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Trigonometria resolvidos

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Trigonometria resolvidos

  1. 1. ESCOLA SECUNDÁRIA ALBERTO SAMPAIO Ficha de trabalho 2 a) 11º ano – Matemática A 1) Mostra que: 1.1) cos 4 ( θ ) − sen 4 ( θ ) = 1 − 2 sen θ 1.2) ( cos α + sen α )2 + ( cos α − sen α ) 2 = 2 1 − sen 2 x 1.3) = cos x 1.4) cos 2 ( θ ) − sen 2 ( θ ) = 2 cos 2 θ − 1 cos x 1 − tg 2 α cos 2 θ 1.5) = cos 2 α − sen 2 α 1.6) 1 − = sen θ 1 + tg α 2 1 + sen θ 1 cos 4 θ cos α 1 1.7) − cos θ = 2 1.8) tg α + = tg 2 θ sen 2 θ 1 + sen α cos α cos α 1 + sen α 2 1 sen α 1 1.9) + = 1.10) − + =0 1 + sen α cos α cos α tg α 1 − cos α sen α 2) Calcula:2.1) sen (240º ) − cos (150º ) + tg (330º ) 2.2) sen (300º ) + tg (225º ) − cos (210º ) ⎛ π ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞ cos ⎜ ⎟ sen ⎜ π ⎟ + cos ⎜ π ⎟ − tg ⎜ π⎟ ⎛ π ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎝ 6 ⎠2.3) ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 2.4) tg ⎜ ⎟ x cos ⎜ π⎟ + ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 11 ⎞ ⎜ 6 π⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 π π 7 5 7 ⎛ 7 ⎞2.5) sen π − 2 sen cos 2.6) sen π + cos π + cos π − tg ⎜ − π⎟ 3 3 3 4 4 2 ⎝ 4 ⎠ ⎛ 7 ⎞ 17 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 152.7) sen ⎜ − π ⎟ − sen π + cos ⎜ − π ⎟ + tg ⎜ π ⎟ + sen π ⎝ 6 ⎠ 6 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 6 3) Simplifica cada uma das seguintes expressões: 3.1) sen ( 2π − x ) + cos ( 2π − x ) + 2 tg ( 3π − x ) + 2 sen ( 3π − x ) 3.2) cos ( − x ) + 2 cos ( − 3π − x ) + sen ( − x ) − 3 cos ( π − x ) − sen ( 2π − x ) 3.3) tg ( − x + π ) − 2 sen ( π + x ) + 3 cos ( 5 π + x ) + 2 cos ( 4 π − x ) 3.4) sen (− x ) − 3 sen ( π − x ) + 3 cos ( − x ) + tg ( 2π − x ) 3.5) sen ( π − x ) + cos ( x + 4π ) + tg (− x + 7π ) + sen ( 6π − x ) + 3 sen ( − x ) 5 ⎛ ⎞ 3.6) cos ( x − 5π ) − cos ( 3π − x ) + sen ⎜ − π + x⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 3.7) sen ( x − 7 π ) + cos ⎜ π + x ⎟ − sen ⎜ π − x⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 3.8) sen ⎜ x − π ⎟ + cos ( 11π − x ) − cos ⎜ − π + x⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 1
  2. 2. ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 5 ⎞ 3.9) cos ⎜ x + ⎟ + cos ⎜ − x + ⎟ + tg ⎜ π + x ⎟ ⋅ tg ( π − x ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ cos ⎜ + x ⎟ + sen ( π − x ) ⎝ 2 ⎠ 3.10) ⎛ π ⎞ tg ⎜ −x ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ π ⎞ 3.11) sen ⎜ − x ⎟ + sen ⎜ π + x ⎟ + cos ⎜ x − ⎟ − sen ( − x ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎤ 3 ⎡4) Sabendo que cos α = − α∈⎥ π , π ⎢ , calcula: 5 ⎦ 2 ⎣ 4.1) sen α − cos α 4.2) tg α − sen α + cos 2 α 2 π 25) Considera o ângulo de amplitude α, tal que 0 < α < e sen ( π + α ) = − , 2 3 calcula: 5.1) sen α 5.2) cos (π − α ) + tg ( 3π + α ) − cos (π + α ) 3 46) Sabendo que sen α = e cos α = − , calcula: 5 5 6.1) sen ( 2π + α ) + cos ( π + α ) 1 6.2) 1 + cos (α + 5π ) 2 ⎛ 3 ⎞ 6.3) sen ⎜ α + π ⎟ + sen (12π − α ) ⎝ 2 ⎠ ⎛π ⎞ 37) Sabendo que sen ⎜ − α ⎟ = e 3π < α < 4π , calcula: ⎝2 ⎠ 5 7.1) cos ( x − 13π ) 2 7.2) sen x ⎛ 3 ⎞ 7.3) sen ⎜ x + π⎟ 7.4) tg ( 4 π − x ) ⎝ 2 ⎠ 2
  3. 3. 8) Sabendo que cos x < 0 e sen x = 3cos x , calcula: ⎛ π ⎞ 8.1) tg ⎜ x − ⎟ + sen ( 3π + x ) ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ 1 8.2) cos ⎜ − x + π⎟− ⎝ 2 ⎠ tg ( − x ) m +19) Sabendo que α ∈ 2º Q , determina m de modo que tenha sentido a expressão tg α = . m10) Determina os valores reais de m, de modo que tenham significado as expressões: m +1 m 10.1) 9 cos α = m 2 10.2) sen α = e cos α = 2 3 1 10.3) sen α = e tg α = − 2m 10.4) 2 sen α = m 2 + 1 311) Resolve cada uma das seguintes equações: 2 3 11.1) cos x = − 11.2) cos x = − 2 2 2 11.3) sen x = − 11.4) sen x = − 2 4 11.5) cos x = 3 11.6) 3 tg x = 3 ⎛ π ⎞ 11.7) tg x = − 3 11.8) sen ⎜ x + ⎟=0 ⎝ 3 ⎠ ⎛ π ⎞ 1 ⎛ π ⎞ 11.9) cos ⎜ 2 x − ⎟= 11.10) sen ⎜ 2 x + ⎟ +1 = 0 ⎝ 6 ⎠ 2 ⎝ 6 ⎠ ⎛ π ⎞ ⎛ x⎞ 11.11) tg ⎜ 2 x + ⎟= 0 11.12) cos ⎜ 48º + ⎟ − sen x − cos x = 0 2 2 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2⎠ π 11.13) 2 sen ( 2 x ) = sen 11.14) sen ( 5 x + 75º ) = sen 25º 2 ⎛ π ⎞ 11.15) tg ( 2 x ) = tg ⎜ −x ⎟ 11.16) sen x = − sen ( 2 x ) ⎝ 6 ⎠ π 11.17) cos ( 3 x ) = − cos 11.18) sen x = cos x 6 ⎛ x ⎞ ⎛ π ⎞ 11.19) cos ⎜ ⎟ = − cos ( 2 x ) 11.20) cos ⎜ x + ⎟ + sen ( 3x ) = 0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 11.21) 2 cos x sen x + sen 2 x + cos 2 x = 0 11.22) tg ⎜ ⎟ = 3 tg ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 11.23) 2 cos 2 x − 3cos x + 1 = 0 11.24) sen x − 4 sen x + 3 = 0 2 11.25) 1 − cos x = 2 sen x 11.26) sen x − 1 = 0 2 2 3
  4. 4. B12) Considera o triângulo [ABC]. Sabe-se que AB = 10 ; AC = 20 ⎤ π ⎡e α é a amplitude do ângulo BAC. Mostra que qualquer α ∈ ⎥ 0, ⎢, ⎦ 2 ⎣ a área do triângulo [ABC], em função de α é dada pela expressão: A (α ) = 100 sen α ( u.a.) α A C H13) Na figura estão representados um semicírculo de diâmetro [AB] e um triângulo [ABC]nele inscrito:Sabe-se que: • x é a amplitude do ângulo BAC • AB = 10 x 13.1) Prova que a área do triângulo [ABC] é dado pela expressão: A ( x ) = 50 sen x cos x, ∀ ⎤ π ⎡ x ∈⎥ 0, ⎦ 2 ⎢ ⎣ π 13.2) Calcula a área do triângulo [ABC] para x = 414) Considera a seguinte expressão ⎛ 14 ⎞ ⎛5 ⎞ 1 B (α ) = − sen ( 5 π − α ) + tg ⎜ π + α ⎟ − 2 cos ⎜ π − α ⎟ + ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ tg ⎜ − + α ⎟ ⎝ 2 ⎠ 14.1) Mostra que B (α ) = − 3 sen α ⎤ π π ⎡ 14.2) Sabendo que tg α = − 2 e α ∈ ⎥ − ⎦ 2 , 2 ⎣ ⎢ calcula o valor exacto da expressão B (α ) 14.3) Resolve, em , a condição B (α ) = 3cos ( − α )15) A figura ao lado representa um corte transversal de uma caleira θ 15.1) Mostra que a área da secção da caleira, em função de θ é dada 10 pela expressão A (θ ) =100 sen θ ( cos θ + 1) , ∀ ⎤ π ⎡ θ ∈⎥ 0, ⎢ ⎦ 2 ⎣ π 10 15.2) Calcula a área da secção da caleira para θ = 4 4
  5. 5. Soluções: 2) 3 3 2.1) − 2.2) 1 2.3) − 2.4) 1 3 3 1 2.5) 0 2.6) − 2 −1 − 3 2 3)3.1) sen x + coxx − 2 tg x 3.2) 2 cos x 3.3) − tg x + 2 sen x − cos x 3.4) − 4 sen x + 3cos x − tg x3.5) cos x − tg x − 3 sen x 3.6) − cos x 3.7) cos x 3.8) sen x 3.9) 1 3.10) 0 2 sen x 4) 1 79 4.1) − 4.2) 5 75 5) 2 5.1) 5.2) 1− 2 2 6) 7 25 1 6.1) 6.2) 5 41 5 7) 3 16 3 4 7.1) − 7.2) 7.3) − 7.4) 5 25 5 3 8) − 10 + 9 10 10 + 9 10 8.1) 8.2) 30 30 9) m∈ [ −1, 0] 10) − 9 ± 12 3 2 10.1) m∈ − 3,3 [ ] 10.2) 10.3) m = ± [ 10.4) m∈ − 1,1 ] 13 8 5
  6. 6. 11) 3 5 11.1) x=± π + 2 kπ , k ∈ 11.2) x=± π + 2 kπ , k ∈ 4 6 π 7 11.3) x=− + 2 kπ ∨ x = − π + 2 kπ , k ∈ 11.4) i ( x ) 6 6 π 11.5) i ( x ) 11.6) x= + kπ , k ∈ 6 π π 11.7) x=− + kπ , k ∈ 11.8) x=− + kπ , k ∈ 3 3 π 2π 11.9) x= + kπ , k ∈ 11.10) x= + kπ , k ∈ 4 3 π 11.11) x=− + kπ , k ∈ 11.12) x = − 96º + k 720º , k ∈ 8 π 5π 11.13) x= + kπ ∨ x = + kπ , k ∈ 11.14) x = −10º + k 72º ∨ x = − 16º + k 72º , k ∈ 12 12 π π 2 kπ 11.15) x= +k ,k∈ 11.16) x = − π + 2 kπ ∨ x = ,k∈ 18 3 3 5π 2 kπ π 11.17) x=± + ,k∈ 11.18) x= + kπ , k ∈ 18 3 4 2π 4 kπ 2π 4 kπ π 5π kπ 11.19) x= + ∨ x= + ,k∈ 11.20) x= − + kπ ∨ x = − + , k∈ 5 5 3 3 12 24 2 3π 11.21) x= + kπ , k ∈ 11.22) x = 3kπ ∨ x = π + 3kπ , k ∈ 4 π π 11.23) x = 2 kπ ∨ x = ± + 2 kπ , k ∈ 11.24) x= + 2 kπ , k ∈ 3 2 π 11.25) x = kπ , k ∈ 11.26) x= + kπ , k ∈ 212) ------------------------------13) 13.1) --------------- 13.2) 2514) 14.1) 14.2) π 14.3) α = − + kπ , k ∈ 415) 15.1) 15.2) 15.3) 50 + 50 2 6

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