Fundamentos matematica i

20,813 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
6 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
20,813
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
62
Actions
Shares
0
Downloads
665
Comments
1
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Fundamentos matematica i

  1. 1. F UNDAMENTOS DAM ATEMÁTICA 1a Edição - 2008
  2. 2. SOMESB S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA . G ERVÁSIO M ENESES DE O LIVEIRA P RESIDENTE S AMUEL S OARES S UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO G ERMANO TABACOF S UPERINTENDENTE DE E NSINO, P ESQUISA E E XTENSÃO P EDRO DALTRO G USMÃO DA S ILVA S UPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO E P LANEJAMENTO ACADÊMICO FTC-EAD FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA R EINALDO DE O LIVEIRA B ORBA D IRETOR G ERAL M ARCELO N ERY D IRETOR ACADÊMICO R OBERTO F REDERICO M ERHY D IRETOR DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES M ÁRIO F RAGA D IRETOR C OMERCIAL J EAN C ARLO N ERONE D IRETOR DE T ECNOLOGIA A NDRÉ P ORTNOI D IRETOR A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO R ONALDO C OSTA G ERENTE DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES J ANE F REIRE G ERENTE DE E NSINO L UÍS C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSEN G ERENTE DE S UPORTE T ECNOLÓGICO O SMANE C HAVES C OORD. DE T ELECOMUNICAÇÕES E H ARDWARE J OÃO J ACOMEL C OORD. DE P RODUÇÃO DE M ATERIAL D IDÁTICO M ATERIAL D IDÁTICO P RODUÇÃO ACADÊMICA P RODUÇÃO T ÉCNICA J ANE F REIRE J OÃO J ACOMEL G ERENTE DE E NSINO C OORDENAÇÃO A NA PAULA A MORIM C ARLOS M AGNO B RITO A LMEIDA S ANTOS S UPERVISÃO R EVISÃO DE T EXTO F ERNANDA L ORDÊLOA NA PAULA A NDRADE M ATOS M OREIRA M ARIA VALESCA S ILVA PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO C OORDENADORES DE C URSO R EVISÃO DE C ONTEÚDO M ARIA VALESCA S ILVA PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO C OORDENADOR DE C URSO R EVISÃO DE C ONTEÚDO A DRIANO P EDREIRA C ATTAI G ECIARA DA S ILVA C ARVALHO PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO AUTOR ( A ) E DIÇÃO EM LATEX 2ε E QUIPE A NDRÉ P IMENTA , A NTONIO F RANÇA F ILHO, A MANDA RODRIGUES , B RUNO B ENN DE LEMOS, C EFAS G OMES, C LÁUDER F REDERICO F ILHO, F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, I VES A RAÚJO, J OHN C ASAIS, MARCIO S ERAFIM , MARIUCHA S ILVEIRA P ONTE E RUBERVAL DA F ONSECA . Copyright c 2.008 FTC-EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-EAD- Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância. www.ead.ftc.br
  3. 3. SumárioBloco 1: Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia 6Tema 1: O Estudo das Funções Econômicas 6 ◦ ◦ 1.1 O Estudo das Funções do 1 e 2 Graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Funções do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Gráfico de uma Função Afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Zeros ou Raízes de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 o 1.3 Funções do 2 Grau (ou Quadráticas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Zeros da Função do 2o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Gráfico de uma Função Quadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Funções Custo, Receita e Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Função Custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Função Receita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Funções Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Outras Funções Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.1 Um Vínculo Orçamentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.2 Funções de Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.3 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.8 Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Tema 2: Estudos de Outras Funções Matemáticas e Suas Aplicações 32 2.1 Funções Exponenciais e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Crescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Funções Logarítmicas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2 Propriedades Fundamentais dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1 Aplicações dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.1 Características de Algumas Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Bloco 2: O Estudo do Cálculo e suas Implicações Econômicas 44Tema 3: Estudo do Cálculo Diferencial e suas aplicações 44 3.1 Noções Básicas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Derivadas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Pontos de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Fundamentos da Matemática 3
  4. 4. 3.4 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4.1 Notação de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.2 Derivadas de Algumas Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Taxas de Variação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6 Taxa de Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7 Aproximação por Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8 Aproximação da Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tema 4: Estudo do Cálculo Integral e Aplicações 55 4.1 Integral Indefinida e suas Propriedades Operatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Regras de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.1 Integração da Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 4.2.2 A Integral da Função f (x ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 x 4.2.3 A Integral da Função f (x ) = e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.4 A Integral do Produto de uma Constante por uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.5 A Integral da Soma é a Soma das Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4 Integral por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Área e Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5.2 Área com Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5.3 Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6 Aplicações: O Excedente do Consumidor e do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6.1 Lucro Líquido Excedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6.2 Excedente do Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.3 Excedente do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Referências Bibliográficas 664 FTC EAD |
  5. 5. A PRESENTAÇÃO DA D ISCIPLINAPrezados, Sejam bem vindos! Neste impresso, dialogaremos sobre a disciplina Matemática. Ele foi conce-bido e escrito com o objetivo de tratar, da melhor maneira possível, alguns aspectos da Matemática,seus objetivos, utilidades e aplicabilidades necessárias aos estudantes dos cursos de Bachareladoem Administração, Bacharelado em Ciências Contábeis, dentre outros. Certamente, sua organiza-ção e abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem. Com ênfase em aplicações e na solução de problemas do cotidiano, utilizaremos, principalmente,os conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, ressaltamos que alguns cuidados devemser tomados para se obter SUCESSO nessa disciplina: 1. Não transfira para o professor a responsabilidade de fazer com que você aprenda todos os conteúdos programáticos. A Matemática se aprende lendo, refletindo e exercitando MUITO. 2. Refaça os exercícios resolvidos entendendo cada raciocínio utilizado no desenvolvimento para encontrar a solução. 3. Resolva todos os exercícios complementares e propostos. 4. Aplique o conteúdo à sua vida diária e teste os conhecimentos em exercícios que o estimulam a escrever a respeito da Matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras. 5. Revise os conceitos básicos de vários assuntos vistos nas séries finais do ensino fundamental e do ensino médio, como, por exemplo, o de números reais, equações e funções. 6. Utilize uma calculadora científica quando julgar necessário. Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneiraque somente os técnicos possam interpretá-los, buscamos uma linguagem simples e objetiva quepossa lhe levar a compreensão dessa maravilhosa ferramenta que é a Matemática. Estejam sempre atentos, pois acreditamos que devemos buscar entender todo o conteúdo e osmecanismos que facilitam a compreensão de uma determinada teoria ou problema. Desta forma,vocês aprenderão e sentirão cada vez mais prazer em estudar. Prof. Profa . Geciara da Silva Carvalho e Prof. Jones Garcia da Mata.
  6. 6. BLOCO 01 Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia Apresentação A formulação matemática de um problema proveniente de uma situação prática frequentemente origina expressões que envolvem combinação de funções. Considere os seguintes questionamentos: • Como a alteração na demanda de certo produto afeta o preço do mesmo? • Que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para certo produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? • Será possível, determinar a depreciação de um determinado bem? • Como o Lucro de uma empresa está relacionado com seu nível de produção? O uso do conceito e propriedades de algumas funções nos permite responder tais perguntas, pois elas representam uma “fatia da matemática” que possibilita descrevê-las como ferramentas para o desenvolvimento de modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. Além disso, constitui-se o objeto fundamental do Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações, objeto de estudo do Bloco 2. Nesta perspectiva, faremos uma abordagem prática de tais conteúdos de modo que você possa compreender e apreender sobre os Modelos econômicos e financeiros. Neste bloco, trabalharemos, no tema I, o estudo das funções econômicas e, no tema 2, aplicações de outras funções, tais como função exponencial e a logarítmica. Portanto, tais conceitos serão trabalhados de forma contextualizada e, sempre que possível, faremos uma revisão dos conteúdos matemáticos envolvidos. TEMA 01 O Estudo das Funções Econômicas O Conceito de Função no Cotidiano As funções surgem quando uma variável depende da outra, como, por exemplo, o custo C de se enviar uma carta pelo correio depende do seu peso P . Embora não haja uma fórmula simples conectando o custo de envio e o peso da carta, o correio a possui essa fórmula específica que permite calcular C quando é dado P . Assim: 1.1 Definição. Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se que y é função de x e escreve-se y = f (x ) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca, no sentido x → y . A x chama-se variável independente e a y variável dependente. Existem quatro maneiras de representar uma função: • verbalmente: descrevendo-a com palavras6 FTC EAD |
  7. 7. • numericamente: por meios de tabelas • graficamente: visualização através de gráficos • algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita Segundo Duvall, o estudante só consegue efetivamente dominar o conceito de função quando este é capazde compreendê-lo ao menos em duas formas de representação e é capaz de passar de uma representação aoutra com desenvoltura. Nos conteúdos a seguir, buscamos exemplos que contemplassem esta abordagem, primeiro porque o con-teúdo matemático não deve ser comprometido e a precisão matemática garantida; segundo, fazer uso destesconteúdos no cotidiano do aluno, é uma condição necessária para a aprendizagem dos mesmos e, por fim,desenvolver significativamente uma metodologia que possibilite a compreensão conceitual, ou seja, a visual-ização, experimentação numérica e gráfica e aplicada do objeto apreendido. No entanto, cabe ao estudanteconsiderar a abordagem a ser estuda como ponto de partida para outros estudos que lhe permita desenvolvera capacidade de “tomar partes de descobertas”. “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta". George Polya Portanto, trataremos especificamente no tema I de aplicações de funções econômicas de 1o e 2o graus,a saber: Função Custo, Receita e Lucro, Função de Demanda e Oferta; Função Depreciação, dentre outrasaplicações. No entanto, de forma sucinta, destacaremos as propriedades de cada função a ser trabalhada,tendo como foco a contextualização do conhecimento matemático a ser apreendido, favorecendo conexõesentre diversos conceitos matemáticos com a área dos negócios, da Economia e das Ciências Humanas. 1.1 O Estudo das Funções do 1◦ e 2◦ Graus A qualquer conexão entre os elementos de dois conjuntos A e B damos o nome de "relação"de A em B .Embora o estudo das relações entre conjuntos seja importante, vamos nos ater ao estudo de um tipo especial,em que cada elemento de A tem como correspondente somente um elemento de B , o qual é denominadofunção. Uma evidência prática deste conceito pode ser compreendida através da situação a seguir. Suponha que você necessite utilizar um táxi para deslocar-se até a sua unidade pedagógica. O preço apagar pela corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y a ser paga é composta de duas partes:uma parte fixa denominada de bandeirada e uma variável, que depende do número x de quilômetros rodados.Supondo que a bandeirada custe R $3, 00 e o quilômetro rodado R $0, 60. A tarifa de táxi é obtida através dafórmula: y = 0, 60 · x + 3. Esta expressão matemática se constitui em um exemplo de função, particularmente, uma função do 1o grau. Para seu melhor entendimento sobre funções, vamos relembrar alguns aspectos importantes. 1. Uma função f de A em B é uma relação em A × B que associa a cada variável x em A, um único y em B . Fundamentos da Matemática 7
  8. 8. 2. Uma das notações mais usadas para uma função f de A em B é: f :A→B 3. O conjunto A é chamado de domínio da função. 4. O elemento y é chamado imagem de x por f e denota-se y = f (x ). 5. O conjunto B é o contradomínio da função. 1.2 Funções do 1o Grau 1.2 Definição. Uma função real do 1o grau ou afim, é qualquer função que pode ser escrita sob a forma f (x ) = ax + b , com a um número real não nulo e b um real. Simbolicamente, f : R → R; f (x ) = ax + b em que a, b ∈ Rea = 0 é função real afim. Os exemplos a seguir facilitarão a compreensão dos conceitos que envolvem uma função de 1o grau. Exemplo 1.1. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a função f : A → B definida por f (x ) = 2x + 1. Observe que x f (x ) y ou f (x ) 0 f (0) = 2 · 0 + 1 = 1 1 1 f (1) = 2 · 1 + 1 = 3 3 2 f (2) = 2 · 2 + 1 = 5 5 Numa função f : A → B , • Seu domínio é o conjunto A e é indicado por Dom(f ). No exemplo, note que Dom(f ) = {0, 1, 2}. • A imagem de uma função f é um subconjunto de B que é indicado por ℑ(f ). No exemplo anterior, ℑ(f ) = {1, 3, 5}. • Seu contradomínio é o conjunto B . Nele, temos que ℑ(f ) ⊂ B . No exemplo, verifica-se que: • f (0) = 1, isto é, 1 é a imagem de 0 pela função f ; • f (1) = 3, isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f ; • f (2) = 5, isto é, 5 é a imagem de 2 pela função f . Exemplo 1.2. Seja f : R → R uma função definida por f (x ) = 3x − 5. Determine o valor real de x para que se tenha f (x ) = 10, ou seja, sua imagem seja igual a 10, a partir desta função. Solução: Veja como é fácil! Observe que quando igualamos a imagem da função a 10, essa expressão se constitui numa equação de 1o grau. Para saber mais sobre isso consulte um livro qualquer das séries finais do ensino fundamental (8a 15 série). De fato, f (x ) = 3x − 5 e f (x ) = 10 ⇒ 3x − 5 = 10 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = = 5. 3 Logo, para a imagem por f ser 10, o valor atribuído a x deve ser 5.8 FTC EAD |
  9. 9. 1.2.1 Gráfico de uma Função Afim O gráfico de uma função de 1o grau (f (x ) = ax + b ) é uma reta. A fim de compreender o esboço do gráfico desta função, recordaremos que: Um fato bastante conhecido da geometria plana (axioma de Euclides) é que dois pontos são suficientespara determinar uma reta. Portanto, para construir o gráfico de uma função afim f é suficiente termos ascoordenadas de dois de seus pontos. Estes pontos são pares ordenados da forma (x , f (x )). Logo, para esboçarmos o gráfico de uma função afim f (x ) = 2x + 3, basta determinar as coordenadas dedois pontos distintos e, em seguida, traçarmos a reta que passa por estes pontos. Para isso, escolheremosdois valores quaisquer para x sem critério algum. Por exemplo, x = 1 e x = 2. Em seguida, encontraremos a imagem para estes pontos. Sendo assim, f (1) = 2 · 1 + 3 = 5 f (2) = 2 · 2 + 3 = 7 Desta forma, os pontos A(1, 5) e B (2, 7) pertencem ao gráfico da função f . Para esboçar o gráfico de f ,devemos marcá-los no plano cartesiano e, em seguida, traçar a reta que passa por eles, conforme as figuras aseguir. y y 8 8 B B 6 6 A A 4 4 2 2 -2 2 x -2 2 x Observe que no ponto em que a reta corta o eixo-x , a imagem é zero! Este ponto será importante paratraçarmos o gráfico desta função. 1.2.2 Zeros ou Raízes de uma Função Afim Denomina-se zero ou raiz de uma função real f , a todo valor x ∈ Dom(f ) tal que f (x ) = 0. Nota 1. • A abscissa do ponto de interseção do gráfico de uma função real f com o eixo-x é um zero de f . • O valor f (0) é a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo-y . b Portanto, se f (x ) = ax + b , com a = 0, então f (x ) = 0 ⇒ ax + b = 0. Segue que, o zero de f é x = − . aTemos, ainda, que f (0) = a · (0) + b = b . Assim, o gráfico de uma função afim intercepta o eixo-y no ponto(0, b ). Fundamentos da Matemática 9
  10. 10. Nota 2. Na função f (x ) = ax + b , a é chamado de coeficiente angular, pois está relacionado com a inclinação da reta, e b é chamado de coeficiente linear pois determina, no plano cartesiano, a ordenada do ponto onde o gráfico da função afim corta o eixo-y . A fim de esboçar, de maneira prática, o gráfico, marque, no plano cartesiano, b 1. o ponto de interseção com o eixo-x (zero da função) − , 0 ; a 2. o ponto de interseção com o eixo-y (coeficiente linear) (0, b ). Exemplo 1.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x + 3 utilizando os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados. Solução: Calculemos, inicialmente, o zero da função f. Graf(f ) 3 3 4 f (x ) = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = Logo, A − , 0 é −2. 2 B o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo-x . 2 Agora, encontremos o valor f (0). f (0) = 2 · 0 + 3 = 3. Logo, B (0, 3) é o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo-y . -4 -2 A 2 Finalmente, marcando estes pontos, obtemos o gráfico -2 de f conforme a figura ao lado. Exemplo 1.4. Construir o gráfico da função afim f (x ) = −3x + 6. Solução: Para encontrar o zero da função f , devemos resolver a equação f (x ) = 0. Segue que, −3x + 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2. Desta forma, o gráfico da função f intercepta o eixo-x no ponto A(2, 0). y Determinemos, agora, o valor de f (x ) quando x = 0. Então, B 6 f (0) = −3 · 0 + 6 = 6. Portanto, o gráfico da função f intercepta o eixo-y no ponto 4 Graf(f ) B (0, 6). 2 Marcando estes dois pontos no plano cartesiano e traçando uma reta que passa pelos pontos (0, 6) e (2, 0), obtemos o gráfico A de f conforme a figura ao lado. 2 x Note, respectivamente, que nas funções f (x ) = 2x + 6 e f (x ) = −3x + 9, temos: 1. a = 2 (a é positivo) e o gráfico da função é CRESCENTE; 2. a = −3 (a é negativo) e o gráfico da função é DECRESCENTE.10 FTC EAD |
  11. 11. Em resumo, dada uma função afim f (x ) = ax + b , temos que: Nota 3. 1. Se a > 0, então a função f é crescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação positiva e passa pelos pontos b − ,0 e (0, b ). a 2. Se a < 0, então a função f é decrescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação negativa e passa pelos pontos b − ,0 e (0, b ). a Veja, portanto, que: 1. a função f (x ) = 2x + 6 é crescente (a = 2 > 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação positiva. 2. a função f (x ) = −3x + 9 é decrescente (a = −3 < 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação negativa. 1.3 Funções do 2o Grau (ou Quadráticas) 1.3 Definição. Uma função real f , da forma f (x ) = ax 2 + bx + c , em que os coeficientes a, b e c são númerosreais, com a = 0, é uma função quadrática ou do 2◦ grau. São exemplos de quadráticas as funções: • f (x ) = x 2 − 5x + 6 • f (x ) = x 2 − 4x • f (x ) = x 2 − 9 1.3.1 Zeros da Função do 2o Grau Ao igualarmos uma função f a 0, estamos interessados em descobrir, caso existam, os valores pertencentesao domínio de f os quais se associam ao valor 0. Estes valores são chamados de zeros ou raízes da função. O processo algébrico a seguir, atribuído a Bhaskara, determina, caso existam, quem são os zeros de umafunção quadrática. Neste, devemos calcular, primeiramente, o valor do discriminante ∆ = b 2 − 4ace, caso ∆ ≥ 0, os zeros da função quadrática são calculados através das fórmulas: √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = e x2 = 2a 2a É importante que você faça uma revisão sobre a teoria que envolve equações do 2o grau, ok? Isso facilitaráa compreensão de certos aspectos que envolvem este tipo de função. Fundamentos da Matemática 11
  12. 12. 1.3.2 Gráfico de uma Função Quadrática O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e, para construí-la, devem-se seguir os passos: 1. Verificar a sua concavidade: • se a > 0, a concavidade da parábola é positiva ou voltada para cima; • se a < 0, a concavidade da parábola é negativa ou voltada para baixo. a<0 a>0 2. Determinar o ponto de interseção com o eixo-y , ou seja, (0, f (0)). Para encontrar este ponto devemos calcular quem é a imagem para x = 0. Sendo assim, f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c . Logo, o ponto de interseção com o eixo-y tem coordenadas (0, c ). 3. Calcular o discriminante ∆ e, se • ∆ > 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e distintos e o seu gráfico interceptará o eixo-x em dois pontos. • ∆ = 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e iguais e interceptará o eixo-x em apenas um ponto. • ∆ < 0, a função quadrática então não possui zeros e o seu gráfico, portanto, não interceptará ponto algum sobre o eixo-x . Você é capaz de dizer o porquê desta afirmação? 4. Calcular as raízes da função. 5. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Elas são determinadas por −b −∆ V , 2a 4a 6. Marcar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano e atentar para a concavidade da parábola. Exemplo 1.5. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 5x + 6. Solução: Seguiremos os passos descritos anteriormente. 1. Verificação da concavidade Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas. f (0) = 02 − 5 · 0 + 6 = 6. Logo, (0, 6) é este ponto.12 FTC EAD |
  13. 13. 3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função. Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja, x 2 − 5x + 6 = 0 Como a = 1, b = −5 e c = 6, temos que ∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1 Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara. √ √ √ √ −b + ∆ −(−5) + 1 5+1 −b − ∆ −(−5) − 1 5−1 x1 = = = = 3 e x2 = = = = 2. 2a 2·1 2 2a 2·1 2 4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. −b −∆ Como V , , temos 2a 4a −b −(−5) 5 −∆ −1 1 xV = = = e yV = = =− 2a 2·1 2 4a 4·1 4 5 1 Portanto, V ,− . 2 4 O gráfico da função é, portanto: 6 f 3 1 2 V 3 4Exemplo 1.6. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 5x − 6. Solução: Vamos acompanhar os passos descritos para a construção do gráfico de uma funçãoquadrática. 1. Verificação da concavidade Como a = −1, temos que a concavidade da parábola é voltada para baixo. 2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas. f (0) = −02 + 5 · 0 − 6 = −6. Logo, (0, −6) é este ponto. 3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função. Fundamentos da Matemática 13
  14. 14. Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja, −x 2 + 5x − 6 = 0 Como a = −1, b = 5 e c = −6, temos que ∆ = 52 − 4 · (−1) · (−6) = 25 − 24 = 1 Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara. √ √ √ √ −b + ∆ −5 + 1 −5 + 1 −b − ∆ −5 − 1 −5 − 1 x1 = = = = 2 e x2 = = = = 3. 2a 2 · (−1) −2 2a 2 · (−1) −2 4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. −b −∆ Como V , , temos 2a 4a −b −5 5 −∆ −1 1 xV = = = e yV = = = 2a 2 · (−1) 2 4a 4 · (−1) 4 5 1 Portanto, V , . 2 4 O gráfico da função é, portanto: V -1 -1 1 2 3 4 -2 f -3 -4 -5 -6 -7 Veremos, no exemplo a seguir, que se ∆ = 0, então a função quadrática tem dois zeros reais e iguais, isto é, a função corta o eixo-x em apenas um ponto. Exemplo 1.7. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 2x + 1. 1. Verificação da concavidade. Como a = 1, a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y . f (0) = 1 · 02 − 2 · 0 + 1 = 1. Logo, o ponto procurado é (0, 1). 3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática x 2 − 2x + 1 = 0: Como a = 1, b = −2 e c = 1, temos que ∆ = b 2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0.14 FTC EAD |
  15. 15. Observe, aqui, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais. Os zeros da função: √ √ √ √ −b + ∆ −(−2) + 0 2 −b − ∆ −(−2) − 0 2 x1 = = = = 1 e x2 = = = =1 2a 2·1 2 2a 2·1 2 4. As coordenadas do vértice da parábola: −b −(−2) 2 −∆ −0 xV = = = = 1 e yV = = =0 2a 2·1 2 4a 4·1 Portanto, V (1, 0). O esboço do gráfico da função é: 4 3 2 1 V -1 1 2 3Exemplo 1.8. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 2x − 1. Solução: Temos que ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 · (−1) · (−1) = 4 − 4 = 0, ou seja, a função quadrática temdois zeros reais e iguais. Analogamente à função anterior, obtemos que os zeros da função são x1 = x2 = 1e o vértice V (1, 0). O esboço do gráfico da função f é: 1 V -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4Exemplo 1.9. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x 2 + x + 3. Solução: 1. Verificação da concavidade. Como a = 2, a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y . f (0) = 2 · 02 + 1 · 0 + 3 = 3. Fundamentos da Matemática 15
  16. 16. Logo, o ponto procurado é (0, 3). 3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática 2x 2 + x + 3 = 0: Como a = 2, b = 1 e c = 3, temos que ∆ = b 2 − 4ac = 12 − 4 cdot 2 · 3 = 1 − 24 = −23. Observe, aqui, que a função quadrática não possui zeros reais. 4. As coordenadas do vértice da parábola: −b −1 −1 −∆ −(−23) 23 xV = = = e yV = = = 2a 2·2 4 4a 4·2 8 −1 23 Portanto, V , . 4 8 O esboço do gráfico da função f é: 23 V 8 1 −4 Observe que o gráfico da função não corta o eixo-x . Exemplo 1.10. Construir o gráfico da função f (x ) = −2x 2 − x − 3. Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que ∆ = −23 e, portanto, a função não possui zeros reais. Como f (0) = −3, o ponto (0, −3) e o de interseção como o eixo das ordenadas. Como a = −2, temos −1 −23 que a parábola tem concavidade voltada para baixo. As coordenadas do vértice são V , . 4 8 O esboço do gráfico da função f é: 1 −4 − 23 8 V Observe que o gráfico da função não intercepta o eixo-x .16 FTC EAD |
  17. 17. 1.4 Funções Custo, Receita e Lucro 1.4.1 Função Custo 1.4 Definição. Uma função C que associa a produção de uma quantidade q de algum bem ao custo total échamada de função custo.Para refletir Que tipo de função você espera que seja C (q )? Nota 4. Quanto maior for a quantidade de bens produzidos, maior será o custo. Sendo assim, C (q ) é uma função definida para valores não negativos de q , não somente para inteiros. Suponha que você seja dono de uma grande companhia que fabrica cadernos escolares. A fábrica e omaquinário necessários para começar a produção são custos fixos, pois tais custos existem ainda que nenhumcaderno seja produzido. Os custos de trabalho e matéria prima são variáveis, pois tais quantias dependem daquantidade de cadernos feitos. Imagine que em um determinado momento, os custos fixos de sua fábrica sejam de R $36.000, 00 e os custosvariáveis de R $3, 00 por caderno. Então Custo total para a companhia = Custo fixo + Custo variável = 36.000 + 3, 0 · q ,em que q representa o número de cadernos produzidos. Assim, C (q ) = 36.000 + 3, 0 · q . Esta é uma função afim e seu gráfico é o de uma reta com inclinação 3, 0 e intercepto vertical 36.000. C (q ) milhares 36.000 q (quantidade) Em resumo, os custos de produção podem ser divididos em duas partes: 1. Custos fixos CF , que existem ainda que nada seja produzido. São representados pelo intercepto vertical. 2. Custos variáveis CV (q ), que varia dependendo de quantas unidades são produzidas. 3. Custos totais CT (q ) que é a soma dos custos fixos e dos variáveis, isto é, Ct (q ) = CF + CV (q ). Fundamentos da Matemática 17
  18. 18. 1.4.2 Função Receita 1.5 Definição. Uma função R que associa a venda de uma quantidade q de algum bem ao valor total monetário recebido por uma firma é chamada de função receita. Suponha que a fábrica de cadernos venda cada um por R $12, 00, a receita por 100 cadernos é 12 · 100 = 1.200. Representando o preço por p e a quantidade vendida por q , temos Receita = Preço · Quantidade . R (q ) = p·q Portanto, R (q ) = 12q . Nota 5. Utilizaremos as letras q ou x para indicar a quantidade de um determinado produto. Se o preço não depender da quantidade vendida, o gráfico da receita em função da quantidade de um determinado produto é uma reta que passa pela origem. R q Considerando a função receita anterior, que o custo de produção de cada caderno é de R $3, 00 e que o custo fixo é de 36.000, para que valores de q a fábrica ganha dinheiro, ou seja, tem lucro? A fábrica ganha dinheiro sempre que a receita é maior que os custos (R (q ) ≥ C (q )), de modo que queremos achar os valores de q para os quais o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ). Observe que o gráfico R (q ) está acima do gráfico de C (q ), quando q ≥ QN . Recei ta C usto qN q Observando o gráfico acima, verifique que o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ) para todos os18 FTC EAD |
  19. 19. valores de q maiores que qN , onde os gráficos de R (q ) e C (q ) se cruzam. Em outras palavras, as imagens dafunção R (q ) são maiores que as imagens da função C (q ) quando os valores de q são maiores que qN . No ponto N (qN , R (qN )) ou N (qN , C (qN )), chamado ponto de nivelamento, a receita é igual ao custo. Assim,para obtermos qN (quantidade de nivelamento), ou seja, a quantidade de produto em que a receita é igual aocusto, basta: R (q ) = C (q ) ⇒ 12q = 36.000 + 3q ⇒ 9q = 36.000 ⇒ q = 4.000Portanto, qN = 4.000 cadernos. Assim, a fábrica terá lucro se produzir e vender mais que 4.000 cadernos. Perderá dinheiro se produzir evender menos que 4.000 cadernos. R$ Receita Custo 48.000 36.000 4.000 qContextualizando o SaberProblema 1. O dono de um restaurante vende, em média, 300 refeições por dia a R $5, 00 a refeição, que temum preço de custo de R $3, 00. Ele observou que, a cada R $0, 20 que ele oferece de desconto no preço darefeição, sua venda aumenta em 40 refeições. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro sejamáximo? Solução: Podemos extrair deste problema que p = 5 → x = 300 ⇒ (5; 300) p = 4, 8 → x = 340 ⇒ (4, 8; 340) Considerando p (x ) = ax + b , temos que: 5 = 300a + b 4, 8 = 340a + b Resolvendo este sistema linear, encontramos a = −0, 005 e b = 6, 5. A função que representa o valor do preço em decorrência da quantidade de refeição vendida é: p (x ) = −0, 005x + 6, 5. Fundamentos da Matemática 19
  20. 20. Sabendo que R (x ) = p (x ) · x , temos que: R (x ) = (−0, 005x + 6, 5) · x = −0, 005x 2 + 6, 5x . Considerando que o custo total, nesse problema, está diretamente relacionado com o custo variável, encontramos a função custo fazendo: C (x ) = Cu · x = 3x . Logo, a função lucro é obtida como segue abaixo: L(x ) = R (x ) − C (x ) = −0, 005x 2 + 6, 5x − 3x = −0, 005x 2 + 3, 5x Voltemos à pergunta: A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo? Perguntamos ainda: que “ferramenta matemática” podemos utilizar para, enfim, respondermos esta questão? O vértice da parábola é a ferramenta procurada, pois através dele determinarmos os pontos de máximo ou de mínimo. Neste caso, como a < 0 na função lucro acima, temos que esta admite ponto de máximo. Logo, −b −3, 5 x= = = 350 2a 2 · (−0, 005) Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é x = 350 e, para obtermos o preço que maximiza o lucro, basta substituir x por 350 na função preço: p = −0, 005 · 350 + 6, 5 = 4, 75. Exemplo 1.11. O custo fixo mensal de uma empresa é R $5.000, 00, o custo variável por unidade produzida é R $30, 00 e o preço de venda é R $40, 00. (a) Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R $2.000, 00 mensal, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro? (b) Qual a quantidade produzida que apresenta nem lucro e nem prejuízo? Solução: (a) Temos que o custo total é encontrado por C (x ) = CF + Cu · x , em que CF é o custo fixo e Cu é o custo unitário. Assim, C (x ) = 5.000 + 30x . A receita é encontrada por R (x ) = p · x ,20 FTC EAD |
  21. 21. Em que p é o preço de venda e x é a quantidade. Assim, R (x ) = 40 · x . O lucro total é dado por LT (x ) = R (x ) − C (x ) = 40x − (5.000 + 30x ) = 10x − 5.000. O lucro líquido é obtido por LL (x ) = LT (x ) − I (x ). Em que I (x ) = 0, 35 · LT (x ). Daí, segue que LL (x ) = LT (x ) − 0, 35LT (x ) = 0, 65LT = 0, 65(10x − 5.000) = 6, 5x − 3.250. Como LL (x ) = 2.000, temos 6, 5x − 3.250 = 2.000. Resolvendo esta equação, em x , temos: 5.250 6, 5x = 2.000 + 3.250 ⇒ x = ⇒ x ≈ 807, 7. 6, 5 (b) Neste caso, temos R (x ) = C (x ) ⇒ LL (x ) = 0 ⇒ 6, 5x − 3.250 = 0 ⇒ x = 500. Exemplo 1.12. Sejam RT (q ) = −q 2 + 10q e CT (q ) = q + 8, com 0 ≤ q ≤ 10, as funções receita total e custototal, respectivamente. (a) Determine os pontos de nivelamento. (b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções RT e CT destacando os pontos de nivela- mento. (c) Determinando a função lucro e construindo seu gráfico, para quais valores de q temos: lucro máximo, lucro, prejuízo e nenhum lucro? (d) Qual a quantidade produzida, que produz a maior receita? Solução: (a) Para determinar o ponto de nivelamento devemos fazer RT (q ) = CT (q ), logo −q 2 + 10q = q + 8 ⇒ q 2 − 9q + 8 = 0. Resolvendo esta equação de 2o grau, obtemos qN1 = 1 e qN2 = 8. (b) Vamos analisar, primeiramente, a função receita RT (q ) = −q 2 + 10q , que é quadrática. Sendo a = −1, então a concavidade é voltada para baixo; Seu discriminante é ∆ = (−10)2 − 4 · 1 · 0 = 100; Fundamentos da Matemática 21
  22. 22. Suas raízes são assim determinadas: √ −10 ± 100 q= ⇒ q = 0 ou q = 10. 2 · (−1) −10 100 O vértice V tem coordenadas xV = − = 5 e yV = − = 25. Assim V (5, 25). 2 · (−1) 4 · (−1) Como c = 0, a parábola corta o eixo vertical em P (0, 0). R V 25 5 10 q Para a função custo CT (q ) = q + 8, vamos determinar dois pontos do seu gráfico por se tratar uma reta. Para tanto, temos: O zero é obtido fazendo CT (q ) = 0, ou seja, q + 8 = 0 implicando em q = −8. Logo, o ponto é (−8, 0); Como o coeficiente linear é 8, isto é, seu gráfico corta o eixo vertical em P (0, 8). C 18 10 q Como não existe quantidade negativa, iremos considerar a parte positiva do eixo das abscissas. Além disso, temos 0 ≤ q ≤ 10. Abaixo, o esboço gráfico das funções num mesmo plano cartesiano, em que, 0 ≤ q ≤ 10. R$ 25 18 16 9 1 5 8 10 q22 FTC EAD |
  23. 23. Observe que CT (0) = 0 + 8 = 8 e CT (10) = 10 + 8 = 18. (c) Sabemos que LT (q ) = RT (q ) − CT (q ) = −q 2 + 10q − (q + 8) = −q 2 + 9q − 8. Portanto, a função lucro (Lt (q )) é quadrática e seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois a = −1. R$ • O discriminante é ∆ = (9)2 − 4 · (−1) · (−8) = 49 e suas raízes são q = 1 e q = 8. 9 25 • O seu vértice tem coordenadas V, . 2 2 • Como c = −8, a parábola corta o eixo vertical em 1 9 8 q P (0, −8). 2 • O esboço do gráfico da função lucro total está ao lado. Os zeros da função lucro são os pontos de nivelamento. De fato, LT (x ) = 0 implica RT (x ) = CT (x ). Conforme a figura acima, podemos perceber que a função lucro é positiva, ou seja, teremos lucro, no intervalo (1, 8); prejuízo (LT (x ) < 0): 0 < q < 1 ou 8 < q < 10. Não se tem lucro e nem prejuízo quando q = 1 ou q = 8. 25 O lucro máximo é determinado pela ordenada do vértice da parábola, ou seja, Lmax = yV = 2 (d) A quantidade produzida que determina a maior receita é o xV da função receita, ou seja, q = 5. Confirme este resultado no item (b). 1.5 Funções Oferta e Demanda A quantidade q de um produto ou bem que é manufaturado e vendido depende de seu preço p . Usualmente,se assume que quando o preço sobe, os produtos têm disposição para fornecer mais do produto e a demanda(procura) do consumidor cai. Como os produtores e consumidores têm reações diferentes à variação do preço,há duas funções ligando p e q . Estas funções podem ser representadas por qualquer curva. Criteriosamentetrabalharemos com funções do primeiro e do segundo grau. A função oferta relaciona o preço e quantidade do ponto de vista do pro- p (q )dutor, ou seja, quanto mais interessante (alto) o valor da mercadoria, maior Ofertaserá a sua disponibilidade por parte dos produtores no mercado. Enquantoque a função demanda relaciona o preço e a quantidade do ponto de vista doconsumidor, ou seja, quanto mais interessante (baixo) o valor da mercadoriamaior será a sua procura pelos consumidores no mercado. Assim, as funções Demandade oferta e demanda são, respectivamente, crescentes e decrescentes, comomostra a figura ao lado. qPara pensar A figura ao lado mostra as curvas de oferta e demanda para um dado produto. Fundamentos da Matemática 23
  24. 24. (a) Qual é o preço de equilíbrio para esse produto? A p (q ) este preço, que quantidade será produzida? 50 (b) Escolha um preço acima do preço de equilíbrio, Oferta por exemplo, p = 12. A este preço, quantos 40 itens os fornecedores estarão dispostos a pro- 30 duzir? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas respostas a estas pergun- 20 tas para explicar porque, se os preços estiverem acima do preço de equilíbrio, o mercado tende 10 Demanda a empurrar os preços para baixo (em direção ao equilíbrio). 3000 6000 q (c) Agora escolha um preço abaixo do preço de equilíbrio, por exemplo, p = 8. A este preço, quantos itens os fornecedores estarão dispostos a fornecer? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas respostas a estas perguntas para explicar porque, se os preços estiverem abaixo do preço de equilíbrio, o mercado tende a empurrar os preços para cima (em direção ao equilíbrio). Nota 6. No Ambiente Virtual de Aprendizagem existe uma espaço para discussão coletiva, chamado Fórum da Disciplina. Acesse e poste a resolução desta questão. Situação Problema Suponha que as curvas de demanda e oferta para um produto são, respectivamente, p = 100 − 0, 5x e p = 10 + 0, 5x . (a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado? (b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? A oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado e a demanda de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir no mercado. O preço do bem define a oferta ou escassez de um produto no mercado, pois se o preço na análise do pro- dutor é baixo, o mesmo não disponibiliza-o no mercado, para que a procura do produto (ausência no mercado) gere aumento no preço. Claro que, quanto mais alto o preço estiver, mas dispostos os produtores estarão a colocar sua mercadoria para circular no mercado. No entanto, o consumidor não compra. Para equilibrar este impasse, o governo estabelece um ponto de equilíbrio, a fim de se garantir o produto no mercado a um preço que o consumidor possa adquiri-lo. Portanto, é preciso saber que o preço este diretamente ligado a escassez ou a oferta de um bem no mer- cado. Como encontraremos o ponto de equilíbrio? A resposta é simples. Basta igualar a função oferta à função demanda. Sendo assim, 100 − 0, 5x = 10 + 0, 5x ⇒ x = 90. Fazendo a substituição de x por 90 em uma das equações (isso se deve ao fato, de para x = 90, ambas as equações são equivalentes. Daí, p = 10 + 0, 5 · 90 = 5524 FTC EAD |
  25. 25. Logo, o ponto de equilíbrio, é (90, 55), ou seja, o preço de mercado para o produto é 55 reais e a quantidadeque o consumidor estará disposto a comprar é de 90 unidades do produto. Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preçoe a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? Como o imposto é acrescido na função oferta, devemos acrescer 3, ou seja, p = 10 + 0, 5x + 3 = 13 + 0, 5x .Em virtude da cobrança do imposto, precisamos estabelecer um novo ponto de equilíbrio, a saber: x = 87, queé a solução da equação 100 − 0, 5x = 13 + 0, 5x . Atenção: Para encontrar este novo ponto de equilíbrio igualamos a nova oferta à função demanda. Para o novo ponto de equilíbrio, x = 87 representa a quantidade de equilíbrio e, o novo preço de equilíbrioé: p = 10 + 0, 5 · 87 = 56, 5. Como podemos perceber, o imposto sobre o produtor resultou no aumento do preço do produto, o consum-idor pagou R $1, 5 a mais. Sendo assim, o consumidor sempre paga a conta e, neste caso, assume parte doimposto que deveria ser aplicado sobre o produtor que repassa, através do aumento do preço do produto, parao consumidor. Pode? 1.6 Outras Funções Importantes 1.6.1 Um Vínculo Orçamentário Um debate constante envolve a alocação entre defesa e programas sociais. Em geral, quanto mais é gastocom a defesa, menos fica disponível para programas sociais e vice-versa. Simplifiquemos o exemplo paraarmas e manteiga. Assumido que um orçamento constante é afim, mostraremos que a relação entre o númerode armas e a quantidade de manteiga é afim. Suponha que existem R $12.000, 00 para serem gastos e quedevem ser divididos entres armas, custando R $400, 00, e manteiga, custando R $2.000, 00 a tonelada. Suponha,também, que o número de armas comprado é g e que o número de toneladas de manteiga é b . Então a quantiagasta com armas é R $4.000, 00 a quantia gasta com manteiga é R $2.000 · b . Supondo que todo o dinheiro é gasto, quantia gasta com armas + quantia gasta com manteiga = 12.000,ou 400g + 2.000b = 12.000.Dividindo por 400, obtemos g + 5b = 30 A equação é o vínculo orçamentário. Seu gráfico é uma reta, pois é afim. Observe: b 6 30 g Como o número de armas compradas determina a quantidade de manteiga comprada (porque todo o din-heiro não gasto com armas vai para manteiga), b é função de g . Logo, g = 30 − 5b , Fundamentos da Matemática 25
  26. 26. que é uma formula explícita para g em termos de b . Do mesmo modo, 30 − g g + 5b = 30 ⇒ 5b = 30 − g ⇒ b = ou b = 6 − 0, 2g , 5 que explicita b como função de g . Como tais funções são afins, o gráfico do vínculo orçamentário é uma reta, como já foi visto. 1.6.2 Funções de Depreciação A função de depreciação D (t ) fornece o valor de um produto ou bem que deprecia, linearmente, em função do tempo t , desde que o produto foi comprada. Será representado por D (t ) = vi + m · t , em que vi é o valor do bem quando novo; vf é o valor do bem após t anos. vf − vi m é a inclinação dada pela fórmula m = . tf − ti Exemplo 1.13. Suponha que a fábrica de cadernos tem uma máquina que custa R $18.000, 00. Os gerentes da empresa planejam conservar a máquina por dez anos e, então, vendê-la por R $2.500, 00. Dizemos, neste caso, que o valor da máquina se deprecia de R $18.000, 00 hoje a um valor de revenda de R $2.500, 00 reais em dez anos. Solução: O valor da máquina nova é R $18.000, 00 e t = 0, pois a máquina nunca foi usada. Neste caso, vI = 18.000 e D (0) = 18.000 + ·0 = 18.000. Quando t = 10 e vf = 2.500. Logo, 2.500 − 18.000 −15.500 m= = = −1.550. 10 − 0 10 A inclinação nos diz que o valor da máquina é decrescente a uma taxa de R $1.550 por ano. R$ 18.000 2.500 12 10 q 1.6.3 Composição de Funções Observe a situação abaixo.26 FTC EAD |
  27. 27. Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos emcrediário. No mês de outubro, a loja fará a seguinte promoção: o cliente que pagar a prestação na primeiraquinzena do mês terá um desconto sobre o valor x da prestação. O cliente pagará apenas o valor f (x ), dadopela função: f (x ) = 0, 8x . O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa de serviços. Para cada quantia det reais recebidos, o banco transfere para conta da loja a quantia g (t ) = 0, 95t . Entenda bem o esquema: Banco f (x ) = t f g Cliente Loja x g (t ) A prestação do mês de outubro de um cliente é de 150 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzenado mês, quanto pagará? A resposta para essa questão é dada pela função f (x ) = 0, 8x . O cliente vai pagar f (150) = 0, 8 · 150 = 120reais Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja? A resposta é dada pela função g (t ) = 0, 95 · t . Como o banco terá recebido t = 120 reais do cliente, a lojareceberá do banco: g (120) = 0, 95 · 120 = 114reais A prestação de um cliente para o mês de outubro é de x reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzenade outubro, terá o desconto oferecido pela loja. Qual a função que dá o valor recebido pela loja em função dex , sabendo que esse cliente pagará a prestação na primeira quinzena? Banco 0, 8 · x f g Cliente Loja x 0, 9 · 0, 8 · x h A função h é que expressa o valor recebido pela loja em função de x , ou seja, h(x ) = 0, 95 · 0, 8x = 0, 76x . A função h é chamada de função composta de g com f . Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f : A → B e g : B → C . A função h : A → C tal queh(x ) = g (f (x )) é chamada de função composta de g com f . Indicaremos essa composição por g ◦ f , lê-se gcomposta com f . Fundamentos da Matemática 27
  28. 28. Em diagramas, temos: B f (x ) f g A C x g (f (x )) h =g ◦f Para Fichar Pesquisadores ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração de monóxido de carbono no ar será dada pela função C (n) = 0, 37n + 3, 9 partes por milhão (p .p .m) de monóxido de carbono, quando sua população for de n mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade é dada pela função n(t ) = 0, 67t 2 + 12, 9 mil habitantes, onde t é dado em anos. (a) Determine a função que nos dá a concentração de monóxido de carbono no ar em função do tempo t . (b) Daqui a quanto tempo teremos uma concentração de 13,87 p.p.m de monóxido de carbono no ar dessa cidade? (a) Temos que C (n(t )) = 0, 37(0, 67t 2 + 12, 9) + 3, 9 = 0, 2479t 2 + 8, 6730p.p.m. (b) Nesse caso, √ C (n(t )) = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2+8, 6730 = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2 = 5, 197 ⇒ t 2 ⊥ 20, 96 ⇒ t ⊥ 20, 96 ⇒ t ∼ 4, 58 anos = ou seja, daqui a aproximadamente 4 anos e 7 meses. 1.7 Funções Definidas por mais de uma Sentença Consideremos a seguinte situação: Um elevador é construído mediante as seguintes especificações: • Para carga de massa menor ou igual a 1.000kg , são usados cabos de aço de 20mm de diâmetro. x • Para carga de massa xkg , em que x > 100, são usados cabos de aço de mm de diâmetro. 50 A função seguinte mostra o diâmetro f (x ) de cada cabo, em função da massa x , f (x ) em mm e x em kg : ´ 20 , se 0 ≤ x ≤ 1.000 f (x ) = x , se x > 1.000 50 Esta função é um exemplo de função definida por sentenças, neste caso, duas sentenças, são elas:28 FTC EAD |
  29. 29. 1. f (x ) = 20, se 0 ≤ x ≤ 1.000; x 2. , se x > 1.000. 50 Constrói-se o gráfico de uma função com várias sentenças a partir de cada sentença, respeitando ascondições de existência, num mesmo sistema de coordenadas. O gráfico está exibido a seguir. y 50 20 x 1000 1.8 Funções de Duas Variáveis Uma loja vende dois produtos, o primeiro a $600, 00 a unidade e o segundo a $800, 00 a unidade. Considerex e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo, respectivamente: (a) Determine a função receita: (b) Qual o valor da receita se forem vendidos 7 unidades do primeiro produto e 13 do segundo: (c) Quais as quantidades do primeiro produto e quais as quantidades do segundo produto a loja precisa vender para ter uma receita de $12.000, 00. Solução: (a) A função receita é dada por R (x , y ) = 600x + 800 · y . (b) R (7, 13) = 600 · 7 + 800 · 13 = 14.600, 00 unidades monetárias. 3 (c) R (x , y ) = 12.000 ⇒ 600x + 800y = 12.000 ⇒ 800y = −600x + 12.000 ⇒ y = − x + 20 4 y 20 80 x 3 1.8.1 Exercícios Propostos EP 1.1. Uma fábrica de equipamento Eletrônico estima que o custo variável por unidade de produção de xcalculadoras por dia é dado por: Fundamentos da Matemática 29
  30. 30. • Matéria-prima: R $8, 00 por unidade. • Mão de obra: R $7, 00 por unidade. Sabendo que cada calculadora é vendida por R $30, 00 e o custo fixo mensal é de R $3.000, 00, podemos afirmar que a quantidade de calculadoras que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de no mínimo R $4.000, 00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do lucro, é? (a) 50 (b) 51 (c) 52 (d) 54 EP 1.2. Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R $500, 00 a unidade e o segundo a R $600, 00 a unidade. Considere x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo respectivamente. Qual das alternativas abaixo responde as seguintes perguntas: (I) Qual o valor da receita se for vendidos 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo. (II) Qual expressão representa a quantidade do primeiro produto e do segundo produto que a loja precisa vender para ter uma receita de R $300.000, 00. 5x (a) R $14.000; y = 500 − 6 5x (b) R $15.000; y = 500 + 6 5x (c) R $14.000; y = 500 + 6 5x (d) R $15.000; y = 500 − 6 EP 1.3. Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3 . O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R $10, 00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R $6, 00 por metro quadrado. A expressão que representa o custo total em função da largura da caixa é: 180 (a) C (l ) = 20l 2 + ,l >0 l (b) C (l ) = 20l 2 + 36l , l > 0 180 (c) C (l ) = 20l + ,l >0 l 180 (d) C (l ) = 20l 2 + ,l >0 l2 EP 1.4. Para produzir um determinado produto, uma firma gasta R $1, 20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R $4.000, 00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R $2, 00 por unidade. Qual é o mínimo de unidades, a partir de qual a firma começa a ter lucro? (a) R $1.800, 00 (b) R $2.500, 00 (c) R $3.600, 00 (d) R $5.000, 00 EP 1.5. Admita que o Sr. Cardoso seja um empresário que se dedica exclusivamente à produção de leite e que30 FTC EAD |
  31. 31. Preço da caixa de leite Quantidade de caixas de leite oferecidas 10 1 40 5 70 9 100 13 130 17 160 21 Admita, também, que a caixa de leite, comprada pelo Sr. Cardoso, possui a função demanda p = 102, 5 −2, 5x . Marque a alternativa que determina o ponto de equilíbrio. (a) (77, 5; 10) (b) (10; 77, 5) (c) (10; 25) (d) (25; 10) Gabarito 1.1. (d) 1.2. (a) 1.3. (a) 1.4. (d) 1.5. (b) Fundamentos da Matemática 31
  32. 32. Estudos de Outras Funções TEMA 02 Matemáticas e Suas Aplicações Apresentação Neste tema, nosso objeto de estudo será a aplicação de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas na área de Ciências Sociais. 2.1 Funções Exponenciais e suas Aplicações Você já parou para pensar como tem sido crescente o aumento da internet neste últimos anos? Observamos que não se espera uma interrupção de crescimento entre, aproximadamente, 15 a 20 anos, ou melhor, não se conhecem, neste mo- mento, barreiras científicas ou tecnológicas que impossibilitem a continuação do processo de evolução tecnológica exponencial da área de informática ou de telecomunicações... Desta forma, não está descartada a possibilidade de uma nova melhora da ordem de 1.000 vezes, nos próximos 15 a 20 anos, na capacidade de processamento de computadores. ..., não estão descartadas velocidades de 25 T bps (25 trilhões de bits por segundo) num futuro não muito distante. Estes ganhos, se concretizados, mais uma vez mudarão completamente o perfil global da área em direções que são absolutamente imprevisíveis neste momento. Como será o mundo em que cada mesa terá um computador que hoje valeria US $2.000.000, 00, comunicando-se com velocidades um milhão de vezes maiores do que as atuais? Que “software” rodará em tal ambiente? Texto retirado em http://www.ime.usp.br/∼is/abc/abc/node17.html com acesso efetuado em 23 de Maio de 2008. Ao resolver problemas de juros compostos, usando logaritmos e funções exponenciais, você percebe que tais conteúdos têm sentido em sua vida presente e futura. Vejamos: “O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza". Albert Einstein Suponha que seja investido um capital C , a uma taxa de juros i . O montante M será: M = C + C · i ⇒ M = C (1 + i ). Você sabia que se os pais guardam e investem R $10, 00 por dia desde o nascimento de seu filho, quando este completar 18 anos, terá R $150.000, 00 acumulados a juros compostos, supondo que a taxa de retorno anual seja de 12%. Em 33 anos, se mantido o mesmo plano com a mesma razão de investimento, ele já terá R $1milho e , em65anos , R 2,35 milhões.32 FTC EAD |
  33. 33. Exemplo 2.1. Foram investidos R $1.000, 00 a uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual o montante após oprimeiro mês? Solução: M = C · (1 + i ) = 1.000 · (1 + 0, 02) = 1.000 · 1, 02 = 1.020. Exemplo 2.2. Qual o montante deste capital se o período do investimento for de dois meses, supondo oregime de capitalização composto, isto é, os juros incidem tanto sobre o capital com sobre os juros acumulados? Solução: Observe o seguinte comportamento: 1◦ mês M1 = C · (1 + i ) 2◦ mês M2 = C · (1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )2 3◦ mês M3 = C · (1 + i )(1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )3 . . . . . . n◦ mês Mn = C · (1 + i )(1 + i ) · . . . · (1 + i ) = C · (1 + i )n ßÞ n Sendo assim, se investirmos um capital C por um período n a uma taxa de juros i , teremos um montante M = C · (1 + i )n ao fim do período. Portanto, para o segundo mês, teremos: M = 1.000 · (1 + 0, 02)2 = 1.000 · (1, 02)2 = 1.000 · 1, 0404 = 1.040, 40, ou seja, um montante de 1.040, 40 reais. Podemos notar que o montante é uma função exponencial crescente que depende do período n, pois, nestecaso, C é uma constante, (i + 1) = a > 1 e n é a variável independente que está fazendo o papel da variávelx . É por esta razão que dizemos que o montante na capitalização composta cresce exponencialmente. Temos,então, que o montante é uma função exponencial M (n) = C · (1 + i )n , em que (1 + i ) > 0 e C é uma constante. Antes de continuarmos abordagem do conteúdo, faremos uma revisão das características principais dasfunções exponenciais. 2.2 Funções Exponenciais Uma função f : R → R, tal que f (x ) = ax , em que a ∈ R, com a > 0 e a = 1 é dita uma função exponencial. Exemplo 2.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x . Fundamentos da Matemática 33

×