Apuntes de dpm

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Apuntes de dpm

  1. 1. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011    Texto: Mª Margarita La Belle  Ilustración: Leonor Salazar  Érase una vez un niño que anhelaba, más que nada en la vida, ir al País de las Matemáticas. Quería trepar por la geometría y deslizarse por largas ecuaciones. Ahí no vivían más que cifras, bellas cifras con las que uno podía hacer toda clase de acrobacias. Desde contarse los dedos de los pies hasta calcular el tiempo que un astronauta tardaría en recorrer la distancia entre la Tierra y la Luna.  El  niño  esperó  hasta  que  se  desesperó,  y  una buena mañana, al despertar, se dijo, "Ya no esperaré más. Voy  a  ir  al  país  de  las  Matemáticas  porque  es  ahí  donde quiero estar."  Y, sin mirar atrás, emprendió su camino.  Primero,  pasó  a  una  mapería,  o  sea  una  tienda  donde  venden  mapas  para  llegar  a  cualquier  parte.  Y  se  compró un mapa para orientarse.  Con su mapa en la mano, el niño se sentía aún más  intrépido. Abriéndolo con mucho cuidado, leyó:  PARA  LLEGAR  AL  PAÍS  DE  LAS  MATEMÁTICAS,  HAZ LO SIGUIENTE SIN SALTARTE NINGUNA INDICACIÓN:  SAL DE LA CIUDAD SIGUIENDO LAS FLECHAS GRANDES.  El niño leyó esto, y levantó la vista. Justamente, en  la  esquina  de  enfrente,  había  una  flecha  grande  y  otra  chica.  Doblando  su  mapa,  el  niño  atravesó  la  calle,  y  se  echó  a  andar  en  la  dirección  que  señalaba  la  flecha...  grande.  Ya fuera de la ciudad, no veía ninguna otra flecha,  de manera que volvió a consultar su mapa. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   1
  2. 2. Introducción  EN  EL  CAMPO  ENCONTRARÁS  UNA  GRAN  PIEDRA  EN  FORMA  DE  CÓNDOR.  DE  ESA  PIEDRA  PARTEN UN CAMINO RECTO Y OTRO CURVO. TOMA EL CAMINO RECTO HASTA  LLEGAR A UN CORRAL CERRADO. ASÓMATE Y ADENTRO VERÁS UN CONJUNTO  DE OVEJAS.  El  niño  caminó  y,  efectivamente,  después de un rato llegó a un corral cerrado,  en donde estaban varias ovejas.  DEL  OTRO  LADO  DEL  CAMINO  UN  POCO  MÁS  ADELANTE  HAY  OTRO  CORRAL,  PERO  ABIERTO.  AFUERA  DE  ESE  CORRAL, VERÁS  OTRO  CONJUNTO  DE  OVEJAS.  METE  LAS  OVEJAS  A  ESE CORRAL ABIERTO Y SEPÁRALAS POR COLORES.  Al leer aquello, el niño se sintió algo nervioso. Él no era pastor, y nunca había tratado a ovejas. No sabía a ciencia cierta si no les daba por morder o patear. Pero, armándose de valor, procedió a seguir las instrucciones del mapa.  Realmente, no estaba muy  a gusto. Él quería ir al País de las Matemáticas, no cuidar a ovejas. ¿Qué  tenían  que  ver  las  ovejas  con  las  matemáticas?  En  fin.  Ya  había  logrado  meter  las  ovejas  al  corral,  y  ya  estaban  separadas  por  color:  las  blancas  en  un  rincón  y  las  cafés  en otro. ¿Y ahora qué?  ACABAS  DE  FORMAR  UN  SUB‐CONJUNTO  CAFÉ  Y  OTRO SUB‐CONJUNTO BLANCO, LEYÓ EN EL MAPA.  AFUERA  DEL  CORRAL  HAY  UN  BOTE.  EN  ÉL  ENCONTRARÁS UNOS CENCERROS. PONLE UNO A CADA OVEJA. NO DEBE FALTARTE NI SOBRARTE NI UNO.  El niño no tardó en encontrar el bote de cencerros y, ya con un poco más de confianza, le amarró un cencerro a cada oveja. Ni le faltaron, ni le sobraron.  AHORA,  CRUZA  EL  CAMINO  Y  VE  SI  EN  EL  CORRAL CERRADO  HAY  UNA  OVEJA  PARA  CADA  OVEJA  QUE  HAY  EN  EL CORRAL ABIERTO.  Afortunadamente, el niño  traía  su  plumón,  y  se  le  ocurrió  marcar  una  oveja  del  corral  abierto  y  otra  del  corral  cerrado,  y otra del corral abierto y otra del  corral  cerrado,  y  así  hasta  terminar con todas...  Pero  sobraba  una  oveja  en  el  corral  cerrado,  una  oveja  negra. 2  
  3. 3. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Un tanto agotado, el pobre niño se sentó a un lado del camino, y abrió una vez más su mapa.  El niño tuvo que ir a asomarse varias veces a cada corral, para asegurarse que por cada oveja había puesto una piedrita o una piedrota. Pero, finalmente se sentó frente a sus dos corrales. Estaba satisfecho. Volvió a consultar su mapa.  SACA LAS PIEDRAS DE LOS CORRALES, Y FRENTE A CADA PIEDRITA PON UNA PIEDROTA.  Eso era fácil, eso lo podía hacer sentado ahí mismo. Alineó todas sus piedritas, y frente a cada una  colocó una piedrota, pero sobraba una.  "Claro," gritó el niño. "¡Es la oveja negra!  HAS  FORMADO  UNA  LÍNEA  DE  PIEDRITAS  Y  OTRA  LÍNEA  DE  PIEDROTAS. CADA LÍNEA ES UNA CANTIDAD, Y CADA CANTIDAD TIENE  SU NOMBRE, QUE ES UN NÚMERO. UNA PIEDRA SOLA ES UNA. UNA  PIEDRA  MÁS  OTRA  SON  DOS.  DOS  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  TRES.  TRES PIEDRAS MÁS OTRA SON CUATRO. CUATRO PIEDRAS MÁS OTRA  SON CINCO. CINCO PIEDRAS MÁS OTRA SON SEIS. SEIS PIEDRAS MÁS  OTRA  SON  SIETE.  SIETE  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  OCHO.  OCHO  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  NUEVE.  Y  NUEVE  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  DIEZ. ...Y ASÍ HASTA NUNCA ACABAR.  AHORA, PONLE SU NÚMERO A TU LÍNEA DE PIEDRITAS, Y A TU LÍNEA DE PIEDROTAS.  "¿A  ver?",  dijo  el  niño. "Una  piedrita  más  otra  son  dos. Dos piedritas más otra son tres..." Tenía  nueve  piedritas  y  diez piedrotas.  YA PUEDES CONTAR, leyó el niño en su mapa.  AHORA  CUENTA  LAS OVEJAS  BLANCAS  Y  CUENTA  LAS OVEJAS CAFÉS QUE ESTÁN EN EL CORRAL ABIERTO.  El niño alineó cuatro piedritas que eran las ovejas blancas, y abajo de esas alineó otras cinco que eran las ovejas cafés. Eran todas sus piedritas. O sea cuatro mas cinco eran nueve.  YA PUEDES SUMAR  Y SI ENTRE ESTAS NUEVE OVEJAS HAY DOS QUE  ESTÁN  SUCIAS,  Y  LAS  SACAS  DEL  CORRAL,  ¿CUÁNTAS  TE QUEDAN?  "A nueve le quito dos,"dijo el niño moviendo sus  piedritas.  "Quedan... ¡siete!  YA PUEDES RESTAR   Y  SI  ESAS  DOS  OVEJAS  SUCIAS  SE  ENOJAN  PORQUE  LAS SACASTE DEL CORRAL Y CADA UNA DE ELLAS TE DA TRES TOPES, HABRÁS RECIBIDO TRES TOPES POR DOS OVEJAS, O SEA...  ¡seis topes! Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   3
  4. 4. Introducción  YA PUEDES MULTIPLICAR.   Y SI LAS SIETE OVEJAS QUE QUEDARON EN EL CORRAL, LES REPARTES SIETE BULTOS  DE ALFALFA, A CADA UNA DE LAS OVEJAS LE TOCARÁ...  ¡Un bulto!  YA PUEDES DIVIDIR.    Ah, ¡que bonito!, pensó el niño mirando al cielo. Las nubes comenzaban a tornarse rosadas. Todo el día se le había ido en caminar y contar ovejas y piedras. Y aún no llegaba al País de las Matemáticas.  ¿Cuánto faltaría?    YA  CONOCES  LOS  NÚMEROS,  PUEDES  CONTAR,  PUEDES  SUMAR,  RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR. AHORA CAMINA HACIA LA PUESTA DEL SOL, Y  BUEN VIAJE.    El niño se levantó y caminó hacia el  poniente.  El  sol  lo  deslumbraba,  pero  al  cabo  de  un  momento  en  el  horizonte  distinguió la silueta de la geometría con sus cubos y sus prismas. Y entre ellos veía algo como hilos plateados...  ¿Sería posible? ¡Sí! ¡Eran las ecuaciones! El niño dio un brinco de  alegría,  y  se  echó  a  correr.  Además  de  contar,  ahora  iba  a  poder medir,  pesar,  calcular  y  hacer  todas  las  cosas  que  se  hacen  con números. Por fin había entrado al País de las Matemáticas.      4  
  5. 5. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Tema 1.‐ Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas  Resolución de Problemas   1.1.‐ ¿Qué significa aprender matemáticas?    "El problema de la enseñanza de la matemática necesita un estudio permanente.  No existen fórmulas mágicas para resolver los problemas humanos,   pero existe la posibilidad de ir corrigiendo defectos aprovechando la experiencia de los fracasos"  P. ABELLANAS  El fin primordial de la educación, la formación total del alumno, se desarrolla a través de un cultivo armonioso y equilibrado de sus aptitudes, que le llevan a un despliegue máximo de su personalidad a un nivel  individual  y  en  un  plano  social.  Esto  es,  se  trata  de  formar  de  la  manera  más  idónea  posible  a  un hombre  que  ha  de  vivir  con  otros  hombres,  que  está  llamado  a  integrarse  en  la  sociedad.  Desde  esta perspectiva, no sólo tiene un carácter formativo el fomento de sus facultades intelectuales, morales, físicas, etc.  Sino  también  el  cultivo  de  aspectos  que  podemos  considerar  de  tipo  convencional  (el  lenguaje,  el cálculo numérico, conocimiento de magnitudes y sus medidas, etc.), sobre los cuales se desarrolla una gran parte de la convivencia humana. La dimensión social es un elemento constitutivo de la persona; no en vano los clásicos nos hablan del hombre como animal social.  Factores  formativos  de  la  persona.  El  profesor  de  Matemáticas  es  esencialmente  y  ante  todo  un educador, y en su calidad de tal la meta de su misión es contribuir del mejor modo posible a la formación integral del alumno.  Existen  múltiples  factores  formativos  en  la  vida  de  toda  persona.  Fundamentalmente  podemos dividirlos en dos grandes grupos:   Los  factores  «asistemáticos»,  que  en  su  mayor  parle  son  fruto  del  ambiente  que  rodea  a  cada  individuo.  Es  innegable  y  sería  muy  de  desear  que  de  un  modo  consciente  se  considerase  y  se  potenciara  la  influencia  de  la  vida  familiar;  es  asimismo  importante  el  valor  formativo  (sea  de  carácter positivo o negativo) que puedan aportar las amistades y el trato con compañeros, el de los  juegos,  la  repercusión  de  las  lecturas,  la  configuración  que  van  dando  a  las  propias  ideas  los  programas televisivos, etc.   Los factores de tipo «sistemático», es decir, los que de un modo consciente y planificado intentan  formar a la persona. Dentro de este grupo ocupa un lugar primordial la actividad de los centros de  enseñanza, donde, al menos teóricamente, todo está orientado y programado para contribuir a la  formación del alumno.  Pudiera plantearse la cuestión de la mayor o menor importancia de unos factores frente a los otros. Parece,  sin  embargo,  más  útil  que  entrar  en  disquisiciones,  considerar  que  quienes  se  ocupan  de  modo sistemático de la educación de la persona, no pueden ni deben tratar de anular los factores formativos del primer grupo. Y que una buena enseñanza ha de procurar tenerlos en cuenta, para establecer conexiones entre ellos, para aprovecharlos o intentar mejorarlos si fuera preciso.  En este orden de ideas, consideramos que el profesor de Matemáticas tiene como modo específico de  contribuir  a  la  formación  del  alumno,  la  utilización  más  adecuada  de  los  medios  que  le  brinda  la Matemática. Por ello una condición necesaria para que su tarea sea eficaz es que posea un conocimiento serio de su materia, quizá no tanto en extensión como en profundidad, así como una serie de ideas claras, fruto  de  una  honda  reflexión  acerca  de  las  posibilidades  educativas  de  la  Matemática.  Estimamos  que  la Matemática, por ser una de las ciencias más antiguas, ha alcanzado un alto grado de desarrollo, por lo cual Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   5
  6. 6. Tema 1 ofrece un modelo excelente de lo que significa una elaboración científica, y todo razonamiento humano, en definitiva, encierra en mayor o menor proporción un proceso de elaboración científica.  Sobre estos supuestos vamos a tratar de responder a esta cuestión: ¿Cuáles son las posibilidades formativas específicas de la Matemática?  Admitimos  que  la  enseñanza  de  la  Matemática  se  dirige  principalmente,  aunque  no exclusivamente, a la formación intelectual del alumno. Entendemos que la formación intelectual se realiza de modo particular a través del cultivo de los siguientes factores:   Capacidad creadora.   Matematización de situaciones reales.   Exigencia de rigor lógico.   Facultad de comprensión y resolución de situaciones problemáticas, susceptibles de ser asumidas  de un modo matemático.   Poder de abstracción.   Adquisición de automatismos mentales.   Cultivo de la intuición espacial.  No  pretendemos  que  la  atención  a  estos  factores  sea  algo  exclusivo  de  la  enseñanza  de  la Matemática,  pero  sí  creemos  que  a  través  de  ella  se  presentan  excelentes  ocasiones  para  hacerlo.  Más adelante nos detendremos en el análisis de estos puntos e intentaremos presentar modelos concretos de aplicación de estos factores.  La  enseñanza  de  la  Matemática  contribuye  también  a  configurar  la  personalidad  del  alumno  a través de aspectos, entre los que podríamos destacar los siguientes:   Creación de un hábito de trabajo, tanto realizado individualmente como en grupo.   Como consecuencia de lo anterior, valoración positiva de todo esfuerzo humano.   Aceptación leal y sin resentimiento de los propios errores y limitaciones, compatible con el tesón y  la confianza en el fruto de un trabajo perseverante.  En el cultivo de estos factores influye de un modo decisivo la actitud del maestro, que deberá hacer sentir al alumno que las dificultades que la Matemática le plantea son un aspecto más de las dificultades que  la  vida  le  ofrece  y  le  seguirá  ofreciendo  y  que  debe  enfrentarse  a  ellas  con  dignidad  y  realismo.  Lo mismo  cabe  decir  de  las  satisfacciones  que  proporcionan  los  pequeños  éxitos  obtenidos  y  no  es  fácil aceptar  sus  consecuencias  con  naturalidad  y  sencillez,  sin  que  impliquen  menosprecio  hacia  los  demás  o una supervaloración propia, en el mejor de los casos estéril.  Es  cierto  que  la  Matemática  es  la  materia  que  más  refleja  los  desniveles  existentes  entre  los alumnos. Muchas veces el niño se siente impotente o inseguro ante una cuestión, o, lo que también es muy frecuente,  piensa  ya  de  entrada  que  «no  vale  para  las  matemáticas».  La  labor  del  maestro  consistirá entonces en ir presentando cuidadosa y gradualmente las dificultades, de modo que el alumno llegue a ver que  su  esfuerzo  le  permite  alcanzar  resultados.  Hay  que  partir  de  la  base  de  que  ningún  alumno  es específicamente  negado  para  las  Matemáticas.  Aquí  convendría  tener  muy  en  cuenta  el  consejo  del profesor  Puig  Adam:  «Procurar  a  todo  alumno  éxitos  que  eviten  su  desaliento».  La  consecución  de  estos éxitos  le  animará  a  seguir  trabajando.  Y  cuando  no  llegue  al  resultado  apetecido,  que  el  maestro  sepa valorar su esfuerzo: puede proponerle una cuestión análoga y de menor dificultad que el alumno pueda ya resolver ayudado por su trabajo anterior; también puede resultar muy eficaz el análisis de los errores y de las respuestas incompletas o mal expresadas, que oriente al niño y le estimule a continuar su esfuerzo. En todo caso, que un fallo no sea fruto del desinterés o de la pereza, sea siempre un punto de partida valioso para un trabajo en mejores condiciones. 6  
  7. 7. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  En alguna ocasión se ha hablado de evitar dificultades y paliar la manifestación de las diferencias (en cuanto se refieren a grado de inteligencia, ritmo de trabajo, interés por la materia, aptitudes idóneas, etc.) existentes entre los alumnos, a base de no dar calificaciones numéricas y de uniformar en lo posible la clase. Entendemos que esto conduce a una situación artificial, que por lo mismo no puede ser formativa. El niño  de  hoy,  que  llegará  a  ser  el  hombre  de  mañana,  deberá  estar  preparado  para  entrar  en  el  terreno necesario de la competitividad, para considerar sin trauma las mejores condiciones de otros hombres, para aceptar  en  definitiva  su  propia  identidad  y  sus  propias  circunstancias,  que  habrá  de  mantener  siempre abiertas  a  las  mejoras  que  le  proporcione  su  esfuerzo.  Todas  estas  aptitudes  deben  fomentarse  ya  en  la escuela la enseñanza de la Matemática aporta buenas ocasiones para ello. 1.2.‐ Teorías sobre el aprendizaje. Teorías sobre el aprendizaje en matemáticas  Diversas  teorías  nos  ayudan  a  comprender,  predecir  y  controlar  el  comportamiento  humano, elaborando  a  su  vez  estrategias  de aprendizaje y  tratando  de  explicar  cómo  los  sujetos  acceden  al conocimiento.  Su  objeto  de  estudio  se  centra  en  la  adquisición  de  destrezas  y  habilidades  en  el razonamiento y en la adquisición de conceptos.  La gran mayoría de los trabajos de investigación que se llevan a cabo en el área de Didáctica de las Matemáticas versan sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, esto muestra su enorme relevancia para este dominio de conocimiento científico.  Los modelos teóricos que presentaremos no tienen más objeto que servirnos como un conjunto de principios que explican el fenómeno del aprendizaje matemático, nos ofrecerán marcos de referencia para interpretar los comportamientos de los alumnos, así como Ias intervenciones y decisiones del profesor/a, permitiéndonos dar respuesta a la pregunta básica: ¿Cómo ocurre el aprendizaje matemático?   Para facilitar el estudio de los aspectos relacionados con el aprendizaje de los alumnos, se establece una relación de complementariedad entre la Didáctica de las Matemáticas y el dominio de la psicología, ya que  «la  aproximación  psicológica  es  un  instrumento  indispensable  para  esclarecer  el  modelo  del funcionamiento  cognitivo  del  sujeto  en  relación  con  el  saber  y  para  poner  así  en  entredicho  las  tesis empiristas que sustentan las prácticas de los enseñantes».  Con el riesgo de simplificar los modelos teóricos de las diversas concepciones que existen sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, nos centraremos en los dos modelos más relevantes: empirismo y constructivismo. 1.2.1.‐ Empirismo  Esta concepción de aprendizaje se fundamenta en una concepción espontánea que está presente en la mayoría del profesorado: «EI alumno aprende lo que el profesor explica en clase no aprende nada de aquello  que  no  explica».  Es  una  concepción  que  apenas  se  hace  explicita,  pero  que  está  muy  extendida entre  los  miembros  de  toda  la  comunidad  educativa.  Piaget  la  denominó  «empirista»1,  basándose  en  la concepción  filosófica  del  mismo  nombre  que  sostiene  que  la  experiencia  es  la  única  forma  de conocimiento.  Bajo  esta  concepción,  el  discurso  del  maestro  se  registra  en  el  alumno,  a  quien  no  se  considera capaz  de  crear  conocimientos.  Su  aprendizaje  es  considerado  como  un  «trasvase»  de  los  saberes  que  le proporciona  el  maestro,  se  limita  a  recibir  bien  los  contenidos.  Así,  el  saber  matemático,  enunciado  y                                                             1   «Llamamos  empirismo  epistemológico  a  la  doctrina  según  la  cual  todo  conocimiento  proviene  de  la  experiencia externa o interna, experiencia concebida como una lectura o un registro de propiedades totalmente organizadas, bien sea en los objetos, bien en sujeto» (Piaget). Las dos corrientes filosóficas: empirismo y racionalismo y las teorías del aprendizaje  (conductismo  y  cognitivismo)  no  coinciden  exactamente;  de  cualquier  forma,  las  teorías  conductuales suelen ser en general empiristas, mientras que las teorías cognoscitivas incorporan posturas más racionalistas. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   7
  8. 8. Tema 1 explicado por el profesor, se imprime de un modo directo e inmediato en el alumno y, si existiese alguna intervención distinta de la palabra del profesor, los objetos matemáticos los «verá» o los «tocará». Como consecuencia, en este modelo existe un gran abuso de las presentaciones ostensivas en la enseñanza. «La ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones matemáticas». Así, por ejemplo, en la Escuela Infantil las figuras geométricas tales como el triángulo, el círculo, el cuadrado, el rectángulo, etc., o bien las posiciones relativas de los objetos en el espacio, se presentan a los alumnos de forma ostensiva. Veamos siguientes ejemplos.    1.‐ El profesor presenta todos los elementos constitutivos de estos objetos  geométricos de un solo «golpe de imagen». Suele ser una práctica muy  económica y útil en el trabajo docente, ya que los niños rápidamente las  reconocen y aprenden a nombrarlas. Ahora bien, en cursos posteriores,  cuando sea necesario utilizar triángulos o rectángulos, si los alumnos solo  conocen estas figuras por medio de estas imágenes ostensivas, únicamente  habrán alcanzado un éxito ilusorio, ya que este modo de presentación  impide la generalización y la abstracción.     2.‐ La imagen es el soporte que el profesor emplea para presentar  ostensivamente las nociones de encima de y debajo de   En  el  ideal  empirista,  profesor  y  alumno  no  deben  equivocarse:  el  error  está  relacionado  con  el fracaso,  le  impide  llegar  al  éxito  en  su  tarea.  Por  ello,  los  errores  pueden  crear  malos  hábitos  en  los alumnos,  pueden  ocupar  el  lugar  de  la  respuesta  correcta.  Las  causas  del  error  las  suelen  plantear  los maestros en términos de lagunas, faltas, nociones parcialmente asimiladas. Conviene, pues, que el alumno tenga  pocas  ocasiones  de  encontrase  con  el  error.  «Se  intenta  hacer  una  especie  de  manera  al  error. Aceptar  los  errores  para  canalizarlos  y posteriormente  evacuarlos  pondría  en  duda  de  forma  profunda  el sistema de enseñanza».  En esta hipótesis, la enseñanza ideal consistirá en un «curso» donde el maestro no cometa ningún error,  seguido  de  preguntas  o  tareas  donde  el  alumno  tenga  la  ocasión  de  responder  correctamente, constatando,  de  este  modo,  que  ha  comprendido  perfectamente.  Sin  embargo,  si  aceptamos  que  para «hacer matemáticas», el alumno debe resolver problemas, debemos considerar normal que conviva con la incertidumbre:  el  desconcierto,  la  duda  y  los  tanteos  están  en  el  corazón  mismo  del  aprendizaje  de  las matemáticas.  Los  alumnos  deben  superar  muchas  dificultades,  pero  sobre  todo  muchos  errores.  El profesorado tiene que entenderlos como algo necesario porque solo si los detectan y son conscientes de su origen pondrán medios para superarlos. «Quien practica la ciencia sabe bien que su fuerza no proviene de ninguna infalibilidad intrínseca, sino bien al contrario de su capacidad de autocorrección incesante». 8  
  9. 9. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 1.2.2.‐ Constructivismo  Todos  sabemos  que  muchos  conocimientos  pueden  transmitirse  de  una  generación  a  otra  sin mucho  esfuerzo,  sin  apenas  ser  conscientes  de  su  adquisición,  como  si  nos  impregnáramos  de  ellos,  por simple  imitación,  mientras  que  para  otros  hemos  necesitado  una  verdadera  construcción  y  una determinada  y  decidida  intención  de  aprender.  Considerar  que  el  aprendizaje  de  ciertos  conocimientos supone una actividad propia del sujeto es aproximarse a la corriente constructivista.  En los últimos años hemos estado inmersos en el desarrollo y aplicación de la teoría constructivista. En todo su desarrollo existe una idea fundamental que la preside: Aprender matemáticas significa construir matemáticas.  Las  hipótesis  fundamentales  sobre  las  que  se  apoya  esta  teoría,  extraídas  de  la  psicología genética y de la psicología social, las podemos resumir así:  1ª Hipótesis: El aprendizaje se apoya en la acción. Idea fundamental en la obra de Piaget: «Es de la acción  de  la  que  procede  el  pensamiento  en  su  mecanismo  esencial,  constituido  por  el  sistema  de operaciones lógicas y matemáticas».  Conviene señalar que el término «acción» se utiliza con mucha frecuencia en dominios pedagógicos y didácticos, asignándole el significado de «llevar a cabo manipulaciones» sobre determinados materiales. Sin embargo, el término «acción» en matemáticas va más allá, se trata de anticipar la acción concreta, es decir, de construir una solución que nos puede dispensar incluso del manejo de los objetos reales, bien sea porque  los  objetos  no  están  disponibles,  bien  porque  son  demasiado  numerosos  y  sería  costosísima  su manipulación.  Las  «acciones»  a  las  que  nos  referimos  en  esta  primera  hipótesis,  si  bien  pueden  tener  su origen en manipulaciones reales previas, que podría evocar mentalmente o incluso verbalmente el sujeto, no tienen necesidad de identificarse siempre con manipulaciones efectivas, En cualquier caso, la solución matemática (la acción matemática) se opone a la solución práctica (la acción sobre lo real): la acción sobre los  objetos  reales  conduce  frecuentemente  a  llevar  a  cabo  una  constatación,  mientras  que  la  acción matemática, incluso si no utiliza un procedimiento experto, se sitúa al nivel de una anticipación.  En  la  Escuela  Infantil,  necesariamente,  los  niños  iniciarán  la  construcción  del  conocimiento matemático a través de acciones concretas y efectivas sobre objetos reales y probarán la validez o invalidez de  sus  procedimientos  manipulando  dichos  objetos.  Estas  acciones  le  ayudarán  a  apropiarse  de  los problemas, a comprender la naturaleza de las cuestiones formuladas, a configurar una representación de la situación  propuesta.  Será  también  en  este  nivel  donde  comenzarán  a  anticipar  resultados  matemáticos relativos a situaciones ausentes o incluso no realizadas (simplemente evocadas), pero de las que disponen de ciertas informaciones. Constatarán que el conocimiento matemático les dispensará de llevar a cabo la acción concreta sobre los objetos reales.  2ª Hipótesis:  La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa por estados  transitorios de  equilibrio y desequilibrio, en el curso de los cuales los  conocimientos anteriores  se ponen en duda.  Si este desequilibrio es superado, esto implica que hay una reorganización de los conocimientos: los nuevos  conocimientos  se  van  integrando  con  los  anteriores,  apoyados  en  los  procesos  de  asimilación  y acomodación. Se trata de aplicar el modelo facilitado por la teoría de la equilibración de Piaget.  En  el  curso  de  la  acción  sobre  un  determinado  medio,  las  contradicciones  aparecen  en  el  sujeto como producto de los desequilibrios, y debe modificar sus representaciones, se produce lo que  Piaget  ha  denominado  acomodación,  que  supone,  básicamente,  una  modificación  en  el  sujeto  causada  por  el  medio  (perturbación).  De  manera  recíproca,  las  transformaciones  realizadas  por  el  sujeto  para  dar  respuesta  a  las  perturbaciones  modifican  su  organización  del  medio,  produciéndose  entonces un proceso de asimilación. El doble juego acomodación/asimilación esta en el centro de los  mecanismos de los procesos de equilibración.  El  aprendizaje,  pues,  no  se  reduce  a  una  simple  memorización,  a  una  yuxtaposición  de  «saber‐hacer»  o  a  un  condicionamiento,  aprendemos  raramente  de  una  sola  vez;  aprender  supone  volver  a empezar, extrañarse, repetir, pero repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se hace. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   9
  10. 10. Tema 1    Analizando  detalladamente  el  ejemplo  anterior  observamos  que,  cuando  los  niños  comparan  sus producciones  con  el  modelo  y  confirman  que  no  coinciden,  que  han  cometido  errores,  sufren  un  fuerte desequilibrio. Ahora bien, de esta constatación surgen las preguntas, las incertidumbres, la formulación de 10  
  11. 11. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 nuevas  hipótesis,  los  debates  entre  los  propios  niños,  y  va  emergiendo  el  conocimiento  matemático.  El error  es,  pues,  necesario  para  producir  desequilibrios.  Si  no  hacemos  emerger  las  estrategias  de  base erróneas  y  comprobamos  su  invalidez  funcionalmente,  no  las  rechazaremos  nunca  y  volverán  a manifestarse sistemáticamente.  En la situación de «La casita», los alumnos no hubiesen cometido errores si la consigna dada por la maestra  hubiese  sido:  «Debéis  decorar  una  casita  como  ésta  que  aparece  en  el  cartel.  Lo  pegaré  en  la pizarra  para  que  todos  lo  veáis.  Podéis  usar  las  pegatinas  de  colores  que  hay  en  vuestras  mesas».  Los alumnos hubiesen «reproducido» el modelo y el éxito estaría asegurado. Ahora bien, no habrían puesto en funcionamiento significativamente ni el número ni la numeración.  El aprendizaje, bajo esta hipótesis, es un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el sujeto y el medio (situación‐problema), por ello, la Didáctica de las Matemáticas se interesa en las perturbaciones provocadas deliberadamente en un determinado medio con intención de suscitar un aprendizaje.   3ª  Hipótesis:  Se  conoce  en  contra  de  los  conocimientos  anteriores.  Se  trata  de  una  idea fundamental  de  la  epistemología  de  Bachelard  sobre  el  conocimiento  científico,  tomada  por  Brousseau para  explicar  la  formación  de  obstáculos  en  el  aprendizaje  de  las  matemáticas:  «La  utilización  y  la destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender». Los  aprendizajes  previos  de  los  alumnos  se  deben  tener  en  cuenta  para  construir  nuevos conocimientos,  ya  que  estos  no  se  producen  a  partir  de  la  nada,  su  e1aboración  está  sometida  a adaptaciones,  rupturas  y  a  reestructuraciones,  a  veces  radicales:  de  los  conocimientos  anteriores. Aprendemos a partir de y también en contra de lo que ya sabemos. Los nuevos conocimientos no pueden hacerse más que modificando los precedentes y no por la simple acumulación de los últimos sobre los ya existentes.  En  la  Escuela  Infantil,  dado  que  los  niños  están  comenzando  su  escolaridad,  no  han  podido construir más que un dominio muy limitado de conocimientos matemáticos, no obstante, como veremos en el ejemplo que sigue, tienen conocimientos previos que se constituyen en verdaderos obstáculos.   4ª Hipótesis: Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición  de  conocimientos.  Idea  básica  de  la  psicología  social  apoyada  en  la  obra  de  Vygotsky2,  quien consideraba  preciso  tener  en  cuenta  lo  que  un  individuo  puede  hacer  con  la  ayuda  de  otros,  ya  que  el aprendizaje se produce en un Inedia social en el que abundan las interacciones, tanto horizontales (niño‐niño) como verticales (niño‐adulto).  La eficacia de los conflictos sociocognitivos se justifica, según Blaye, puesto que:   Permiten  al  alumno  tomar  conciencia  de  otras  respuestas  diferentes  a  la  suya,  lo  que  le  obliga a descentrar su respuesta inicial.   La necesidad de llevar a cabo regulaciones sociales, para llegar a un consenso, implica que  el alumno sea más activo cognitivamente.   La  respuesta  diferente  de  los  otros  es  portadora  de  información  y  llama  la  atención  del  sujeto sobre aspectos de la tarea que no había considerado.                                                             2   Zona  de  Desarrollo  Próxima  (ZDP)  es  lo  distancia  entre  el  nivel  de  desarrollo  actual,  que  podemos  determinar  a través  de  la  forma  en  que  un  niño  resuelve  sus  problemas  él  solo,  y  el  nivel  de  desarrollo  potencial,  tal  como  lo podemos determinar a través de la forma en la que un niño resuelve sus problemas cuando está asistido por un adulto o en colaboración con otros niños más avanzados.  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   11
  12. 12. Tema 1  Así,  los  conflictos  sociocognitivos  provocan  un  doble  desequilibrio:  «desequilibrio  interindividual, debido  a  las  diferentes  respuestas  de  los  sujetos;  desequilibrio  intraindividual,  debido  a  la  toma  de conciencia de respuestas diferentes, lo que invita al sujeto a dudar de su propia respuesta».  Cabe señalar la función de mediador que, en los conflictos sociocognitivos, lleva a cabo el maestro mediante la gestión de las puestas en común de los alumnos, Si la situación propuesta en clase ha sido una situación  abierta,  de  interacción  con  un  medio,  se  espera  que  los  alumnos  se  comprometan  en procedimientos muy variados, será el momento de organizar el intercambio, el debate, la argumentación, la confrontación, la validación, etc.  Esta fase es primordial para el aprendizaje matemático, «poner en común es hacer público», y en ella  el  lenguaje,  como  Inedia  de  comunicación  social,  es  primordial.  El  lenguaje  permitirá  a  los  alumnos estructurar  la  acción,  apropiarse  de  significaciones  nuevas,  identificar  nociones  y  procedimientos,  y  les abrirá  vías  para  la  prueba:  la  prueba  es  un  acto  social,  se  dirige  a  un  individuo  (eventualmente  a  uno mismo), al que es preciso convencer y requiere una expresión verbal (o escrita o, incluso, representativa). El lenguaje  jugará  una  función  determinante  para  la  elucidación  de  sus  conocimientos:  es  al  tratar  de responder a los «porqués» y a los «cómo» de los otros alumnos y del maestro cuando cada uno es capaz de volver  sobre  sus  propias  acciones,  a  describirlas,  a  defenderlas  a  tomar  conciencia  de  su  pertinencia  y validez. Y, recíprocamente, es al interrogar sobre las soluciones aportadas por los otros cuando cada uno puede conocer un nuevo procedimiento, medir el grado de dominio adquirido, reconocer lo que no logra hacer solo, en suma, ampliar su campo de conocimientos.  1.3.‐ El procesamiento de la información  La  teoría  de  Piaget:  asume  un  postulado  universalista  sobre  el  desarrollo  del  pensamiento humano. De este modo se interpreta que todos los niños evolucionan a través de una secuencia ordenada de estadios, lo que presupone una visión discontinua del desarrollo.   Se  postula  que  la  interpretación  que  realizan  los  sujetos  sobre  el  mundo  es  cualitativamente distinta dentro de cada período, alcanzando su nivel máximo en la adolescencia y en la etapa adulta. Desde esta perspectiva teórica se asume que la causa del cambio es interna al individuo y que éste busca de forma activa el entendimiento de la realidad en la que está inmerso.  Así,  el  conocimiento  del  mundo  que  posee  el  niño  cambia  cuando  lo  hace  la  estructura  cognitiva que soporta dicha información. Es decir, el conocimiento no supone un fiel reflejo de la realidad hasta que el  sujeto  alcance  el  pensamiento  formal,  ya  que  las  estructuras  cognitivas  imponen  importantes  sesgos sobre la información que  el sujeto percibe  del  medio. De este  modo, esta particular visión del  desarrollo implica la realización de un análisis molar sobre las diferentes estructuras cognitivas que surgen a lo largo de la evolución.   En el marco de la teoría piagetiana consideramos que el niño va comprendiendo progresivamente el mundo que le rodea del siguiente modo: Mejorando su sensibilidad a las contradicciones. Realizando operaciones mentales. Comprendiendo las transformaciones. (Conservación de la sustancia, del peso y del volumen). Aprendiendo a clasificar (colecciones figurales, no figurales, clasificación propiamente dicha). Aprendiendo a realizar series. Adquiriendo la noción de número.    12  
  13. 13. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 1.4.‐ La enseñanza de las matemáticas  Partimos de un concepto de infancia basado en cinco ejes, de acuerdo con Te Whariki3:  1. Bienestar: los niños de O a 6 años deben tener la experiencia de un entorno en el que se  promueve la salud, se alimenta su bienestar emocional y se vela por su seguridad y protección.  2. Pertenencia: los niños y sus familias deben tener la experiencia de un entorno en el que la  conexión  con  la  familia  y  el  mundo  se  afirme  y  se  amplíe;  deben  sentir  que  tienen  un  lugar  en  el  entorno que ellos conocen; deben sentirse cómodos con las rutinas, costumbres y hechos habituales,  como miembros de una comunidad de la que conocen las conductas aceptables y los limites.  3.  Contribución:  el  entorno  del  niño  debe  ofrecer  las  mismas  oportunidades  de  aprendizaje  independientemente  del  género,  habilidad,  edad,  procedencia  étnica  y  experiencia  previa;  debe  afirmarlos como individuos y debe animarles a aprender con y a través de los demás.  4.  Comunicación:  la  interacción  con  el  entorno  debe  fomentar  tanto  ti  desarrollo  de  habilidades comunicativas verbales y no verbales con unos propósitos concretos, como la vivencia de  experiencias  y  símbolos  de  la  propia  cultura  y  de  otras  culturas  y  el  descubrimiento  y  desarrollo  de  diferentes formas de ser creativo y expresivo.  5. Exploración: la interacción con el contexto debe fomentar tanto la confianza en el control  del  propio  cuerpo,  como  la  adquisición  de  estrategias  de  pensamiento  y  de  razonamiento  para  una  exploración activa del entorno; finalmente, ha de servir para dar sentido a los mundos natural, social,  físico y material.  De acuerdo con los cinco ejes anteriores, la educación matemática en las primeras edades debería contribuir a que los niños se sientan bien en su contexto; perciban que pertenecen a una comunidad, y que sus  contribuciones  y  las  contribuciones  de  los  demás  son  relevantes;  comuniquen  sus  experiencias  y aprendan  a  escuchar  las  de  los  demás  e  interactúen  de  forma  activa  con  el  entorno.  En  síntesis,  el autoconcepto y la autoestima positiva, la participación activa, la interacción, el diálogo, las estrategias de pensamiento o la autonomía son principios a partir de los cuales podemos empezar a plantear la génesis del pensamiento matemático. Ello implica, con los niños de 0 a 3 años, atender a su inmenso potencial de aprendizaje; y con los niños de 0 a 6 y de ser tratados sólo como estudiantes.  Un primer aspecto al indagar sobre la génesis del pensamiento matemático es la consideración de la educación matemática en las primeras edades.  Al  no  tratarse  de  una  etapa  de  escolarización  obligatoria,  durante  muchos  años  se  ha  dado prioridad  a  la  función  asistencial,  sobre  todo  en  el  primer  ciclo  (0‐3  años),  en  detrimento  de  la  función educativa y del desarrollo del pensamiento matemático. Progresivamente han surgido puntos de vista que han hecho un flaco favor a la educación matemática en las primeras edades, al sugerir que en estas edades no se puede hablar propiamente de actividad matemática, dado que hacer matemáticas en este periodo, según estas veces, se reduce a llevar a cabo una buena educación sensorial y una buena psicomotricidad, con  el  objeto  de  preparar  a  los  alumnos  para  la  adquisición  del  pensamiento  lógico,  de  la  noción  de cantidad, y para el descubrimiento del espacio en etapas de escolarización posteriores.  Actualmente  este  argumento  está  superado.  Ya  no  se  discute  que  la  educación  matemática  en educación infantil tiene una entidad propia y no sirve sólo para preparar a los niños para etapas posteriores de  la  escolarización.  No  es,  pues,  una  etapa  preescolar:  tiene  contenidos  y  procesos  matemáticos  que: desarrollar que son propios de estas primeras edades (y que si no se trabajan e interiorizan impiden tener una base sólida para seguir construyendo conocimiento matemático); tiene unos aprendices propios, todos ellos con el deseo de aprender y descubrir el mundo que les rodea; tiene también unos métodos propios, que deberían formar parte de la manera de trabajar del resto de etapas educativas: e insistimos, tiene unas finalidades propias.                                                             3  Ministerio de Educación de Nueva Zelanda. 1996 Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   13
  14. 14. Tema 1  Un referente internacional que nos permite concretar la génesis del pensamiento matemático es el documento  que  recogen  los  Principios  y  Estándares  en  Educación  Matemática,  de  la  asociación norteamericana  National  Council  of  Teachers  of  Mathematics.  A  grandes  rasgos,  el  despertar  del pensamiento  matemático  implica  descubrir  relaciones  y  patrones;  conocer  aspectos  cuantitativos  de  la realidad: tener un conocimiento del espacio relativo a tres aspectos: posición, forma y cambios de posición y  de  forma;  tener  un  conocimiento  de  las  principales  magnitudes  continuas;  e  interpretar  y  organizar  el entorno a partir de la estadística y el azar.  La  Tabla  1  describe  algunos  de  los  contenidos  y  procesos  matemáticos  de  la  educación  infantil  a partir de una adaptación de los estándares mencionados.  Desde nuestro punto de vista, los contenidos y procesos matemáticos de la Tabla 1 son habilidades básicas que se van ampliando y conectando con otras habilidades más complejas a medida que avanza la escolaridad en un ciclo que recuerda la espiral. Estas habilidades básicas darán lugar, en etapas posteriores, al desarrollo de estrategias de pensamiento y, más concretamente, de pensamiento critico. El embrión de todos ellos, sin embargo, ya aparece en la educación infantil. Esta afirmación, que puede parecer atrevida, viene  reforzada  por  el  planteamiento  de  la  NCTM  (2003)  al  definir  unos  estándares  sobre  contenidos  y procesos  matemáticos  idénticos,  aunque  con  expectativas  diferentes,  en  cada  etapa  educativa  desde educación infantil hasta bachillerato.  Tabla 1 Contenidos y procesos matemáticos para la E.I.  Contenidos Matemáticos Aspectos cualitativos de la realidad   Comprender los números, los modos de representarlos, las relaciones entre números y sistemas  numéricos.   Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras.   Calcular eficazmente v hacer estimaciones razonables. Aspectos del espacio referentes a la posición, la forma y los cambios de posición y forma   Especificar posiciones y describir relaciones espaciales usando geometría de coordenadas y otros  sistemas de representación   Analizar características y propiedades de las formas de una, dos y tres dimensiones y desarrollar  argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas.   Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.   Usar la visualización, el razonamiento espacial, y la modelización geométrica en la resolución de  problemas. Principales magnitudes continuas, sobre todo la longitud, la masa y la capacidad   Comprender los atributos mesurables de los objetos V las unidades, sistemas, V procesos de  medición.   Aplicar técnicas apropiadas, herramientas y fórmulas para determinar mediciones. Primeros patrones, relaciones y funciones   Comprender patrones, relaciones y funciones.   Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas con símbolos apropiados.   Analizar el cambio en diversos contextos.  14  
  15. 15. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 Interpretación y organización del entorno a partir de la estadística y el azar   Formular cuestiones sobre datos y responderlas a partir de la recogida, organización y  representación de éstos u otros datos. Procesos matemáticos   Estructurar la mente y desarrollar la capacidad de razonar.   Resolver situaciones problemáticas del entorno inmediato a partir de estrategias adecuadas a la  edad, para construir nuevo conocimiento matemático.   Representar mentalmente y de manera gráfica (mediante representaciones familiares primero y  con símbolos abstractos después) descubrimientos y aprendizajes matemáticos.   Expresar, comunicar la acción, ya sea gráficamente (a través de un dibujo) u oralmente, teniendo  en cuenta que a menudo la capacidad de comprensión supera la de expresión.   Conectar aprendizajes en la escuela con situaciones modelizables vividas.    Así, pues, si bien el trabajo que se realiza en la etapa de educación infantil tiene una entidad propia, existen  unos  ejes  comunes  que  se  dan  en  todas  las  etapas  educativas,  y  que  tienen  su  génesis  en  las primeras edades. Estos ejes se refieren tanto a los contenidos matemáticos y a su tratamiento, como a lo que  se  aprende  mientras  se  aprenden  matemáticas.  En  primer  lugar,  los  aspectos  compartidos  con  otras etapas son:    Las ideas matemáticas no aparecen de golpe, sino que se van construyendo poco a poco a lo largo  del tiempo, se van perfilando y estructurando, situándose en una trama rica en relaciones.   Todos  los  contenidos  matemáticos;  pueden  situarse  dentro  de  unos  grandes  bloques:  descubrir  relaciones y patrones; conocer los aspectos cuantitativos de la realidad; tener un conocimiento del  espacio relativo a la posición, la forma y los cambios de posición y de forma; tener un conocimiento  de  las  principales  magnitudes  continuas;  e  interpretar  y  organizar  el  entorno  a  partir  de  la  estadística y el azar.   El  conocimiento  matemático  tiene  que  ser  significativo,  conectado  y  ubicado  en  entornos  que  admitan procesos de contextualización y descontextualización.   El  tratamiento  de  los  contenidos  matemáticos  tendría  que  iniciarse  de  manera  concreta  (a  partir  del  entorno,  los  materiales  manipulables,  los  juegos,  etc.)  para  poco  a  poco  ir  dando  paso  a  la  actividad mental, la abstracción y la generalización.  En  cuanto  a  lo  que  se  aprende  mientras  se  aprenden  matemáticas  en  educación  infantil, destacamos algunos procesos de aprendizaje especialmente complejos:    Estructurar  la  mente  y  la  capacidad  de  razonar;  resolver  problemas;  comunicar;  representar;  establecer conexiones: modelizar; etc.   Desarrollar  habilidades  de  percepción,  como  observar,  escuchar,  percibir  sensaciones,  reconocer  vivencias. etc.   Interesarse  por  la  investigación  formulando  hipótesis  y  cuestiones,  descubriendo  alternativas,  prediciendo, verificando, estimando, seleccionando, etc.   Responder con curiosidad y gusto ante lo que se mira, pregunta, piensa y expresa.   Mirar el mundo de formas diferentes, con ojos matemáticos, artísticos, etc. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   15
  16. 16. Tema 1  Abogamos  por  trabajar,  desde  la  escuela  infantil  en  adelante,  en  una  línea  ascendente,  no  de imposición finalista, que promueva el paso de lo concreto a lo abstracto, de lo particular a lo general, de lo aproximado a lo exacto, de forma coherente y estimuladora; entendiendo que es esencial incluir de forma frecuente, coherente y estimuladora el paso de lo abstracto a lo concreto, de lo general a lo particular y de lo exacto a lo aproximado, sin que estas tareas sean vistas como un retroceso. 1.5.‐ La resolución de problemas  La solución de problemas es una actividad asociada al desarrollo de la inteligencia; un individuo es más  inteligente  en  la  medida  en  que  sea  capaz  de  resolver  problemas,  por  lo  que  en  la  enseñanza  y, particularmente en las matemáticas, juega un papel fundamental la realización de tareas de este tipo.  Concebir la solución de problemas como contenido curricular permite comenzar a desarrollar en la primera infancia mayor, sobre los 4 y 5 años, las operaciones mentales que posibilitan su solución, y de este modo, lograr una mayor activación intelectual.  Dentro  del  contenido  de  las  nociones  elementales  de  matemáticas  en  el  centro  de  Educación Infantil, la solución de problemas sencillos es uno de los que permite una mayor activación intelectual en los educandos. Encontrar la relación esencial entre los elementos de la tarea planteada y decidir la acción que se va a realizar para llegar a la solución correcta, exige el desarrollo de los procesos mentales y gran movilidad del pensamiento, al activar el proceso de análisis y de síntesis, y posibilitar la generalización.  El  desarrollo  de  las  operaciones  mentales  constituye  un  proceso  que  estimula  el  desarrollo  de diferentes formas de pensamiento. La solución sistemática de este tipo de tareas garantiza el acercamiento a formas sencillas del pensar matemático.  Por todo esto, hay que prestarle gran atención a la forma de preparar y planificar este contenido y al  planteamiento  de  las  tareas,  partiendo  de  problemas  sencillos  muy  ligados  a  la  experiencia  diaria  que tengan los educandos.  En este sentido, los niños se ven en la necesidad de planificar sus acciones, de considerar algunas ideas, desechar las que no son válidas, y tratar de encontrar otras.  Estas  actividades,  además,  les  despiertan  el  interés  cognoscitivo,  pues  suelen  ser  tareas  más complejas  que  las  habituales,  las  cuales  requieren  de  una  mayor  motivación  y  concentración:  así,  se esfuerzan por lograr el éxito en su realización.  Desde  el  punto  de  vista  intelectual,  la  solución  de  problemas  ofrece  múltiples  posibilidades  de estimular y perfeccionar las potencialidades en el orden de los conocimientos y desarrollo de habilidades que ya se poseen en estas edades.  A través de estas actividades aplican los conocimientos y habilidades adquiridos con el trabajo con conjuntos y se capacitan para la realización de operaciones mentales como análisis y síntesis, comparación, abstracción y generalizaciones sencillas para el planteamiento de la tarea. 1.5.1.‐ Características del trabajo con problemas sencillos en la etapa infantil     El  término  problema  aparece  definido  en  múltiples  y  diversas  bibliografías.  Por  ejemplo,  en  el Diccionario  de  términos  psicológicos  y  pedagógicas  de  la  Asociación  Mundial  de  Educadores  Infantiles aparecen  varias  definiciones,  que  van  desde  la  más  simple,  que  lo  considera  como  una  tarea,  cuestión, propuesta, o una cuestión que se trata de aclarar, de dificultad de solución dudosa, hasta definirlo como una proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos, o, en el caso de la Educación Infantil, verlo como toda situación que tiene un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla para llegar a resultados; es decir, la búsqueda de las vías para provocar la transformación deseada y no solo la solución del problema en sí mismo. 16  
  17. 17. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Atendiendo a las características del trabajo en la Educación Infantil, esta última definición es la que más  se  adecua  a  las  necesidades  del  currículo.  Pero  problema,  en  su  acepción  popular,  se  refiere  al conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin, lo cual le da una diferente connotación al término, y lo imbrica con aspectos del desarrollo emocional y cognitivo.  El trabajo metodológico para la solución de problemas está encaminado a capacitar a los infantes en  la  búsqueda  y  aprendizaje  de  procedimientos  para  la  solución  de  tareas  con  diferentes  niveles  de complejidad.  Al  estructurar  didácticamente  este  contenido  se  deben  tener  en  cuenta  los  diferentes  ritmos  de aprendizaje  y  también  el  aspecto  motivacional.  Hay  que  procurar  que  los  pequeños  puedan  acceder  a  la solución de estos ejercicios para no crear insatisfacciones o «problemas».  Al  evaluar  sus  habilidades  en  la  solución  de  problemas  sencillos,  es  adecuado  considerar  el  nivel alcanzado por cada uno en las diferentes etapas.  La evaluación en este nivel a veces se hace compleja. Obtener información acerca de cómo piensan no es una tarea fácil, por lo que puede ser efectivo registrar, a través de la observación, cómo operan ellos, y mediante preguntas, completar el análisis.  Por  otro  lado,  no  hay  que  olvidar  que,  ante  un  mismo  problema,  los  niños  no  reaccionan  de  la misma manera.  Por ejemplo: si al grupo de educandos se le plantea la siguiente cuestión: «Hay lápices y se reparten a dos niños, uno recibe cinco lápices, y el otro siete», pueden encontrarse los siguientes comportamientos: un  niño  se  proyecta,  no  respondiendo  en  un  principio.  Se  repite  nuevamente  el  mismo  problema,  pero tampoco dice nada. Entonces, el educador le entrega sustitutos para que los utilice. Se repite el problema y se  realizan  las  acciones  de  la  primera  parte  (repartir  cinco  lápices  a  un  niño  y  siete  a  otro).  Luego,  se  le plantea de nuevo la última parte del problema y quita todos los lápices y los reparte uno a cada uno, hasta darle la misma cantidad (6). Ante la pregunta del educador de cuántos lápices le ha repartido a cada niño, responde que seis lápices. Cuando le pregunta que cómo lo supo, él responderá que repartiéndolos.  A otro niño o niña, al no responder, se le repite el problema. Se le dan los objetos sueltos y realiza la acción. Le da cinco lápices a uno y siete al otro, luego le quita un lápiz al que le dio siete y se lo da al otro niño. Cuenta, tocando los objetos y responde: «Seis lápices». «¿Cómo lo supiste?» «Porque seis y seis es la misma cantidad.»  Este  ejemplo  demuestra  la  importancia  del  análisis  de  las  vías  de  solución  como  orientación  del educador  para  la  disposición  de  este  contenido  y  la  búsqueda  de  métodos  para  su  tratamiento,  pues, aunque  el  resultado  es  el  mismo,  las  formas  de  solución  son  diferentes,  y  arrojan  mucha  luz  sobre  las formas del examen intelectual de cada educando. 1.5.2.‐ Metodología para el trabajo con la solución de problemas sencillos       Hay que prestar gran atención a la forma de preparar y planificar este contenido y al planteamiento de las tareas, para lo cual se debe partir de problemas sencillos muy ligados a la experiencia que de la vida diaria tengan los niños.  En el grupo del quinto año de vida (de 4 a 5 años), en el trabajo con las diferentes operaciones con conjuntos,  se  utilizan  como  forma  principal  para  el  planteamiento  de  la  tarea  situaciones  problemáticas, que son incógnitas que se les plantean y que guían la acción que deben realizar, mediante preguntas como:   ¿Cómo se podría vestir a las muñecas?   ¿Alcanzarán las pelotas para todos los osos?   ¿Cómo se van a repartir las naranjas? Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   17
  18. 18. Tema 1  El  planteamiento  de  la  tarea  en  forma  de  situación  problemática  tiene  que  estar  vinculado estrechamente con la motivación de la actividad y debe responder a ella.  En el grupo del sexto año de vida (5 años), además de estas situaciones problemáticas, se comienza a  trabajar  planteándole  directamente  al  educando  problemas  sencillos.  Para  ello,  el  maestro  tendrá  que enseñarle a buscar la vía de solución adecuada para resolver el problema planteado.   ¿Alcanzarán los globos para cada niño o niña?   ¿Quién tiene más juguetes?   ¿Cómo se podría saber la cantidad de naranjas que hay, si mamá compró seis y papá compró dos?   ¿Cuántos bolos quedan si se regalan tres a José y dos a Pedro, y antes había diez en la caja?  Estos  planteamientos  permiten  resolver  sencillas  adiciones  y  sustracciones,  partiendo  del conocimiento que tienen de las cantidades y su reconocimiento.  Hay que tener en cuenta que, más que dar con exactitud una solución numérica, en la Educación Infantil, lo que se busca es que los pequeños aprendan qué acciones deben realizar para llegar a la solución de cada tarea.  Para  enseñarles  a  solucionar  problemas  sencillos,  una  de  las  vías  es  tomar  como  base  el conocimiento que tienen de las relaciones entre el todo y las partes, y de las operaciones de descomponer y unir los conjuntos, incluso la modelación (trabajar con sustitutos de los conjuntos).  Para presentarles los símbolos que van a utilizar, hay que demostrar que es necesario usar «algo» que los ayude a establecer la relación esencial para llegar a la solución del problema. Para esto, cuando se presenta el primer problema, se utilizan inicialmente los materiales reales (sin sustitutos).  Por  ejemplo:  la  mamá  de  una  niña  le  regaló  caramelos  (una  parte),  y  el  papá,  después,  también (otra parte); si la niña quiere guardar en una misma caja los caramelos que le regalaron su mamá y su papá, se tendrá como resultado todos los caramelos.  ¿Cuáles  son  los  datos  de  este  problema?  Los  datos  son  los  caramelos  que  le  regalaron  a  la  niña. ¿Qué relación se establece? La relación está dada por la unión de las partes para obtener el todo.  ¿Cuál es el resultado? La obtención del todo. Los caramelos que le regaló la mamá, la niña los unió con los que le regaló su papá y de esta forma tiene unidos los caramelos que le regalaron. El adulto podrá utilizar otros problemas que se presenten de la misma forma para que el infante ejecute la relación.  Otra  manera  es  mediante  el  manejo  de  los  sustitutos.  Por  ejemplo:  Ariel  tiene  estas  bolas  y  su amigo Raúl le regaló estas otras bolas. ¿Qué hay que hacer para saber cuántas son las bolas que tiene ahora Ariel?  Para  realizar esta  operación,  el  niño  o  la  niña  sustituye  cada  bola  por  su  figura  sustituta,  y  opera con  ellas  en  un  plano  sobre  la  mesa,  sin  tener  necesidad  de  tener  cada  objeto  (las  bolas),  para  poder realizar esa operación.  Cuando  los  educandos  ya  están  familiarizados  con  la  forma  de  plantear  los  problemas  y  con  los símbolos y sustitutos, solo el maestro los utilizará y dirigirá verbalmente la tarea que se va realizar.  En  los  problemas  de  sustracción  se  procede  de  forma  similar,  partiendo  del  todo  al  que  se  le sustrae  una  parte  y  le  queda  otra.  Para  ello,  se  utilizan  símbolos  de  sustitución  de  la  operación  de sustracción. Por ejemplo: un niño tiene muchas galletas y le regaló algunas a su hermana ¿Qué se tendría que hacer para saber las galletas que quedaron?  En  la  medida  en  que  se  trabaje  con  los  niños,  ellos  irán  comprendiendo  cómo  se  utilizan  los símbolos y los sustitutos, hasta que sean capaces, en una misma actividad, de adicionar y, posteriormente, sustraer. 18  
  19. 19. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Para la introducción de los símbolos se puede utilizar un cuadrado, de un color para la sustracción y de otro para la adición, de modo que se distinga el todo de las partes. Después, puede sustituirse por un cuadrado sin color.  Este contenido se desarrolla cuando los niños ya han transitado por las diferentes operaciones con conjuntos y por el reconocimiento de cantidades del uno al diez.  Si  los  educandos  tienen  éxito  en  las  tareas  y  llegan  a  solucionar  los  problemas  planteados  por  el adulto, serán capaces de plantearse a sí mismos problemas para darles solución, utilizando las cantidades y aplicando  todo  lo  que  han  aprendido.  Llegar  a  esta  posibilidad  constituye  un  alto  logro  en  el  desarrollo intelectual. 1.6.‐ Actividades  1. Ejercicios de actividad matemática. Completa la serie:  a. 1  2  4  5  7  8  10  ?  ?  ?  b. 1  2  4  7  11  16  22  ?  ?  ?  c. 1/3  3/6  5/3  7/6  9/3  11/6  13/3  ?  ?  ?  d. 1  1  2  3  5  8  13  21  ?  ?    e. 1  2  4  8  16  32  64  ?  ?  ?  f. 3  3  3  6  3  9  3  ?  ?  ?  g. 2  3  5  9  17  33  65  ?  ?  ?  h. 3  3  4  6  5  4  5  ?  ?  ?    2. ¡MAGIA!  a)  Elige  una  cifra.  b)  Multiplícala  por  3.  c)  Al  resultado  súmale  2.  d)  Multiplica  lo  que  te  queda por 3. e) Añade la cifra que pensaste. f) Tacha las decenas.  3. Poirot investiga. En una de sus investigaciones, el famoso detective Hércules Poirot, encontró unas  cuentas  hechas  en  un  papel,  que  alguien  había  intentado  quemar.  Tras  escribir  en  su  libreta  los  números  y  operaciones  que  aún  se  podían  leer  y,  sustituir  los  números  ilegibles  por  asteriscos,  aparecía:   4 5 7 9 5 * 2 * 1 *  * 2 *     4 * 6   x 3  5 7 9 * 1 3 * 9 3 6 ¿Podrías ayudar a Poirot, personaje de Agatha Christie, y completar estas cuentas?  POR CIERTO, la solución del ejercicio 2 es  ¿Lo he adivinado? ;)   4. Ejemplo de CRIPTARRITMOS (letras distintas, números distintos, letras iguales, números iguales:  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   19
  20. 20. Tema 1  S E N D  M O R E  M O N E Y1.7.‐ Bibliografía Alsina i Pastells, A. (2006). Cómo desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años. Barcelona: Octaedro  y Eumo Editorial. Chamorro, M. C. y otros (2005). Didáctica de las matemáticas en la E. I. Madrid: Pearson. Educación  y  desarrollo  lógico‐matemático  en  la  infancia.  (2010,  23)  de  septiembre.  Enciplopedia  on‐line para  maestros  de  educación  infantil.  Fecha  de  consulta:  15:10,  septiembre  27,  2010  from http://www.waece.org/enciclopedia/resultado2.php?id=2205. Fernández  Bravo,  J.  A.  (2006).  Didáctica  de  la  matemática  en  la  educación  infantil.  Madrid:  Grupo  Mayeútica. Godino,  JD  (Director)  (2004).  Didáctica  de  las  Matemáticas  para  maestros.  Universidad  de  Granada,  Granada. (Recurso Electrónico) Godino,  JD  (Director)  (2004).  Matemáticas  para  maestros.  Universidad  de  Granada,  Granada.  (Recurso  Electrónico) NCTM.  (2003).  Principios  y  Estándares  para  la  Educación  Matemática.  Granada:  Sociedad  andaluza  de  Educación Matemática THALES. Planas N. y Alsina, A. (Coords.) (2009). Educación matemática y buenas prácticas. Barcelona: Editorial Graó. Teorías  del  aprendizaje.  (2010,  23)  de  septiembre. Wikipedia,  La  enciclopedia  libre.   Fecha  de  consulta:  15:10,  septiembre  27,  2010  from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADas_del_aprendizaje&oldid=40478138.   20  
  21. 21. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Tema 2.‐ Introducción a la Teoría de Conjuntos   2.1.‐ Idea de Conjunto. Diagramas de Venn‐Euler. Conjunto Universal 2.1.1.‐ La noción de conjunto  Para definir un determinado conjunto hay que decir con precisión cuales son los elementos que lo componen. Esto puede hacerse de dos maneras, por comprensión y por extensión, pero la segunda sólo es aplicable a conjuntos finitos. DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto C se define por comprensión si se da una propiedad que caracterice a  sus elementos. NOTACIÓN.  El  conjunto  C  definido  por  comprensión  mediante  la  propiedad  P  se  menciona  así:  C  es  el  conjunto de los x tales que x tiene la propiedad P. Y se nota así:  C   x x tiene la propiedad P   mediante  dos  símbolos:  llaves  {  },  que  se  lee  con  la  frase  “conjunto  de  los”,  antepuesta  a  su  contenido, y la barra|, que se lee “tales que”. EJEMPLOS.  A   x x  es entero mayor que 3 y menor que 7 B   x x  es entero primo mayor que 3 y menor que 7  DEFINICIÓN.  Se  dice  que  el  conjunto  finito  C  se  define  por  extensión  o  enumeración  si  se  da  una  lista  explícita de todos sus elementos. NOTACIÓN Y  EJEMPLOS. Un conjunto definido por extensión se anota colocando entre llaves los nombres de  todos sus elementos, separados por comas. Así los conjuntos A y B anteriormente citados se notan  respectivamente así:  A  4,5,6 ;  B  5   Un conjunto de un sólo elemento se llama conjunto unitario. Ejemplo:  B  5 . 2.1.2.‐ Pertenencia e Inclusión DEFINICIÓN. Se x es el elemento del conjunto C se dice que x pertenece a C, y se escribe:  x  C . Para indicar  que x no pertenece a C se escribe  x  C . Por ejemplo, si   es el conjunto de los números naturales,  1 se tiene que:  1  ; 3  ;   .  2DEFINICIÓN. Se dice  que un conjunto A está incluido en B, y se escribe  A  B , si todos los elementos que  pertenecen  a  A,  pertenecen  también  a  B.  Si  A  B ,  se  dice  también  que  A  es  parte  de  B  o  subconjunto de B y que el conjunto B incluye al conjunto A y se nota  B  A . Para indicar que A no  está incluido en B se escribe  A  B .  ABB A   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   21
  22. 22. Tema 2 2.1.3.‐ Diagramas de Venn‐Euler  Los  diagramas  de  Venn  son  ilustraciones  usadas  en  la  rama  de  la  Matemática  y  Lógica  de  clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada  conjunto mediante un  círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.     3.‐ Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra  un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos  contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro  del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están  contenidos en B.    Después  de  esta  definición  podemos  hablar  de  Inclusión  o  no  inclusión  de  un  conjunto  en  otro utilizando los diagramas de Venn‐Euler.          4.‐ En el primer caso podemos decir que A  B o B  A , mientras que los  dos últimos casos diremos que A  B .   2.1.4.‐ Conjunto Vacío DEFINICIÓN.  Se  dice  que  un  conjunto  A  es  un  conjunto  vacío  si  no  hay  ningún  elemento  que  pertenezca  a  dicho conjunto y se nota:  A      2.1.5.‐ Inclusión e Implicación. Condiciones necesarias y suficientes  Decir  que  A  B   equivale  a  decir  que  si  x  A ,  entonces  x  B ,  o  bien  x  A implica  x  B . Matemáticamente lo expresamos como:  x  A  x B  EJEMPLO. Si tenemos los conjuntos:     x x  es múltiplo entero de 2 y     x x es múltiplo entero de 4      ;        ;     x    x    Si x es múltiplo entero de 4 implica que x es también múltiplo entero de 2. 22  
  23. 23. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Supongamos que los conjuntos A y B están dados por comprensión así:  A  t t  tiene la propiedad P y  B  t t tiene la propiedad Q  Puesto que  t  A equivale a: t tiene la propiedad P, y  t  B equivale a : t tiene la propiedad Q. Decir que  t  A  t  B  equivale a:  t  tiene la propiedad P  t  tiene la propiedad Q  Que se expresa brevemente así:  P  Q  Decir esto también equivale a decir que P es condición suficiente para Q, pues basta, o es suficiente, que se cumpla la propiedad P para que se cumpla la propiedad Q. Se dice también que Q es condición necesaria para P, pues si se cumple P es necesario que se cumpla Q. EJEMPLO.  A  B ;  x  A  x  B   x  A es condición suficiente para  x  B   x  B es condición necesaria para  x  A   A   x x  es entero primo mayor que 3 y menor que 7 B   x x  es entero mayor que 3 y menor que 7  2.1.6.‐ Conjunto Universal o Referencial DEFINICIÓN.  En  cualquier  aplicación  de  la  teoría  de  conjuntos,  los  elementos  de  cualquier  conjunto  bajo  estudio, pertenecen a algún conjunto fijo mayor llamado conjunto universal o universo del discurso.  Por ejemplo, en la geometría del plano, el conjunto universal está formado por todos los puntos del  plano.  En  estudios  de  población,  el  conjunto  universal  está  formado  por  todas  las  personas  del  mundo. Notamos el conjunto universal como U. 2.1.7.‐ Igualdad de conjuntos y equivalencia lógica DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B, y se nota A=B, si se verifican las dos inclusiones  siguientes:  A  B  y  B  A  Para indicar que A no es igual a B se nota:  A  B  Esta definición expresa que A=B si y sólo si A y B tienen los mimos elementos. En otras palabras:  Un conjunto está determinado por sus elementos. La  igualdad  de  conjuntos  se  relaciona  con  la  equivalencia  lógica.  Para  dos  proposiciones  P  y  Q pondremos:  P  Q  (P es equivalente a Q) si se verifican  P  Q  y  Q  P .  x  A  x B AB    x B  x  A x  A  x B   P  Q . Decir esto también equivale a decir que P es condición necesaria y suficiente para Q. Y que Q es condición necesaria y suficiente para P.   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   23
  24. 24. Tema 2 2.2.‐ Operaciones con conjuntos 2.2.1.‐ Intersección DEFINICIÓN. Se llama intersección  A  B  de dos conjuntos A y B al conjunto cuyos elementos son los que  pertenecen a la vez a A y a B:  A  B   x x  A  y x  B  EJEMPLOS. Si A={1, 2, 3} y B={‐1, 3, 4/2}    A  B  2, 3    DEFINICIÓN. Se llama intersección de varios conjuntos al conjunto cuyos elementos son los que pertenece a  todos ellos a la vez.  A  B   x x  A  y x  B  EJEMPLOS. Si A={3, 0, 4/2} ; B={1, 2, 3} y C={‐1, 6/3}  A  B  C  2        Es  fácil  demostrar  las  fórmulas:   A  B   C  A  B  C ; A   B  C   A  B  C ;  de  ellas  resulta  la PROPIEDAD ASOCIACTIVA. Podemos definir por comprensión el conjunto vacío, que conocemos es el que no tiene ningún elemento. En efecto, si P es una propiedad que no es poseída por ningún objeto, se tiene:  x x  tiene la propiedad P       Por ejemplo:  x x  x    Dos  conjuntos  se  llaman  disjuntos  si  no  existe  ningún  elemento  que  pertenezca  a  ambos.  Condición necesaria y suficiente para que dos conjuntos A y B sean disjuntos es:  A  B    24  
  25. 25. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 2.2.2.‐ Unión DEFINICIÓN. Se llama unión o reunión  A  B  de dos conjuntos A y B al conjunto cuyos elementos son los que  pertenecen o bien a A, o bien a B, o bien a A y a B:  A  B   x x  A  y x  B  EJEMPLOS. Si A={1, 2} y B={2, 3}    A  B  1, 2, 3    DEFINICIÓN. Se llama unión de varios conjuntos al conjunto cuyos elementos son los que pertenece a alguno  (uno por los menos) de ellos.   EJEMPLOS. Si A={3, 0, 4/2} ; B={1, 2, 3} y C={‐1, 6/3}  A  B  C  ‐1, 0, 1, 2, 3    Es  fácil  demostrar  las  fórmulas:   A  B   C  A  B  C ; A   B  C   A  B  C ;  de  ellas  resulta  la PROPIEDAD ASOCIACTIVA. 2.2.3.‐ Conjunto de las partes. Complementación Con frecuencia se consideran conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de las rectas de un plano, considerando a cada recta como el conjunto de sus puntos. DEFINICIÓN. El conjunto de todos los subconjuntos o partes de un conjunto U se llama conjunto de partes de  U, y se indica P(U).   EJEMPLOS. Si  U  a, b ; P U   ,a ,b ,a , b             Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   25

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