Transformações geométricas no plano

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  • Estranho.Esse material é 'parecidíssimo' com aquele disponivel no site: Matematica do Cientifico e do Vestibular de autoria do professor Paulo Marques!!!!!!.Até a composição textual é 'muito semelhante' Creio que seria LOUVAVEL que o nome desse professor fosse ,pelo menos, citado.
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Transformações geométricas no plano

  1. 1. Transformações geométricas no plano• Transformações Afins na Reta I• Transformações Afins na Reta II• Transformações Afins na Reta III• Transformações Geométricas - Questões ResolvidasINVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILTransformações Afins na Reta I1 INTRODUÇÃOGenericamente, entenderemos por transformação afim na reta, aquela definidapela equaçãox = ax + b, onde a ≠ 0. Entre as transformações geométricas usuaisidentificamos a translação, a simetria e a homotetia, assuntos que serãodesenvolvidos aqui neste texto. Para o entendimento deste assunto, entretanto,é fundamental revisar o conceito de vetor, o que faremos agora, não obstanteser um assunto por demais visto nos cursos regulares de Física.Nota: consta que o termo AFIM, foi introduzido por Leonhard Euler, (grandematemático suíço - 1707/1783), o primeiro a estudar tópicos avançados daGeometria Afim, no século XVIII.2 VETOR Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectosbastante definidos:
  2. 2. • comprimento (denominado módulo) • direção • sentido (de A para B)Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientadosequipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentosorientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmosentido de AB.Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitossegmentos orientados que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante!Sendo u um vetor genérico, o representaremos pelo símbolo:3 TRANSLAÇÃO NA RETASeja r uma reta e u um vetor em r .Observe que o comprimento do vetor u é igual a 5 = 7 - 2, mas a sua medidaalgébrica é igual - 5 , já que o seu sentido é contrário ao sentido positivo dareta.Sendo P um ponto da reta de abcissa x, uma translação de vetor u na reta,levaria a um ponto P de abcissa x dado por x= x + u, onde u é a medidaalgébrica do vetor u.Observe que a translação é uma transformação afim do tipo definido no item 1acima, onde a = 1 e b = u.Exemplos:a) Qual o transformado do ponto de abcissa 3 por uma translação de vetor 5?Resposta: x = 3 + 5 = 8. Portanto, o ponto na reta de abcissa 8 é otransformado do ponto de abcissa 3, pela translação de vetor 5.b) Qual o transformado do ponto de abcissa 2 por uma translação de vetor -10?Resposta: x = 2 - 10 = -8.
  3. 3. c) Considere agora o segmento AB onde x A = 3 e x B = 7. Qual o transformadodo segmento AB por uma translação de vetor 2?Teríamos: xA = 3+2 = 5 e xB = 7+2 = 9. Portanto, o transformado do segmentoAB de abcissas 3 e 2 é o novo segmento AB de abcissas 5 e 9. Observe que ocomprimento do segmento AB(7 - 3 = 4) continuou inalterado no seu transformado AB cujo comprimento éigual a 9 - 5 = 4. A distancia entre os pontos A e B pois, foi conservada pelatranslação. Dizemos então que a TRANSLAÇÃO é uma transformaçãoISOMÉTRICA, ou seja, é uma transformação que conserva as distancias.3.1 - Composição de translaçõesSejam T1 e T2, duas translações de vetores u e v respectivamente:Temos: T1 = x + u e T2 = x + vA composição das translações T1 e T2 ( T1 o T2 ) resultaria:T1o T2 (x) = T1(T2(x)) = T1(x+v) = (x+v) + u = x + (u+v).Concluímos pois que a composição de duas translações resulta numa novatranslação, cujo vetor translação é a soma dos vetores translação de cada umadelas.Podemos concluir facilmente o que segue:a) a composição de translações, é uma nova translação, ou seja o conjunto dastranslações goza da propriedade de FECHAMENTO para a operação "o" -chamada composição.b) a composição de translações goza da propriedade associativa, ou seja:T1o(T2 o T3) = (T1 o T2)o T3c) Se considerarmos uma translação de vetor nulo, ou seja a translação queleva um ponto em si mesmo, teremos x = x + 0 = 0 + x = x, ou seja, sendo Toesta translação de vetor nulo, podemos concluir que To To = T e, portanto, acomposição de translações goza da propriedade da existência do ELEMENTONEUTRO.d) É também fácil demonstrar que a composição de translações goza dapropriedade comutativa, ou seja, T1oT2 = T2 o T1.e) Para toda translação de vetor u podemos considerar outra translação devetor - u, tal que a composição delas seja igual a uma translação de vetor nulo.Seja T1 = x+u e T2 = x - u.É óbvio que T1 o T2 = T2 o T1 = x = x+0 (translação de vetor nulo).Dizemos então que a composição de translações goza da propriedade daexistência do ELEMENTO SIMÉTRICO (ou ELEMENTO INVERSO).Portanto, como o conjunto das translações na reta goza das propriedadesASSOCIATIVA, FECHAMENTO, ELEMENTO NEUTRO e EXISTÊNCIA DOINVERSO (propriedades b, a, c e e respectivamente), dizemos que o conjunto
  4. 4. das translações na reta tem estrutura de GRUPO em relação à operaçãocomposição ("o").Como além das propriedades acima, ainda é válida a operação comutativa(item d acima ) dizemos que o GRUPO é COMUTATIVO ou ABELIANO.Observação: Abeliano em homenagem a Abel (Niels Henri Abel , matemáticonorueguês que nasceu em 05/08/1802 e faleceu em 06/04/1829, vitimado pelatuberculose, aos 27 anos!).INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILTransformações Afins na Reta IIVimos na Parte I, o conceito de translação que é um dos tipos detransformação afim na reta. Veremos a seguir, os conceitos de SIMETRIACENTRAL e de HOMOTETIA na reta, sendo aconselhável, entretanto que vocêfaça uma revisão da Parte I já publicada neste site, para efeito de fixação deconceitos.1 - Simetria centralSeja C um ponto fixo de uma reta r. A transformação geométrica que a cadaponto de P∈ r associa um outro ponto P ∈ r tal que P - A = A - P , é umasimetria de centro C. Sendo x a abcissa de P, c a abcissa do centro desimetria C e x a abcissa do ponto P, conforme figura abaixo, poderemosescrever:P - C = C - P ou em termos de suas abscissas: x - c = c - x , donde concluímosa fórmula fundamental da simetria central: x = 2c - xPor exemplo, se P é um ponto de abcissa x = 10, então o transformado de Ppor uma simetria de centro no ponto C de abcissa c = 4 será o ponto P deabcissa x dada por x=2.4 - 10 = -2, ou seja -2 é o transformado do ponto 10pela simetria de centro 4.
  5. 5. Como vimos na parte I, as transformações afins na reta são descritas de umaforma genérica por uma equação do 1º grau da forma x= ax+b. Comparandocom a equação da simetria (x = 2c - x), concluímos que neste caso, comotambém podemos escrever x= -x + 2c, teremos então a = -1 e b = 2c.NOTA: Na fórmula da simetria, sendo c = 0, obteremos x = - x, ou seja, - x é osimétrico de x em relação à origem (abcissa nula).1.1 - Composição de duas simetrias centraisSejam as simetrias S1 e S2 definidas respectivamente pelas suas equaçõesgenéricasx = S1(x) = 2c1 - x e x = S2 (x)= 2c2 - x.Vamos determinar a simetria composta S1 o S2.Teremos:S1 o S2 (x) = S1[S2(x)] = S1[2c2 - x] = 2c1 - (2c2 - x) = x + 2(c1 - c2)Observe que x+2(c1-c2) é do tipo x + u onde u = 2(c1- c2), que é a fórmula datranslação e portanto, concluímos que a composição de duas simetrias resultanuma translação.Exercício resolvido:UFBA-72) A composição das simetrias s e s1, de centros -1/2 e 3/2,respectivamente, é:a) uma translação de vetor 2b) uma translação de vetor 4c) uma translação de vetor - 4d) uma simetria de centro 4e) nenhuma das alternativas anteriores é válidaSOLUÇÃO:Temos:s(x) = 2(-1/2) - x = -1 - xs1(x) = 2(3/2) - x = 3 - xVem então: sos1(x) = s[s1(x)]=s[3-x]= -1 - (3-x) = x - 4, portanto uma translaçãode vetor -4.Vamos agora determinar a transformação composta s1os. Vem:s1os(x) = s1[s(x)]=s1[-1- x]=3-(-1 - x)= x + 4, portanto uma translação de vetor 4.Observe aqui a sutileza da interpretação das respostas. Como o problemasolicitou a composição de s com s1 nessa ordem, isto significa que ele quer ocálculo de s1os e não sos1! Lembre-se do curso de funções que quandosolicitamos determinar a composição da função f com a função g, na verdade osímbolo correto é gof. Assim, concluímos pois, que a alternativa correta é aletra B. Perceberam?NOTA: do exercício anterior, concluímos que a composição de simetrias não éuma operação comutativa, pois sos1 ≠ s1os.Como a composição de duas simetrias não é outra simetria e sim uma
  6. 6. translação, concluímos também que o conjunto das simetrias não goza dapropriedade de FECHAMENTO em relação à operação "composição".Exercícios1 - Prove que a composição da simetria de centro c ,S(x) = 2c - x com atranslação de vetor u, T(x) = x + u, é uma simetria de centro c + u/2.SOLUÇÃO:Observe que pelo enunciado, devemos determinar ToS (e não SoT).Portanto:ToS(x) = T[2c - x] = (2c - x) + u = 2c + u - x = 2[c + u/2] - x e portanto umasimetria de centro c+u/2, como queríamos demonstrar - c.q.d.2 - Agora prove você mesmo que a composição de uma translação de vetor u,T(x) = x+u com a simetria de centro c, S(x) = 2c - x, é uma simetria de centrono ponto de abcissa c - u/2.Sugestão: observe que agora você terá que calcular SoT.Observe também que SoT ≠ ToS, o que nos indica que a operação não écomutativa.3 - Prove que a inversa de uma simetria é a própria simetria.SOLUÇÃO:Seja a simetria S(x) = 2c - x. Vamos obter a sua inversa, ou seja, S-1.Temos: S(x) = x= 2c - x, que é a fórmula fundamental da simetria na reta.Logo, para determinar a sua inversa, lembrando do curso de funções já vistonesta home page, basta permutar as variáveis x e x. Logo:x= 2c - x ∴ permutando x por x e vice versa vem:x = 2c - x ⇒ x + x = 2c de onde concluímos que x = 2c - x, que é a própriasimetria.INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILTransformações Afins na Reta IIIJá analisamos a translação e a simetria central na reta. Agora é a vez daHOMOTETIA, uma transformação afim na reta de grande importância.Antes, entretanto, vamos falar de ponto fixo ou ponto invariante de uma
  7. 7. transformação geométrica.Já sabemos que as transformações geométricas na reta são definidas de umaforma genérica por uma equação do 1º grau do tipo x = ax + b, com a ≠ 0,onde x é a abcissa do transformado do ponto de abcissa x.Diz-se que x é um PONTO FIXO (ou PONTO INVARIANTE) de umatransformação geométrica na reta, se o transformado do ponto x é o próprioponto x, ou seja, x = x.Nestas condições, sendo x = ax + b, fazendo x = x, vem:x = ax + b ∴ x - ax = b ∴ x(1 - a) = b ∴ x = b / (1 - a), para a ≠ 1.Exemplo:Seja a transformação T definida por x = 3x + 18. Qual o ponto fixo dessatransformação?Ora, fazendo x = x , vem: x = 3x + 18 de onde conclui-se que x = - 9.Realmente, se determinarmos T(-9) obteremos:T(-9) = 3(-9) + 18 = -9, ou seja: o transformado do ponto de abcissa -9 pelatransformação T é o próprio ponto.Exercício Resolvido:UFBA - 73O ponto fixo da transformação afim que a x faz corresponder x = 3x - 5 é:a) 5/3b) -5/3c) -5/2d) 5/2e) nenhuma das alternativas anterioresSOLUÇÃO:Pela definição conhecida, temos:x = 3x - 5 ∴ x - 3x = -5 ∴ -2x = -5 ∴ x = -5 / -2 = 5/2. Logo, alternativa D.HOMOTETIA NA RETAO termo homotetia segundo o Novo Dicionário Brasileiro de Melhoramentos, 7ªedição, é também conhecido como homotesia e definido como "relação entreduas séries de pontos, tal que os de cada uma estão dois a dois em linha retacom um centro comum e separados destes por distancias de razão constante".Complicado, não é? Vamos simplificar as coisas, usando a linguagemmatemática?Vamos lá!Consideremos uma reta r e um ponto P ∈ r. Seja C ∈ r um ponto denominadocentro da homotetia. Consideremos ainda um número real k ≠ 0, denominadorazão da homotetia. Entenderemos como HOMOTETIA, a transformaçãogeométrica H que transforma o ponto P num ponto P da reta r tal que:P - C = k (P - C)Sendo x, c e x as abscissas dos pontos P , C e P respectivamente, podemosentão escrever:x - c = k(x - c) ∴ x = kx - kc + c = kx + c(1 - k).
  8. 8. Portanto, x= kx + c(1 - k) é a equação geral de uma homotetia na reta, decentro c e razão k .Vamos analisar a equação da homotetia:a) centro na origem: c = 0Substituindo na equação acima c = 0 vem: x = kx e temos nesse caso umahomotetia dita LINEAR.b) razão da homotetia igual a 1 (k = 1)Neste caso, teremos x = x e temos nesse caso que a homotetia é umatransformação INVARIANTE ou seja, todo ponto é transformado em si mesmo.c) razão da homotetia igual a (-1) (k = - 1)Substituindo na equação geral da homotetia, teremos x= (-1).x + c[1 - (-1)]Logo, nesse caso, x = 2c - x , que como sabemos da aula anterior, trata-se dafórmula da simetria.Então, as homotetias de razão igual a (- 1), são simetrias.Podemos então generalizar que as simetrias são simplesmente homotetias derazão igual a menos um.EXEMPLOS:1 - Qual o transformado do ponto de abscissa 5 por uma homotetia de centro10 e razão 2?SOLUÇÃO:Teremos: x= kx + c(1 - k) = 2.5 + 10(1 - 2) = 0.Resp: a homotetia transforma o ponto de abscissa 5 no ponto de abscissa 0.2 - Qual o centro e a razão da homotetia definida por x = 10x - 30?SOLUÇÃO:Vamos comparar a equação dada, com a equação geral das homotetias.Temos:x = kx + (1 - k)c = 10x - 30Para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter:k = 10 e (1 - k)c = - 30Substituindo o valor de k=10, vem: -9c = - 30 e portanto c =(-30)/(-9) = 10/3.Resposta: razão 10 e centro 10/3.3 - Qual o ponto invariante (ou ponto fixo) de uma homotetia definida pela suaequação geralx = kx + (1 - k)c ?SOLUÇÃO:Como já sabemos, deveremos ter x=x. Logo, x = kx + (1 - k)cx - kx = (1 - k)c ∴ x(1 - k) = (1 - k)c.Temos então:1º caso: k = 1 ⇒ a igualdade é verdadeira para todo valor de x e isto significaque todo ponto é invariante.
  9. 9. 2º caso: k ≠ 1 ⇒ x = c e, neste caso, concluímos que só existe um ponto fixo ouinvariante que é o centro da homotetia.NOTA: Dada a homotetia x = mx + n, podemos concluir que a razão dahomotetia é igual a m(k = m).Considerando-se que o centro c da homotetia é um ponto fixo (ou invariante),para determinar o centro da homotetia, basta fazer x = c.Exemplo:Qual a razão e o centro da homotetia definida pela equação x = 5x - 40?SOLUÇÃO:A. razão da homotetia = 5B. para determinar o centro, basta fazer x = x. Logo, x = 5x - 40 ∴ x = 10.Portanto, a expressão dada é uma homotetia de razão k = 5 e centro no pontoda reta, de abcissa c = 10.INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILTransformações Geométricas - Questões Resolvidas1. UFBA.76 - Sejam A = {-5/2, -5, 1/3, 17/6} e B o conjunto das imagens doselementos de A pela composição das translações de vetores -3 e 1/2; então A∩B é:A) {1/3, -5}B) {1/3, 17/6}C) {5/2, -1/3, 17/6}D) {-5/2, 1/3, -5}E) {-5, 17/6, 1/3}SOLUÇÃO:Sabemos das aulas anteriores, que a composição de duas translações devetores u e v, é uma nova translação de vetor u+v. Logo, a translaçãocomposta será de vetor igual a-3+1/2 = -6/2 + 1/2 = -5/2. Portanto, a translação composta será: T(x) = x - 5/2.Teremos então, para os elementos x∈ A:Para x = -5/2 : T(-5/2) = -5/2 -5/2 = -10/2 = -5Para x = -5 : T(-5) = -5 - 5/2 = -10/2 - 5/2 = -15/2
  10. 10. Para x = 1/3: T(1/3) = 1/3 - 5/2 = 2/6 - 15/6 = -13/6Para x = 17/6 : T(17/6) = 17/6 - 5/2 = 17/6 - 15/6 = 2/6 = 1/3Logo, o conjunto imagem B é igual a : B = {-5, -15/2, -13/6, 1/3}Mas o problema pede A∩ B. Logo,A∩ B = {-5/2, -5, 1/3, 17/6} ∩ { -5, -15/2, -13/6, 1/3} = { -5, 1/3 } = { 1/3, -5} eportanto a alternativa correta é a letra A.2 UFBA.76 - Dois vértices não consecutivos de um quadrado são (3,5) e(2, -1/2); as coordenadas do centro de simetria desse quadrado são:A) (5, 9/2)B) (5, 9/4)C) (5, 11/4)D) (5/2, 9/2)E) (5/2, 9/4)SOLUÇÃO:Seja o quadrado da figura abaixo:É óbvio que o centro de simetria do quadrado é o ponto de interseção dasdiagonais AD e CB. Logo, o centro de simetria é o ponto médio do segmentoCB que é uma das diagonais do quadrado ABDC. Já sabemos da GeometriaAnalítica (veja nesta página), que o ponto médio de um segmento é um pontocujas coordenadas são as médias aritméticas das abcissas e das ordenadas.Logo, o ponto médio, que neste caso é o centro de simetria do quadrado, serádado por:ABCISSA = (2+3)/2 = 5/2ORDENADA = (-1/2 + 5) / 2 = (9/2)/2 = 9/4.Logo, o centro de simetria do quadrado é o ponto S(5/2, 9/4) e portanto, aalternativa correta é a letra E.3 A translação T no plano, leva o ponto A(-2,3) no ponto B(4,6). Qual otransformado de P(2, -3) pela translação T?SOLUÇÃO:Teremos: T(x,y) = (x,y) + (a,b) onde (a,b) é o vetor translação no plano. Logo,como T(-2,3) = (4,6) [dado do problema], vem:(4,6) = (-2,3) + (a,b) ⇒ (a,b) = (4,6) - (-2,3) = (4+2, 6-3) = (6,3)Portanto, sendo (6,3) o vetor translação, o transformado do ponto (2,-3) será:T(2,-3) = (2,-3) + (6,3) = (2+6, -3+3) = (8, 0).Resp: o transformado do ponto (2, -3) pela translação T é o ponto (8, 0).
  11. 11. NOTA: Para resolver problemas de transformações geométricas no plano(simetrias, translações ou homotetias), basta usar as mesmas fórmulas datransformação na reta, efetuando as mesmas operações, com os paresordenados. Para isto, basta considerar que, dados dois pares ordenados (x, y)e (w, z), são válidas as três seguintes propriedades:P1) (x,y) + (w,z) = (x + y, w + z)P2) (x,y) - (w,z) = (x - y, w - z)P3) Sendo k∈ R , é válido que k.(x, y) = (kx, ky)4 Qual o transformado do ponto P(2,3) pela homotetia no plano de centroC(1,5) e de razão 4?SOLUÇÃO:Usando a fórmula da homotetia vista na aula anterior, adaptando-a para o casode pares ordenados, vem:(x, y) = [1- k].(c1, c2) + k.(x, y)(x, y) = [1- 4].(1,5) + 4.(2,3) = -3.(1,5) + 4.(2,3) = (-3, -15) + (8, 12)(x, y) = (-3+8, -15+12) = (5, -3)Portanto, o homotético do ponto P(2,3) pela homotetia de centro (1,5) e razão 4é o ponto (5, -3).5 Qual o simétrico do ponto P(3, 5) pela simetria de centro C(1,4)?SOLUÇÃO:Usando a fórmula da simetria vista em uma aula anterior, adaptando-a para ocaso de pares ordenados, vem:(x, y) = 2(c1,c2) - (x,y)(x, y) = 2(1,4) - (3,5) = (2,8) - (3,5) = (2-3, 8-5) = (-1, 3).Resposta: (-1, 3)6 Prove que o simétrico do ponto P(x, y) em relação à origem (0, 0) do sistemade eixos coordenados é o ponto (-x, -y).SOLUÇÃO:Usando a fórmula de simetria vista acima, vem:(x, y) = 2.(0, 0) - (x, y)(x, y) = (0, 0) - (x, y)(x, y) = (0-x, 0-y) = (-x, -y) , como queríamos demonstrar (c.q.d)Ex: o simétrico do ponto P(-2,3) em relação à origem é o ponto (2, -3).7 UFBA.72 - Seja (Oij) um sistema de referencia. Os pontos M = O + 3i + 2j,N = O + i + j e P = O + i são os transformados dos vértices M = O + 7i + 4j,N = O + i + j e P = O + i - 2j de um triângulo por:a) uma simetria de centro Nb) uma translação de vetor 4i+2jc) uma homotetia de centro N e razão 1/3
  12. 12. d) uma homotetia de centro O e razão 1/3e) nenhuma das respostas anteriores é válidaSOLUÇÃO:Aqui neste problema aparece uma nova notação para pontos no plano, queentretanto é fácil de assimilar. Vamos explicar:O = origem do sistema de coordenadas cartesianas = (0, 0)i = vetor de módulo 1, no eixo dos x.j = vetor de módulo 1, no eixo dos yAssim, o ponto P = O + xi + yj é o mesmo que o ponto P(x, y). Simples, não é?Exemplos:P = O + 2i + 3j = (2,3)Q = O + 2i - 3j = (2, -3)R = O - 3j = (0, -3)S = O + i = (1, 0), e assim sucessivamente.Face ao exposto, podemos escrever os pontos dados no enunciado doproblema, na forma usual de pares ordenados, conforme segue:M(3,2) N(1,1) P(1, 0) M(7, 4) N(1, 1) P(1, -2)Este é o tipo de problema no qual temos de testar todas as alternativas.Testei as alternativas e para economizar espaço, vou apenas demonstrar que aalternativa correta é a letra C.Vejamos:A fórmula da homotetia no plano é, como já vimos:(x, y) = [1 - k] . (c1, c2) + k. (x, y) onde k = razão da homotetia e (c1, c2) é ocentro da homotetia.A alternativa C fala numa homotetia de centro N(1,1) e razão k = 1/3.Temos, então:(x, y) = [1-1/3].(1,1) + 1/3(7,4) = 2/3(1,1) + 1/3(7,4) = (2/3, 2/3) + (7/3, 4/3)(x, y) = (2/3+7/3, 2/3+4/3) = (3, 2) = M (CONFORME ENUNCIADO DAALTERNATIVA C).Analogamente, obteríamos os pontos N e P, partindo dos pontos N e P pelahomotetia de centro N(1, 1) e razão 1/3.O ENTENDIMENTO DESTE PROBLEMA REQUER BASTANTE ATENÇÃO.FAÇA OS CÁLCULOS SUGERIDOS PARA UM PERFEITO ENTENDIMENTO!NÃO DESANIME! MATEMÁTICA É INSPIRAÇÃO, MAS TAMBÉMTRANSPIRAÇÃO! GASTE UM POUCO DE ENERGIA, QUE VALE A PENA!INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL

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