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14 eac proj vest mat módulo 2 exercícios variados

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14 eac proj vest mat módulo 2 exercícios variados

  1. 1. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Exercícios Prof. Bruno Vianna Variados01) (UFRJ-2011) Nei deseja salvar, em seu pen drive de 32 Gb, 05) (UFRJ-2011) Considere o programa representado peloos filmes que estão gravados em seu computador. Ele notou seguinte fluxograma:que os arquivos de seus filmes têm tamanhos que variam de500Mb a 700Mb. Gigabyte (símbolo Gb) é a unidade demedida de informação que equivale a 1024 Megabytes (Mb).Determine o número máximo de filmes que Neipotencialmente pode salvar em seu pen drive.02) (UFRJ-2011) A figura 1 a seguir apresenta um pentágonoregular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonosregulares, todos de lado L. a) Determine os valores reais de x para os quais é possível executar esse programa. b) Aplique o programa para x = 0, x = 4 e x = 9. figura 1 figura 2 06) (UFRJ-2011) Manuel e Joaquim estavam tentando decidirQual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma qual o caminho poligonal mais curto que liga o ponto A0 aoB das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua ponto A12 na figura a seguir.resposta.03) (UFRJ-2011) Um marcador digital é formado por setesegmentos no formato de um 8. Para formar um símbolo,cada segmento pode ficar iluminado ou apagado, com pelomenos um segmento iluminado.Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmentoiluminado isolado dos demais. Por exemplo: os três símbolos Depois de muito pensar, concluíram que havia três caminhosrepresentados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já possíveis:o símbolo da figura 2 não é conexo.Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos 1 – A0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12;iluminados. 2 – A0C2A12; 3 – A0B1C1B2A12. Manuel indicou o caminho 1 como o mais curto, argumentando que esse era o caminho que estava mais figura 1 figura 2 próximo do segmento A0A12. Joaquim escolheu o caminho 2, por ser o que tinha menor número de segmentos.Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três Indique qual das afirmativas a seguir está correta.segmentos iluminados. I - O caminho mais curto é o proposto por Manuel. II - O caminho mais curto é o proposto por Joaquim.04) (UFRJ-2011) Se x = 3 − 8 − 3 + 8 , mostre que x é III - Nenhum dos dois patrícios escolheu o caminho mais 2inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x .) curto. Justifique sua resposta. 2011 1
  2. 2. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Exercícios Prof. Bruno Vianna Variados07) (UFRJ-2011) Um ponto P desloca-se sobre uma retanumerada, e sua posição (em metros) em relação à origem é I - Só Manuel está certo.dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) = 2(1− t) II - Só Joaquim está certo.+ 8t. III - Só Antônio está certo. IV - Os três estão certos. V - Os três estão errados. VI - Não é possível decidir se algum nem qual dos três está certo.a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t = 0).b) Determine a medida do segmento de reta Justifique sua escolha.correspondente ao conjunto dos pontos obtidos pela 11)(UFRJ-2009-Não esp) Sabe-se que vale a pena abastecervariação de t no intervalo 0, 3  . com álcool um certo automóvel bi-combustível (flex) quando  2   o preço de 1L de álcool for, no máximo, 60% do preço de 1L de gasolina. Suponha que 1L de gasolina custe R$ 2,70.08) (UFRJ-2010) O painel de um automóvel indica o consumo Determine o preço máximo de 1L de álcool para que sejamédio de combustível da seguinte forma: vantajoso usar esse combustível. 12) (UFRJ-2009-PNE) Seu Joaquim tem uma balança de tararDetermine quantos quilômetros esse automóvel percorre, (balança de pratos) e uma coleção de pesos de 10, 30, 60 eem média, com 1 litro desse combustível. 150 gramas. Ele colocou um saco de arroz de 1,31 kg em um dos pratos da balança.09) (UFRJ-2010) Os 18 retângulos que compõem o quadradoa seguir são todos congruentes. Determine o número mínimo de pesos que devem ser postos no outro prato para que a balança fique equilibrada. 13) (UFRJ-2009-PE) Seu Almeida possuía uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250. Ele arrumou os azulejos em várias caixas, cada uma contendo 17 azulejos. Sobraram 15 azulejos. Ele, então, resolveu guardar tudo em 2Sabendo que a medida da área do quadrado é 12 cm , caixas menores, cada uma contendo 11 azulejos. Dessa vez,determine o perímetro de cada retângulo. ficaram sobrando 4 azulejos.10) (UFRJ-2010) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num Determine quantos azulejos seu Almeida possuía.certo instante, para dois relógios, A e B, que só indicamhoras e minutos. Naquele instante, A e B indicam, 14) (UFRJ-2009-PE) A revista DigiNet publicou uma pesquisarespectivamente, 11h51min e 11h53min. Diante dessa sobre 50 páginas da Internet muito visitadas, informando quesituação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos: a média diária de visitas às páginas era igual a 500 e que o tempo médio de existência dessas páginas era igual a 38“Nessas condições, a dedução lógica é que a defasagem entre meses. A revista BiteNet criticou a pesquisa por ela não terA e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel. considerado a sua página, uma das mais visitadas. A BiteNet informou ainda que, com a inclusão de sua página, a média“Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio dede, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim. existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que as médias publicadas pela DigiNet estejam corretas, então pelo“Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível menos uma das médias informadas pela BiteNet estariaconcluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 errada.segundos!”, afirma Antônio.Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das Determine qual delas estaria necessariamente errada.afirmativas a seguir é verdadeira. Justifique sua resposta. 2011 2
  3. 3. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Exercícios Prof. Bruno Vianna Variados15)(UFRJ-2008-PNE) Por curiosidade, Vera pôs 800 “anéis” de 21) (UERJ-2008-ESP) O peso P de um objeto, a uma altura hlatinhas de refrigerante (aquelas alavancas usadas para abrir acima do nível do mar, satisfaz a seguinte equação:as latas) numa vasilha com água, e observou que o volume delíquido deslocado pelos anéis foi de 50 mL. Depois, pegouuma garrafa vazia, com capacidade de 2,5 litros, e encheu-aaté a boca com 3.100 desses anéis.Ainda é possível pôr 2,3 litros de água no espaço restante Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto seno interior da garrafa sem transbordar? encontra a uma altura h1.16) (UERJ-2009-ESP) Admita dois números inteiros positivos, Calcule, em função de r, o valor de h1.representados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8são, respectivamente, 7 e 5. 22) (UERJ-2008-ESP Uma fábrica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores,Determine o resto da divisão do produto a.b por 8. morango e caramelo. O custo de produção dos bombons de morango é de 10 centavos por unidade, enquanto o dos17) (UFF-2010-2ªfase) Responda : bombons de caramelo é de 20 centavos por unidade. Osa) Escreva o número 306 como produto de números primos. demais custos de produção são desprezíveis. Sabe-se que 17 28 10 9b) Considere os números naturais a = 2 x 3 x 7 e b = 2 x cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda 2 165 x 7 . Escreva o maior divisor comum e o menor múltiplo fornece um lucro de 20% sobre o custo de produção de cadacomum de a e b como produto de potências de números bombom. Calcule o número de bombons de cada saborprimos. contidos em uma caixa. 9 2c) Quantos divisores inteiros positivos o número b = 2 x 5 x 23) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Para melhor estudar o Sol, os 167 possui? astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos18) (UERJ-2011-ESP) Um supermercado realiza uma de observação. Admita um filtro que deixe passar 4 dapromoção com o objetivo de diminuir o consumo de sacolas 5plásticas: o cliente que não utilizar as sacolas disponíveis no intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essamercado terá um desconto de R$0,03 a cada cinco itens intensidade a menos de 10% da original, foi necessárioregistrados no caixa. Um participante dessa promoção utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0,301, o menor valor decomprou 215 itens e pagou R$155,00. Determine o valor, em n é igual a:reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12e não participasse da promoção. 24) (OBM-2010) Um ponto P é escolhido ao acaso no interior19) (UERJ-2011-ESP) Um trem transportava, em um de seus de um quadrado QRST. Qual é a probabilidade do ângulovagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em ˆ RPQ ser agudo?uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Emseguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade depassageiros que nele permaneceu após o desembarque.Dessa forma, o número final de passageiros no vagãocorresponde a 120. Determine o valor de n.20) (UERJ-2010-ESP) Duas empresas, A e B, farão doaçõesmensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, emreais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco 3 1primeiros meses de 2010. (A) (B) 2 −1 (C) 4 2 π π (D) (E) 1 − 4 8 25) Uma turma tem aulas as segundas, quartas e sextas, deA diferença entre os valores depositados pelas empresas 13h às 14h e de 14h às 15h. As matérias são Matemática,entre dois meses subsequentes será mantida constante ao Física e Química, cada uma com duas aulas semanais, em diaslongo de um determinado período. Determine o mês e o ano diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessadesse período em que o valor mensal do depósito da turma?empresa A será igual ao da empresa B. 2011 3
  4. 4. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Exercícios Prof. Bruno Vianna VariadosGabarito comentado: Porém, quando x = 0 , temos x − 1 < 1 , de modo 2Questão 01) 32 Gb = 32 x 1024 Mb = 32768 Mb que g ( x ) = não é acionada. Com relação a x2n x 500 ≤ 32768 ⇒ n ≤ 65,536 h( x) = 3 x + 2 , não há restrições para aplicá-la a x ≥ 0 R: É possível executar o programa para x ≥ 0 .R: O número máximo de filmes que Nei potencialmente podesalvar é 65. b)Questão 2) Sejam:G = medida da área do pentágono grande.p = medida da área do pentágono pequeno.Dois pentágonos regulares são sempre semelhantes. A razãodas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança: Questão 6) Nenhum dos dois patrícios escolheu a opção correta.R: A área do pentágono grande é igual à soma das áreas dos Observe que os caminhos (a) e (b) têm os mesmos16 pentágonos pequenos. comprimentos. De fato, traçando-se as paralelas indicadas na figura abaixo,Questão 3)São 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados.Questão 4) Como 3 − 8 < 3 + 8 , entãox = 3 − 8 − 3 + 8 < 0 , ou seja, x é negativo. 2 2x 2 =  3 − 8  − 2 3 − 8  3 + 8  +  3 + 8                ( ) ( ) (x2 = 3 − 8 + 3 + 8 − 2 3 − 8 3 + 8)( )x2 = 6 − 2 9 − 8x2 = 6 − 2x2 = 4x = ±2Logo, x = −2, que é um número inteiro negativo.Questão 5)a) A função f ( x) = x só está definida para x ≥ 0 . Portanto,o programa descrito pelo fluxograma somente se aplica parax ≥ 0 . As outras funções envolvidas são: 2g ( x) = 2 e h( x) = 3 x + 2 x Portanto, o caminho mais curto é o da opção (c). 2011 4
  5. 5. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Exercícios Prof. Bruno Vianna VariadosQuestão 7) 50 = 1 x 30 + 20, 20 = 2 x 10 Portanto, o menor número de pesos é 8 + 1 + 1 + 2 = 12 Questão 13) Seja N a quantidade de azulejos de seu Almeida. Tem-se que 150 < N < 250. N = 17k1 + 15 e N = 11k2 + 4, com k1 , k2 ϵ N (naturais). 11 – 2 = 9 17k1 + 15 = 11k2 + 4R: A medida do segmento é 9. 17k1 = 11 (k2 −1) → k1 é múltiplo de 11. Assim, k1 = 11 t, onde t é um nº natural qualquer.Questão 8)100 km / 12,5 L = 8 km / 1L . N = 17k1 + 15 = (17 x 11)t + 15Resp.: 8 km. N = 187t + 15Questão 9) Para que 150 < N < 250 , basta t =1Como os retângulos são congruentes, a área de cada 2retângulo é 12/18 = 2/3 cm . Além disso, a figura indica que Portanto N = 187 + 15 = 202 azulejoscada um deles tem lados que medem x e 2x. Questão 14) Dados da DigiNet Número de páginas pesquisadas N = 50. Média diária de visitas 500 ⇒ Número de visitas diárias 50 xQuestão 10) 500 = 25000. Média de tempo de existência 38 meses ⇒ Total = 50 x 38 =Como os relógios A e B não registram os segundos, as 1900.seguintes situações são possíveis: Dados da BiteNet. Número de páginas pesquisadas N = 51. Média diária de visitas 1000 ⇒ Número de visitas diárias 51No caso da situação I, a defasagem é de 61 segundos e, no x 1000 = 51000.caso da situação II, 179 segundos. Portanto, nenhum deles Média de tempo de existência 37 meses ⇒ Total =51 x 37 =está correto. 1887.Resp. Opção V - Os três estão errados. Como 1900>1887, isso acarretaria um tempo de existência negativo da página acrescentada. Logo, o tempo médio deQuestão 11) existência estaria necessariamente errado.60% de R$ 2,70 é R$ 1,62. Logo, será vantajoso abastecer Questão 15)com álcool se o preço do litro do combustível for, no máximo,R$ 1,62.Questão 12) O volume no interior da garrafa cheia de anéis é:Para equilibrar a balança com o menor número possível de 2500 − 193,75 = 2306,25 mL.pesos, o Sr. Joaquim deve colocar o maior número possívelde pesos de 150g, seguido do maior número de pesos de 60g, Portanto, ainda podem ser colocados mais de 2300 mL dee assim por diante. Então, água na garrafa.1310 = 8 x 150 + 110, 110 = 1 x 60 + 50, 2011 5
  6. 6. MÓDULO II – PARTE 14 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Exercícios Prof. Bruno Vianna VariadosQuestão 16) Questão 21) Questão 22)Questão 17)a) 306 = 2 x 3 x 3 x 17.b) m.d.c.(a, b) = 29 × 710 e m.m.c.(a, b) = 217 × 328 × 52 ×716.c) d = (9+1)x(2+1)x(16+1) = 510Questão 18) Uma caixa contém 40 bombons de morango e 10 bombons de caramelo.Questão 19) Questão 23) Gabarito: C Questão 24) Gabarito: E Questão 25) Gabarito: 48 maneirasQuestão 20)(12.000, 11.400, 10.800,..., an, ...) P.A.a1 = 12.000 e ra = − 600(300, 600, 900,..., bn, ...) P.A.b1 = 300 e rb = 300an = bn⇒ a1 + (n – 1) ra = b1 + (n – 1) rb⇒ 12.000 + (n – 1) (– 600) = 300 + (n – 1) (300)⇒ 12.000 – 300 = (n – 1) (600 + 300)⇒ 11.700 = (n – 1) 900⇒ 13 = n – 1⇒ n = 14⇒ 1 ano + 2 meses⇒ fevereiro de 2011 2011 6

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