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09 eac proj vest mat módulo 2 geometria espacial

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09 eac proj vest mat módulo 2 geometria espacial

  1. 1. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna Obs.: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo Poliedros poliedro euleriano é convexo. É o sólido limitado unicamente por superfície plana. - Cálculo do número de arestas H G O número de arestas de um poliedro é dado por: E ∑ n.F F A= D C 2 Onde: A B F – é número de faces n - é o número de lados de cada face Elementos: - Poliedros regulares ou poliedros de Platão. Faces – São as superfícies planas que limitam o sólidos. (ABCD, EFGH, CBFG, ...) São aqueles em que todas as faces são polígonos regulares congruentes e todos os ângulos poliédricos são Arestas – são as interseções das faces, duas a duas. congruentes. (AB, BC, CD, BF, ...) Só existem cinco poliedros regulares, são eles: Vértices – São os pontos comuns a três ou mais arestas. Tetraedro – as faces são triângulos equiláteros. (A, B, C, D, E. ...) Hexaedro – as faces são quadrados. Octaedro – as faces são triângulos equiláteros. Diagonais – São os segmentos de reta que unem dois Dodecaedro - as faces são pentágonos regulares.vértices, não pertencentes a uma mesma face. Icosaedro – a faces são triângulos equiláteros. (AG, BH, ...) - Poliedro Convexo. Um poliedro é convexo quando fica inteiramente situadonum mesmo semi-espaço limitado por qualquer uma de suasfaces. Caso contrário, é chamado de poliedro não convexo. Tetraedro regular Hexaedro regular Convexo Não Convexo Octaedro Regular Dodecaedro regular 5. Teorema de Euler: Em todo poliedro convexo, número de arestas Aaumentado de 2 unidades é igual ao número de vértices Vaumentado do número de faces F. Icosaedro regular V+F=A+2 2011 1
  2. 2. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno ViannaEXERCÍCIOS 06) (uerj-2005-2f)01) Um poliedro convexo é formado por 6 facesquadrangulares e oito faces triangulares. Determine onúmero de arestas e o número de vértices desse poliedro.02) Um poliedro convexo tem 6 vértices e 8 faces. Qual onúmero de arestas desse poliedro ? O poliedro acima, com exatamente trinta faces03) Um poliedro convexo que só tem faces triangulares e quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como umquadrangulares tem 20 vértices. Calcule o número de faces dado, em um jogo.do poliedro sabendo que o número de faces triangulares é o Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que,dobro do número de faces quadrangulares. ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada.04) (UERJ) Um Icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a Calcule:partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As 1 a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo demedidas das arestas dessas pirâmides são iguais a da 5, ao lançar esse dado uma única vez; 3aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado b) o número de vértices do poliedro.na fabricação de bolas. Observe as figuras: Prismas 1. Superfície Prismática: É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca paralelamente a uma direção dada (d) e apoiando-se numa linha poligonal plana (diretriz). Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usaesse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao dcosturar dois gomos para unir duas faces do poliedro, elegasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um gcomprimento de linha igual a: D(A) 7,0m (B) 6,3m (C) 4,9m (D) 2,1m A B C05) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada adescoberta de uma molécula tridimensional de carbono, naqual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexocujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares,como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquitetonorte-americano Buckminster Fuller, a molécula foidenominada fulereno. Determine o número de átomos de A superfície prismática pode ser aberta ou fechada, se acarbono (vértices) nessa molécula e o número de ligações linha poligonal for aberta ou fechada, respectivamente.entre eles (arestas). As geratrizes que passam pelos vértices da diretriz chamam-se arestas da superfície.(A) 65 átomos e 40 ligações(B) 60 átomos e 90 ligações 2. Prisma:(C) 60 átomos e 45 ligações(D) 80 átomos e 90 ligações É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada(E) 60 átomos e 30 ligações e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. 2011 2
  3. 3. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna α H G E F h h β D C (Prisma Reto) (Prisma Oblíquo) A B 5. Prisma Regular: As faces ABCD e EFGH são polígonos congruenteschamadas de bases do prisma. As demais faces, chamadas de É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares.faces laterais, são paralelogramos. 6. Áreas do Prisma: 3. Elementos dos prisma: 1º) Área lateral (Al) H G É a soma das áreas das face laterais E F 2º) Área total. (At). h É a soma da área lateral (Al) com a área das bases (Ab). At = Al + 2Ab D C 7. Volume: A B Pelo princípio de CAVALIÉRE, o volume de um prisma Arestas da base: qualquer é igual ao produto da área da base (Sb) pela altura AB = EF, BC = FG, CD = GH, AD = EH h. V = Ab . h Arestas laterais: AE = BF = CG = DH Altura: h (distância entre as duas a bases). Exercícios 4. Classificação dos Prismas: 07) Dadas as figuras dos prismas abaixo: 1º)Quanto aos Polígonos das bases: a) Paralelepípedo Retângulo b) Cubo ou Hexaedro Podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc. 2º) Quanto as arestas laterais: c D a D Podem ser: reto ou oblíquo. b a a d Prisma reto – As arestas laterais são perpendiculares às a dbases. Prisma oblíquo – as arestas laterais são oblíquas às bases Calcule a área total, o volume e as diagonais de ambos em função de suas arestas. 2011 3
  4. 4. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna08) Quantos litros de água cabem em um reservatório em 12) (PM-05-1) Um tijolo de sorvete de meio litro tem duas deforma de paralelepípedo medindo internamente 2 m por 2 m suas dimensões iguais a 16,5 cm e 4,0 cm. A terceirade base e 1,2 m de altura? dimensão mede aproximadamente:(A) 800 (B) 1.200 (C) 1.600 (D) 4.800 (E) 5.200 (A) 6,0 cm (B) 6,5 cm (C) 7,0 cm (D) 7,6 cm09) (PM-00) O perímetro do polígono formado pelos 13) (ENEM – 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produzsegmentos que unem os centros das quatro faces laterais de diversos objetos maciços utilizando ferro. Um tipo especial deum cubo de aresta medindo 4 cm é: peça feita nessa companhia tem o formato de um(A) 2 2 (B) 8 2 (C) 4 2 (D) 6 2 (E) 16 paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.10) (PM-04) Seis blocos de concreto, em forma deparalelepípedo retângulo, foram utilizados na construção daescada representada abaixo: O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza: 3y (A) massa. (B) volume. (C) superfície. (D) capacidade. (E) comprimento. 2y 14) (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma reto,] cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m. 3xSe esses blocos são congruentes, a expressão algébrica que A quantidade necessária de litros de água para que o nívelcorresponde ao volume de concreto necessário para a de água da piscina suba 10 cm é:construção da escada é: (A) 0,15 L (B) 1,5 L (C) 150 L (D)1.500 L (E) 15.000 L 2 2 2 2(A) 18 x y (B) 18 xy (C) 12 xy (D) 12 x y 15) (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo11) (UERJ-UENF-2001-2ªF) Na construção de um hangar, com volume. As arestas da barra de chocolate no formato dea forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm deum Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas comprimento e 4 cm de espessura.abaixo. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a: (A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm 16) (UFF) Uma caixa de papelão, na forma de um paralelepípedo retângulo, é obtida dobrando-se o molde abaixo nas linhas tracejadas. 3 O volume da caixa, em cm , é: (A)120 (B) 180 14 cm (C) 240 (D) 480 (E) 540 13 cmCalcule o volume mínimo desse hangar. 10 cm 2011 4
  5. 5. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna17) Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material 22) (UFRJ) Os pontos J e I são os pontos médios das arestas 3que custa R$ 5,00 o cm , deve-se gastar a quantia de: do cubo sugerido na figura: θ J(A) R$ 400,00 (B) R$ 380,00 (C) R$ 360,00 I(D) R$ 340,00 (E) R$ 320,00 a) Calcule, em função da medida a da aresta do cubo, a distância de I e J.18) (UERJ-2004-1ª fase) As esferas da figura abaixorepresentam os íons formadores de um cristal de cloreto de b) Determine a medida θ do ângulo IKJ . ˆsódio. 23) (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de leite tem a forma e um paralelepípedo retângulo de dimensões internas a = 10 cm, b = 7 cm e c = 16 cm. Inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal de modo que apenas uma das menores arestas fique emConsidere que o íon com maior número de camadas contato com o plano, como mostra a figura:eletrônicas é representado pela esfera de maior raio e que adistância entre os núcleos dos íons X e Y vale 10 3unidades de comprimento.O símbolo do elemento formador do íon de menor tamanhoe a menor distância, na mesma unidade de comprimento,entre o núcleo de um cátion e o núcleo de um ânion, são:(A)Cℓ, 3 (B) Na, 3 (C) Cℓ, 5 (D) Na, 5 c19) (PUC) Se a área da base de um prisma diminui de 10% e a 60ºaltura aumenta 20%, o seu volume: b(A) aumenta de 8% (B) aumenta de 15% a(C) aumenta de 108% (D) diminui de 8%(E) não se altera.20) (UFF – 98) Em um cubo de aresta l , a distância entre o Calcule o volume do leite derramado.ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer desuas arestas é: 24) (UERJ-2004-2F) Dois prismas regulares retos P1 e P2 , o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm l 3 l 2 l a mesma área da base e a mesma área lateral.(A) l 3 (B) l 2 (C) (D) (E) 2 2 2 A razão entre o volume de P1 e o de P2 equivale a:21) (UFRJ-2003-PNE) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma 2 6de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um (A) (B)quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra 3 3pedra, do mesmo material, que tem a forma de um 3paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura (C) (D) 1 2e 3 cm de espessura? 2011 5
  6. 6. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna25) (UFRJ-04-PNE) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com 28) (AFA-97) Qual deve ser a medida da altura de um prismaforma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que 3plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na seu volume tenha valor a ?figura 1. O sólido ABCDFG obtido, foi cortado, mais uma vez,pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, a 3 3a 3 a 3 4a 3respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e (A) (B) (C) (D) 4 4 3 3DF, como ilustrado na figura 2. 29) Uma caixa dágua tem o espaço interno na forma de cubo com 1 metro de aresta. Retira-se um litro de água da mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De quanto baixa esse nível? (A) depende de quanta água havia (B) 1 metro (C) 10 centímetros (D) 10 milímetros (E) 1 milímetro 30) (UERJ – 2011 -1º ex) A embalagem de papelão de umCalcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem aresultante deste segundo corte (ilustrado na figura 3) e o forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.volume da barra de sabão original.26) (UFRJ-06-PE) A figura abaixo corresponde à planificaçãode um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro dabase igual a 3a. Em relação ao prisma, considere: - cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a 2 embalagem custa R$10,00 por m e que 3 = 1,73. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a:Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma. (A) 0,50 (B) 0,95 (C) 1,50 (D) 1,8527) (UERJ-03-2ªF)Para uma demonstração prática, umprofessor utiliza um tanque com a forma de um 31) (ENEM – 2010) Um porta-lápis de madeira foi construídoparalelepípedo retângulo, cujas dimensões internas no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. Ocorrespondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos,e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foicheio, em 18 minutos. de: 3O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita (A) 12 cm 3que um aluno registre o tempo decorrido (B) 64 cm 3até que o tanque fique totalmente cheio. (C) 96 cm 3 (D) 1 216 cm 3Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno. (E) 1 728 cm 2011 6
  7. 7. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna32) (UERJ-2010-1ºEX) A figura abaixo representa uma piscina 2. Cilindro:completamente cheia de água, cuja forma é um prismahexagonal regular. É o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. 0’ r 0 e 0’ → centros das bases. g → geratriz h → altura g h r 0 3. Classificação dos cilindros:Admita que:– A, B, C e D representam vértices desse prisma; São classificados de acordo com o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases. 3– o volume da piscina é igual a 450 m e • Cilindro reto;– um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto A geratriz (g) é perpendicular às bases.médio da aresta CD,utilizando apenas glicose como fonte de Neste caso, a medida da geratriz é igual à altura (h), (g = h). 0’energia para seus músculos.A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a1,0 m/s. h gO intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percursoequivale a cerca de: 0(A) 12,2 (B) 14,4 Obs.: Todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação(C) 16,2 (D) 18,1 completa de um retângulo em torno de um dos seus lados. Por isso ele também é chamado de cilindro de revolução. Cilindros r 0’1. Superfície Cilíndrica: h=g 00 − é o eixo de rotação. É a superfície gerada por uma reta móvel g (geratriz)que se desloca paralelamente a uma direção (∆) e apoiando-se numa linha curva dada d (diretriz). r 0 ∆ g • Cilindro oblíquo: d A geratriz (g) é oblíqua às bases. 0’ r g hA superfície cilíndrica pode ser aberta ou fechada e conformea natureza da diretriz ela pode ser circular, elíptica,parabólica, etc. No nosso caso estudaremos somente ascirculares. 0 r 2011 7
  8. 8. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna4. Secções Teremos:• Secção transversal: É obtida seccionando o cilindro por um • Área lateral (Al) • Área da Base (Ab)plano paralelo à base. Essa secção é um círculo congruente à Ab = πr 2base. Al= 2πrh • Área Total (At) At = Al + 2Ab At = 2πr (h + r) • Volume (V)• Secção Meridiana: É obtida seccionando o cilindro por um V = πr . hplano que contém o seu eixo. 2 V = Ab . h 0’ Exercícios h 33) (UFF) - Um reservatório, na forma de um cilindro circular reto, tem raio da base r, altura h e volume V. Deseja-se r construir outro reservatório que tenha, também, a forma de 0 r um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da base igualObs.: A secção meridiana de um cilindro circular reto é um rretângulo. Se h = 2r, essa secção é um quadrado, nesse caso, a e altura H. A relação entre as alturas desses 2dizemos que o cilindro é equilátero. reservatórios é dada por: 0’ h (A) H = 4h (B) H = 2h (C) H = 2 h = 2r h (D) H = (E) H = h 4 r 0 r 34) (UFRJ) A casa da Moeda está cunhando moedas de ouro de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm5. Áreas e volume de um cilindro: de raio ?Planificando o cilindro (Fig. 1) 35) (UERJ – 2001 -2º EXAME) Um recipiente cilíndrico de 60 0’ cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 0’ cm, conforme indicado na figura. h h Sl Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. 0 r Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do (Fig. 1) 0 cubo colocado na água é igual a: r 3 3 2πr (A) 10 2 (B) 10 2 (C) 10 12 (D) 10 12 2011 8
  9. 9. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna36) (UFF)- Um tonel de forma cilíndrica, cheio d’água, éinclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seuconteúdo. Se a altura desse tonel é o quádruplo do raio desua base, pode-se afirmar que a razão entre a quantidade deágua derramada e a quantidade de água que ainda ficou notonel é: (A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3. (B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, 45º no final do dia, foi igual a 60 cm. (C) a quantidade de água economizada seria suficiente 2(A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 3/4 (E) para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo 2 diário fosse de 450 litros.37) (UERJ-2006-1ºEX) Para a obtenção do índice (D) os moradores dessas casas economizariam mais depluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para ochuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado consumidor fosse igual a R$ 2,50.pluviômetro.A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de (E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com 2captação de 0,5 m e raio interno do cilindro de depósito de raio da base 10% menor que o representado, teria10 cm. água suficiente para abastecer todas as casas. 39) (ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.Considere que cada milímetro de água da chuva depositado 2no cilindro equivale a 1 L/m .No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista desejaaproximadamente: colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45 Maria deverá:38) (ENEM-08) A figura ao lado mostra um reservatório de (A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volumeágua na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de 20 vezes maior que o volume do copo.altura. Quando está completamente cheio, o reservatório ésuficiente para abastecer, por um dia, 900 (B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. vezes maior que o volume do copo.Suponha que, um certo dia, após uma campanha deconscientização do uso da água, os moradores das (C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito vezes maior que o volume do copo.economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, (D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 2011 9
  10. 10. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna40) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um 43) (UFRJ-2011) Considere a superfície cilíndrica S obtida acilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura (de espessura partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulodesprezível), foi envolvido homogeneamente por uma ABCD indicado a seguir.camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 etomando 3,1 como valor aproximando de π, então o preçodessa manilha é igual a:(A) R$ 230,40. (B) R$ 124,00.(C) R$ 104,16. (D) R$ 54,56.(E) R$ 49,6041) (ENEM-2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomendapara fabricar, em grande quantidade, uma peça com o Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre aformato de um prisma reto com base triangular, cujas superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q.dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração Determine o comprimento desse caminho.na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suasfaces laterais, conforme mostra a figura. Cone 1. Superfície Cônica: É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca passando sempre por um ponto fixo V(vértice) e apoiando-se numa linha curva plana dada d (diretriz). V g dO raio da perfuração da peça é igual a:(A) 1 cm. (B) 2 cm. (C) 3 cm. A superfície cônica pode ser aberta ou fechada e conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular ou(D) 4 cm. (E) 5 cm. elíptica. No nosso caso, estudaremos somente as circulares.42) Determine o volume do sólido abaixo: 2. Cone: É o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por um plano que interpreta todas as geratrizes. V 0 → centro da base g → geratriz 10 h → altura g h 0V → eixo 6 V → vértice r → raio r 0 r 2 0 2 2011 10
  11. 11. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna3. Classificação dos cones: • Secção Meridiana: É obtida seccionando o cone por umSão classificados de acordo com a inclinação de seu eixo. plano que contém o seu eixo.• Cone Reto: VO eixo é perpendicular à base. Neste caso, a medida do eixo éigual a altura. g g h g Relação Métrica: r 0 r Obs.: 2 2 2 r r g =h +r A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo 0 isósceles. Quando esse triângulo é equilátero (g = 2r), o cone é chamado cone equilátero.Obs. Todo cone reto pode ser obtido pela rotação completa Vde um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.Por isso ele também é chamado de cone de revolução. V g = 2r g h r 0 r r 0• Cone Oblíquo 5. Áreas e volume de um cone:O eixo é oblíquo à base. Planificando o cone (Fig. 1) V V g h g Sl g 0 r r Sb 0 0 r4. Secções: (Fig 1) C = 2πr• Secção transversal: É obtida seccionando o cone por umplano paralelo à base. Essa secção é um círculo. • Área lateral (Al): É obtida calculando-se a área do setor circular de raio g, através de uma regra de três simples, ou seja: Área Comprimento do Arco πg 2 2πg Al 2πr 2011 11
  12. 12. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna πg 2 2πg 47) (UFRJ-01-PNE) Um recipiente em forma de cone circular = , simplificando: reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo Al 2πr na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 ml. Al = πrg• Área da base (Ab): Ab = πr 2• Área total (At): At = Al + Ab = πrg + πr 2 At = πr (g + r)• Volume: h Determine o volume de líquido quando o nível está em .O volume do cone é igual a 1/3 do vlome do cilindro 2 1 48) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Um sólido com a forma de umV = . Ab . h cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua 3 em um líquido, conforme a ilustração abaixo. πr 2 ⋅ h V= 3Exercícios44) A figura abaixo representa um lápis de 8 mm de diâmetro Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meioapontado: Use π=3 pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: 8 mm (A) ½ (B) ¾ (C) 5/6 (D) 7/8 12 cm 2 cm 49) (UFF) Considere um cone equilátero de raio r e volume V. Seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice porDetermine o volume deste lápis. um plano paralelo a sua base; V obteve-se, assim, um novo cone de volume .45) (AFA-97) A razão entre os volumes de dois cones 2eqüiláteros de alturas h e 2h é Expresse h em termos de r.(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 50) (UFRJ-01-PE) Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura.46) Calcule o raio do cone da figura abaixo, sabendo que Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta queinicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice doe na situação abaixo o cone encontra-se totalmente cheio. outro. Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior eSabe-se que a altura do cone é de 6dm e que a altura e o raio rda base do cilindro medem respectivamente 9dm e 2dm . x= , determine x. s 2011 12
  13. 13. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna51) (AFA-01) A área total do sólido gerado pela rotação do A superfície piramidal pode ser aberta ou fechada,polígono ABCDE em torno do eixo y, que contém o lado AE, é, respectivamente. 2em m , igual a y 2. Pirâmide: Dados:(A) 144π D C(B) 150π AE = 2m É o sólido limitado por uma superfície piramidal fechada(C) 168π e por um plano que intercepta todas as geratrizes. AB = 6m(D) 170π E V BC = 6m A B CD = 3m h52) (UERJ-2010-2ºEX) A figura abaixo representa um D Crecipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódioa 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. A figuraabaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa A Bde hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12cm de altura. O polígono ABCD é a base da pirâmide. AB, BC, CD, AD . São as arestas da base da pirâmide. VA, VB, VC, VD são as arestas laterais da pirâmide. AVB, BVC, CVD, AVD são as faces laterais da pirâmide. A distância h do ponto V ao plano da base é a altura da pirâmide.Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial Quanto ao polígono da base a pirâmide é triangularcom água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução (tetraedro), quadrangular, pentagonal, etc.aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a : 3. Pirâmide Regular:(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 É aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base. V Pirâmides 1. Superfície Piramidal: h É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se D Cdesloca passando sempre por um ponto fixo V (vértice) eapoiando-se numa linha poligonal plana dada (diretriz). O V A B g ABCD é o polígono da base, nesse caso é um quadrado. D A O é o centro da base. B C V é o vértice da pirâmide. VO = h é a altura da pirâmide. 2011 13
  14. 14. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 4. Elementos de uma pirâmide regular: Sendo A’B’C’D’ paralelo a ABCD a razão entre as áreas é dada por: V 2 área de A B C D  d  =  área ABCD h Al Ap 6. Volume da Pirâmide: C B Todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si. R O An M Z X D a A V Apótema da pirâmide (Ap) – é a altura em relação emrelação à base, de uma de suas faces laterais, que sãotriângulos isósceles. Ap = VM A C Apótema da base da pirâmide OM = An. B Raio do círculo circunscrito à base Seja o prisma triangular ABCVXZ.OA = OB = OC = OD = R. Se cortarmos esse prisma pelos planos ACV e CVZ, as Arestas da base AB = BC = CD = AD = A. pirâmides são equivalentes, por terem bases congruentes e a mesma altura (bases e altura do prisma). As pirâmides VACZ e VCXZ também são equivalentes, por Arestas laterais VA = VB = VC = VD = A terem a mesma altura, distância de V à face ACXZ do prisma, e bases equivalentes, ACZ e CZX, como metades do paralelogramo ACXZ. 5. Tronco de Pirâmide: Portanto as três pirâmides VABC, VCXZ e VACZ são equivalentes. Como as três pirâmides têm o mesmo volume, É a porção da pirâmide compreendida entre a base e uma cada uma delas terá um terço do volume do prisma, ou seja:seção plana que intercepta todas as arestas laterais. Quando a seção for paralela à base, temos um tronco de 1pirâmide de bases paralelas. V pirâmide = ⋅ V prisma A distância entre as bases é a altura do tronco. 3 V Ab ⋅ h V pirâmide = , onde: 3 d D’ C’ h Ab – é a área da base. A’ h – é a altura. O’ B’ H Obs: Tal fórmula é válida para qualquer pirâmide, pois D C sempre podemos dividir uma pirâmide em várias de bases triangulares. OA B Área Total At = Al + Ab H é a altura do tronco. 2011 14
  15. 15. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna Al – Somatórios das áreas dos triângulos das faces laterais Ab – Área do polígono da baseTetraedro RegularQuando todas as suas faces são triângulos eqüiláteros. V Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em 3 cada ano de trabalho é, em dm , igual a: A CV – Vértice G (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 MG – Baricentro da base B 55) (UFF–00) No tetraedro regular representado na figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e a 6VG – Altura do tetraedro → h= OM. P 3AM – Altura da base a3 2 .AT = a 2 3 V = R 12 OEXERCÍCIOS PROPOSTOS . S N M53) (uff-2005-1f) A grande pirâmide de Quéops, antiga RSconstrução localizada no Egito, é uma pirâmide regular de A razão é igual a:base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa MNpirâmide é um triângulo isósceles cuja a altura relativa à base 3 2mede 179 m. (A) 3 (B) (C) 2 (D) (E) 3 2 2 2 2 A área da base dessa pirâmide, em m , é:(A) 13.272 (B) 26.544 (C) 39.816 56) (UFRJ-00-PNE) Uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de(D) 53.088 (E) 79.432 modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1.54) (UERJ – 2002 -1º EXAME) Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide. 57) (UERJ-93-2ª FASE) ABCD é um tetraedro regular de aresta a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da aresta CD é N. Calcule:Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de- a) MNmão do personagem seja igual ao do sólido esquematizadona figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta b) seno do ângulo $ NMD .a um paralelepípedo retângulo. 2011 15
  16. 16. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna58) (AFA-06) Um cubo tem quatro vértices nos pontos Dobrando-a nas linhas BE = CE ,constrói-se um objeto quemédios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular tem a forma de uma pirâmide.regular, e os outros quatro na base da pirâmide, comomostra a figura abaixo. Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é: 61) (UNICAMP – 2003) Considere um cubo cuja aresta mede 10cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do 3 1 3 1 cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos(A) (B) (C) (D) eqüiláteros congruentes. 4 2 8 8 a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular.59) (UFRJ-2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABDe ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. b) Calcule o volume do mesmo octaedro.Considere o cubo de volume máximocontido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A,como ilustra a figura ao lado. ESFERAS 1. Definição: É o sólido gerado pela rotação completa de um semi-círculo em torno de seu diâmetro. R R • Superfície esférica – é a superfície gerada pela semi-Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. circunferência60) (UERJ-2001-2ªF) 2. Secções : Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Quando o plano da secção passa pelo centro da esfera, temos um círculo máximo. R – raio da esfera 0’ r 0 – centro da esfera 0’ – centro da secção d R d – distância do centro da esfera à secção. 0A figura acima representa uma chapa de metal com a formade um triângulo retângulo isósceles em que Da figura temos:AB = BC = CD = 2 cm . 2 2 2 R =d +r 2011 16
  17. 17. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna3. Pólos: 5. Zona esférica: Denominamos pólos de um círculo da esfera as É a porção da superfície esférica compreendida entre doisextremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa planos paralelos.secção.O pólo de um círculo da esfera é eqüidistante de todos os Os círculos determinados pelos dois planos paralelos são aspontos da circunferência desse círculo. bases da zona e a distância entre eles é a altura (h). P1 h Zona esférica A d 2R 0 0 P2 • P1 e P2 são os pólos. Obs.: Se um dos planos for tangente à esfera, uma das bases • P1 A e P2 A são as distâncias polares. reduzirá a um ponto, teremos a zona de uma só base, que se denomina Calota Esférica. • No triângulo retângulo P1AP2, temos: h 2 Calota Esférica P1A = 2R (R − d) 2 P2 A = 2R (R + d) 0 4. Considerando a superfície esférica de eixo e: e P1 P 0 6. Fuso esférico E É a porção da superfície esférica compreendida entre duas M semi-circunferências máximas de mesmo diâmetro. P2Teremos: Fuso Esférico R• Meridiano (M) – é a secção determinada por um plano quecontém o eixo e.• Equador (E) – é a secção determinada por um plano 0 θperpendicular ao eixo e e passando pelo centro da esfera.• Paralelos (P) – são as secções obtidas por planosperpendiculares ao eixo e, e que não passam pelo centro da Resfera. Os semi-planos e os semi-círculos formam um diedro, cujo ângulo plano θ é o ângulo do fuso. 2011 17
  18. 18. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna7. Área e volume: 64) (UFRJ-2003-PNE) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos ladosDemonstra-se que a área da superfície esférica de raio R é do retângulo, como na figura abaixo.dada por: 2 At= 4πRO volume é dado por: 4 V= πR 3 3 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos.Exercícios 65) (UFRJ-2004-PE) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno62) (UFF – 97) Na figura estão representados três sólidos de 10 cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas,mesma altura h — um cilindro, uma semi-esfera e um prisma de raio 1 cm. Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera,— cujos volumes são , respectivamente. indique qual das opções a seguir é verdadeira: Opção I : n > 125 Opção II : n = 125 Opção III : n < 125 Justifique a sua resposta.A relação entre é:(A) V3 < V2 < V1 66) (UFRJ-02-PE) Considere uma esfera E1 , inscrita, e outra(B) V2 < V3 < V1 esfera E2 circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm.(C) V1 < V2 < V3 Calcule a razão entre o volume de E2 e o volume de E1 .(D) V3 < V1 < V2 3(E) V2 < V1 < V3 67) (UFRJ-98-PE) Ping Oin recolheu 4,5 m de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em63) (UERJ – 2001 -1º EXAME) O modelo astronômico comemoração à chegada do verão no Pólo Sul.heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foiconstruido a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em O boneco será composto por uma cabeça e umesferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3.A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida dodiâmetro da esfera a ele circunscrita, é: 3 3 3(A) 3 (B) (C) (D) 2 3 4 Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas. 2011 18
  19. 19. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna68) (UFF-1ªfase-2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola 70) A escultura sólida abaixo foi feita toda em bronze pelode futebol deve passar por vários testes. Um deles visa escultor Zé Roscof, sendo ABCD a base quadrada (dagarantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido pirâmide regular onde VA = VB = VC = VD = AB = BC= 2 m) ;em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética totalmente inscrita no círculo máximo da semi-esfera.desses valores é calculada. Para passar nesse teste, avariação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro”da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%.Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial daCopa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%. Calcule: a) o volume de bronze utilizado. b) A quantidade de litros de impermeabilizante, utilizado em todo o sólido, sabendo que 300 ml de 2 impermeabilizante, impermeabiliza uma área de 1 m (useSe o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu π = 3 ; 2 = 1,4 e 3 = 1,7 )volume aumenta x %.Dessa forma, é correto afirmar que GABARITOS 01) A=24 e V=12 02) A=12 03) F=27 04) B 05) B 06) a) ½ b) V=3269) (UFRJ-2008-PE) Um cone circular reto de altura Hcircunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a 07) a) At = 2(ab + ac + bc) ; V = a.b.c ; D = a 2 + b2 + c2seguir. 2 3 b) At = 6a ; V = a ; D= a 3A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o 08) D 09) B 10) Cvolume da menor. 11)140392,14 12) D 13) B 14) E 15) B 16) C 17) B 18) D 19) A 20) D 21) 60 kg 22) a) a 6 b) 4 5 23) V = 350 3 cm 3 θ = arccos    2 3  15  24) B 25) 1/8 26) a 2Determine H. 27) 22 min 30s 28) D 29) E 30) B 31) D 32) D 33) A 34) 50g 35) D 2011 19
  20. 20. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna36) B 37) 38) B Questão 6 a)39) A 40) D 41) B Primos ⇒ A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}42) 8π 43) 3 2 44) V=6,08 cm 3 Múltiplos de 5 ⇒ B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 10 6 1 15 1 P(AUB) = + − = =45) D 46) r = 3dm 47) 50 ml 30 30 30 30 2 b) 49) h = 3 ⋅ 4 r A = nº arestas  348) D 2  4F = 2A ⇒ A = 60 F = nº faces  −1+ 550) x= 51) C 52) B 2 V = nº de vértices53) D 54) D 55) D V+F=A+2 ⇒ V = 32 Questão 50) 3 256) l = 57) a) a 2 b) 3 2 2 3 Sejam H e h respectivamente as alturas do cone de raio menor r e do cone de raio maior 6 s. Por semelhança de triângulos temos:58) D 59) a/3 60) 3 500 361) a) CD = 5 2 cm b) cm 62) E 3 Como os cones têm o mesmo volume, 2 2 Hr = hs . Logo, πy 2 (3 x − 2 y )63) C 64) V= 1265) opção III 66) 3 3 67) ½ e 1 Daí, obtemos:68) D 69) h=10 e H = 4070) em aula. 3 Dividindo ambos os lados da equação em por s , obtemos:Questão 4)Cada um dos 12 vértices serão arrancados do icosaedro, por Como x = r/s, podemos expressar a equação ) na forma:isso teremos 12 pirâmides. Não é difícil visualizar que cadauma dessas pirâmides tem base pentagonal, ou seja, o x + 2x − 1 = 0 3 2polígono resultante terá 12 faces pentagonais (gomospretos), e as demais faces serão hexagonais uma para cada −1+ 5 −1− 5face do antigo icosaedro, logo 20 faces hexagonais (gomos Obtemos: x1 = e x2 =brancos). Daí teremos: 2 2 Como x é positivo temos:12 faces pentagonais = 12 . 5 = 60 arestas −1+ 520 faces hexagonais = 20 . 6 = 120 arestas x= 2Daí o poliedro resultante terá: 60 + 120 180A= = = 90 2 2Como o poliedro que irá gerar a bola terá 90 arestas e estasserão costuradas com 7 cm de linha, usaremos um total de 7 Questão 56)x 90 = 630 cm de linha = 6,3 m de linha (LETRA B). 2011 20

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