Capítulo ii estatística iniciais

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Capítulo ii estatística iniciais

  1. 1. CAPÍTULO II - ESTATÍSTICA: Conceitos iniciais1. Introdução – Breve histórico O termo Estatística provém4 da palavra Estado e foi utilizadooriginalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade eraorientar o Estado em suas decisões. Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valordos impostos cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de umanova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucessão debatalhas. (Era fundamental aos comandantes saber de quantos homens,armas, cavalos etc. dispunham após a última batalha.) Atualmente, a Estatística é definida da seguinte forma:Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos queserve para estudar e medir os fenômenos coletivos. A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII,com os estudos de Bernoulli, Pascal, Laplace, Gauss, Galton, Pearson,Fisher, Poisson e outros que estabeleceram suas características atuais.Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir na razãodireta do desejo de investigação. A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no sentidodo estudo de uma população. É considerada como método quando utilizadacomo instrumento por outra Ciência. A Estatística mantém com a Matemática uma relação de dependência,solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se. Com as outras Ciências mantém a relação de complemento, quandoutilizada como instrumento de pesquisa.Em especial esta última é a relaçãoque a Estatística mantém com a Administração, Economia, Ciências Contábeis,servindo como instrumento auxiliar na tomada de decisões.Portanto, a Estatística fornece métodos para a coleta, organização, descrição,análise e interpretação de dados e para a utilização na tomada de decisões.As estatísticas são usadas para tomar decisão. Por exemplo:. a relação entre o número de vagas e o número de candidatos de cada cursodá ideia5 da probabilidade de aprovação.. as estatísticas de trânsito são úteis para organizar o policiamento.. nos horários de pico (horário nobre) , o preço da propaganda é,evidentemente, maior.Usam-se, também, os conhecimentos de Estatística em outras áreas tãodiversas como: Engenharia, Medicina, Agronomia, Psicologia, Pedagogia, etc.2. Objetivo da EstatísticaEstatística tem como objetivo o estudo dos fenômenos coletivos.3. VariáveisVariável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de umfenômeno.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  2. 2. 3.1. Qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos: sexo(masculino - feminino), cor da pele, estado civil, etc. 3.2. Quantitativa: quando seus valores são expressos em números:salário, idade, número de filhos, etc. Uma variável quantitativa que podeassumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome devariável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes aum conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta.Assim, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dosvalores do conjunto N = {1, 2, 3, ..., 58, ...}, porém, nunca valores como: 2,5 ou3,78 ou 4,325 etc. Logo, é uma variável discreta. Já o peso desses alunos éuma variável contínua, pois um dos alunos tanto pode pesar 72 kg, como 72,5kg, como 72,54 kg etc., dependendo esse valor da precisão da medida. De ummodo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ouenumerações, as variáveis discretas.Exercícios57) Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas:a) cor dos cabelos dos alunos de uma escola.b) número de filhos de casais residentes em uma determinada rua.c) o ponto obtido em cada jogada de um dado.d) naturalidade das pessoas que vivem na cidade de São Paulo.e) escolaridade dos funcionários de uma empresa.58) Diga quais variáveis são discretas e quais são contínuas:a) número de ações negociadas na bolsa.b) número de filhos de um certo casal.c) comprimento dos pregos produzidos por uma máquina.d) número de volumes na biblioteca da UNIBAN.e) salário dos funcionários de uma empresa.4. População e Amostra Ao coletar os dados referentes às características de um grupo de objetosou indivíduos, tais como as alturas e pesos dos estudantes de umauniversidade ou os números de parafusos defeituosos ou não produzidos poruma fábrica em certo dia, é muitas vezes impossível ou impraticável observartodo o grupo, especialmente se for muito grande. Em vez de examinar todo ogrupo, denominado população, examina-se uma pequena parte chamadaamostra. É necessário garantir que a amostra seja representativa da população,isto é, a amostra deve possuir as mesmas características básicas dapopulação, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. Épreciso, pois, que a amostra ou as amostras que vão ser usadas sejam obtidaspor processos adequados.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  3. 3. 5. Dados Estatísticos Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado alidar com grande quantidade de valores numéricos resultantes de um Censo oude uma estimação. Estes valores numéricos são chamados dados estatísticos. No sentido de disciplina, a Estatística ensina métodos racionais para aobtenção de informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obterconclusões válidas para o fenômeno e também permitir tomada de decisões,através de dados estatísticos observados. Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas:a) Estatística Descritiva – é a parte da Estatística que tem por objetivocoletar, organizar e descrever os dados observados.b) Estatística Indutiva ou Inferencial – é a parte da Estatística que tem porobjetivo obter, interpretar e generalizar conclusões a partir de uma amostra,através do cálculo de probabilidade. O cálculo de probabilidade é que viabilizaa inferência estatística.6. Dados Brutos Quando fazemos n observações diretas em um fenômeno coletivo ouobservamos as respostas a uma pergunta em uma coleção de n questionários,obtemos uma sequência6 de n valores numéricos. Tal sequência é denominada dados brutos. Dados brutos é uma sequência de valores numéricos, não organizados,obtidos diretamente da observação de um fenômeno coletivo.7. Rol Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os dados brutospassam a se chamar rol. Portanto, rol é uma sequência ordenada dos dados brutos.Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as seguintes notasbimestrais em Matemática: 4; 8; 7,5; 6,5. Neste exemplo, representamos por X a nota bimestral e pode serapresentada na forma:X: 4; 8; 7,5; 6,5. (Dados brutos)ouX: 4; 6,5; 7,5; 8. (Rol)i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  4. 4. 8. Amostragem proporcional estratificada Muitas vezes a população se divide em subpopulações, denominadasestratos. Como, provavelmente, a variável em estudo apresente, de estrato emestrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, umcomportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostraleve em consideração tais estratos.É exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragemproporcional estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos,obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dosmesmos.Exemplo: Em uma escola estadual existem 250 alunos, distribuídos conformequadro. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 40 alunos.Exercícios59) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas deEnsino Fundamental: Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantesmasculinos e 120 femininos.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  5. 5. 60) Uma população encontra-se em três estratos com tamanhos,respectivamente, n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizadauma amostragem estratificada proporcional, nove elementos da amostra foramretirados do 3o estrato, determine o número total de elementos da amostra.61) A tabela abaixo mostra a performance de 6 montadoras de automóveis emum determinado mês do ano de 2009. Sabendo-se que foram retiradasamostras estratificadas proporcionais, complete a tabela.62) Construa o rol para a sequência de dados brutos:a) X: 2, 4, 12, 7, 8, 15, 21, 20.b) Y: 3, 5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18.c) Z: 12,2; 13,9; 14,7; 21,8; 12,2; 14,7.d) W: 8, 7, 8, 7, 8, 7, 9.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  6. 6. CAPÍTULO III - ESTATÍSTICA DESCRITIVA1. Distribuição de frequência1.1. Tabela de distribuição de frequência: Considere a relação de números abaixo, referente às alturas (emcentímetros) dos alunos de um colégio:166 160 161 150 162 160 165 167 164 160162 161 168 163 156 173 160 155 164 168155 152 163 160 155 155 169 151 170 164154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 Para lidarmos com a lista toda, é interessante resumi-la, contando onúmero de pessoas com cada altura, fazendo uma tabela que denominamosdistribuição de freqüência.1.2. Elementos de uma distribuição de frequência:Classe: Classes de frequência ou, simplesmente, classes são intervalos devariação da variável.Limites de classe: Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.Ex.: limite inferior (li) limite superior (Li)Amplitude de um intervalo de classe (h): Amplitude de um intervalo de classe é a medida do intervalo que definea classe.h = Li – liAmplitude total da distribuição: Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superiorda última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe(limite inferior mínimo).AT = Lmax – lmini Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  7. 7. Amplitude amostral da distribuição: Amplitude amostral da distribuição (AA) é a diferença entre o valormáximo e o valor mínimo dadistribuição.AA = xmax – xminPonto médio de uma classe: Ponto médio de uma classe (xi) é, como o próprio nome indica, o pontoque divide o intervalo de classe em duas partes iguais.1.3. Tipos de frequência:Frequência absoluta (fi) Frequência absoluta ou, simplesmente, frequência de uma classe ou deum valor individual é o número de observações correspondentes a essa classeou a esse valor.Frequência relativa (fri) Frequências relativas são os valores das razões entre as frequênciasabsolutas e a frequência total.Frequência relativa percentual (fri%) Frequências relativas são os valores das razões entre as frequênciasabsolutas e a frequência total escritas na forma percentual.Frequência acumulada (Fac) Frequência acumulada é o total das frequências de todos os valoresinferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.Fac = f1 + f2 + ..... + fk ou Fac = _ fi (i = 1 , 2 , . . . , k)Frequência acumulada relativa (Far) Frequência acumulada relativa de uma classe é a frequência acumuladada classe, dividida pela frequência total da distribuição.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  8. 8. 1.4. Número de intervalos de classes: O número de classes a ser utilizado depende muito da experiência dopesquisador e das questões que ele pretende responder com a variávelcontínua. Há dois métodos para a determinação do número de classes, que são:a) Critério da raiz Se a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por i onúmero de classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz, que é, i = √ . Como o número i de classes deve ser necessariamente um númerointeiro e como dificilmente √, é um número inteiro, deixaremos como opçãopara o valor de i o valor inteiro mais próximo de √ , uma unidade a menos oua mais que este valor.b) Fórmula de Sturges Existem outros critérios para a determinação do número de classescomo, por exemplo, a fórmula de Sturges. Segundo Sturges, o número i declasses é dado por i 1 + 3,3 . log n. Para valores de n muito grandes, esta fórmula apresenta mais vantagemque o critério da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproximação dovalor de i. A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é determinada por: h = .Exemplo: Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês onúmero de unidades adquiridas por estes revendedores. Observe os seguintesdados. Construa uma tabela de frequências.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  9. 9. Exercícios63) Conhecidas as notas de 50 alunos, obtenha uma distribuição de freqüênciacom intervalos de classes iguais a 10.Determine:a) a frequência relativab) a frequência acumuladac) a frequência acumulada relativad) o intervalo de maior frequênciae) o limite inferior da 5ª classef) a amplitude total da distribuição64) Considerando os resultados de 100 lançamentos de um dado, forme umadistribuição de freqüência com esses dados.65) Uma pesquisa sobre a idade, em anos, de uma classe de calouros de umafaculdade, revelou os seguintes valores:Determine as frequências absolutas relativas, frequências acumuladas efrequências acumuladas relativas.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  10. 10. 2. Gráficos Estatísticos O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dadosestatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público emgeral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que osgráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.2.1. Gráfico em linhas Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a sérieestatística. O gráfico em linha constitui uma aplicação do processo derepresentação das funções num sistema de coordenadas cartesianas.2.2. Gráfico em colunas (vertical) É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostosverticalmente (em colunas). Os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aosrespectivos dados.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  11. 11. 2.3. Gráfico em barras (horizontal) É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostoshorizontalmente (em barras). Os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aosrespectivos dados.2.4. Gráfico em setores (popular gráfico de pizza) Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregadosempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total.2.5. Histograma O Histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos,cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontosmédios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  12. 12. 2.6. Polígono de frequência O polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo as frequênciasmarcadas sobre perpendiculares aos eixos horizontais, levantados pelospontos médios dos intervalos de classe.2.7. Pictograma O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala aopúblico, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. Arepresentação gráfica consta de figuras.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  13. 13. 2.8. Cartograma É a representação gráfica sobre uma carta geográfica. Este gráfico éempregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamenterelacionados com áreas geográficas ou políticas.2.9. Gráfico em colunas múltiplas É geralmente empregado quando queremos representar,simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito decomparação.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  14. 14. Exercícios66) Construa o histograma da tabela abaixo:67) A tabela abaixo representa uma distribuição de frequência das áreas de400 lotes:Com referência a essa tabela, determine:a) a amplitude total;b) o limite superior da quinta classe;c) o limite inferior da oitava classe;d) o ponto médio da sétima classe;e) a amplitude do intervalo da segunda classe;f) a frequência da quarta classe;g) a frequência relativa da sexta classe;h) a frequência acumulada da quinta classe;i) o número de lotes cuja área não atinge 700 2 ;j) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 2 ;l) a porcentagem dos lotes cuja área não atinge 600 2 ;m) a porcentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 2 ;i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  15. 15. n) a porcentagem dos lotes cuja área é de 500 2 , no mínimo, mas inferior a1.000 2 ;o) a classe do 72º lote;p) até que classe estão incluídos 60% dos lotes.68) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70motoristas de uma empresa de ônibus:Determine:a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidentes;b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;d) A percentagem de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5acidentes;e) A percentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.69) Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa onúmero de acidentes em determinado cruzamento observados, durante 40dias.70) Complete o quadro de distribuição de frequências.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  16. 16. 71) Complete os dados que estão faltando na distribuição de frequência:72) O Departamento Pessoal de certa firma fez um levantamento dos saláriosdos 150 funcionários do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados:Com referência a essa tabela, determine:a) determine as frequências simples relativas, frequências absolutasacumuladas e frequências relativas acumuladas.b) a frequência da quinta classe.c) a frequência relativa da oitava classe.d) a frequência acumulada da sexta classe.e) o número de funcionários que ganham até 10 salários (exclusive).f) o número de funcionários que ganham acima de 12 salários.g) a porcentagem dos funcionários que ganham menos de 8 salários.h) a porcentagem dos funcionários que ganham no mínimo, 4 salários e nomáximo, 16 salários (exclusive).i) o intervalo de maior frequência.j) até que classe estão incluídos 60% dos salários.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  17. 17. 73) (Unifor-CE) Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintesresultados:O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi: a) 178 b) 182 c) 184 d) 188 e) 19174) Numa escola, os alunos devem optar por um, e somente um, dos trêsidiomas: inglês, espanhol ou francês. A distribuição da escolha de 180 alunosestá indicada pelo gráfico ao lado. Sabendo que o ângulo do setorrepresentado pelos alunos que escolheram inglês é 252º e que apenas 18alunos optaram por estudar francês, determine: a) o ângulo do setor correspondente a francês; b) o número de alunos que optaram por espanhol e o ângulo correspondente.75) (FGV-SP) No gráfico abaixo está representado, no eixo das abscissas(eixo horizontal), o número de DVDs alugados por semana numa vídeolocadora, e no eixo das ordenadas (eixo vertical) a correspondente frequência(isto é, a quantidade de pessoas que alugaram os correspondentes númerosde DVDs):a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais DVDs?b) Se cada DVD foi alugado por R$ 4,00, qual a receita semana da vídeolocadora?i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  18. 18. 3. Índices, Coeficientes e Taxas Quando quisermos fazer comparações entre duas grandezas,poderemos ter tanto um índice quanto um coeficiente, ou mesmo uma taxa.Embora na prática seja muito comum a utilização de tais termos comosinônimos, eles apresentam algumas diferenças.3.1. Índice É a comparação entre duas grandes independentes.3.2. CoeficienteÉ a comparação entre duas grandezas em que uma está contida na outra.3.2.1. Coeficientes educacionais3.3. TaxaÉ a mesma coisa que o coeficiente, apenas apresentando-se multiplicada por10 (10, 100, 1 000 etc.) para tornar mais inteligível o fator.Taxa = coeficiente x 10Exemplo:número de óbitos: 80 080população total: 520 000i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  19. 19. Então o coeficiente de mortalidade é de 0,154, o que significa 0,154óbito por habitante. Porém, se multiplicarmos por 1 000, teremos a taxa demortalidade, de interpretação muito mais clara. Taxa de mortalidade = 0,154 x 1 000 = 154%o3.3.1. Taxas de acidentes de trabalho4. Razões específicas de grande aceitação Existem algumas razões que, pela sua aceitação, aparecemconstantemente em jornais, revistas e livros dentro de assuntos relativos aaspectos econômicos e administrativos. As mais utilizadas são:4.1. Conceitos “per capita”a) Produção “per capita” Utilizada para medir a produtividade. A produção per capita de um país,estado, município ou empresa obtém-se dividindo:b) Consumo “per capita” De maneira geral, serve para medir o padrão de vida, embora muitasvezes seja calculado especificamente para determinados produtos tais como,leite, café, carne etc. É calculado da seguinte forma:c) Renda “per capita” É a mais conhecida e utilizada, sendo publicada pelo governo eexpressa em dólares. É calculada pela divisão:d) Receita “per capita” Utilizada pelas entidades públicas e privadas que trabalham comorçamentos. É obtida da seguinte forma:i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  20. 20. 4.2. Taxas biométricas São úteis à Economia pela estreita interdependência 8 entre osfenômenos econômicos e os fenômenos da população. Geralmente seapresentam multiplicados por 1 000 e as mais usadas são:i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  21. 21. CAPÍTULO IV - Medidas de Tendência Central Até agora, estudamos de um modo geral, os grupos de valores que umavariável pode assumir. Assim é que podemos localizar a maior concentraçãode valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meioou no final, ou ainda, se há uma distribuição por igual.Porém, para ressaltar astendências características de cada distribuição, isoladamente, ou emconfronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressematravés de números, que nos permitam traduzir essas tendências. Essesconceitos são denominados elementos típicos da distribuição e são as:  medidas de posição  medidas de variabilidade ou dispersão  medidas de assimetriaAs mais importantes das medidas de posição são as medidas de tendênciacentral, as quais recebem tal denominação pelos dados observados tenderem,em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas detendência central destacamos:  a média aritmética simples  a média aritmética ponderada  a mediana  a moda 1. Média Aritmética simples () A média aritmética simples de um conjunto de números é igual aoquociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total de valores. Éo ponto de equilíbrio entre os dados.Exemplo: Suponha que um escritório de consultoria há cinco funcionários querecebem os seguintes salários mensais: R$ 1 800,00, R$ 1 780,00, R$ 1820,00, R$ 1 810,00 e R$ 1 790,00. A média aritmética dos salários ou osalário mensal dos contínuos desse escritório será de R$ 1 800,00, de acordocom a definição. Podemos estabelecer uma fórmula geral para a média. Sejam nnúmeros x1, x2, x3, ..., xn. Os números logo abaixo dos diversos x sãochamados índices. Utilizaremos o símbolo (x barra) para indicar a média.Podemos, então, escrever: A média é um exemplo de medida estatística. Uma medida estatística éum número utilizado para resumir as propriedades de um conjunto de números.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  22. 22. Podemos economizar a escrita utilizando a notação de somatório. Nessanotação, empregamos a letra grega sigma maiúsculo: . A expressão significa “somar todos os valores de x”. Podemos escrever a média como () = , =12. Média Aritmética ponderada A média aritmética é considerada ponderada quando os valores doconjunto tiverem pesos diferentes. Tratando-se de média simples, todos osvalores apresentam igual peso. Obtém-se uma média aritmética ponderadaatravés do quociente entre o produto dos valores da variável pelos respectivospesos e soma dos pesos. Assim, por exemplo, um professor pode realizar quatro provas por anoem sua disciplina, atribuindo a cada uma delas os seguintes pesos: 1, 2, 3, 4.Se um aluno tiver recebido as notas 8, 7, 9 e 9, nessa ordem, sua nota finalserá a média aritmética ponderada 8,5, obtida da seguinte maneira:Exercícios76) Os tempos de reação de um indivíduo a certos estímulos foram medidospor um psicologista como sendo 0,53; 0,46; 0,50; 0,49; 0,52; 0,53; 0,44 e 0,55segundos, respectivamente. Determine o tempo médio de reação do indivíduoa esses estímulos.77) Os graus de um estudante nas disciplinas de laboratório, leitura edeclamação foram: 7,1; 7,8 e 8,9, respectivamente. Se os pesos atribuídos aesses graus são: 2, 4 e 5, respectivamente, qual é o grau médio do estudante?78) Três professores de Economia atribuíram os graus médios de exame: 7,5;8,2 e 8,34 às suas respectivas classes, que se compunham de 32, 25 e 17estudantes, respectivamente. Determine o grau médio para todas as classes.79) Um feirante possuía 50 kg de maçã para vender em uma manhã. Começoua vender as frutas por R$ 2,50 o quilo e, com o passar das horas, reduziu opreço em duas ocasiões para não haver sobras. A tabela seguinte informa aquantidade de maças vendidas em cada período, bem como os diferentespreços cobrados pelo feirante. Determine o preço médio da maçã.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  23. 23. 80) Um ônibus de excursão partiu com 40 turistas a bordo, dos quais 8reservaram a viagem com antecedência e pagaram, cada um, R$ 300,00. Osdemais pagaram, cada um, R$ 340,00 pela viagem. Qual foi o preço médio quecada turista pagou nessa excursão?81) Um programa beneficente veiculado em um canal de TV tinha comoobjetivo arrecadar fundos para crianças carentes. O telespectador poderiaescolher entre 10, 20 ou 50 reais e ligar para o número correspondente aovalor escolhido a fim de fazer a doação. Na primeira hora, 50 000 pessoasfizeram doações, das quais 48% contribuíram com o valor mínimo, 37% com ovalor intermediário e cada uma das demais com o valor maior. Qual foi a médiade doações da primeira hora?82) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10unidades. O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos. Seas unidades que compõem determinado lote pesam:3 – 4 – 3,5 – 5,0 – 3,5 – 4 – 5 – 5,5 – 4 – 5.Este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?3. Mediana e Moda para dados não agrupados (Dados brutos)3.1. Mediana (Md): Outra medida estatística útil é a mediana. A mediana é o ponto, ouelemento, a meio caminho dos dados, isto é, metade dos números está acimadela e metade abaixo. Para calcular a mediana, devemos primeiro ordenar alista de números. De posse de uma grande lista de números, pouco proveito se pode tirardela, a menos que possamos resumi-la. Por exemplo, suponha que umapessoa que está gerenciando uma pizzaria e que mantém um controle devendas dos diversos tipos de pizza. Suponha ainda que tenha observado osseguintes valores de vendas diárias de pizzas do tipo calabresa durante umperíodo de 9 dias: 40, 56,38, 38, 63, 59, 52, 49, 46. Segue-se a lista de valores de pizza tipo calabresa, em ordemdecrescente: Para esta lista, a mediana é 49. Quatro valores são maiores do que 49, equatro são menores. (Para uma relação muito grande de números, convémutilizar um computador para ordená-los. Note que poderíamos igualmente teradotado a ordenação crescente). No caso de um número ímpar de elementos, é fácil achar o número(único) que está no meio. Mas, e se tivermos uma relação com um número pari Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  24. 24. de elementos? Suponhamos a seguinte lista de observações diárias de pizzade cogumelo: Os valores já estão ordenados, mas aqui não podemos achar umnúmero (único) que esteja exatamente no meio. Neste caso, a mediana é igualao número que está a meio caminho entre os dois números mais próximos domeio. Esses números são 48 e 47 (o quarto e o quinto valores), de modoque a mediana está a meio caminho entre 47 e 48, ou seja, 47,5. Pode-setambém encarar a medianacomo a média dos dois números do meio:47,5 = (47 + 48)/ 2. Tal como a média, a mediana é uma medida do que chamamostendência central da distribuição. Em outras palavras, a média ou a medianadá, em geral, uma boa idéia do tamanho do número que provavelmenteobteremos se escolhermos aleatoriamente um valor da lista. Há ocasiões emque a mediana constitui melhor medida de tendência central do que a média. Suponhamos, por exemplo, que os valores abaixo representem vendas de pizza tipo bacon/abacaxi por um período de 9 dias: 36, 35, 37, 29, 39, 36, 340, 35, 36 Observe que, certo dia, um grande ônibus com amantes de pizza tipobacon/abacaxi chegou ao seu estabelecimento; as vendas desse tipo de pizzaforam muito maiores naquele dia. Calculando a média desses valores, 623obtemos: 9 = 69,22. Entretanto, nenhum dos valores está próximo de 69,22. Ordenemosentão a sequência: 340, 39, 37, 36, 36, 36, 35, 35, 29.Verificamos que a mediana é 36. Neste caso, o valor da mediana dá uma ideiamuito melhor do número provável das vendas em determinado dia. Em geral, quando uma relação de valores contém um valor extremo(muito acima ou muito abaixo dos outros valores da lista), a média não é umamedida muito representativa. A mediana constitui melhor medida de tendênciacentral. Mas a média é mais fácil de calcular, sendo, por isso, utilizada commaior frequência. Quando uma distribuição de números é razoavelmentesimétrica, sem valores extremamente altos ou baixos, os valores da média e damediana em geral são muito próximos um do outro.NOTAS:  O valor da mediana pode ou não coincidir com um elemento da série, como vimos. Quando o número de elementos da série é ímpar, há a coincidência. O mesmo não acontece, porém quando esse número é par.  A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor.  A mediana, como vimos, depende da posição e não dos valores dos elementos da série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantesi Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  25. 25. entre a mediana e a média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana pode ser constatada através dos exemplos a seguir: 5, 7, 10, 13, 15 = 10 e Md = 10 5, 7, 10, 13, 65 = 20 e Md = 10 Isto é, a média do segundo conjunto de valores é a maior do que a doprimeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a medianapermanece a mesma.  A mediana é designada, muitas vezes, valor mediano.3.2. Determinação da posição da mediana a) O número de valores observados é ímpar: b) O número de valores observados é par:3.3. Emprego da Mediana Empregamos a mediana:  Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;  Quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média.3.4. Moda (Mo): Outra medida estatística interessante é a moda. A moda é o valor queocorre com maior freqüência. Quanto à sua classificação podemos dizer que uma distribuição é:unimodal (possui 1 moda), bimodal (possui 2 modas), trimodal (possui 3modas), polimodal (possui mais de 3 modas) e amodal (não possui moda).3.5. Emprego da Moda A moda é utilizada:  Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;  Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.3.6. As expressões gráficas da moda Na curva de frequência a moda é o valor corresponde, no eixo dasabscissas, ao ponto de ordenada máxima. Assim, podemos ter:i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  26. 26. Exercícios83) Os números seguintes representam, em anos, a duração do pontificado decada um dos Papas, desde Clemente XI, cujo período iniciou-se em 1700, atéJoão Paulo I, falecido em 1978: (O último número é zero, porque João Paulo I faleceu 33 dias após ter sidoeleito.)a) Determine a duração média dos pontificados.b) Determine a duração mediana.84) Considerando os conjuntos de dados abaixo, calcule em cada item amédia, a mediana e a moda.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  27. 27. 85) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são: R$ 25, R$40, R$ 33, R$ 92 e R$ 38. Determine:a) a média dos salários-hora. b) o salário-hora mediano86) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4 – 9,1 – 7,2 – 6,8 – 8,7 – 7,2.Determine:a) a nota média. b) a nota mediana. c) a nota modal87) Os dados 46 – 44 – 49 – 45 – 44 – 48 – 50 – 42 representam as massas,em quilogramas, dos atletas de uma equipe juvenil de natação. Determine amediana e a moda dessa distribuição.88) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10unidades. O lote só é aprovado se apresentar um “peso” superior a 40 quilos.Se as unidades que compõem determinado lote “pesam”:3 – 4 – 3,5 – 5 – 3,5 – 4 – 5 – 5,5 – 4 – 5, este lote será aprovado? Qual o“peso” médio do produto?4. Média, Mediana e Moda para dados agrupados sem intervalos de classe4.1. Média Considere as notas obtidas por 25 alunos, numa avaliação de Biologia,distribuídas na tabela abaixo. Determine a média, a mediana e a moda.4.2. Mediana Para o cálculo da mediana, devemos obter a frequência acumulada. 26 26Calculamos o elemento central 2 = 2 =13 ( 2 = 2 = 13). Depois,observamos na coluna onde se encontra o valor 13 (4ª classe). Portanto, ovalor da mediana é 8,5 (Md = 8,5).4.3. Moda Para o cálculo da moda, devemos observar a classe de maior frequênciaabsoluta simples. Neste caso, a moda é 8,5, pois há 8 pessoas com essa nota(Mo = 8,5).i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  28. 28. 5. Média, Mediana e Moda para dados agrupados com intervalos de classe5.1. Média Foram medidas as alturas de alunos de certa turma. Os dados estãotabelados na tabela abaixo: Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuiçãoe como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20º lugar, a partir do inícioda série, vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i = 3),supondo que as frequências dessas classes estejam uniformementedistribuídas. Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4,devemos tomar, a partir do limite inferior, a distância:i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  29. 29. E a mediana será dada por:6. Posição relativa da Média, Mediana e Moda Quando uma distribuição é simétrica as três medidas coincidem, porém,a assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior fora assimetria. Assim, em uma distribuição emforma de sino, temos:i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  30. 30. 7. Utilização das Medidas de Tendência Central Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas detendência central. Normalmente precisamos de apenas uma das medidas paracaracterizar o centro da série. Surge, então, a questão: qual medida deve ser utilizada?A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maioria dosdados da série. Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, amediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delasrepresentará bem a série. No entanto, este caso dificilmente ocorrerá naprática. Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série econsequentemente9 a medida irá representar bem, apenas os dados da sérieque se situam próximos a este valor. Os dados muitos afastados em relação aovalor da medida não serão bem representados por ela. Desta forma, se umasérie apresenta forte concentração de dados em sua área central, a média, amediana e a moda ficam também situadas em sua área central representandobem a série como na figura abaixo (ver fig. 4.3.). Como a mais conhecida é amédia, optamos por esta medida de tendência central. Concluindo, devemosoptar pela média, quando houver forte concentração de dados na área centralda série.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  31. 31. Se uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, amediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, representandobem esta concentração. A média que é fortemente afetada por alguns valoresposicionados no final da série se deslocará para a direita desta concentraçãonão a representando bem. Como a mais conhecida entre mediana e moda é a mediana, esta será amedida indicada neste caso. A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração dedados em seu final. Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forteconcentração de dados no início ou no final da série. A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas emséries que apresentam um elemento típico, isto é, um valor cuja frequência émuito superior à frequência dos outros elementos da série.Exercícios:89) Numa pesquisa entre 250 famílias de certa cidade constataram-se osseguintes dados:Para a distribuição do número de filhos, calcular a média, a mediana e a moda.90) Se os dados do problema anterior estivessem computados como segue:qual das três medidas nós teríamos dificuldades para calcular?91) Os dados seguintes referem-se ao tempo de vida (durabilidade) de 150lâmpadas elétricas de certa fabricação, em centenas de horas.92) A média dos salários dos funcionários de uma determinada empresa é 5salários mínimos (5 SM), enquanto que a mediana é 4 SM. Sorteando-se aoacaso um dos funcionários, o que é mais provável: que ele ganhe mais ou queele ganhe menos do que a média dos salários?i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  32. 32. 93) Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuiçãoutilizamos:a) a média b) a mediana c) a moda d) a moda ou a média94) Quando desejamos o ponto médio exato de uma distribuição de frequência,basta calcular:a) a médiab) a modac) a medianad) as três95) Considere uma série estatística com 2351 elementos. A posição damediana é representada pelo:a) 1175º elementob) 1176º elementoc) ponto médio entre o 1175º e o 1176º elementod) 1174º elemento96) Um professor, após verificar que toda a classe obteve nota baixa, eliminouas questões que não foram respondidas pelos alunos. Com isso, as notas detodos os alunos foram aumentadas de 3 pontos. Então:a) a média aritmética ficou alterada, assim como a mediana.b) apenas a média aritmética ficou alterada.c) apenas a mediana ficou alterada.d) não houve alteração nem na média nem na mediana.e) nada podemos afirmar sem conhecer o número total de alunos.97) Calcule o número médio, mediano e modal de acidentes por dia em umadeterminada esquina.98) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo oquadro abaixo. Calcule o salário médio, mediano e modal destes funcionários.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  33. 33. 99) Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo oquadro abaixo. Calcule o aluguel médio, mediano e modal para estasresidências.100) Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 54 notas fiscais,durante um dia, e obteve o seguinte quadro:Determine a média, mediana e moda.101) A tabela abaixo representa a nota de 60 alunos em uma prova deMatemática. Determine a moda e interprete.102) A distribuição abaixo representa as alturas de 70 alunos de uma classe.Calcule a moda para esta distribuição.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  34. 34. 103) A distribuição abaixo representa o consumo, em kg, de um produto emoferta em um supermercado, que limitou o consumo máximo por cliente em 5kg. Calcule a moda.104) Na tabela abaixo, estão representados os resultados de um levantamentorealizado com 180 pessoas, na praça de alimentação de um shopping center,sobre seus gastos em uma refeição.a) Qual é o valor de x?b) Que porcentagem do total de entrevistados gasta de R$ 20,00 a R$ 25,00por refeição?c) Que porcentagem do total de entrevistados gasta menos de R$ 15,00 porrefeição?i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  35. 35. 107) Um barzinho funciona de quinta-feira a domingo. A casa cobra pelaentrada R$ 20,00 de homens e R$ 15,00 de mulheres. Aos domingos, hádescontos de 5% para os homens e 10% para as mulheres. No gráfico seguinteestá representado o público que o barzinho recebeu em certa semana:a) Quantos ingressos a casa vendeu na semana?b) Considerando apenas os valores das entradas, qual foi a receita obtida pelacasa na semana?c) Quantas mulheres a mais, no mínimo, deveriam ter ido ao barzinho nodomingo a fim de que as receitas geradas por mulheres superassem a receitagerada pelos homens naquele dia?108) O histograma a seguir informa os valores das trinta primeiras comprasregistradas em uma manhã por um caixa de supermercado:Determine o percentual aproximado, em relação ao total, das compras cujosvalores:a) não excederam R$ 10,00.b) excederam R$ 20,00.i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  36. 36. 109) Um corretor de imóveis relacionou, ao longo de dois anos de trabalho, aquantidade de imóveis comercializados (venda ou locação) mensalmente. Osresultados encontram-se na tabela abaixo:110) A tabela a seguir dá a distribuição salarial dos funcionários de umadeterminada empresa.a) Calcule a média aritmética.d) Calcule o valor modale) Calcule o valor medianof) Qual o número de funcionários com salário abaixo de 11 salários mínimos?g) Qual o percentual de funcionários com salário abaixo de 11 saláriosmínimos?h) Qual o número de funcionários com salário abaixo de 13 salários mínimos?i) Qual o percentual de funcionários com salário abaixo de 13 saláriosmínimos?j) Qual o número de funcionários com salário igual ou acima de 7 saláriosmínimos?k) Qual o percentual de funcionários com salário igual ou acima de 7 saláriosmínimos?l) Qual o número de funcionários com salário igual ou acima de 9 saláriosmínimos?m) Qual o percentual de funcionários com salário igual ou acima de 9 saláriosmínimos?n) Qual o número de funcionários com salário no intervalo igual ou acima de 5salários mínimos e abaixo de 11 salários mínimos?i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  37. 37. o) Qual o percentual de funcionários com salário no intervalo igual ou acima de5 salários mínimos e abaixo de 11 salários mínimos?p) Q2q) D1 r) P97s) Qual é a variável em estudo?t) Qual é a amplitude total?u) Qual é a amplitude de classe?111) Um provedor de Internet mediu o tempo (em minutos) de uso diário darede por seus assinantes. Com os dados obtidos construiu-se o seguintehistograma:a) Que porcentagem do total de assinantes fica entre meia hora e uma hora narede?b) Qual é a média e a mediana do tempo de uso da Internet?112) (UC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de trêscandidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se oresultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de ummesmo disco e certo candidato recebeu 350 intenções de voto, determine oângulo central correspondente a este candidato.113) Os dados abaixo referem-se às porcentagens de aprovação, por parte daspopulações de 10 cidades, de certo projeto governamental.15% – 12% – 15% – 8% – 86% – 13% – 13% – 83% – 11% – 13%a) Em média, qual é a porcentagem da população favorável ao projeto?b) Elimine as duas observações discrepantes e calcule novamente a média.Qual é o valor encontrado?c) Calcule a mediana e a moda dos dados originais. Você acha que essasmedidas de centralidade são adequadas para a interpretação desses dados?i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  38. 38. 114) Houve uma denúncia de intoxicação por mercúrio em uma remessa de 20latas de certo produto que chegaram a um supermercado. Então, foi feita umainspeção para determinar a massa de mercúrio (material tóxico) presente emcada lata. Os resultados da inspeção são dados a seguir (em g de mercúrio por1 000 g do produto):Uma remessa é confiscada quando, em média, a massa de mercúrio é superiora 0,4 g.a) Deve essa remessa ser confiscada? Justifique.b) Para evitar o confisco, o fornecedor propôs acrescentar cinco novas latas aessa remessa, garantindo que todas as novas latas contêm massas iguais demercúrio. Qual é a massa máxima de mercúrio que cada lata pode conter, a fimde que a “nova” remessa não seja confiscada?115) Supondo uma pesquisa de preferência esportiva de um grupo de 30pessoas, podemos obter o seguinte gráfico de colunas:Assinale a alternativa correta:a) vôlei é o esporte mais apreciado nessa pesquisab) natação é o esporte mais apreciado pelas pessoas dessa pesquisac) oito pessoas preferem futebold) menos de duas pessoas preferem basquete113) O Departamento Pessoal de certa firma fez um levantamento dos saláriosdos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados:i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  39. 39. Calcule:a) médiab) medianac) modad) se for concebido um aumento de 100% para todos os 150 funcionários,haverá alteração de média? Para quanto?i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  40. 40. i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  41. 41. i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  42. 42. i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  43. 43. i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  44. 44. Anexo I Frequência relativa Vamos considerar um experimento que consiste no lançamento de umamoeda não viciada várias vezes sucessivamente. O que se pode esperar emrelação ao número de vezes que ocorre cara? Imagine que, em um certo dia, a moeda tenha sido lançada vezes,sendo obtidos doze resultados “cara”. Dizemos que a frequência relativa f1 12correspondente à ocorrência de cara é f 1 = 20 = 0,60. No dia seguinte, a mesma moeda foi lançada cinquenta vezes e em 28lançamentos apareceu a face cara. A frequência relativa f2 é dada por : 28 f2 = 50 = 0,56. No terceiro dia, a moeda foi lançada 150 vezes sucessivamente e foram 80obtidas oitenta caras. A frequência relativa f3 é dada por f3 = 150 = 0,53333... À medida que o número de lançamento aumenta, espera-se que, sendoa moeda não viciada, a frequência relativa correspondente à ocorrência de carase estabilize em torno do valor 0,50 (ou 50%). Esse valor, como sabemos, é a probabilidade de ocorrência da face carano lançamento de uma moeda não viciada. Nesse sentido, o conceito de frequência relativa aplicado em umasituação em que o número de repetições é arbitrariamente grande equivale àdefinição de probabilidade de ocorrência de um evento em um espaço amostralequiprovável. Muitas vezes é através da frequência relativa que se calculam certasprobabilidades como, por exemplo, a chance de ocorrer:  um acidente aéreo com uma aeronave da Boeing;  uma peça defeituosa em um lote;  um assalto em uma determinada farmácia aberta 24 horas;  uma reação alérgica em um paciente ao ingerir certo medicamento;  uma troca do número da camiseta em uma loja de moda jovem.Fonte:IEZZI, G. e DOLCE, O. Matemática Volume Único – 4 ed. São Paulo: AtualEditora, 2007 – pp. 606i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  45. 45. Anexo II Os censos demográficos A Estatística também é utilizada para levantar informações sobre umapopulação inteira como ocorre, por exemplo, nos censos demográficos. Até 1872 não eram feitos levantamentos específicos de contagem donúmero de habitantes no Brasil. Havia apenas relatórios preparados comoutras finalidades, como os de temática religiosa feitos pela Igreja, os relatóriosdos funcionários da Colônia enviados às autoridades de Portugal, ou ainda, oslevantamentos militares realizados pela Coroa Portuguesa visando à defesa doterritório. O primeiro censo demográfico nacional, realizado em 1872, foi intituladoRecenseamento da População do Império do Brasil. Outros três ocorreram em1890, 1900 e 1920. Em 1935 foi criado o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística(IBGE), que implantou a periodicidade decenal e ampliou a abrangênciatemática dos questionários, introduzindo questões de cunho socioeconômico,como emprego, mão-de-obra, rendimentos, fecundidade, etc. Os censos produzem informações indispensáveis para a definição depolíticas públicas estaduais e municipais e para a tomada de decisões deinvestimentos, tanto no âmbito público como no privado. Entre os principais usos dos resultados censitários, podemos citar:  acompanhar o crescimento, a distribuição geográfica e a evolução de características da população;  identificar áreas que requerem investimentos prioritários em saúde, habitação, energia, educacao, transporte, assistência ao idoso, etc.;  identificar áreas carentes em projetos sociais;  fornecer informações precisas à União para o repasse de verbas para Estados e municípios;  analisar o perfil da mão-de-obra nos municípios e transmitir essas informações às organizações sindicais e profissionais, favorecendo decisões acertadas de investimentos do setor privado. A sociedade brasileira cada vez mais necessita de informaçõesdetalhadas e geograficamente específicas. Assim, é importante que, nopróximo censo, cada cidadão receba bem os entrevistadores do IBGE eresponda corretamente aos questionários.Para saber mais sobre este assunto, acesse www.ibge.gov.brFonte:IEZZI, G. e DOLCE, O. Matemática Volume Único – 4 ed. São Paulo: AtualEditora, 2007 – pp. 613i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  46. 46. Anexo III A Estatística é o melhor calmante É inevitável. Depois de um ano sombrio para a aviação comercial, comofoi o de 1996, até o passageiro mais viajado sente medo. Diante de tantosdesastres aéreos nas manchetes dos jornais, não há quem o convença de queas quedas são raras, de que o normal é tudo dar certo. Mas é exatamenteisso que dizem as estatísticas. A chance de alguém bater o carro e morrer acaminho do aeroporto é 500 vezes maior do que a de o avião cair. Segundo aAdministração Federal de Aviação, americana, de cada 1 000 mortes, 228acontecem em acidentes rodoviários e 0,45 em aeroviários. Até nadar é maisperigoso. A cada 1 000 fatalidades, 26 são por afogamento. “Seria preciso viajar todos os dias, durante 712 anos, para que alguémse envolvesse com certeza em um acidente aéreo”, disse à SUPER StuartMatthews, da FSF (sigla para Fundação de Segurança no Voo, em inglês). Oque aconteceu no dia 31 de outubro em São Paulo, quando um Fokker 100despencou sobre várias casas segundos depois de decolar, foi uma tremendafalta de sorte, levando-se em conta as estatísticas. Pesquisas mostram quedesde o final da década de 50 o número de desastres caiu bastante, emboraeles tenham matado mais de 20 000 pessoas. Há 37 anos, eram sessentacasos para cada milhão de decolagens. Hoje são três. E o Brasil segue atendência. Em 1987, quando o país tinha 7 890 aviões, houve 226 acidentes.Hoje, com uma frota quase 20% maior, o número baixou para menos dametade. Mas a matemática nem sempre tranquiliza. A lei da gravidade pareceser mais cruel na América Latina. Aqui, a cada milhão de pousos e decolagens32,4 não dão muito certo. Na América do Norte a frequência é oito vezesmenor. “E o maior problema é a tripulação“, diz Stuart Matthews. Ou seja, emgeral a culpa não é da tecnologia. Os números animadores também não valem para aviões pequenos. NoBrasil, entre 1992 e 1994, os desastres com jatinhos aumentaram em 55%.Alguns viraram notícia. Na noite de 2 de março de 1996, um Learjet chegou noAeroporto de Guarulhos com velocidade superior à indicada para pouso. Opiloto subiu e virou à esquerda. Chocou-se com uma montanha. Morreramnove pessoas. Eram os Mamonas Assassinas e a tripulação. Conclusão doinquérito policial: erros do piloto, do co-piloto e da torrei Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.
  47. 47. .i Material de Apoio de Estatística produzido pelo Prof. Cícero José e disponibilizado para as turmas de Téc. em Gestão de Recursos Humanos e Téc. em GestãoBancária do Prof. Carlos Roberto da Silva.

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