F UNDAMENTOS      DA       ´M ATEM A TICA IV
SOMESB                                  ¸˜    Sociedade Mantenedora de Educacao Superior da Bahia S/C Ltda.               ...
Sum´rio   aGeometria Espacial                                                                                             ...
´    Fundamentos da Matematica IV     2.4         Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
4.3.1        Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
´    Fundamentos da Matematica IVApresenta¸˜o da Disciplina         ca             Prezado aluno,                         ...
Geometria Espacial                  Paralelismo e Perpendicularismo.Poliedros.  1.1     Ponto, Reta e Plano               ...
´     Fundamentos da Matematica IV                       ´            ´                                           ´predece...
˜                                    ´retas sao subconjuntos especiais do plano, ja que elas podem ser definidas a partir d...
´     Fundamentos da Matematica IV Axioma 2. Para qualquer par de pontos distintos existe uma                A            ...
ˆ                                ˜   Prova. Pelo axioma 2, se duas retas tem mais de um ponto em comum, entao elas devem c...
´     Fundamentos da Matematica IV                                                                                        ...
¸˜        ´                                     ¸˜   Apresentaremos, formalmente, estas construcoes atraves de teoremas e ...
´     Fundamentos da Matematica IV 1.13 Defini¸˜o. Dois planos distintos que se interceptam sao chamados de secantes ou con...
1.4. Frequentemente encontramos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas no chao, balanc am e nos         ¨                 ...
´     Fundamentos da Matematica IV     1.1.8    Paralelismo entre Retas e Planos 1.14 Defini¸˜o. Diremos que a reta m e par...
1.24. Construa uma reta paralela a um plano dado.1.25. Construa um plano paralelo a uma reta dada.1.26. Prove que: Se uma ...
´     Fundamentos da Matematica IV     1.2.1   Exerc´                  ıcios Propostos1.34. Classifique em verdadeiro o fal...
mediatriz de AA , b e mediatriz de AA e por isso: AB ≡ A B e AC ≡ A C . Tambem notemos que para                    ´      ...
´     Fundamentos da Matematica IV       matematica demonstrativa e Tales de Mileto (c. 585 a.C). Tales teria provado algu...
ˆ                                                        ˆ (d) Se uma reta forma angulo reto com duas retas de um plano, d...
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  1. 1. F UNDAMENTOS DA ´M ATEM A TICA IV
  2. 2. SOMESB ¸˜ Sociedade Mantenedora de Educacao Superior da Bahia S/C Ltda. Presidente ´ Gervasio Meneses de Oliveira Vice-Presidente William Oliveira Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares ˜Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extensao Germano Tabacof Superintendente de Desenvolvimento e ˆ Planejamento Academico ˜ Pedro Daltro Gusmao da Silva FTC – EaD ˆ ˆ Faculdade de Tecnologia e Ciencias – Ensino a Distancia Diretor Geral Waldeck Ornelas ˆ Diretor Academico Roberto Frederico Merhy Diretor de Tecnologia ´ Andre Portnoi Diretor Administrativo e Financeiro Reinaldo de Oliveira Borba ˆ Gerente Academico Ronaldo Costa Gerente de Ensino Jane Freire ´ Gerente de Suporte Tecnologico Jean Carlo Nerone Coord. de Softwares e Sistemas ˆ Romulo Augusto Merhy ¸˜ Coord. de Telecomunicacoes e Hardware Osmane Chaves ¸˜ ´ Coord. de Producao de Material Didatico ˜ Joao Jacomel E QUIPE ¸˜ DE ELABORAC AO ¸˜ / P RODUC AO ´ DE MATERIAL DID ATICO ˆ Producao Academica ¸˜ Gerente de Ensino Jane Freire Autor Eleazar Gerardo Madriz Lozada ˜ Supervisao Ana Paula Amorim ˜ Revisao Final Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento. ¸˜ ´ Producao Tecnica Edicao em LATEX 2ε ¸˜ Adriano Pedreira Cattai Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento. ˜ Revisao de Texto Carlos Magno Coordenacao ¸˜ ˜ Joao Jacomel ´ Equipe Tecnica Ana Carolina Alves, Cefas Gomes, Delmara Brito, ´ Fabio Goncalves, Francisco Franca J ´ ¸ ¸ unior, Israel Dantas, Lucas do Vale, Herm´ınio Filho, Alexandre Ribeiro e Diego Maia. Copyright c FTC EaD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. ´ ¸˜ ¸˜ ´ E proibida a reproduc ao total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorizac ao previa, por escrito, da FTC EaD - ˆ ` ˆ Faculdade de Tecnologia e Ciencias - Ensino a distancia. www.ftc.br/ead
  3. 3. Sum´rio aGeometria Espacial 7Paralelismo e Perpendicularismo. Poliedros. 7 1.1 Ponto, Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 ˆ Axiomas de Incidencia e Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 ¸˜ Posicoes relativas entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 ¸˜ ¸˜ Outras condicoes para a construcao de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 ¸˜ Intersecao de Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5 Semiplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.6 Retas Reversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.7 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ı 1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.9 ¸˜ Posicoes Relativas entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.10 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ı 1.2 ˆ Angulo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ı 1.3 Reta e Plano Perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ı 1.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Poliedro Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2 ¸˜ Relacao de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3 Poliedros Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ˜ Poliedros de Platao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.4 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ı 1.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ´Solidos e Superf´cies ı 25 2.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Paralelep´pedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ı 2.1.2 ´ ´ Area Lateral e Area Total do Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Volume do Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.4 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ı 2.1.5 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Cavalieri e os Indivis´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ı 2.2 ˆ Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ı 2.3 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ı 3
  4. 4. ´ Fundamentos da Matematica IV 2.4 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1 Elementos do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.2 Superf´cies de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ı 2.4.3 ¸˜ Classificacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.4 ¸˜ Secao Meridiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.5 ´ ´ Calculo das Areas de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.6 Volume do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.7 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ı 2.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.1 Superf´cie da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ı 2.5.2 ¸˜ Secoes Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.3 Elementos da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.4 ´ ˆ Calculo das Distancias Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.5 ´ Area e Volume de uma Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ´ Area da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Volume da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ´ ¸˜ Area da secao (c´rculo) na esfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ı ´ ¸˜ ´ Area da secao (coroa circular) no solido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6 ¸˜ ¸˜ ´ Inscricao, Circunscricao de Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Porcentagem do Volume da Esfera Ocupada por um Poliedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6.1 ´ Algumas Propriedades Metricas dos Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6.2 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ı 2.7 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ´ ´ ˆAnalise Combinatoria e Binomio de Newton 43 ´ ´ ´Princ´pios Basicos da Analise Combinatoria ı 43 3.1 ¨ˆ Princ´pio Fundamental de Contagem e Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ı 3.1.1 Princ´pio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ı 3.1.2 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ı 3.2 ¸˜ Princ´pio de Inducao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ı 3.2.1 ¸˜ ´ ¸˜ Como demonstrar que uma proposicao e verdadeira por inducao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 ¸˜ Arranjo e Permutacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.1 Arranjo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.3 ¸˜ Permutacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.4 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ı 3.4 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ¸˜ ¸˜ ˆCombinacao, Permutacao e Binomio de Newton 53 4.1 ¸˜ Combinacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ı 4.2 ¸˜ Permutacao Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ı 4.3 ˆ ´ O Triangulo Aritmetico de Pascal (ou de Tartaglia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
  5. 5. 4.3.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ı 4.4 ˆ O Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.1 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ı 4.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Atividade Orientada 61Atividade Orientada 61 6.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 ´ PROPOSTA METODOLOGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Procedimentos:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ¸˜ Problematizacao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Procedimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ¸˜ Consideracao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Questionamentos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Para refletir: (Liberte sua mente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ˆ ´Referencias Bibliograficas 66 5
  6. 6. ´ Fundamentos da Matematica IVApresenta¸˜o da Disciplina ca Prezado aluno, ´ ˜ O estudo de Geometria Espacial e da Matematica Discreta sao temas centrais nos conte ´ udos de Matem ´ ´ atica da segunda serie do Ensino ´ Medio. Em geral, os estudantes apresentam dificuldades quando iniciam ´ seus estudos nestas duas areas. Poder´ ıamos dizer que a Geometria ¸˜ Espacial requer um esforco maior de imaginacao do que a Geometria ¸ ` ¸˜ ¸˜ Plana, devido as limitacoes causadas pela representacao das figuras em ˜ ´ ´ duas dimensoes. Por outro lado, alguns topicos da Matematica Discreta ´ ´ utilizam-se de tecnicas bem diferentes daquelas que o estudante esta ˜ acostumado, necessitando, entao, fazer uso do seu racioc´ ´ ınioogico e l ¨ˆ ´ criativo com muito mais frequencia do que nas series anteriores. Para que os alunos possam superar estas dificuldades, os professores precisam ter um bom dom´ınio do conte ´ a ser trabalhado. O professor udo ˜ nao deve simplesmente contentar-se em como resolver os problemas ´ que comumente aparecem nos livros, e, sim, aprofundar-se nestas areas ´ ´ ¸˜ ´ da Matematica. E preciso ter uma orientacao adequada, ja que se corre ´ o risco de transmitir para o aluno a ideia de que os assuntos tratados requerem o uso de uma grande quantidade de artif´ ıcios e, dessa forma, ´ ´ ˆ cometer o erro de reforcar a ideia da Matematica como uma ciencia de ¸ dif´ entendimento e restrita a poucos. ıcil ´ Este material foi escrito para o curso de Licenciatura em Matematica da FTC-Ead e visa, fundamentalmente, fornecer subs´ıdios para evitar que ˜ tudo isso nao venha a ocorrer. Bons estudos! Prof. Eleazar Madriz.6
  7. 7. Geometria Espacial Paralelismo e Perpendicularismo.Poliedros. 1.1 Ponto, Reta e Plano ˆ ´ ´ Imagine que voce esta voltando do seu trabalho numa noite e, no exato instante em que esta em ˆ ¸˜ ´ ´ ˆfrente a sua casa, a rua onde mora fica sem energia, e voce, guiado pela intuicao, olha para o ceu e so veestrelas. Voce fica maravilhado com o espetaculo e, so depois de 10 minutos, volta a energia e a vida segue ˆ ´ ´ ´normalmente. No dia seguinte, o professor de Matematica de sua turma se atrapalha quando fala sobre o ´ ˆ ´ ´ ¸˜que e um ponto e voce fala para ele - professor e so olhar as estrelas. Com esta situacao, queremos ilustrar ´ ´a dificuldade que existe quando tentamos definir o que e um ponto. Dificuldade esta que os matematicos ´ ¸˜ ´ ¸˜encaram axiomaticamente, isto e, aceitando “proposicoes” como validas sem contestacoes, ou seja, semter como provar sua veracidade. Originado da palavra grega αξιωµα (axioma), o termo axioma significa algo que e considerado ajustado ´ou adequado, ou que tem um significado evidente. A palavra axioma vem de αξιo ειν (axioein), significandoconsiderar digno que, por sua vez, vem de αξ o ζ (axios), significando digno. Entre os filosofos gregos ´ ¸˜antigos, um axioma era uma reivindicacao que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade ´de prova. Na epistemologia (significado da palavra), um axioma e uma verdade auto-evidente sobre a qual ´outros conhecimentos devem se apoiar, da qual outro conhecimento e constru´do. Para dizer o m´nimo, ı ınem todos os epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existem. A palavra ´ ˜ ´ ¸˜ ´axioma como usada na Matematica moderna, nao e uma proposicao que e auto-evidente. Mais do que ´isso, simplesmente significa um ponto de partida em um sistema logico. ˜ Provavelmente, o mais famoso e mais antigo conjunto de axiomas sao os postulados de Euclides.Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.) foi um professor, matematico platonico e escritor de origem de- ´ ˆsconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: ´ o espac o euclidiano, imut ¸ ´ avel, simetrico e ´ ´ ´ ´ ´geometrico, metafora do saber na antiguidade classica, que se manteve incolume no pensamento matema-tico medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser constru´dos modelos de ı ˜ ˜geometrias nao-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e frequentado a Academia de Platao, em ¨pleno florescimento da cultura helen´stica. Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de profes- ı ´ ´sores da recem fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da epoca, tornou-se o ´mais importante autor de Matematica da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, comseu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes, ˆ ¸˜sendo cinco sobre geometria plana, tres sobre numeros, um sobre a teoria das proporcoes, um sobre ´ ´ ˆ ´incomensuraveis e os tres ultimos sobre geometria no espac o. Escrita em grego, a obra cobria toda a ¸ ´ ´ ´ ˜aritmetica, a algebra e a geometria conhecidas ate entao no mundo grego, reunindo o trabalho de seus 7
  8. 8. ´ Fundamentos da Matematica IV ´ ´ ´predecessores, como Hipocrates e Eudoxio. Sistematizava todo o conhecimento geometrico dos antigos e ´ ¸˜intercalava os teoremas ja conhecidos, com a demonstracao de muitos outros que completavam lacunas e ˆ ´ ´ ¸˜davam coerencia e encadeamento logico ao sistema por ele criado. Apos sua primeira edicao foi copiado ´ ´e re-copiado inumeras vezes e, versado para o arabe (774), tornou-se o mais influente texto cient´fico de ı ¸˜ ´todos os tempos e um dos com maior numero de publicacoes ao longo da historia. ´ ´ Depois da queda do Imperio Romano, os livros de Euclides foram recuperados para a sociedade eu- ´ ´ ´ ´ ´ropeia pelos estudiosos arabes da pen´nsula Iberica. Escreveu ainda Optica (295 a.C.), sobre a otica da ı ˜ ˆ ´ ´visao e sobre Astrologia, Astronomia, Musica e Mecanica, alem de outros livros sobre Matematica. Entre ´eles citam-se Lugares de Superf´cie, Pseudaria e Porismas. Algumas das suas obras como Os elementos, ı ´Os Dados, outro livro de texto, uma especie de manual de tabelas de uso interno na Academia e com- ˜ ˜ ´plemento dos seis primeiros volumes de Os Elementos, divisao de figuras, sobre a divisao geometrica de ˆ ´ ˜figuras planas, Os Fenomenos, sobre Astronomia, e Optica, sobre a visao, sobreviveram parcialmente e ˜ ´hoje sao, depois de A Esfera de Autolico, os mais antigos tratados cient´ficos gregos existentes. Pela sua ımaneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habil´ssimo professor. ı ´ ˜ Euclides, provavelmente, recebeu os primeiros ensinamentos de Matematica dos disc´pulo de Platao. ı ˆPtolomeu I - general macedonio (favorito de Alexandre, o Grande) - trouxe Euclides de Atenas para Alexan- ˆ ˆdria. Esta se tornara a nova capital eg´pcia no litoral mediterraneo e centro economico e intelectual do ı ´ ´mundo helen´stico. O sabio fundou a Escola de Matematica na renomada Biblioteca de Alexandria, que ıpode ter alcanc ado a cifra de 700.000 rolos (papiros e pergaminhos). Alexandria, a partir de Euclides at´ o ¸ eseculo I V d.C., reinou quase absoluta nao so como a mais ecletica e cosmopolita cidade da Antiguidade, ´ ˜ ´ ´ ¨ ´ ¸˜ ´ ´mas tambem como principal centro de producao matematica. Alem de Os Elementos, a bibliografia de ´ ´ ¸˜ ´ ˜Euclides e ecletica e valiosa: Os Dados (solucao de problemas geometricos planos); Da Divisao (trata da ˜ ˆ ´ ` ´divisao de figuras planas); Fenomenos (geometria esferica aplicada a astronomia); Optica (que trata da ¸˜ ˆgeometria dos raios refletidos e dos raios refratados); Introducao Harmonica (musica). E para desfortuna ´ ´de milhares de matematicos, muitas das obras de Euclides se perderam: Lugares de superf´cie, Pseudaria, ı ´Porismas (que pode ter representado algo proximo da nossa atual Geometria Anal´tica). Precipuamente, ı ˆ ˆlamenta-se o desaparecimento de As Conicas, obra do autor, que, conforme referencias, deve ter tratado ´ ´ ´da esfera, do cilindro, do cone, do elipsoide, do paraboloide e do hiperboloide, etc. A biblioteca de Alexan- ´dria estava muito proxima do que se entende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do ´ ´insigne Carl B. Boyer, em a Historia da Matematica: ˜ ¸˜ “A Universidade de Alexandria, evidentemente, nao diferia muito de instituicoes modernas de cultura superior”.Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como admin-istradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que possu´mos, ı ` ´ ´parece que Euclides definitivamente pertencia a ultima categoria. Nenhuma descoberta nova e atribu´da ı ´a ele, mas era conhecido pela sua habilidade ao expor. Essa e a chave do sucesso de sua maior obra“Os Elementos”. Euclides foi sinonimo de Geometria e reinou absoluto ate o seculo X I X , quando foi par- ˆ ´ ´ ˜cialmente contestado por Riemann, Lobatchewski e Bolyai (criadores das geometrias nao-euclidianas). Na ´Teoria da Relatividade, a geometria euclidiana nem sempre e verdadeira. Exemplo: no gigantesco campo ´gravitacional, que orbita nas vizinhanc as dos buracos negros e nas estrelas de n ¸ ˆ eutrons. Mesmo assim, ´ ˜o proprio Einstein se faz reconhecido: “Quem, na juventude, nao teve seu entusiasmo despertado por ˜Euclides, certamente nao nasceu para ser cientista”. ´ ´ ˜ ´ As figuras geometricas basicas, no plano, sao os pontos e as retas. O plano e formado de pontos e as 8
  9. 9. ˜ ´retas sao subconjuntos especiais do plano, ja que elas podem ser definidas a partir dos pontos. Os pontose as retas do plano satisfazem um grupo de axiomas que apresentaremos ao longo deste material. Umplano pode ser imaginado como a superf´cie de uma folha de papel na qual podemos estender sem nenhum ı ¸˜ ¸˜tipo de restricao em qualquer direcao. Nela, um ponto pode ser interpretado como a marca gerada quando ´ ´ ´a ponta de um lapis encontra a folha de papel, ou quando o lapis e pressionado sobre o papel. Com o ´ ´aux´lio de uma regua, o desenho de uma parte da reta pode ser feito. E comum o uso de desenhos quando ı ´queremos estudar geometria, mas, devemos advertir que os desenhos so devem ser considerados comoum instrumento que possibilita o manejo da linguagem formal envolvida na geometria. No decorrer deste ´ ´material, usaremos letras maiusculas do alfabeto indo-arabico para denotar pontos; e letras minusculas, ´do mesmo alfabeto, para designar retas. 1.1.1 Axiomas de Incidˆncia e Ordem e ¸˜ A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliacao da Geometria plana (euclidiana) e ´ ¸˜trata dos metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relacao entre esses ele- ˜mentos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, sao: pontos, retas, segmentos de retas, planos, ˆ ´ ˜curvas, angulos e superf´cies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao: comprimentos ı ´ ˜ ´de curvas, areas de superf´cies e volumes de regioes solidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos ı ˜ ¸˜primitivos, os quais serao aceitos sem definicao. Consideraremos o ponto, a reta e o plano como objetos ´ ´ ´ ˜ ¸˜matematicos definidos de forma axiomatica, isto e, que nao precisamos de demonstracao alguma para ˆ ´ ¸˜aceitar sua existencia. Destes elementos basicos temos um conhecimento gerado pela intuicao e das ˆ ¸˜ ´experiencias que a observacao nos da. Para o estudo da Geometria Espacial (euclidiana), lidaremos com um conjunto-universo denominado ¸ ¸ ´espaco. O espac o intuitivamente e o conjunto de todos os pontos e qualquer conjunto de pontos (como ´por exemplo uma reta, um plano, uma esfera) e um subconjunto do espac o. ¸ ¸˜ A Geometria Espacial funciona como uma ampliacao da Geometria Plana (euclidiana) e trata dos ´ ¸˜metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais, assim como a relacao entre esses elementos. ˜Os objetos tratados na Geometria Espacial sao os pontos, as retas, os segmentos de retas, os planos, as ˆ ´ ˜curvas, os angulos e as superf´cies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao os compri- ı ´ ˜ ´mentos de curvas, as areas de superf´cies e os volumes de regioes solidas. ı Assim, para iniciar o estudo da Geometria Espacial, enunciaremos alguns axiomas que relacionam oponto, a reta e o plano. ˆ ˜ O axioma a seguir estabelece a existencia de pontos que pertencem ou nao a uma reta dada. Formal-mente temos: A r ` Axioma 1. Para qualquer reta existem pontos que pertencem a reta α ˜ `e pontos que nao pertencem a reta. ´ ´ ´ Ja o proximo axioma responde a seguinte pergunta: “dados dois pontos existira uma reta que os ´contem?” 9
  10. 10. ´ Fundamentos da Matematica IV Axioma 2. Para qualquer par de pontos distintos existe uma A B´ ´unica reta que os contem. ←→ r r = AB ¸˜ ´ ¸˜ As primeiras definicoes basicas associadas a estes axiomas envolvem relacoes entre pontos e entre ´pontos e retas. A primeira descreve quando varios pontos pertencem a mesma reta e a segunda quando ¸˜ ˜duas retas se cortam. Estas definicoes sao fundamentais no desenvolvimento dos teoremas que usam a ¸˜Geometria Espacial na resolucao de problemas. 1.1 Defini¸˜o. Diremos que tres pontos sao colineares se existe somente uma reta que os contem. ca ˆ ˜ ´ n P 1.2 Defini¸˜o. Diremos que duas retas se interceptam se elas ca ˆtem um ponto em comum. m C B A Consideremos uma reta m e sobre ela os pontos A, B e C . Podemos dizer que o ponto C localiza-se entre os pontos A e B , ou que os pontos A e B estao separa- ˜dos pelo ponto C . Esta nocao de que um ponto localize-se entre dois outros e uma relacao que motiva o ¸˜ ´ ¸˜seguinte axioma: B C r ˆ ´ Axioma 3. Dados tres pontos distintos em uma reta, um e so A αum localiza-se entre os outros dois. ¸˜ A partir deste axioma podemos apresentar a seguinte definicao: 1.3 Defini¸˜o. Sejam A e B dois pontos e r a reta que passa por eles. Chamaremos de segmento AB ao caconjunto de todos os pontos de r e que estao localizados entre A e B . A e B sao chamados de extremos ˜ ˜do segmento AB . ˜ ´ ˆ ´ Muitas figuras sao constru´das usando-se segmentos. A mais simples e o triangulo que e formado por ı ˆ ˜ ˆ ˆtres pontos que nao pertencem a uma mesma reta e pelos tres segmentos determinados por estes trespontos. ¸˜ A partir destas definicoes podemos enunciar o primeiro dos teorema da Geometria Espacial, o qual ¸˜ ´garante a relacao basica entre duas retas. 1.4 Teorema. Duas retas se interceptam em um unico ponto ou nao se interceptam. ´ ˜ Antes de apresentar a demonstracao do teorema 1.4 lembre-se que, em geral, na matematica existem ¸˜ ´ ´ ¸˜ ˜ ¸˜dois tipos basicos de proposicoes: as que sao aceitas sem demonstracao, chamadas de axiomas e, as ´que podem ser deduzidas dos axiomas, conhecidas como lemas, teoremas e corolarios. Estas ultimas ´podem ser ordenadas da seguinte maneira: os lemas podem ser usados para demonstrar um teorema e ´ ˜ ¨ˆos corolarios, sao uma consequencia do teorema.10
  11. 11. ˆ ˜ Prova. Pelo axioma 2, se duas retas tem mais de um ponto em comum, entao elas devem coincidir. ` ¸˜ ´ ´ ´Portanto, a intersecao e vazia ou contem so um ponto. 2 ´ ´ Observe como e utilizado o axioma 2 na prova do teorema anterior. Ele e fundamental para estabelecer ˜ ´ ´ ˜a conexao necessaria entre a hipotese e a tese que compoem o teorema. ´ ´ ˆ ´ Outro objeto elementar da geometria espacial e o plano. Este e de muita importancia, ja que nele ´ ˜podemos agrupar diferentes objetos geometricos que sao fundamentais para esta geometria. Um axioma ´ ˆ ´se faz necessario para garantir a existencia e unicidade deste tipo de objeto geometrico. A B C ˆ ˜ Axioma 4. Tres pontos nao-colineares determinam um unico plano. ´ α = (A, B , C ) ˆ O axioma anterior garante a existencia e unicidade de um plano. Todavia, precisamos saber constru´-lo. ı ´ ¸˜ ¸˜O teorema a seguir nos da uma (das tantas) condicoes para tal construcao. 1.5 Teorema. Uma reta m e um ponto P , que nao pertence a m, determinam um unico plano que os ˜ ´ ´contem. Simbolicamente, (P ∈ m) ⇒ (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]). ( 1.1 ) Observe que a hipotese do teorema e P ∈ m e que a tese e (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]), ou seja, devemos ´ ´ ´provar que se o ponto P nao esta na reta m ⊂ α, entao existe um unico plano α que contem o conjunto ˜ ´ ˜ ´ ´formado pelo ponto P e pela reta m. Para isto devemos provar que o plano existe e depois garantir a ˜unicidade do mesmo. Vejamos entao a prova deste teorema.Prova. Consideremos dois pontos A e B da reta m. Uma vez que P nao pertence a reta m, A, B e P sao ˜ ˜ ˜nao colineares. Assim, pelo axioma 1.1.6, estes determinam um plano α. Pela construcao, α contem a ¸˜ ´reta m e o ponto P . 2 m m m P B P B P α A α A α 1.1.2 Posi¸oes relativas entre duas retas c˜ As retas podem ser entendidas como conjuntos de pontos no plano. A partir disto, podemos estudar a ¸˜ ¸˜intersecao entres duas delas por meio da seguinte definicao. n 1.6 Defini¸˜o. Duas retas sao chamadas de concorrentes se elas tem ca ˜ ˆum unico ponto em comum. ´ m Pelo Teorema 1.4 duas retas podem n˜o ter intercedamo. Por isso, temos dois poss´ a ıveis casos: As retas s˜o coplanares: a 11
  12. 12. ´ Fundamentos da Matematica IV n 1.7 Defini¸˜o. Duas retas sao chamadas de paralelas se elas sao ca ˜ ˜ ˜ ˆcoplanares nao tem um ponto em comum. m Usaremos s r para denotar que as retas s e r s˜o paralelas. a As retas n˜o s˜o coplanares: a a 1.8 Defini¸˜o. Duas retas sao reversas se nao existe um plano que as contenha. ca ˜ ˜ Conseq¨entemente, podemos dizer que: Dadas duas retas distintas, ou elas s˜o concorrentes, ou paralelas ou u areversas. O axioma mais famoso de Euclides garante que se duas retas concorrentes s˜o paralelas a uma terceira reta aent˜o elas s˜o coincidentes. Em outras palavras: a a Axioma 5. Por um ponto fora de uma reta m pode-se tracar uma unica reta paralela a m. ¸ ´ O axioma 5 ´ conhecido como O Quinto Postulado de Euclides ou Postulado das paralelas e ´ o postulado e eque caracteriza a geometria Euclidiana. O paralelismo pode ser visto como uma rela¸˜o sobre o conjunto de retas em um plano. A rela¸˜o pode ser ca cadefinida como: Sejam m e n duas retas no plano α, diremos que m ∼ n se, e somente se, m e n s˜o paralelas. aEsta rela¸˜o ´ reflexiva, j´ que toda reta ´ paralela a ela mesma, e ´ sim´trica, j´ que se m ´ paralela a n, ent˜o ca e a e e e a e an ´ paralela a m. O seguinte teorema garante que a ∼ ´ transitiva. e e 1.9 Teorema. Se duas retas m e n sao paralelas a uma reta s , entao m e n sao paralelas. Simbolicamente, ˜ ˜ ˜(m s ∧ n s ) ⇒ (m n). ˆ ˜ Prova. Consideraremos o caso geral onde as tres retas sao distintas. Por hipotese, as retas m e s determinam um plano α. De maneira analoga, as retas n e s tambem ´ ´ ´determinam um plano, β. Como s e comum aos planos α e β, s e a intersecao destes planos. ´ ´ ¸˜ Tomemos um ponto P em n e consideremos o plano γ que contem a reta m e o ponto P . Os planos ´ `distintos β e γ tem em comum o ponto P . Logo, existe uma reta r em comum a β e γ. Assim, o ponto ˆP pertence as retas n e r e ambas sao paralelas a reta s . Logo, pelo axioma 5, a reta r e igual a reta n. ` ˜ ` ´ `Portanto, como m e paralela a r e r = n, vem que m e paralela a n. ´ ´ 2 1.1.3 Outras condi¸oes para a constru¸˜o de um plano c˜ ca Vimos no axioma 1.1.6 que dados tres pontos nao colineares existe um e somente um plano que os ˆ ˜ ´ ¸˜ ¸˜ ¸˜ ¸˜contem. Utilizando as definicoes da secao anterior podemos reunir outras condicoes para a construcao de ˜um plano, sao elas: — Usando uma reta e um ponto fora da reta. — Usando duas retas concorrentes. — Usando duas retas paralelas distintas.12
  13. 13. ¸˜ ´ ¸˜ Apresentaremos, formalmente, estas construcoes atraves de teoremas e respectivas demonstracoes. 1.10 Teorema. Duas retas m e n concorrentes determinam um unico plano que as contem. Simbolica- ´ ´mente, (m ∩ n = P ⇒ (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]) ( 1.2 ) Observe que neste caso a hipotese e m ∩ n = P e a tese e (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]). Devemos provar a ´ ´ ´ ˆexistencia e a unicidade do plano. Prova. Consideremos um ponto A da reta m e um ponto B da reta n, ambos distintos do ponto P , ondeP e o ponto que m e n tem em comum. Ja que os pontos A, B e P nao sao colineares, pelo axioma ´ ˆ ´ ˜ ˜ 1.1.6,eles determinam um unico plano α. ´ 2 1.11 Teorema. Consideremos duas retas paralelas distintas. Entao, elas determinam um unico plano que ˜ ´ ´as contem. O teorema pode ser representado como; (t s ∧ r = s ) ⇒ (∃!α [r ⊂ α ∧ s ⊂ α]) ( 1.3) A demonstracao do teorema consiste em supor que existem dois planos α e α que passam por r e s e ¸˜logo em seguida se verifica que eles coincidem. Prova. Sejam A e B dois pontos distintos em r e P um ponto em s . Visto que r s , temos: (α = (r , s ); A, B ∈ r ; P ∈ s ) ⇒ α = (A, B , P ) (α = (r , s ); A, B ∈ r ; P ∈ s ) ⇒ α = (A, B , P ) Portanto, α = α . 2 1.1.4 Interse¸˜o de Planos ca Axioma 6. Se dois planos distintos tem um ponto em comum A, existe outro ponto B , comum aos planos, ˆdiferente de A. 1.12 Teorema. Sejam α e β dois planos distintos. Se eles tem um ponto em comum A, entao a intersecao ˆ ˜ ¸˜deles e uma unica reta r que passa por A. Simbolicamente, ´ ´ (α = β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β) ⇒ (∃!r [A ∈ r = α ∩ β]) ( 1.4 ) ´ Para esta prova temos, como hipotese, (α = β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β)e como tese, (∃! r [A ∈ r = α ∩ β]). Prova. Se A e o ponto em comum entre os planos α e β, temos pelo axioma 6 que deve existir outro ´ponto B diferente de A comum aos planos. Usando o axioma 2, podemos garantir que existe uma unica ´reta r que os contem. ´ 2 A partir do teorema 1.12 podemos apresentar a seguinte definicao: ¸˜ 13
  14. 14. ´ Fundamentos da Matematica IV 1.13 Defini¸˜o. Dois planos distintos que se interceptam sao chamados de secantes ou concorrentes. A ca ˜ ´ ¸˜reta comum e a intersecao desses planos ou o traco de um deles no outro. ¸ 1.1.5 Semiplanos Axioma 7. Uma reta m de um plano α separa esse plano em dois subconjuntos Γ e Σ , tais que: 1. Γ ∩ Σ = ∅; 2. Γ e Σ sao convexas; ˜ 3. (A ∈ Γ , B ∈ Σ ) ⇒ AB ∩ m = ∅. Os conjuntos Γ e Σ sao chamados de semiplanos abertos e os conjuntos m ∪ Γ e r ∪ Σ sao chamados ˜ ˜de semiplanos, e a reta m e a origem de cada um desses semiplanos. ´ ¸˜ Observe que a intersecao de dois planos determina 4 semiplanos. 1.1.6 Retas Reversas ˆ ¸˜ Dadas duas retas reversas e um ponto, tres situacoes poss´veis devem ser analisadas: ı 1. O ponto pertence a uma das retas; ` 2. O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo a outra reta; ˜ ` 3. O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano nao paralelo a outra. Exemplo 1.1. Dadas tres retas, duas a duas concorrentes, nao passando por um mesmo ponto, prove ˆ ˜ ˜que estao no mesmo plano. Solucao: Sejam m, n e r as tres retas. Denotemos com A, B e C os pontos de concorrencia de m com ¸˜ ˆ ˆn, m com r , n com r respectivamente. Visto que m, n, e r nao passam por um mesmo ponto entao A, B e ˜ ˜C nao sao colineares. Pelo axioma esses tres pontos determinarao um unico plano α procurado. ˜ ˜ ˆ ˜ ´ 2 1.1.7 Exerc´ ıcios Propostos1.1. Quantas retas existem em um plano?1.2. Quantas retas ha no espac o? ´ ¸1.3. Considere os pontos A, B , C e D , dois a dois, distintos. Quantas e quais sao as retas determinadas ˜pelos pares de pontos A, B , C e D : (a) A, B , C e D sao colineares. ˜ (b) A, B , C e D nao sao colineares. ˜ ˜14
  15. 15. 1.4. Frequentemente encontramos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas no chao, balanc am e nos ¨ ˜ ¸obrigam a colocar algum calc o em uma das pernas para que fique firme. Explique usando argumentos da ¸geometria, porque isso nao acontece com uma mesa de 3 pernas. ˜1.5. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes: ¸˜ 1. ( ˜ ˜ ) Duas retas ou sao coincidentes ou sao distintas. 2. ( ˜ ˜ ) Duas retas ou sao coplanares ou sao reversas. 3. ( ) Duas retas distintas determinam um planos. 4. ( ˆ ) Duas retas concorrentes tem um ponto em comum.1.6. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes: ¸˜ (a) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s sao reversas. ˜ (b) r e s sao reversas ⇒ r ∩ s = ∅. ˜1.7. Num plano α ha duas retas, m e n, concorrentes num ponto Q . Seja P um ponto fora de α. Considere ´o plano β que contem ao ponto P e a reta m e o plano γ que contem ao ponto P e a reta n. Qual e a ´ ` ´ ` ´intersecao de β com γ? ¸˜1.8. Demonstre que num plano existem infinitas retas.1.9. Quantos sao os planos determinados por quatro pontos distintos, dois a dois? ˜1.10. Classifique em verdadeiro ou falso: ˆ (a) Tres pontos distintos determinam un plano; (b) Um ponto e uma reta determinam un unico plano; ´ (c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.1.11. Duas retas distintas r e s , reversas a uma terceira reta t , sao reversas entre si? ˜1.12. Quantos sao os planos que passam por uma reta? ˜1.13. Quantos sao os planos que passam por dois pontos distintos? ˜1.14. Prove a existencia de retas reversas. ˆ1.15. Prove que um quadrilatero reverso nao e paralelogramo. ´ ˜ ´1.16. Prove que as diagonais de um quadrilatero reverso sao reversas. ´ ˜1.17. Duas retas nao coplanares sao reversas? ˜ ˜1.18. Duas retas coplanares ou sao paralelas ou sao concorrentes? ˜ ˜ s = ∅ e necessaria para que r e s sejam reversas?  1.19. A condicao r ¸˜ ´1.20. Um ponto P e o trac o de uma reta r num plano α. Se βe um plano qualquer que passa por r , o que ´ ¸ ´ocorre com a intersecao α ∩ β? ¸˜1.21. Duas retas r e s sao reversas. Em r ha um ponto R e em s ha um ponto S . Sejam α o plano gerado ˜ ´ ´por r e S , e β o gerado por s e R . Qual e a intersecao de α com β? ´ ¸˜1.22. As retas que contem os lados de um triangulo ABC furam um plano α nos pontos O , P e R . Prove ´ ˆ ˜que estes pontos sao colineares. 15
  16. 16. ´ Fundamentos da Matematica IV 1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos 1.14 Defini¸˜o. Diremos que a reta m e paralela ao plano α se, e somente se m e α nao tem um ponto ca ´ ˜ ˆem comum. Esta definicao pode ser representada como m ¸˜ α ⇔ m ∩ α = ∅. 1.15 Teorema. Se a reta m nao esta contida no plano α e e paralela a uma reta n contida em α, entao m ˜ ´ ´ ˜e paralela a α. Simbolicamente,´ (m α ∧ m n ∧ n ⊂ α) ⇒ m α ( 1.5 ) Neste caso a hipotese e (m ´ ´ α ∧ m n ∧ n ⊂ α) e a tese e m ´ α. Prova. Visto que m e n sao paralelos, elas determinam um plano β cuja intersecao e a reta n. Logo, ˜ ¸˜ ´todos os pontos comuns a α e β estao em n. Como m e n nao tem pontos comuns, temos que α e m nao ˜ ˜ ˜tem pontos comuns logo m e α sao paralelos. ˜ 2 ´ ¸˜ ¸˜ Esta e a condicao suficiente para que uma reta seja paralela a um plano. Vejamos agora a condicaonecessaria par que isto ocorra. 1.16 Teorema. Se a reta m e paralela ao plano α, entao existe uma reta n contida no plano α paralela a ´ ˜m. Simbolicamente, m α ⇒ (∃n ⊂ α [m n]). ( 1.6 ) Prova. Conduzimos por m um plano β que intercepta ao plano α. Logo, a intersecao de α com β nos ¸˜da uma reta n. As retas m e n sao coplanares, pois estao em β e nao tem ponto em comum. Logo, m e n ˜ ˜ ˜ ˆ ˜sao paralelas, completando assim a prova do teorema. 2 Os teoremas 1.15 e 1.16 apresentam as condicoes suficiente e necessaria, respectivamente, para a ` ¸˜ ´ ˆexistencia de retas e planos paralelos. Podemos resumi-los no seguinte teorema. 1.17 Teorema. Uma condicao necessaria e suficiente para que uma reta m, que nao pertence ao plano ¸˜ ´ ˜α, seja paralela a esse plano, e que exista uma reta n contida no plano α paralela a m. ´ 1.1.9 Posi¸oes Relativas entre uma Reta e um Plano c˜ Uma reta e um plano podem apresentar: A C 1. Dois pontos distintos; B 2. Um unico ponto em comum; ´ m 3. Nenhum ponto em comum. α 1.1.10 Exerc´ ıcios Propostos1.23. Considere um quadrilatero A, B , C e D , os pontos M , N , P , Q e R sao respectivamente pontos ´ ˜medios dos segmentos AB , AD , C D , BC , BD e AC . Prove que MNPQ e um paralelogramo. ´ ´16
  17. 17. 1.24. Construa uma reta paralela a um plano dado.1.25. Construa um plano paralelo a uma reta dada.1.26. Prove que: Se uma reta e paralela a dois planos secantes, entao ela e paralela a intersecao. ´ ˜ ´ ` ¸˜1.27. Dadas duas retas m e n, construa um plano α paralelo a m que contenha a m.1.28. Construa, por um ponto P , um plano paralelo a duas retas reversas m e n dadas.1.29. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes: ¸˜ ˆ ˜ 1. Uma reta e um plano que tem um ponto comum sao concorrentes. ˜ ˆ 2. Uma reta e um plano paralelos nao tem ponto comum. ´ ´ 3. Se uma reta e paralela a um plano, ela e paralela a qualquer reta do plano. 4. Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma, encontra a outra. 5. Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma, encontra a outra. ´ ´ 6. Por qualquer ponto e poss´vel conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas. ı1.30. Construa, por um ponto P , uma reta que se apoia em duas retas reversas r e s dadas. ´1.31. Construa por um ponto P um plano paralelo a duas retas reversas r e s dadas.1.32. Dadas duas retas reversas, existem pontos P pelos quais nao passa nenhuma reta que se apoie em ˜ ´ambas?1.33. Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, conduzida pela outra, e unico. ´ ´ 1.2 ˆ Angulo entre Duas Retas ˆ ´ Na Geometria plana vimos que angulo e a abertura formada por duas semi-retas de mesma origem. ˜Visto que na geometria espacial trabalhamos com retas que podem nao ter pontos em comum precisamos ˆdefinir angulo entre retas quaisquer. 1.18 Defini¸˜o. Duas retas que se interceptam determinam quatro angulos, dois a dois opostos pelo ca ˆvertice. O angulo entre elas e definido como menor desses angulos. Se as retas r1 e r2 sao reversas, ´ ˆ ´ ˆ ˜entao existe um ponto P de r1 por onde passa uma reta s2 paralela a r2 . O angulo entre r1 e r2 e definido ˜ ˆ ´como o angulo entre r1 e s2 . Se as retas sao paralelas o angulo entre elas e zero. ˆ ˜ ˆ ´ ¸˜ Com essa nova definicao, introduziremos de maneira natural um conceito muito importante na Geome-tria espacial: 1.19 Defini¸˜o. Duas retas sao ortogonais se, e somente se, o angulo entre elas e reto. ca ˜ ˆ ´ Usaremos o s´mbolo ⊥ para denotar a ortogonalidade de duas retas. ı ˜ ˜ ˆ ´ Lembre-se que duas retas sao perpendiculares se sao concorrentes e o angulo entre elas e reto. ˜ ´ ˜ ´Assim retas perpendiculares sao ortogonais mas o contrario nao e sempre verdadeiro. OBSERVE que durante o texto utilizaremos ⊥ tambem para indicar perpendicularidade. ´ 17
  18. 18. ´ Fundamentos da Matematica IV 1.2.1 Exerc´ ıcios Propostos1.34. Classifique em verdadeiro o falso: ˜ 1. Duas retas perpendiculares sao concorrentes; ˆ ˜ ˜ 2. Se duas retas formam angulo reto, entao elas sao perpendiculares; ˜ ˜ ˆ 3. Se duas retas sao perpendiculares, entao elas formam angulo reto; ˜ ˜ ˆ 4. Se duas retas sao ortogonais, entao elas formam angulo reto; ˆ 5. Duas retas que formam angulo reto podem ser reversas; ˜ 6. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao perpendiculares entre si; ˜ 7. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao paralelas entre si. 1.3 Reta e Plano Perpendicular 1.20 Defini¸˜o. Uma reta m e um plano α sao perpendiculares se, e somente se, ca ˜ i. existe um ponto P comum a m e a α, e ii. a reta m e perpendicular a todas as retas do plano α que passam pelo ponto P . ´ 1.21 Defini¸˜o. Diremos que a reta m e o plano α sao obl´quos se, e somente se, m e reversa e nao ca ˜ ı ´ ˜ortogonal a toda reta de α. ¨ˆ ¸˜ ´ Podemos dizer, como consequencia das definicoes anteriores, que se uma reta e perpendicular a umplano, ela e ortogonal a qualquer reta do plano. De fato, sendo m perpendicular a α em O e x e uma reta ´ ´qualquer de α, temos dois casos a considerar: 1◦ caso: x passa por O . Neste caso pela definicao m ⊥ x . ¸˜ 2◦ caso: x nao passa por O . Seja x uma reta que passa por O que seja paralela a x . pela definicao ˜ ¸˜ temos que m ⊥ x e , entao m ⊥ x ˜Portanto, podemos concluir que (m ⊥ α ∧ x ⊂ α) ⇒ (m ⊥ x ∨ x ⊥ m). m 1.22 Teorema. Uma reta m e perpendicular a um plano α se, e somente ´se, existem duas retas concorrentes a e b em α, tais que m forma angulo ˆ breto com a e b . Simbolicamente, a (m ⊥ a ∧ m ⊥ b ∧ a ∩ b = O ∧ a ⊂ α ∧ b ⊂ α) ⇒ m ⊥ α ( 1.7 ) Prova. Para provar que m ⊥ α, devemos provar que m e perpendicular a todas as retas de α que ´passam por O . Para isso, basta provarmos que m e perpendicular a uma reta x generica de α, que passa ´ ´por O . Tomemos em m dois pontos A e A , simetricos em relacao a O : OA ≡ OA . Tomemos ainda um ponto ´ ¸˜B ∈ a e um ponto C ∈ b , tais que BC intercepta x num ponto X . Notemos que, nessas condicoes, a e ¸˜ ´18
  19. 19. mediatriz de AA , b e mediatriz de AA e por isso: AB ≡ A B e AC ≡ A C . Tambem notemos que para ´ ´chegarmos a tese, basta provarmos que x e mediatriz de AA . ` ´ Temos que: (AB ≡ A B , AC ≡ A C , BC comum)⇒ ABC ≡ ˆ ˆ ˆ ˆ A BC ⇒ ABC ≡ A BC ⇒ ABX ≡ A BX . ˆ ˆ (AB ≡ A B , ABX ≡ A BX , BX comum) ⇒ ABX ≡ A BX ⇒ X A ≡ X A . X A ≡ X A ⇒ x e mediatriz de AA ⇒ m ⊥ x ⇒ m ⊥ α. ´ 2 1.23 Defini¸˜o. Sejam α e β dois planos. Diremos que α e perpendicular a β se, e somente se, α contem ca ´ ´uma reta perpendicular a β. Uma pergunta que surge de maneira natural a partir da definicao 1.21 e: Que condicao deve ser ¸˜ ´ ¸˜ ` resposta e apresentada no seguinte teorema.cumprida para que os planos α e β sejam perpendiculares? A ´ 1.24 Teorema. Se dois planos sao perpendiculares entre si e uma reta de um deles e perpendicular a ˜ ´ ` ¸˜ ˜ ´intersecao dos planos, entao essa reta e perpendicular ao outro plano. Prova. Se α ⊥ β, entao α contem uma reta a, perpendicular a β. Seja i a reta de intersecao entre os ˜ ´ ¸˜planos e suponhamos que a reta r ∈ α seja perpendicular a i . Assim temos: (a ⊥ i , r ⊥ i ) ⇒ a r . Assim,r ⊥ β. 2OBS: Outra possibilidade seria que a reta perpendicular a intersecao dos planos i estivesse no pano β ` ¸˜ ı ı `com o mesmo racioc´nio chegar´amos a tese do teorema. Pela definicao 1.21, se a uma reta e perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha e ¸˜ ´ ´perpendicular ao primeiro. Resumindo os resultados podemos formular o seguinte teorema: 1.25 Teorema. Sejam α e β dois planos secantes. α e β sao perpendiculares se, e somente se, toda reta ´ ˜m em α perpendicular a intersecao de α com β e perpendicular a β. ` ¸˜ ´ 1.3.1 Leitura ´ ˜ “Obviamente, e imposs´vel precisar as origens da geometria”. Mas essas origens, sem duvidas, sao ı ´ ´muito remotas e muito modestas. Nessa longa trajetoria, segundo alguns historiadores, a geometria pas- ˆsou por tres fases: ¸˜ (a) a fase subconsciente, em que, embora percebendo formas, tamanhos e relacoes espaciais, grac as ¸ ˜ ˜ ˜ a uma aptidao natural, o homem nao era capaz ainda de estabelecer conexoes que lhe propor- cionassem resultados gerais; ´ (b) a fase cient´fica, em que, embora empiricamente, o homem ja era capaz de formular leis gerais (por ı ˜ ˆ ˆ ´ exemplo, a razao entre uma circunferencia qualquer e seu diametro e constante); (c) a fase demonstrativa, inaugurada pelos gregos, em que o homem adquire a capacidade de de- ´ ´ ` duzir resultados gerais mediante racioc´nios logicos. O primeiro matematico cujo nome se associa a ı 19
  20. 20. ´ Fundamentos da Matematica IV matematica demonstrativa e Tales de Mileto (c. 585 a.C). Tales teria provado algumas poucas e es- ´ ´ ¸˜ ˆ ˆ ´ ˜ parsas proposicoes, como, por exemplo, “os angulos da base de um triangulo isosceles sao iguais”. Mas o aparecimento de cadeias de teoremas, em que cada um se demonstra a partir dos anteriores, agoras de Samos (c. 532 a.C.) ou na escola pitagorica. ´ parece ter comec ado com Pit ¸ ´ 1.3.2 Exerc´ ıcios Propostos1.35. Sejam a,b e c tres retas no espac o tais que a ⊥ b e c ⊥ a. Que se pode concluir a prop ˆ ¸ ´ osito dasposicoes das retas b e c ? (Justifique sua resposta) ¸˜1.36. Dois triangulos ABC e BC D sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa C D , ˆ ˜ ˆ ´ `prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC . ´ `1.37. Duas retas nao paralelas entre si sao paralelas a um plano. Toda reta que forma angulo reto com ˜ ˜ ˆ ´ambas, e perpendicular ao plano.1.38. Prove que: Se o plano α e perpendicular ao plano β e se uma reta m e perpendicular a um deles ´ ´tem um ponto P comum com o outro, entao essa reta esta contida nesse outro plano. ˜ ´1.39. Um triangulo ABC , retangulo em B , e um paralelogramo BC DE estao situados em planos distintos. ˆ ˆ ˜Prove que as retas AB e DE sao ortogonais. ˜1.40. Classifique em verdadeiro e falso: ´ ´ (a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares e necessario que eles sejam secantes. ´ (b) Uma reta perpendicular a um plano e perpendicular a todas as retas do plano. ˆ (c) Uma reta perpendicular a um plano forma angulo reto com qualquer reta do plano. ´ ˜ ´ (d) Se uma reta e perpendicular a duas retas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano.1.41. Dois triangulos ABC e BC D sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa C D , ˆ ˜ ˆ ´ `prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC . ´ `1.42. Num quadrilatero reverso de lados congruentes entre si e congruentes as diagonais, prove que os ´ ` ˜ ` ´ ˜lados opostos sao ortogonais, assim como as diagonais tambem sao ortogonais.1.43. Uma reta a e perpendicular a um plano α nu ponto O . Uma reta b de α nao passa por O e uma reta c ´ ˜de α passa por O e e concorrente com b em R . Se S e um ponto qualquer de a e a reta SR e perpendicular ´ ´ ´a b , entao b e perpendicular a c .` ˜ ´1.44. Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, sao paralelos? ˜1.45. Uma reta e um plano sao paralelas. Toda reta perpendicular a reta dada e perpendicular ao plano? ˜ ` ´1.46. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes: ¸˜ ´ ˜ ´ (a) Se uma reta e ortogonal a duas retas distintas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano. (b) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano. ´ ` ` (c) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta e perpendicular a primeira e ortogonal a ˜ ´ segunda, entao ela e perpendicular ao plano.20
  21. 21. ˆ ˆ (d) Se uma reta forma angulo reto com duas retas de um plano, distintas e que tem um ponto comum, ˜ ´ entao ela e perpendicular ao plano. ˜ ´ (e) Duas retas reversas sao paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas e perpendicular ao plano. 1.4 Poliedros Um conjunto P e convexo se, para qualquer par de pontos pertencentes a P , o segmento de reta ´que esta totalmente contido em P . Disto podemos afirmar que uma superf´cie poliedrica limitada convexa ı ´ ˜ ˜aberta ou fechada poderia ser ou nao ser uma regiao convexa. 1.26 Defini¸˜o. Uma superf´cie poliedrica limitada convexa e a reuniao de um numero finito de pol´gonos ca ı ´ ´ ˜ ´ ı ˜planos e convexos, que verificam as seguintes questoes: ˜ ˜ 1. dois pol´gonos nao estao num mesmo plano; ı ˜ ´ 2. cada lado de pol´gono nao esta em mais que dois pol´gonos; ı ı ˜ ´ ˜ 3. havendo lados de pol´gonos que estao em um so pol´gono, entao eles devem formar uma unica ı ı ´ ˜ poligonal fechada, plana ou nao, chamada contorno; 4. o plano de cada pol´gono deixa os restos deles num mesmo semi-espaco. ı ¸ ¸˜ ´ Da definicao anterior podemos classificar as superficies poliedricas limitadas convexas a partir de seu ˆ ˜ ˆcontorno, assim chamaremos de abertas as que tem contorno, e de fechadas as que nao tem. ´ ´ Uma superf´cie poliedrica limitada convexa tem os seguintes elementos basicos: ı • Faces: sao os pol´gonos; ˜ ı • Arestas: sao os lados dos pol´gonos; ˜ ı • Vertices: sao os vertices dos pol´gonos; ´ ˜ ´ ı ˆ • Angulos: sao os angulos dos pol´gonos; ˜ ˆ ı ¸˜ ´ Estudaremos as diferentes relacoes entre os elementos de uma superf´cie poliedrica limitada convexa. ı 1.4.1 Poliedro Convexo Seja n um numero finito (n ≥ 4) e consideremos n pol´gonos convexos tais que: ´ ı ˜ ˜ 1. Dois pol´gonos nao estao num mesmo plano; ı ı ´ 2. Cada lado de pol´gono e comum a dois e somente dois pol´gonos; ı 3. O plano de cada pol´gono deixa os demais pol´gonos num mesmo semi-espac o. ı ı ¸ Se as condicoes anteriores sao consideradas, entao ficam determinados n semi-espac os, cada um ¸˜ ˜ ˜ ¸ ı ´deles tem como origem o plano de um pol´gono, e contem os restantes pol´gonos. ı 21

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