia de La Pampa y escribe en tu cuaderno la escala que les corresponda, indicando cada uno con un número para ordenarlos. Escalas a) 1:7.400.000 b) 1:11.000.000 c) 1:5.000.000 Esquema 2 Esquema 1 Esquema 3
  28. 29. A continuación se presentan dos enlaces clickeando sobre las imágenes con más ejercicios aclaratorios sobre escalas en planos y mapas.
  29. 30. <ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>13.- Concepto de porcentaje </ul><ul>La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100. </ul><ul>Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos por el tanto por ciento. </ul><ul>Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente: </ul><ul>420 : 100 = 4,2 </ul><ul>En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final de las cantidades. </ul><ul>Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes: </ul><ul>4% de 600 = 4 . 6 = 24 </ul><ul>20% de 60 = </ul><ul>(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2. </ul><ul>30% de 50 = 3 . 5 = 15 </ul><ul>40% de 500 = 40 . 5 = 200 </ul><ul>8% de 2000 = </ul><ul>4% de 50 = </ul><ul>2 . 6 = 12 </ul><ul>8 . 20 = 160 </ul><ul>4 . 0,5 = 2 (*) </ul><ul>4,2 . 35 = 147 </ul>
  30. 31. <ul>14.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como fracción </ul><ul>Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir, </ul><ul>40% = </ul><ul>Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular de 600. En la práctica procederemos así: </ul><ul>35 % de 60 = </ul><ul>21 </ul><ul>A esta forma de calcular porcentajes se le suele llamar porcentaje como fracción. </ul><ul>28% de 420 = </ul><ul>117,6 </ul><ul>150% de 36 = </ul><ul>54 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul>
  31. 32. <ul>15.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como decimal </ul><ul>Por ello, para hallar el 40% de 600 podremos hacer lo siguiente: 600 · 0,40 = 240 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>Si 40% es </ul><ul>eso equivale a decir que 40% es lo mismo que 0,40 ya que </ul><ul>= 0,40 </ul><ul>Así, para hallar un tanto por ciento de una cantidad, multiplicaremos la cantidad por el decimal que equivale al tanto por ciento. </ul><ul>Ejemplos: </ul><ul>35% de 450 = 450 · 0,35 = 157,5 </ul><ul>116 % de 1289 = 1289 · 1,16 = 1495,24 </ul>
  32. 33. <ul>16.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como regla de tres </ul><ul>Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres. </ul><ul>Ejemplo: Calcular 40% de 650 </ul><ul>Total Parte 100 ------ 40 650 ------ x </ul><ul>Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas. </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul>
  33. 34. <ul>17.- Cálculo de porcentajes : con calculadora </ul><ul>Calcular 35% de 60 </ul><ul>CALCULADORA NO CIENTÍFICA </ul><ul>Deberás teclear: </ul><ul>60 x 35 % </ul><ul>y aparecerá el resultado en la pantalla 21 </ul><ul>CALCULADORA CIENTÍFICA </ul><ul>La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es: 60 x 35 SHIFT = </ul><ul>SHIFT activa la segunda función de las teclas Tecla = contiene % como segunda función </ul><ul>SHIFT </ul><ul>= </ul><ul>% </ul><ul>SHIFT + = % </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul>
  34. 35. Actividad JClic sobre Proporcionalidad <ul>18.- Cálculo rápido de algunos porcentajes: </ul><ul>10% = décima parte (: 10) </ul><ul>10% de 42 = 42 : 10 = 4,2 </ul><ul>50% = la mitad (:2) </ul><ul>50% de 36 = 36 : 2 = 18 </ul><ul>25% = la cuarta parte (:4) </ul><ul>20% = la quinta parte (:5) </ul><ul>75% = las tres cuartas partes (:4) y (x3) </ul><ul>25% de 40 = 40 : 4 = 10 </ul><ul>20% de 35 = 35 : 5 = 7 </ul><ul>75% de 16 = 16 : 4 . 3 = 12 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul>
  35. 36. Repasa interactivamente la proporcionalidad y los porcentajes <ul>19.- Cálculo de porcentajes : resumen </ul><ul>50 % de 300 </ul><ul>a) Porcentaje como fracción: 50% de 300 = </ul><ul>150 </ul><ul>b) Como regla de tres: 50% de 300 </ul><ul>Total Parte 100 ------ 50 300 ------ x </ul><ul>e) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150 </ul><ul>x = </ul><ul>150 </ul><ul>d) Con calculadora: 50% de 300 => </ul><ul>f) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150 </ul><ul>50 x 300 % = </ul><ul>150 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>c) Como decimal => 50% de 300 = 300 · 0,5 = 150 </ul>
  36. 37. <ul>20.-Problemas de porcentajes 1 </ul><ul>Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento: </ul><ul>30% de 40 = 12 </ul><ul>porcentaje </ul><ul>total </ul><ul>parte </ul><ul>En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas? </ul><ul>(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos) </ul><ul>total : 30 chicas: 40% </ul><ul>40% de 30 = 12 </ul><ul>Solución: 12 chicas </ul><ul>A- CÁLCULO DE LA PARTE </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>(Si lo hacemos utilizando porcentaje como decimal) </ul><ul>30 · 0,4 = 12 </ul>
  37. 38. <ul>21.- Problemas de porcentajes 2 </ul><ul>En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas? </ul><ul>(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100) </ul><ul>Total Chicas 30 --- 12 100 --- x </ul><ul>Solución: 40% </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres </ul><ul>Alumnos % 30 ------- 100 12 ------- x </ul><ul>Solución: 40% </ul><ul>B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando decimales </ul><ul>12 : 30 = 0, 4 = 40% </ul><ul>Total: 30 Chicas: 12 </ul><ul>Solución: 40% </ul>
  38. 39. <ul>22.- Problemas de porcentajes 3 </ul><ul>En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total? </ul><ul>(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100) </ul><ul>Total Chicas 100 --- 40 x --- 12 </ul><ul>Solución: 30 alumnos/as </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres </ul><ul>% Alumnos/as 40 ---------- 12 100 --------- x </ul><ul>Solución: 30 alumnos/as </ul><ul>C- CÁLCULO DEL TOTAL </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando decimales </ul><ul>12 : 0,4 = 30 </ul><ul>(si para calcular la parte multiplicamos por el decimal, para hacer lo contrario, es decir, para calcular el total, dividiremos por el decimal) </ul><ul>Chicas: 12 Chicas: 40% </ul><ul>Solución: 30 alumnos/as </ul>
  39. 40. <ul>23.- Problemas de porcentajes 4 </ul><ul>Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un valor final. </ul><ul>Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de la subida? </ul><ul>1200 + 144 = 1344 </ul><ul>Solución: 1344 € </ul><ul>Otra forma de resolverlo </ul><ul>Solución: 1344 € </ul><ul>D- AUMENTO PORCENTUAL </ul><ul>(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convierten en 112) </ul><ul>Sueldo: 1200 € Aumento: 12% </ul><ul>12% de 1200 = 144 </ul><ul>Sueldo: 1200 € Aumento: 12% </ul><ul>112% de 1200 = 1344 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando decimales </ul><ul>Sueldo: 1200 € Aumento: 12% </ul><ul>1200 · 1,12 = 1344 </ul><ul>Solución: 1344 € </ul>
  40. 41. <ul>24.- Problemas de porcentajes 5 </ul><ul>Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final. </ul><ul>La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces? </ul><ul>30 – 7,5 = 22,5 </ul><ul>Solución: 22,5 € </ul><ul>Otra forma de resolverlo </ul><ul>Solución: 22,5 € </ul><ul>E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL </ul><ul>(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor) </ul><ul>Precio: 30€ Descuento: 25% </ul><ul>25% de 30 = 7,5 </ul><ul>Precio: 30€ Descuento: 25% </ul><ul>75% de 30 = 22,5 </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando decimales </ul><ul>Precio: 30€ Descuento: 25% </ul><ul>30 · 0,75 = 22,5 </ul><ul>Solución: 22,5 € </ul>
  41. 42. <ul>25.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (1) </ul><ul>Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes? </ul><ul>Antes Después 100 --- 112 x --- 1344 </ul><ul>1200 </ul><ul>Solución: 1200 € </ul><ul>Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución. </ul><ul>Por regla de tres </ul><ul>Otra forma de resolverlo </ul><ul>112 % de x = 1344 </ul><ul>100% + 12% = 112% </ul><ul>1200 </ul><ul>Solución: 1200 € </ul><ul>Sueldo antes: x Aumento: 12% Sueldo después: 1344€ </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando decimales </ul><ul>1344 : 1,12 = 1200 </ul><ul>Solución: 1200 € </ul><ul>Sueldo después: 1344€ Aumento: 12% </ul>
  42. 43. Actividad JClic Interactiva sobre Aumentos y Disminuciones Porcentuales y Escalas <ul>He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de la rebaja? </ul><ul>Antes Después 100 --- 75 x --- 22,50 </ul><ul>Solución: 30€ </ul><ul>26.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (2) </ul><ul>Por regla de tres </ul><ul>30 </ul><ul>Otra forma de resolverlo </ul><ul>75 % de x = 22, 50 </ul><ul>100% - 25% = 75% </ul><ul>Solución: 30€ </ul><ul>30 </ul><ul>Precio antes: x Descuento: 25% Precio después: 22,50€ </ul><ul>PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES </ul><ul>Otra forma de resolverlo utilizando decimales </ul><ul>22,50 : 0,75 = 30 </ul><ul>Solución: 30€ </ul><ul>Precio después: 22,50€ Descuento: 25% </ul>
  43. 46. Autoevaluación 1. En una canalización se pierden por fugas 96 litros de agua cada 15 minutos. ¿En cuánto tiempo se perderán 288 litros? 2. Doce personas realizan un trabajo en 30 días. ¿Cuánto tiempo tardarán en realizar el mismo trabajo 18 personas? 3. En una campaña publicitaria 10 personas reparten 5000 folletos en 12 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 6 personas en repartir 2500 folletos? 4. Repartir 344 objetos de forma directamente proporcional a 10, 14 y 19. 5. Repartir 70 objetos de forma inversamente proporcional a 6 y 8. 6. A una reunión asisten 340 personas. De ellas, el 70 % son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión? 7. El 75 % de los árboles de un bosque son pinos. Sabiendo que hay 900 pinos, ¿cuántos árboles hay en el bosque? 8. El pasado curso había en el instituto 750 alumnos y este año ha aumentado un 12 %. ¿Cuántos alumnos hay ahora? 9. La población de mi pueblo ha pasado en un año de 2600 a 2678 habitantes. ¿Qué tanto por ciento ha aumentado? 10. El precio de una bicicleta era de 360 euros. En primer lugar se le aplica un aumento del 25% y después una rebaja del 15%. ¿Cuál es su precio final? Realiza el siguiente examen interactivo
  44. 47. Soluciones AUTOEVALUACIÓN 1. 45 minutos 2. 20 días 3. 10 días 4. 80, 112 y 152 objetos respectivamente 5. 40 y 30 objetos respectivamente 6. 238 mujeres 7. 1200 árboles 8. 840 alumnos 9. 3 % 10. 382,5 euros Clickea sobre la imagen para ver más problemas, y aquí para ver sus soluciones
  45. 48. REALIZA EL SIGUINETE TEST
  46. 49. 1.- En esta imágen se muestra un compás áureo que nos permite comprobar si las medidas de cualquier objeto están en proporción áurea. Haz click sobre la imágen y podrás ver un video que relaciona la proporción áurea con la belleza de los rostros de las personas. 2.- A continuación se expone un enlace en el que se explica como se hace el análisis armónico de los rostros de las personas con el compás áureo: Las Proporciones humanas COMPETENCIAS BÁSICAS Para construir un compás áureo debes respetar las medidas Te proponemos que construyas un compás áureo y compruebes si tus proporciones faciales se corresponden con la proporción áurea. Si así fuera, te podrás considerar una persona universalmente bella.
  47. 50. 3.- A continuación se expone un enlace de audio sobre la imágen de la derecha en el que el profesor Eduardo Punset entrevista al matemático Joseph (Joe) Dauben de la Universidad de Nueva York sobre como aprendimos a contar y el orígen de la matemática. Puedes leer el texto de la entrevista aquí . COMPETENCIAS BÁSICAS Mira este comic sobre proporcionalidad y escalas y diviertete un rato Lee este documento sobre El Hombre de Vitruvio y la proporción áurea Para saber más sobre la proporción áurea mira este video
  48. 51. MODELO DE EXAMEN

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