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Numeros complexos aula

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Numeros complexos aula

  1. 1. Números complexos: aula
  2. 2. Números complexos na forma trigonométricaO número complexo z = a + bi pode ser representa do pelo parordenado (a, b ) e plotado como um ponto num plano.Esse ponto pode ser representado em coordenadas polares (r , θ )com r ≥ 0. Podemos concluir que a = r cosθ e b = r senθ .
  3. 3. Números complexos na forma trigonométricaz = a + bi = r cos θ + (r senθ )i Observação: o ângulo θ é o argumento de z. Notez = r (cos θ + i sen θ ) que o argumento não é único. Quaisquer dois argumentos de z bem que r =| z |= a 2 + b 2 e tgθ = . diferem entre si por um múltiplo a inteiro de 2π.
  4. 4. Números complexos na forma trigonométrica MultiplicaçãoSejam z1 = r1(cos θ1 + i senθ1 ) e z2 = r2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ).Então z1z2 = r1r2 (cos θ1 + i senθ1 )(cos θ 2 + i sen θ 2 ). Portanto :z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 + i 2 senθ1 sen θ 2 )z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 )z1z2 = r1r2 [(cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 ) + i (senθ1 cos θ 2 + cos θ1 senθ 2 )]Usando as fórmulas de adição para seno e cosseno, temos :z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )]
  5. 5. Números complexos na forma trigonométrica Multiplicação Observação:z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )] para multiplicar dois números complexos multiplicamos os seus módulos e somamos os seus argumentos.
  6. 6. Números complexos na forma trigonométrica MultiplicaçãoUsando repetidas vezes a fórmula de multiplica ção para um mesmonúmero complexo z, obtemos :z = r (cos θ + i sen θ )z 2 = r 2 (cos 2θ + i sen 2θ )z 3 = z 2 z = r 3 (cos 3θ + i sen 3θ )Para n inteiro positivo, obtemos o seguinte resultado conhecido comoTeorema de De Moivre : z n = r n (cos nθ + i sen nθ )Para elevar à n - ésima potência um número complexo elevamos àn - ésima potência o seu módulo e multiplicamos o seu argumento por n.
  7. 7. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos1 – Ache o produto dos números complexos 1 + i e 3 − i .Resolução:  π π   π  π 1 + i = 2  cos + i sen  e 3 − i = 2cos −  + i sen −   4 4   6  6   π π   π π (1 + i )( 3 − i ) = 2 2 cos −  + i sen −   4 6  4 6   π π (1 + i )( 3 − i ) = 2 2  cos + i sen   12 12 
  8. 8. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos  π π  π π2 – Ache z1z2 sendo z1 = 2 cos + i sen  e z2 = 3 cos + i sen  .  4 4  2 2Resolução:  π π   π π z1z2 = 6 cos +  + i sen +   4 2  4 2   3π 3π z1z2 = 6 cos + i sen   4 4 
  9. 9. Números complexos na forma trigonométrica RadiciaçãoO Teorema de De Moivre também pode ser usado para encontrar asn - ésimas raízes de números complexos. Uma n - ésima raiz de umnúmero complexo z é um número complexo w tal que w n = z.Escrevendo esses dois números na forma trigonomét rica comow = s(cos φ + i sen φ ) e z = r (cos θ + i sen θ ), temoss n [cos(nφ ) + i sen(nφ )] = r (cos θ + i senθ ). Portanto :s = r ⇔ s = r , cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = sen θ . 1 n n
  10. 10. Números complexos na forma trigonométrica RadiciaçãoTemos que cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = senθ .Como o período das funções seno e cosseno é 2π ⇒ nφ = θ + 2kπ ⇔ θ + 2kπ 1   θ + 2kπ   θ + 2kπ ⇔φ = , portanto w = r n cos  + i sen . n   n   n Note que w assume um valor diferente para cada k = 0, 1,..., n − 1.Concluímos que :Seja z = r (cos θ + i sen θ ) e n um inteiro positivo, então z tem as n 1   θ + 2kπ   θ + 2kπ raízes distintas w k = r n cos  + i sen  em que   n   n k = 0, 1, 2,..., n − 1.
  11. 11. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos1 – Determine as raízes cúbicas de − i .Resolução: 0 −1z = −i ⇒| z |= 0 2 + ( −1)2 = 1 = 1 e cos θ = = 0, sen θ = = −1 1 1 3πComo 0 ≤ θ < 2π ⇒ θ = . Portanto : 2 3π 3πz = cos + i sen 2 2
  12. 12. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidosComo n = 3 ⇒ k = 0, 1 ou 2. Portanto :  3π   3π   2  + i sen 2  = cos π + i sen πk = 0 ⇒ w 0 = cos  3   3    2 2      3π + 2π   3π k = 1 ⇒ w 1 = cos 2  + i sen 2 + 2π  = cos 7π + i sen 7π = − 3 + i  − 1         3   3  6 6 2  2      3π + 4π   3π k = 2 ⇒ w 2 = cos 2  + i sen 2 + 4π  = cos 11π + i sen 11π = 3 + i  − 1         3   3  6 6 2  2    
  13. 13. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios propostos 10 1 i 1 - Ache  +  . 2 22 - Determine zw sendo z = 3 + i e w = 1 + i 3.3 - Determine as raízes quartas de − i .4 - Determine as raízes quadradas de 1 − i .5 - (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais quec = (a + bi )2 − 14i , o valor de c é :a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7

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