Matematica utfpr

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Matematica utfpr

  1. 1. APOSTILA Matemática AplicadaUniversidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Lauro César Galvão
  2. 2. ii Índices1 SISTEMATIZAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...............................................1-1 1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................................................................1-1 1.1.1 Conjunto dos números naturais...................................................................................................1-1 1.1.2 Conjunto dos números inteiros....................................................................................................1-1 1.1.3 Conjunto dos números racionais.................................................................................................1-1 1.1.4 Conjunto dos números irracionais..............................................................................................1-3 1.1.5 Conjunto dos números reais.........................................................................................................1-4 1.2 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.......................................................................................................1-4 1.2.1 Noções primitivas...........................................................................................................................1-4 1.2.2 Igualdade de conjuntos.................................................................................................................1-5 1.2.3 Subconjuntos...................................................................................................................................1-5 1.2.4 União de conjuntos........................................................................................................................1-5 1.2.5 Intersecção de conjuntos...............................................................................................................1-6 1.2.6 Diferença de conjuntos..................................................................................................................1-6 1.3 INTERVALOS ....................................................................................................................................1-7 1.3.1 Operações com intervalos............................................................................................................1-82 FUNÇÕES ................................................................................................................................... 2-10 2.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO ........................................................................................2-10 2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO................................................................................................................2-11 2.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO..................................................................................................................2-13 2.4 DOMÍNIO , CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO.......................................................2-13 2.5 FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14 2.6 FUNÇÃO INVERSA ..........................................................................................................................2-16 2.6.1 Determinação da função inversa.............................................................................................. 2-163 FUNÇÃO POLINOMIAL ...................................................................................................... 3-18 3.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU .............................................................................................3-18 3.1.1 Função linear............................................................................................................................... 3-18 3.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau....................................................................... 3-18 3.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico................................................................. 3-19 3.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau................................ 3-20 3.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................................. 3-21 3.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU ............................................................................................................3-22 3.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ....................................................................................... 3-23 3.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau.......................................................................................... 3-23 3.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-24 3.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU .............................................................................................3-26 3.3.1 Gráfico de uma função quadrática .......................................................................................... 3-26 3.3.2 Concavidade................................................................................................................................. 3-26 3.3.3 Zeros de uma função quadrática.............................................................................................. 3-27 3.3.4 Vértice da parábola .................................................................................................................... 3-27 3.3.5 Gráfico de uma parábola........................................................................................................... 3-28 3.3.6 Estudo do sinal da função quadrática..................................................................................... 3-28 3.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU ............................................................................................................3-29 3.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ....................................................................................... 3-29 3.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau.......................................................................................... 3-30 3.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente ............................................................................ 3-314 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 4-34 4.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO .........................................................................................................4-34 4.1.1 Potências com expoente natural............................................................................................... 4-34 4.1.2 Potências com expoente inteiro................................................................................................ 4-34 4.1.3 Potências com expoente racional............................................................................................. 4-34 4.1.4 Potências com expoente real..................................................................................................... 4-34 4.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS...........................................................................................................4-35 4.2.1 Resolução de equações exponenciais...................................................................................... 4-36 4.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios............................................. 4-37 4.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................................4-37
  3. 3. iii 4.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano............................................................ 4-38 4.3.2 Características da função exponencial ................................................................................... 4-39 4.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................4-39 4.4.1 Resolução de inequações exponenciais................................................................................... 4-395 FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................... 5-41 5.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO .........................................................................................................5-41 5.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO.................................................................................................5-41 5.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS..............................................................................................5-42 5.4 COLOGARITMO..............................................................................................................................5-42 5.5 M UDANÇA DE BASE ......................................................................................................................5-43 5.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................................5-44 5.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano............................................................. 5-44 5.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ......................................................................................................5-456 TRIGONOMETRIA ................................................................................................................ 6-47 6.1 TRIÂNGULO RETÂNGULO.............................................................................................................6-47 6.2 RELAÇÕES MÉTRICAS NO T RIÂNGULO RETÂNGULO .................................................................6-47 6.3 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .....................................................6-49 6.4 CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES.............................................................................................6-50 6.4.1 Ângulos complementares........................................................................................................... 6-51 6.4.2 Divisão.......................................................................................................................................... 6-51 6.4.3 Aplicando o teorema de Pitágoras........................................................................................... 6-51 6.5 Â NGULOS NOTÁVEIS.....................................................................................................................6-52 6.6 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA OU CICLO TRIGONOMÉTRICO ......................................6-54 6.6.1 Arco de circunferência............................................................................................................... 6-54 6.6.2 Medidas de arcos........................................................................................................................ 6-54 6.6.3 Ciclo trigonométrico................................................................................................................... 6-56 6.6.4 Arcos côngruos............................................................................................................................ 6-57 6.7 SENO E COSSENO DE UM ARCO....................................................................................................6-59 6.7.1 Conseqüências............................................................................................................................. 6-59 6.7.2 Função seno e função cosseno.................................................................................................. 6-59 6.7.3 Gráfico das funções seno e cosseno......................................................................................... 6-60 6.8 TANGENTE DE UM ARCO ..............................................................................................................6-62 6.8.1 Conseqüências............................................................................................................................. 6-62 6.8.2 Função tangente.......................................................................................................................... 6-62 6.8.3 Gráfico da função tangente....................................................................................................... 6-62 6.9 COTANGENTE DE UM ARCO .........................................................................................................6-63 6.9.1 Conseqüências............................................................................................................................. 6-64 6.9.2 Função cotangente...................................................................................................................... 6-64 6.9.3 Gráfico da função cotangente................................................................................................... 6-64 6.10 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO.......................................................................................6-64 6.10.1 Função secante e cossecante..................................................................................................... 6-65 6.10.2 Gráfico da função secante......................................................................................................... 6-65 6.10.3 Gráfico da função cossecante................................................................................................... 6-66 6.11 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...................................................................................................6-67 6.11.1 Usando o teorema de Pitágoras............................................................................................... 6-67 6.11.2 Usando semelhança entre triângulos...................................................................................... 6-68 6.12 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS..............................................................................................6-69 6.12.1 Processo para demonstrar identidades................................................................................... 6-697 MATRIZES ................................................................................................................................ 7-72 7.1 CONCEITO DE MATRIZ ..................................................................................................................7-72 7.1.1 Algumas matrizes especiais....................................................................................................... 7-73 7.2 M ATRIZ QUADRADA .....................................................................................................................7-73 7.2.1 Matriz identidade........................................................................................................................ 7-73 7.2.2 Matriz diagonal ........................................................................................................................... 7-74 7.2.3 Matriz oposta ............................................................................................................................... 7-74 7.3 IGUALDADE DE MATRIZES ...........................................................................................................7-74 7.3.1 Matriz transposta ........................................................................................................................ 7-75 7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES........................................................................................................7-75 7.4.1 Adição de matrizes...................................................................................................................... 7-75 7.4.2 Subtração de matrizes................................................................................................................ 7-75
  4. 4. iv 7.4.3 Produto de um número real por uma matriz.......................................................................... 7-76 7.4.4 Produto de matrizes.................................................................................................................... 7-77 7.4.5 Matriz inversa.............................................................................................................................. 7-788 DETERMINANTES ................................................................................................................. 8-80 8.1 DETERMINANTE DE 1A ORDEM ....................................................................................................8-80 8.2 DETERMINANTE DE 2A ORDEM ....................................................................................................8-80 8.3 DETERMINANTE DE 3A ORDEM ....................................................................................................8-81 8.3.1 Regra de Sarrus........................................................................................................................... 8-81 8.4 DETERMINANTE DE ORDEM MAIOR QUE 3.................................................................................8-82 8.4.1 Menor complementar.................................................................................................................. 8-82 8.4.2 Cofator ou complemento algébrico.......................................................................................... 8-82 8.4.3 Conclusões ................................................................................................................................... 8-83 8.4.4 Teorema de Laplace ................................................................................................................... 8-84 8.4.5 Teorema de Binet ........................................................................................................................ 8-86 8.4.6 Determinante da matriz inversa ............................................................................................... 8-869 SISTEMAS LINEARES .......................................................................................................... 9-88 9.1 EQUAÇÃO LINEAR .........................................................................................................................9-88 9.1.1 Solução de uma equação linear................................................................................................ 9-88 9.2 SISTEMA LINEAR ...........................................................................................................................9-89 9.2.1 Sistemas lineares equivalentes.................................................................................................. 9-90 9.3 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ..................................................................................9-91 9.4 M ATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR.......................................................................9-91 9.4.1 Forma matricial do sistema linear........................................................................................... 9-91 9.5 REGRA DE CRAMER......................................................................................................................9-92 9.6 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO................................................9-9410 GEOMETRIA ..........................................................................................................................10-99 10.1 POLÍGONOS ..................................................................................................................................10-99 10.1.1 Polígonos regulares..................................................................................................................10-99 10.1.2 Área do triângulo......................................................................................................................10-99 10.1.3 Área do paralelogramo..........................................................................................................10-103 10.1.4 Área dos paralelogramos notáveis.......................................................................................10-103 10.1.5 Área do trapézio......................................................................................................................10-104 10.1.6 Área e comprimento de um círculo......................................................................................10-106 10.1.7 Área da coroa circular...........................................................................................................10-106 10.1.8 Área do setor circular............................................................................................................10-107 10.1.9 Área do segmento circular....................................................................................................10-107 10.2 GEOMETRIA ESPACIAL............................................................................................................. 10-109 10.2.1 Poliedros...................................................................................................................................10-109 10.2.2 Poliedros regulares.................................................................................................................10-111 10.2.3 Prismas .....................................................................................................................................10-114 10.2.4 Pirâmides..................................................................................................................................10-121 10.2.5 Tronco de pirâmide.................................................................................................................10-123 10.2.6 Cilindros...................................................................................................................................10-128 10.2.7 Cones.........................................................................................................................................10-131 10.2.8 Tronco de cone ........................................................................................................................10-133 10.2.9 Esferas.......................................................................................................................................10-13711 GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETAS .......................................................11-143 11.1 SEGMENTO DE RETA ................................................................................................................ 11-143 11.2 SEGMENTO ORIENTADO........................................................................................................... 11-143 11.2.1 Eixo............................................................................................................................................11-143 11.3 M EDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO ORIENTADO.......................................................... 11-143 11.3.1 Abscissa de um ponto.............................................................................................................11-144 11.3.2 Ponto médio .............................................................................................................................11-145 11.4 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ......................................................................... 11-145 11.4.1 Distância entre dois pontos...................................................................................................11-147 11.4.2 Área de um triângulo..............................................................................................................11-147 11.4.3 Condição de alinhamento de três pontos............................................................................11-149 11.5 ESTUDO DA RETA ..................................................................................................................... 11-150 11.5.1 Equação geral da reta............................................................................................................11-150
  5. 5. v 11.5.2 Retas particulares...................................................................................................................11-151 11.5.3 Posições relativas entre duas retas......................................................................................11-153 11.5.4 Coeficiente angular ou declividade de uma reta...............................................................11-154 11.5.5 Equação reduzida da reta......................................................................................................11-156 11.5.6 Equação da reta, dados um ponto e a direção...................................................................11-157 11.5.7 Paralelismo entre retas..........................................................................................................11-15712 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA..................................................12-158 12.1 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................ 12-158 12.1.1 Equação reduzida da circunferência...................................................................................12-158 12.1.2 Equação geral da circunferência.........................................................................................12-159
  6. 6. vi Índices de Figuras[FIG. 1]: RETA REAL R .................................................................................................................................1-4[FIG. 2]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A E B ..........................................................................................1-5[FIG. 3]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (SUBCONJUNTOS)...................................................1-6[FIG. 4]: DIAGRAMA DOS CONJUNTOS A , B E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇA). ...............1-7[FIG. 5]: GRÁFICO DO INTERVALO ]−2,3]....................................................................................................1-7[FIG. 6]: REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR DIAGRAMA......................................................................2-10[FIG. 7]: REPRESENTAÇÃO DA RELAÇÃO POR SISTEMA CART ESIANO...................................................2-11[FIG. 8]: FUNÇÃO COMPOSTA......................................................................................................................2-14[FIG. 9]: CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA. ......................................................................3-26[FIG. 10]: VÉRTICE DE PARÁBOLAS (∆>0 PARA AS DUAS). .......................................................................3-27[FIG. 11]: GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a >1)................................................5-44[FIG. 12]: GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0< a <1). ..........................................5-45[FIG. 13]: ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO.................................................................................6-47[FIG. 14]: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.....................................................6-49[FIG. 15]: TRIÂNGULO A B C QUE DEFINE AS RAZÕES.........................................................................6-49[FIG. 16]: TRIÂNGULO A B C , CONSEQÜÊNCIAS DAS DEFINIÇÕES. ....................................................6-51[FIG. 17]: A RCO DE CIRCUNFERÊNCIA.........................................................................................................6-54[FIG. 18]: CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO r . ....................................................................................................6-55[FIG. 19]: QUADRANTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO..............................................................................6-56[FIG. 20]: M EDIA DE ARCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO........................................................................6-56[FIG. 21]: A RCO α PARA O CONCEITO DE SENO E COSSENO......................................................................6-59[FIG. 22]: GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.........................................................................................................6-60[FIG. 23]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO..................................................................................................6-61[FIG. 24]: A RCO α PARA O CONCEITO DE TANGENTE. ...............................................................................6-62[FIG. 25]: GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE...............................................................................................6-63[FIG. 26]: A RCO α PARA O CONCEITO DE COTANGENTE............................................................................6-63[FIG. 27]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE..........................................................................................6-64[FIG. 28]: A RCO α PARA O CONCEITO DE SECANTE E COSSECANTE.........................................................6-65[FIG. 29]: GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE..................................................................................................6-65[FIG. 30]: GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE...........................................................................................6-66[FIG. 31]: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO....................................................................................6-67[FIG. 32]: FUNÇÕES ADAPTADAS NO CICLO................................................................................................6-67[FIG. 33]: TRIÂNGULOS SEMELHANTES.......................................................................................................6-67[FIG. 34]: TABELA DE NOTAS........................................................................................................................7-72[FIG. 35]: DIAGONAIS DE UMA MATRIZ.......................................................................................................7-73[FIG. 36]: DETERMINANTE PELA REGRA DE SARRUS.................................................................................8-81[FIG. 37]: POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCAVO . ........................................................................10-99[FIG. 38]: HEXÁGONO REGULAR: 6 LADOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES. ................10-99[FIG. 39]: Á REA 1 DO TRI ÂNGULO ........................................................................................................... 10-100[FIG. 40]: Á REA 2 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-100[FIG. 41]: Á REA 3 DO TRIÂNGULO ........................................................................................................... 10-101[FIG. 42]: RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A INSCRITA.................................................................................... 10-102[FIG. 43]: RAIO DA CIRCUNFERÊNCI A CIRCUNSCRITA.......................................................................... 10-102[FIG. 44]: Á REA DO PARALELOGRAMO................................................................................................... 10-103[FIG. 45]: RETÂNGULO.............................................................................................................................. 10-103[FIG. 46]: LOSANGO . ................................................................................................................................. 10-103[FIG. 47]: QUADRADO............................................................................................................................... 10-104[FIG. 48]: TRAPÉZIO .................................................................................................................................. 10-104[FIG. 49]: CÍRCULO.................................................................................................................................... 10-106[FIG. 50]: COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-106[FIG. 51]: SETOR CIRCULAR..................................................................................................................... 10-107[FIG. 52]: SEGMENTO CIRCULAR............................................................................................................. 10-107[FIG. 53]: Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO ......................................... 10-108[FIG. 54]: Á REA DO SEGMENTO CIRCULAR QUE CONTÉM O CENTRO.................................................. 10-108[FIG. 55]: POLIEDRO.................................................................................................................................. 10-109[FIG. 56]: POLIEDROS CONVEXOS............................................................................................................ 10-109[FIG. 57]: POLIEDRO NÃO-CONVEXO...................................................................................................... 10-109[FIG. 58]: TEOREMA DE EULER................................................................................................................ 10-110
  7. 7. vii[FIG. 59]: TETRAEDRO REGULAR............................................................................................................. 10-112[FIG. 60]: HEXAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112[FIG. 61]: OCTAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-112[FIG. 62]: DODECAEDRO REGULAR......................................................................................................... 10-113[FIG. 63]: ICOSAEDRO REGULAR.............................................................................................................. 10-113[FIG. 64]: PRISMAS. ................................................................................................................................... 10-114[FIG. 65]: PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO.......................................................................................... 10-115[FIG. 66]: PRISMA RETO PENTAGONAL E PLANIFICAÇÃO ..................................................................... 10-115[FIG. 67]: VOLUME DE UM PRISMA.......................................................................................................... 10-119[FIG. 68]: PIRÂMIDE .................................................................................................................................. 10-121[FIG. 69]: PIRÂMIDE REGULAR................................................................................................................. 10-121[FIG. 70]: PIRÂMIDE REGULAR QUADRANGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO............................................ 10-122[FIG. 71]: VOLUME DA PIRÂMIDE............................................................................................................ 10-123[FIG. 72]: SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE .......................................................................... 10-123[FIG. 73]: TRONCO DE PIRÂMIDE............................................................................................................. 10-124[FIG. 74]: VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE ....................................................................................... 10-124[FIG. 75]: CILINDROS. ............................................................................................................................... 10-128[FIG. 76]: CILINDRO CIRCULAR RETO (DE REVOLUÇÃO)...................................................................... 10-128[FIG. 77]: CILINDRO EQÜILÁTERO........................................................................................................... 10-129[FIG. 78]: CILINDRO RETO E PLANIFICAÇÃO .......................................................................................... 10-129[FIG. 79]: VOLUME DO CILINDRO............................................................................................................ 10-130[FIG. 80]: CONE.......................................................................................................................................... 10-131[FIG. 81]: CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-131[FIG. 82]: CONE REGULAR........................................................................................................................ 10-132[FIG. 83]: CONE REGULAR E SUA PLANIFICAÇÃO.................................................................................. 10-132[FIG. 84]: VOLUME DO CONE . .................................................................................................................. 10-133[FIG. 85]: SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE .................................................................................... 10-133[FIG. 86]: TRONCO DE CONE ..................................................................................................................... 10-134[FIG. 87]: PLANIFICAÇÃO DO TRONCO DE CONE.................................................................................... 10-134[FIG. 88]: VOLUME DO TRONCO DE CONE.............................................................................................. 10-135[FIG. 89]: ESFERA E SUPERFÍCIE ESFÉRICA. ........................................................................................... 10-137[FIG. 90]: PLANO TANGENTE A UMA ESFERA......................................................................................... 10-137[FIG. 91]: SECÇÃO ESFÉRICA.................................................................................................................... 10-138[FIG. 92]: COROA CIRCULAR.................................................................................................................... 10-138[FIG. 93]: SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRICA............................................................................. 10-139[FIG. 94]: CUNHA ESFÉRICA..................................................................................................................... 10-141[FIG. 95]: SEGMENTO DE RETA................................................................................................................ 11-143[FIG. 96]: M EDIDA DE UM SEGMENTO DE RETA..................................................................................... 11-143[FIG. 97]: EIXO OU RETA ORIENTADA..................................................................................................... 11-143[FIG. 98]: M EDIDA DO SEGMENTO ORIENTADO..................................................................................... 11-144[FIG. 99]: PONTO MÉDIO........................................................................................................................... 11-145[FIG. 100]: SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. ........................................................................ 11-146[FIG. 101]: DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS............................................................................................ 11-147[FIG. 102]: Á REA DE UM TRIÂNGULO........................................................................................................ 11-148[FIG. 103]: EQUAÇÃO GERAL DA RETA..................................................................................................... 11-150[FIG. 104]: RETA PARALELA AO EIXO y . ................................................................................................ 11-151[FIG. 105]: RETA PARALELA AO EIXO x .................................................................................................. 11-152[FIG. 106]: RETA QUE PASSA PELA ORIGEM (0,0).................................................................................... 11-152[FIG. 107]: EQUAÇÃO SEGMENTARIA........................................................................................................ 11-152[FIG. 108]: POSIÇÕES ENTRE DUAS RETAS................................................................................................ 11-153[FIG. 109]: TANGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ................................................. 11-154[FIG. 110]: COEFICIENTE ANGULAR.......................................................................................................... 11-155[FIG. 111]: OBTENÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR................................................................................ 11-155[FIG. 112]: EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA............................................................................................... 11-156[FIG. 113]: RETAS PARALELAS................................................................................................................... 11-157[FIG. 114]: CIRCUNFERÊNCIA . ................................................................................................................... 12-158[FIG. 115]: EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA............................................................................................ 12-158
  8. 8. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-1 1 Sistematização dos conjuntos numéricos1.1 Conjuntos numéricos O conceito de números é um dos mais fundamentais e primitivos na Matemática.1.1.1 Conjunto dos números naturais N ={0, 1, 2, 3, …}; N ∗ ={1, 2, 3, …}.1.1.2 Conjunto dos números inteiros É a ampliação dos números naturais para que a subtração faça sentido. Z ={…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}; Z ∗ ={…, −3, −2, −1, 1, 2, 3, …}; Z + ={0, 1, 2, 3, …}, (inteiros não negativos); Z − ={…, −3, −2, −1, 0}, Inteiros não positivos).1.1.3 Conjunto dos números racionais É qualquer fração envolvendo números inteiros. p Q ={ x / x = , p ∈ Z e q ∈ Z ∗} q Todo número racional pode ser representado na forma decimal e podemos ter doiscasos:• (a) A representação decimal finita: 3Exercício 1 4 3Resolução: = ........................................ 4 3Exercício 2 5 3Resolução: = ........................................ 5• (b) A representação decimal infinita periódica: 1Exercício 3 3 1Resolução: = ........................................ 3Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  9. 9. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-2 47Exercício 4 90 47Resolução: = ........................................ 90 p Para se obter representações decimais de um número racional , basta dividir p por qq . As representações da forma (b) são chamadas dízimas periódicas. p Reciprocamente, podemos representar um número decimal racional na forma . q p Seja x um número racional. Nos exercícios seguintes, determine x na forma . qExercício 5 x =1,25Resolução: x = ........................................Exercício 6 x =0,666…Resolução: x = ........................................Exercício 7 x =0,5222…Resolução: x = ........................................Exercício 8 x =0,141414…Resolução:Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  10. 10. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-3 x = ........................................Exercício 9 x =2,171717…Resolução: x = ........................................Exercício 10 x =0,003777…Resolução: x = ........................................Exercício 11 x =0, 3515151…Resolução: x = ........................................1.1.4 Conjunto dos números irracionais I ={ x / x é um número decimal ilimitado não periódico}• Nos exercícios abaixo, alguns exemplos de números irracionais:Exercício 12 2Resolução: 2 = ........................................Exercício 13 πResolução: π= ........................................Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  11. 11. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-4Exercício 14 eResolução: e = ........................................1.1.5 Conjunto dos números reais R =Q∪I Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e os pontos deuma reta. - 3 3 e π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [Fig. 1]: Reta real R.Exercício 15 Mostre que 2 ∉Q.Resolução:1.2 Operações com conjuntos1.2.1 Noções primitivas Conjunto, elemento, pertinência entre elementos e conjunto.Exercício 16 Considerando-se os conjuntos A ={ a , b , c }, B ={ m , n } e C =∅ ( C é oconjunto vazio), verifique a pertinência ou não dos elementos abaixo aos conjuntos.Resolução:• a ........... A;• n ........... A;• h ........... C;• m ........... B;• c ........... C;• b ........... B;• c ........... A.Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  12. 12. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-51.2.2 Igualdade de conjuntosDefinição 1 Dois conjuntos A e B são considerados iguais se, e somente se, todo elementode A pertencer a B e vice-versa. A = B ⇔ ∀ x , ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ).Exercício 17 Considerando-se os conjuntos A ={ a , b , c }, B ={ m , n }, C =∅,D ={ b , c , a }, E ={} e F ={ n , m , n }, verifique a igualdade ou não dos conjuntos abaixo.• D ........... A ;• B ........... F;• D ........... A ;• A ........... F ;• C ........... E.1.2.3 SubconjuntosDefinição 2 Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elementode A também pertence a B . Consideremos os conjuntos A e B , representados também por diagrama: A ={1,3,7} B ={1,2,3,5,6,7,8} B A 6 1 8 2 3 7 5 [Fig. 2]: Diagrama dos conjuntos A e B. Note que qualquer elemento de A também pertence a B . Nesse caso, dizemos que Aé subconjunto de B . Indica-se: A ⊂ B ; lê-se: A está contido em B . Podemos dizer também que B contém A . Indica-se: B ⊃ A ; lê-se: B contém A .OBS. 1: Se A ⊂ B e B ⊂ A , então A = B .OBS. 2: Os símbolos ⊂, ⊃ e ⊄ são utilizados para relacionar conjuntos.OBS. 3: Para todo conjunto A , tem-se A ⊂ A .OBS. 4: Para todo conjunto A , tem-se ∅⊂ A , onde ∅ representa o conjunto vazio.1.2.4 União de conjuntosUniversidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  13. 13. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-6Definição 3 A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos oselementos que pertencem a A ou a B . Designamos a união de A e B por: A ∪ B ; lê-se: A união B . A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }.1.2.5 Intersecção de conjuntosDefinição 4 A intersecção de dois conjuntos, A e B , é o conjunto formado peloselementos que são comuns a A e a B , isto é, pelos elementos que pertencem a A e tambémpertencem a B . Designamos a intersecção de A e B por: A ∩ B ; lê-se: A inter B . A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }.1.2.6 Diferença de conjuntosDefinição 5 A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos quepertencem a A , mas que não pertencem a B . Designamos a diferença de A e B por: A − B ; lê-se: A menos B . A − B = { x / x ∈ A e x ∉ B }.Exercício 18 No diagrama seguinte, A , B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ouF a cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa: B A C [Fig. 3]: Diagrama dos conjuntos A , B e C (subconjuntos).Resolução:• a) A ⊂ B ( ........... )• b) C ⊂ B ( ........... )• c) B ⊂ A ( ........... )• d) A ⊂ C ( ........... )• e) B ⊄ A ( ........... )• f) A ⊄ C ( ........... )• g) B ⊃ A ( ........... )Exercício 19 Considere o seguinte diagrama:Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  14. 14. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-7 7 B A 9 1 2 3 6 4 8 5 C [Fig. 4]: Diagrama dos conjuntos A , B e C (união / intersecção / diferença).Resolução:• a) A ∪ B = { ...................................................................................... }• b) A ∪ C = { ...................................................................................... }• c) B ∪ C = { ...................................................................................... }• d) A ∪ B ∪ C = { ...................................................................................... }• e) A ∩ B = { ...................................................................................... }• f) A ∩ C = { ...................................................................................... }• g) B ∩ C = { ...................................................................................... }• h) A ∩ B ∩ C = { ...................................................................................... }• i) A − B = { ...................................................................................... }• j) A − C = { ...................................................................................... }• k) B − C = { ...................................................................................... }• l) ( A − B )− C = { ...................................................................................... }1.3 Intervalos O conjunto dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e dosnúmeros irracionais são subconjuntos dos números reais R . Existem, ainda, outros subconjuntos de R que são determinados por desigualdades.Esses subconjuntos são chamados de intervalos. Conjunto dos números reais maiores que −2 e menores ou iguais a 3: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [Fig. 5]: Gráfico do intervalo ]−2,3]. Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre os extremos −2 e 3,incluso. A bola vazia indica que o extremo −2 não pertence ao intervalo e a bola indicaque o extremo 3 pertence ao intervalo. Este é um intervalo semi-aberto à esquerda. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  15. 15. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-8 Representação: { x ∈ R / −2< x ≤3} ou ]−2,3].OBS. 5: Sendo a um número real, pode-se considerar intervalos como o que segue: -2 { x ∈ R / −2< x <+∞} ou ]−2,+∞[ ⇒1.3.1 Operações com intervalos Serão consideradas operações do tipo: união (∪), intersecção (∩) e subtração (−).Exercício 20 Se A ={ x ∈ R / 2< x <5} e B ={ x ∈ R / 3≤ x <8}, determine A ∩ B .Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A∩B A ∩ B = ...................................................................................... .Exercício 21 Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤0} e B ={ x ∈ R / 2≤ x <3}, determine A ∩ B .Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A∩B A ∩ B = ...................................................................................... .Exercício 22 Se A ={ x ∈ R / −2≤ x ≤3} e B ={ x ∈ R / 1< x ≤4}, determine A ∪ B .Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A∪B A ∪ B = ...................................................................................... .Exercício 23 Se A ={ x ∈ R / −3< x ≤4} e B ={ x ∈ R / 1< x <7}, determine A − B .Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B A−B A − B = ...................................................................................... .Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  16. 16. Matemática Aplicada Sistematização dos conjuntos numéricos 1-9Exercício 24 Dados A =[2,7], B =[−1,5] e E =[3,9[, calcule: a) A − B ; b) B − A ; c) A − E ; d) E − B .Resolução: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B E A−B B−A A−E E−Ba) A − B = ........................................... ;b) B − A = ........................................... ;c) A − E = ........................................... ;d) E − B = ........................................... .Exercício 25 Dados A =[−1,6[, B =]−4,2] e E =]−2,4[, calcule: a) ( B ∪ E )− A ; b) E −( A ∩ B ). -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B E B∪ E (B ∪ E) − A A∩ B E − (A ∩ B)a) ( B ∪ E )− A = ........................................... ;b) E −( A ∩ B )= ........................................... . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  17. 17. Matemática Aplicada Funções 2-10 2 Funções2.1 Conceito matemático de funçãoDefinição 6 Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variávelindependente.Definição 7 Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes davariável dependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem sãoconjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemáticautilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entredois conjuntos.Definição 8 Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-seproduto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenadosnos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .(Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.Definição 9 Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em Ba qualquer subconjunto de A × B .(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .Exercício 26 Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A emB , tal que y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r .Resolução: Como x ∈ A : x =0 ⇒ ...................................................................................... ; x =1 ⇒ ...................................................................................... ; x =2 ⇒ ...................................................................................... ; x =3 ⇒ ...................................................................................... . Então, { ...................................................................................... ...................................................................................... }. A r 0 B 0 2 1 4 2 6 3 8 10 [Fig. 6]: Representação da relação por diagrama.Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  18. 18. Matemática Aplicada Funções 2-11 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x 1 2 3 [Fig. 7]: Representação da relação por sistema cartesiano.OBS. 6: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formadopelos pares ( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante umalei de associação (no caso, y =2 x ).2.2 Definição de funçãoDefinição 10 Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essarelação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A estáassociado um e apenas um elemento y do conjunto B . Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B .Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação.Exercício 27 Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de Aem B expressa pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B .Resolução: A 0 B 5 0 10 5 15 15 20 25 x =0 ⇒ ...................................................................................... ; x =5 ⇒ ...................................................................................... ; x =15 ⇒ ...................................................................................... .• Todos os elementos de A ................................................................................ ...... B.• A cada elemento de A ................................................................................ ...... ............................................. B.Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 ............................................. .Exercício 28 Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A emB expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  19. 19. Matemática Aplicada Funções 2-12Resolução: A B -2 0 0 2 2 5 5 10 20 x =0 ⇒ ...... ; ................................................................................ x =2 ⇒ ...... ; ................................................................................ x =5 ⇒ ...... . ................................................................................Neste caso, a relação de A em B ...... ............................................. . ................................................................................Exercício 29 Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em Bexpressa pela fórmula y = x 2 , com x ∈ A e y ∈ B .Resolução: A B -3 1 -1 3 1 6 3 9 x =−3 ⇒ ...................................................................................... ; x =−1 ⇒ ...................................................................................... ; x =1 ⇒ ...................................................................................... ; x =3 ⇒ ...................................................................................... .Neste caso, a relação de A em B ...... ............................................. . ................................................................................Exercício 30 Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em Bexpressa pela fórmula y 4 = x , com x ∈ A e y ∈ B .Resolução: A B -2 16 2 81 3 x =16 ⇒ ................................................................................ ...... ; ...... ................................................................................ x =81 ⇒ ................................................................................ ...... . ...... ................................................................................Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  20. 20. Matemática Aplicada Funções 2-13Neste caso, a relação de A em B ...... ............................................. . ................................................................................2.3 Notação de função Quando temos uma função de A em B , podemos representá- la da seguinte forma:f : A → B (lê-se: função de A em B ) x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B ) A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h ,etc. Numa função g : R → R , dada pela fórmula y = x 2 −8, podemos também escreverg ( x )= x 2 −8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.2.4 Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínioda função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve paradefinir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x . O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É nocontradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A essevalor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremospor Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio damesma.f : A→ B x a y = f (x)D = A , CD = B , Im ={ y ∈ CD / y é correspondente de algum valor de x }.Exercício 31 Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar oconjunto imagem da função f : A → B definida por f ( x )= x +2.Resolução:Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  21. 21. Matemática Aplicada Funções 2-14 A -1 B -3 0 -1 1 0 2 2 3 4Im ={ ...................................................................................... }Exercício 32 Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R , calculara e b , sabendo que f (1)=4 e f (−1)=−2.Resolução: a = .............. e b = .............. ⇒ f ( x )= ............................................. .2.5 Função composta Tome as funções f : A → B , definida por f ( x )=2 x , e g : B → C , definida porg ( x )= x 2 . Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x .g : B → C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 . Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A → C , que faz a composiçãoentre as funções f e g : A B C g f y z x h [Fig. 8]: Função compostah : A → C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 = ( 2 x ) 2 =4 x 2 . Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 x 2 , é denominada função composta deg e f .Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  22. 22. Matemática Aplicada Funções 2-15 De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈ C é determinado de modo únicopelo elemento x ∈ A , escrevemos:z = g ( y )= g ( f ( x )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )(Eq.3) ( g o f )( x )= g ( f ( x ))Exercício 33 Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 eg ( x )=2 x −3. Determine: 2• a) f ( g ( x )).Resolução: f ( g ( x ))= ............................................. .• b) g ( f ( x )).Resolução:• g ( f ( x ))= ............................................. . c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )).Resolução: x = ............................................. .Exercício 34 Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).Resolução: g ( x )= ............................................. . Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  23. 23. Matemática Aplicada Funções 2-162.6 Função inversaDefinição 11 Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duascondições abaixo:• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.• 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio. −1Definição 12 Diz-se que uma função f possui inversa f se for bijetora.2.6.1 Determinação da função inversa Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a suainversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida“isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida. −1Exercício 35 Obter a lei da função inversa f da função f dada por y = x +2.Resolução:Logo: −1 f ( x )= ............................................. e f ( x )= ............................................. −1Exercício 36 Construir os gráficos das funções f e f do exercício anterior, num mesmosistema de coordenadas.Resolução: f (x) −1 x x f (x) Note que os gráficos das funções f e f −1 são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do 1o e 3 o quadrantes. y 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  24. 24. Matemática Aplicada Funções 2-17 x+5Exercício 37 Determinar a função inversa g − 1 da função g ( x )= , cujo domínio é 2x −3  3D= R −  .  2Resolução:Logo, g − 1 : ............................................. → ............................................. dada por y = ............................................. é afunção inversa procurada. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  25. 25. Matemática Aplicada Função Polinomial 3-18 3 Função PolinomialDefinição 13 Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial éaquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.3.1 Função polinomial do 1o grau A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por umpolinômio de grau 1. Representação da função polinomial do 1o grau:f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variável independente.Exercício 38 Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e  1f (−2)=10. Escreva a função f e calcule f  −  .  2Resolução:  1 A função é f ( x )= ............................................. e f  −  = ............ .  23.1.1 Função linear Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b . No caso de b =0, temosf ( x )= a x , e ela recebe o nome especial de função linear.OBS. 7: Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dáo nome de função identidade.3.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1 o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores dodomínio à variável x e calculamos as respectivas imagens.Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  26. 26. Matemática Aplicada Função Polinomial 3-19Exercício 39 Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1.Resolução: y Parx ordenado−2 ( , )−1 ( , )0 ( , )1 ( , )2 ( , )3 ( , ) y 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -3 -4 -5Definição 14 O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pelaorigem do sistema cartesiano.Definição 15 O gráfico da função polinomial do 1o grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixodas ordenadas no ponto (0, b ).3.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b .Exercício 40 Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: y 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -3 -4 -5Resolução: Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  27. 27. Matemática Aplicada Função Polinomial 3-20 Logo: A função é f ( x )= ............................................. .Exercício 41 Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é: y 5 4 3 2 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -3 -4 -5Resolução: Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que: Logo: A função é f ( x )= ............................................. .3.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )= a x + b . Podemos determinar que:• i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;• ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0.Exercício 42 Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir: i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1Resolução:Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  28. 28. Matemática Aplicada Função Polinomial 3-21 y y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 i) Aumentando os valores atribuídos a x , ii) Aumentando os valores atribuídos a x , aumentam também os valores diminuem os valores correspondentes da correspondentes da imagem f ( x ). imagem g ( x ).3.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grauDefinição 16 Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de xtemos f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0.3.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1 o grauDefinição 17 Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )= a x + b o valor de x que anula afunção, isto é, torna f ( x )=0.Definição 18 Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b ,a ≠0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .Exercício 43 Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinaros valores reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0.Resolução: y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ x =−2. Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2. A solução do problema é:Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  29. 29. Matemática Aplicada Função Polinomial 3-22• a) f ( x )=0 ⇒ {.................................................................................... };• b) f ( x )>0 ⇒ {.................................................................................... };• c) f ( x )<0 ⇒ {.................................................................................... }.3.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grauExercício 44 Preencher o quadro abaixo:Resolução: f ( x )= a x + b , a ≠0 Zero da função: a x + b =0 ⇒ x = .............................................. a >0 a <0 b x b x a a f(x) <0 f(x ) >0 f(x) >0 f(x ) <0 b x b x a a f ( x )= 0 ⇒ x f ( x )= 0 ⇒ x .............................................. .............................................. f ( x )> 0 ⇒ x f ( x )> 0 ⇒ x .............................................. .............................................. f ( x )< 0 ⇒ x f ( x )< 0 ⇒ x .............................................. ..............................................3.2 Inequações do 1 o grauDefinição 19 Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que podeser reduzida a uma das formas:• a x + b ≥0;• a x + b >0;• a x + b ≤0;• a x + b <0. com a , b ∈ R e a ≠0.Exercício 45 Verificar se 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.Resolução: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro
  30. 30. Matemática Aplicada Função Polinomial 3-23 Logo,.................................................................................................................................................................................................3.2.1 Resolução de inequações do 1o grauDefinição 20 Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades dasdesigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).Exercício 46 Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− x 2 ≥3 x − x ( x +1). Represente asolução na reta real.Resolução: S={.................................................................................... } x x −1 4(1 − x ) x 2 − xExercício 47 Resolver a inequação seguinte: + > + . Represente a 3 2 4 6solução na reta real.Resolução: S={.................................................................................... } x3.2.2 Sistemas de inequações do 1o grauDefinição 21 O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pelaintersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Lauro

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