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Será que uma taxa de juros de 100% ao mês fará um      a) X < 1.100,00capital quadruplicar em 2 meses?                    ...
(Observe que A × B B × A)                                      Função          –        Apresentação       e   DefiniçãoRe...
2b) f(x) = –x + 2x + 3Concavidade: a = –1 < 0 para baixo; raízes:                                                      B. ...
C. Regiões Poligonais EquivalentesDuas regiõesSOLUÇÃO:Ora, a única condição da soma acima ser nula é que:(2x+6y+a) = 0(x+b...
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Matematica raciocinio logico

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Matematica raciocinio logico

  1. 1. 2 x = 4 em NRACIOCÍNIO LÓGICO EMATEMÁTICO A única raiz natural da equação é 2, assim:1.Modelagem de situações-problemapor meio de equações do 1º e 2ºgraus e sistemas lineares. Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações1.1 Introdução equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.Consideremos as três igualdades abaixo: Vejamos algumas destas propriedades: a P1 ) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo1 )2+3=5 a número aos dois membros de uma igualdade, esta2 )2+1=5 a permanece verdadeira.3 )2+x=5Dizemos que as duas primeiras igualdades sãosentenças matemáticas fechadas, pois sãodefinitivamente falsas ou definitivamenteverdadeiras. No caso, a primeira é sempre Conseqüênciaverdadeira e a segunda é sempre falsa.Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença Observemos a equação:matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou x+2=3falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. Nocaso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 efalsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas deequações; a letra x é a variável da equação, onúmero 3 é a raiz ou solução da equação e o x+2=3 x + 2 -2 = 3 - 2conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação,também chamado de conjunto verdade. Assim: x+2=3 x=1Exemplos o1 ) 2x + 1 = 7 1.2 Equação do 1o Grau3 é a única raiz, então S = {3} o Chamamos de equação do 1 grau as equações do o2 ) 3x – 5 = –2 tipo:1 é a única raiz, então S = {1}2. Resolução de uma Equação onde a e b são números conhecidos com a 0.Resolver uma equação é determinar todas as raízes Exemploda equação que pertencem a um conjuntopreviamente estabelecido, chamado conjunto 3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)universo. o Para resolvermos uma equação do 1 grau, devemosExemplos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, o usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.1 ) Resolver a equação: 2 Exemplo x = 4 em R Resolver em R a equação:As raízes reais da equação são –2 e +2, assim: 3x – 5 = 0 3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5 o2 ) Resolver a equação: 1
  2. 2. têm-se as idades e os tempos de dois técnicos3x - 5 = 0 3x = 5 judiciários do Tribunal Regional Eleitoral de uma certa circunscrição judiciária.3x = 53x = 5Assim: 3x - 5 = 0De modo abreviado, fazemos: Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa deQUESTÕES DE CONCURSOS RESOLVIDAS III seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era:Obs.: É importante que o estudo das questões seja a) 40feito de forma que as soluções não sejam vistas eque o estudante tente fazer apenas com os b) 41conhecimentos adquiridos anteriormente. c) 42* Questões d) 431) (Fundação Cesgranrio/Banco do Brasil -Escriturário) – Uma geladeira é vendida á vista por e) 44R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeiracomo uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois Uma razão é uma divisão entre duas grandezas.meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa Exemplo: a velocidade é uma razão determinadamensal de juros simples utilizada? pela divisão entre a grandeza distância e a grandeza tempo.a) 6% Na questão proposta na prova, exige-se dob) 5% candidato o conhecimento do que é uma divisão proporcional.c) -4% É preciso conhecer, portanto, o que são grandezasd) 3% diretamente ou inversamente proporcionais.e) 2% Recapitulando:Analisando a questão: Uma pessoa vai de SP a MG (percorrendo uma distância hipotética de 800 km) em 8h, fazendo aO valor do bem: R$ 1.000,00 velocidade média de 100 km/h.Entrada: R$ 200,00 Se ao invés de ir para MG, resolvesse aumentar minha viagem para outra cidade mais distante, ouSegunda Parcela: R$ 880,00 seja, crescendo a quilometragem percorrida para 1600 km, será que o tempo de viagem seria menorPagamento Total: R$ 1.080,00 ou maior ? Considerando uma mesma velocidade?Calculando juros simples: De fato, levaria mais tempo, e ainda é possível afirmar que se a distância aumentou para o dobroJuro total 60 dias = R$ 80,00 em 02 meses (de 800 para 1600), o tempo também irá aumentar (de 8horas para 16 horas) e isto é possível verificarJuro total 30 dias = R$ 40,00 em 01 mês através das seguintes expressões:Calculando percentual de juros mensal = R$ 40,00 / D = V/TR$ 800,00 = 0,05 * 100 = 5% (SP => MG) 800 = 100/T, logo T = 8 horasResposta: Letra “b” (MG => Outra Cidade) 1600 = 100/T, logo T = 162) (Prova Técnico Judiciário – Área horasAdministrativa – 4ª Região) - No quadro abaixo, 2
  3. 3. É possível afirmar que distância e tempo são c) 150%grandezas diretamente proporcionais. d) 200%Se diminuir a velocidade do carro pela metade seráque eu vou levar mais ou menos tempo para viajar, e) 400%considerando a mesma distância? Analisando:Se velocidade do carro diminuir, torna-se claro quevou levar menos horas para viajar, e portanto, quanto Esta questão cobra do candidato o conhecimentomenos rápido for o carro mais tempo eu levo. das relações de juros compostos. Em Matemática Financeira, boa parte das questões se resolve daDesse modo é possível afirmar que a velocidade e o seguinte forma:tempo são grandezas inversamenteproporcionais. 1) Dados e pedidos do problemaSe duas grandezas são diretamente proporcionais, 2) Formulação Matemáticasentão quando uma aumenta a outra aumentaproporcionalmente e entre elas existe uma relação 3) Conclusõesdireta de proporcionalidade (m), desta forma: Colhendo os dados:A/B = m Montante (M) = 4 Capital (C)Assim, se duas grandezas são inversamenteproporcionais, então quando uma aumenta a outra n (período de tempo) = 2 mesesdiminui proporcionalmente e posso afirmar que entreelas existe uma relação inversa de proporcionalidade C (capital)(m), desta forma: Pede-se a taxa de juros (i).A.B = m A fórmula matemática que relaciona as seguintesNo problema, as laudas devem ser divididas na grandezas (M, C, n, i) e que resolve este problema é:relação direta das idades de João e Maria, e narelação inversa de seus tempos de serviço no M = C (1+i)nTribunal: Substituindo os dados na fórmula tem-se:Logo: 4C = C (1+i)2Para x = 27 Mas “C” aparece dos dois lados da igualdade e por isso poderá ser simplificado, é como se dividíssemos os dois lados da igualdade por “C” que entendemos ser um número diferente de zero, na Matemática não se aceita a divisão por zero. 4 = (1+i)2Substituindo x = 27 22 = (1+i)22y/5 = 6 Em uma igualdade entre quadrados perfeitos, éy = 30/2 = 15 possível tirar a raiz quadrada dos dois lados e não alterar a igualdade, assim:O número total de laudas é dado pela soma daslaudas de João (x=27) com as de Maria (y=15) (1+i) = 2 e i = 2 – 1 = 1 = 100%perfazendo o total de 42 laudas ouResposta: Letra “c” (1+i) = - 2 e i = - 2 – 1 = -3 (valor a ser3) (AFR/SP) O capital que quadruplica em 2 meses, desconsiderado uma vez que a taxa de juros nãoao se utilizar de capitalização composta, deve estar deve ser negativa).vinculado a uma taxa mensal de: É bom que, nesses tipos de provas, o candidatoa) 50% cheque se a resposta encontrada é coerente, poderíamos então fazer a seguinte pergunta:b) 100% 3
  4. 4. Será que uma taxa de juros de 100% ao mês fará um a) X < 1.100,00capital quadruplicar em 2 meses? b) 1.100,00 ≤ X < 1.170,00Dados: c) 1.170,00 ≤ X < 1.190,00Taxa de juros (i = 100%a.m.) d) 1.190,00 ≤ X < 1.220,00n = 2 meses e) X ≥ 1.220,00C = capital Analisando a questão:Pede-se o montante (M) : 2 . Noção de função; análise gráfica;M = C (1+i)n funções afim, quadrática, exponencialM = C (1+ 1)2 = C (2)2 = 4C e logarítmica.AplicaçõesDessa forma, o capital que quadruplica em 2 meses,ao se utilizar de capitalização composta, deve estar Função – Apresentação e Definiçãovinculado a uma taxa mensal de 100%. 1. Relação BináriaResposta: Letra “b” A. Par Ordenado1.4 SISTEMAS LINEARES Quando representamos o conjunto {a, b} ou {b, a} estamos, na verdade, representando o mesmoDefinição conjunto. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem dos elementos. Para isso, usamos a idéia de par ordenado. A princípio, trataremos oÉ todo sistema que pode ser definido em que se par ordenado como um conceito primitivo e vamostêm “m” equações a “n” incógnitas do tipo a utilizar um exemplo para melhor entendê-lo.seguir: Consideremos um campeonato de futebol em que desejamos apresentar, de cada equipe, o total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18, podemos fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado, previamente, que o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o segundo número, ao saldo de gols. Portanto, quando tivermos para uma outra equipe a informação de que a sua situação é (2, –8) entenderemos, que esta equipe apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols –8. Note que é importante a ordem em que se apresenta este par de números, pois a situação (3,5) é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida a idéia de par ordenado: um par de valores cujaExemplos de ordem de apresentação é importante.QUESTÕES DE CONCURSOS II Observações a 1 ) (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = dObs.: É importante que o estudo das questões sejafeito de forma que as soluções não sejam vistas e a 2 ) (a, b) = (b, a) se, e somente se, a = bque o estudante tente fazer apenas com osconhecimentos adquiridos anteriormente. B. Produto Cartesiano* Questões1) (CESPE) – Uma empresa admitiu um funcionário Exercícios Resolvidosno mês de outubro deste ano, sabendo que, já emjaneiro, ele terá 25% de aumento de salário. A 01.empresa deseja que o salário desse funcionário, a a) Sendo A = {1,2} e B = {–1, 0, 1}, calcule A × B (Apartir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim, a cartesiano B) e desenhe seu gráfico.empresa admitiu-o com um salário de X reais. Então b) Considerando os mesmos conjuntos anteriores,o X satisfaz à condição: calcule B × A (B cartesiano A) e desenhe seu gráfico. 4
  5. 5. (Observe que A × B B × A) Função – Apresentação e DefiniçãoResolução 03. (FGV-SP) São dados os conjuntos A = {2, 3, 4},a) A × B = {(1, –1), (1, 0), (1, 1), (2, –1), (2,0), (2, 1)} B = {5, 6, 7, 8, 9} e a relação R = {(x, y) A × B / x e y sejam primos entre si}. Um dos elementos dessa relação é o par ordenado: a) (9, 4) d) (3, 6) b) (5, 4) e) (2, 8) c) (4, 7) Resolução Exercícios Resolvidosb) B × A = {(–1, 1), (–1, 2), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2)} 01. Esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem das funções abaixo. 2 a) f(x) = x – 6x + 8 2 b) f(x) = –x + 2x + 3 c) Resolução 2 a) f(x) = x – 6x + 802. Trabalhando ainda com os mesmos conjuntos, Concavidade: a = 1 > 0 para cimaconsidere as seguintes relações de A em B. raízes = 2R1 = {(x, y) A × B / y = x – 2} o Função do 2 Grau – ApresentaçãoR2 = {(x, y) A × B / y = x – 1}Represente R1 e R2 utilizando diagramas de flechas. Vértice :Resolução Intersecção com o eixo 4: c = 8 Resposta Imagem : Im = { y R/ y –1 } Esboço 5
  6. 6. 2b) f(x) = –x + 2x + 3Concavidade: a = –1 < 0 para baixo; raízes: B. Definição da Área de uma Região PoligonalVértice: A cada região poligonal é associado um número real não-nulo chamado área, que deve satisfazer osIntersecção com o eixo y: c = 3 postulados.Resposta Postulado 1: polígonos congruentes têm regiões poligonais de mesma área.10 - Métrica: áreas e volumes; Postulado 2: se uma região poligonal é a união de duas ou mais regiões poligonais, sem ponto interiorestimativas. Aplicações comum, então sua área é a soma das áreas dessas outras.Áreas das Regiões Elementares Exemplo1. Conceitos Básicos Sendo R1, R2 e R3 três regiões triangulares que não têm ponto interior comum, a área da região RA. Noção Intuitiva de Área formada pela união das três regiões é a soma das áreas de R1, R2 e R3.Intuitivamente, a área de uma região é um númeroque mede a sua “extensão”, ou seja, a porção doplano ocupada por ela.Quando fixamos uma unidade de medida, encontrara área de uma região plana é determinar o númerode unidades que “cabem” nessa região.ExemploConsiderando a região plana da figura e unidade demedida indicada, vamos determinar a área da região. Postulado 3: se uma região quadrada é limitada por 2 quadrado de lado a, então a sua área é a . 6
  7. 7. C. Regiões Poligonais EquivalentesDuas regiõesSOLUÇÃO:Ora, a única condição da soma acima ser nula é que:(2x+6y+a) = 0(x+by-7) = 0Logo, teremos:2.x + 6.y = - a1.x + b.y = 7Para o sistema de equações do 1º grau acima3 – Numa árvore pousam pássaros. Se pousaremdois pássaros em cada galho, fica um galho sempássaros. Se pousar um pássaro em cada galho,fica um pássaro sem galho. Determine o númerode pássaros e o número de galhos.SOLUÇÃO:Sendo g o número de galhos e p o número depássaros, poderemos escrever:2(g – 1) = pg=p–1Resolvendo o sistema de equações acima,encontraremos:P = 4 e g = 3. Portanto, são 4 pássaros e 3 galhos.32 - Quantas soluções inteiras e não negativaspodemos encontrar resolvendo a equação x+y+z+w= 5?Por exemplo, (1,2,1,1) é solução pois1+2+1+1=5.Anàlogamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2),(5,0,0,0) etc são soluções.Raciocínio: Temos que dividir 5 unidades em 4partes ordenadas, ou seja, das formas:|| . | . | .. | . || ou || . | .. | . | . || ou || ... | . | . | || , etc.Temos então 8 símbolos (5 pontos[.] e 3 traços[ | ] )que devem ser permutados, porém com repetição.Logo, teremos:PR = 8! / 5!.3! = 56Portanto, a equação dada possui 56 soluçõesinteiras e não negativas.Teremos:Onde n é o número de incógnitas e b é o termoindependente. No caso, n = 4 e b = 5.Logo, substituindo, vem:Y = (4 + 5 -1)! / 5!.(4 - 1)! = 8! / 5! . 3! = 8.7.6.5! /5!.3.2.1 = 8.7.6 / 3.2.1 = 56 7
  8. 8. 8

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