Apostila3

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Apostila3

  1. 1. Polinômios.(Todas as definições a seguir serão válidas para o conjunto dos números reais.) Os polinômios podem ser definidos da seguinte forma: p(x) = ao + a 1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnsendo ai números reais chamados de coeficientes (com i = 0,1,2,3,...). O coeficiente a0é conhecido como coeficiente constante, pois a incógnita que o acompanha temexpoente nulo . O grau de um polinômio é definido pela incógnita que tem o expoente de maiorvalor e pode ser ordenado de forma crescente ou decrescente. Quando polinômio temum ou mais termos nulos, então ele é chamado de incompleto. Uma das funções polinomiais mais importantes é definida por: f(x) = a x² + b x + cchamada de função do segundo grau. O gráfico desta função é a curva planadenominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos deCinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. O valor numérico de um polinômio é obtido através da substituição daincógnita pelo número que se deseja. Outras informações sobre os polinômios desegundo grau se têm ao analisar os gráficos formados. Esta matéria será melhortratada na aula de funções. Vejamos um exemplo:Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por: p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27Algumas propriedades dos polinômiosIgualdade de polinômios: A igualdade se verifica se, e somente se, o grau dos polinômios forem iguais eseus coeficientes também.
  2. 2. Soma de polinômios: Considere os polinômios p(x) e q(x) p(x) = ao + a 1x + a2x² + a3x³ +... + anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxna soma será basicamente somar os coeficientes de mesmo grau. Veja o resultado dasoma: (p+q)(x) = (ao +bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xnPode-se definir que a+b = c, sendo assim, temos que a resposta, de forma mais exata,será: (p+q)(x) = (co)+(c1)x+(c2)x²+...+(cn)xn Existem algumas propriedade da soma que são importantes de seremlembradas. Elas são:Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r)Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p+q=q+pElemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que po + p = pElemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que p+q=0Produto de polinômios Assim como na soma, o objetivo é apenas multiplicar os coeficientes relativosao mesmo grau. Veja o exemplo: sejam os polinômios p(x) e q(x) p(x) = ao + a 1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bn xno resultado será dado por: r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxnlembrando que o produto deve ser feito de forma distributiva, ou seja, todoselementos de um polinômio multiplicam todos os elementos do outro polinômio.Assim como na soma, o produto também tem suas propriedades:
  3. 3. Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p · q) · r = p · (q · r)Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p·q=q·pElemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que po · p = poElemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que p1 · p = pqualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p 1=1.Equações de 1º grauUma função do 1º grau é toda função do tipo:y(x) = ax + bOnde a ≠ 0A solução (ou raiz, ou zero) dessa equação é simples, e é obtida isolando-se o x quandoy = 0:Toda função do 1º grau tem seu gráfico representado por uma reta, por isso tambémpode-se chamar de função linear.Por exemplo, para a função y(x) = 3x -1 seu gráfico é:
  4. 4. Os dois pontos principais desse tipo de gráfico são os pontos onde ocorre a retaintercepta um eixo, nesse caso esses pontos são  (0 , -1) e (1/3 , 0).Esses pontos são importantes, pois nos dizem como a reta é.Os coeficientes a e b da função são chamados de coeficientes angular e linearrespectivamente.O coeficiente angular também é igual a: a = tg θOnde θ é o ângulo formado entre a reta e o eixo x.Na matéria de laboratório vê-se muitas relações e fenômenos que podem ser descritosou aproximados à uma reta.Equações de 2º grauAnalogamente à função de 1º grau, uma função de 2º grau é toda função do tipo: y(x) = ax 2 + bx + conde a ≠ 0Existem dois meios principais de se achar as raízes de uma equação de 2º grau.Por BhaskaraEsse método se baseia em uma quantidade chamada Delta ΔAs raízes são dadas pela seguinte equação:Onde Δ = b2 – 4acVeja que teremos 2 raízes, ou seja, pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. São elas: ePor Soma e Produto
  5. 5. O objetivo deste método é encontrar as raízes através de “chutes” usando as relaçõesde soma e produto das soluções.A soma das duas raízes é:O produto das duas raízes é:Ao saber o resultado da soma e produto das duas raízes, o procedimento é “chutar”um valor para uma raiz e verificar se bate com a soma e com o produto.Uma função de 2º grau é representada por uma parábola, que é um gráfico que possuiuma simetria em relação ao seu vértice, ou seja, a parábola pode ser dividida em 2partes iguais.Abaixo está representado o gráfico para a função y(x) = x2Vemos que no ponto (0 , 0) está situado o vértice da parábola, ou seja, o ponto no quala função inverte sua forma, ela passa de decrescente para crescente (nesse caso).As coordenadas do vértice sãoLembrando que essa notação indica primeiro a coordenada x depois a coordenada y,ou seja (x,y).
  6. 6. Existem somente 6 tipos de gráficos para uma função de 2º grau, e eles dependem dosvalores de a e de Δ.Se a > 0  concavidade (boca da parábola) para cima;Se a < 0  concavidade para baixo;Se Δ > 0  existem duas raízes reais e distintas;Se Δ = 0  existem duas raízes reais e idênticas;Se Δ < 0  não existe raiz real.Dizemos que uma função é positiva em tal intervalo se naqueles pontos seu valor formaior que 0.Dizemos que uma função é negativa em tal intervalo se naqueles pontos seu valor formenor que 0.Por exemplo, para a função y(x) = x2 - 4x + 3Suas raízes são x1 = 1 e x2 = 3Seu gráfico (gerado no Origin) é:
  7. 7. Model Polynomi 25 Adj. R-Squ 0,9988 Value Standard Er B Intercept 2,8475 0,13219 20 B B1 -3,977 0,05352 B B2 1,0011 0,01097 15 B Polynomial Fit of B Y(x) 10 5 0 -5 -4 -2 0 2 4 6 8 XPor enquanto, esses valores na tabela não nos interessam. Os pontos foram fornecidospor mim, enquanto que a reta vermelha representa o “fit” (ou ajuste) dos pontos àuma parábola média. Veja que nos pontos (1,0) e (3,0) a curva intercepta o eixo x.Vejam também que nos intervalos do eixo x (- , 1) e (3, + ) a curva está acima doeixo x, isso significa que ela é positiva. Já no intervalo (1,3) a curva passa por baixo,mostrando que ela é negativa.

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