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Inclusão para a vida                                                                                            Matemática...
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  1. 1. Inclusão para a vida Matemática B UNIDADE 1 RADICIAÇÃO Definição POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO b é a raiz n-ésima de a, se bn = a. POTENCIAÇÃO RepresentaçãoDefinição n a =b bn = a Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Nomenclatura Sendo a Rea 0em Z. Tem-se que: n Em a = b, temos: am = a. a. a. a. a..... a. m fatores n é o índice a é o radicando Casos Particulares b é a raiz a0 = 1 para a 0 Condição de existência a1 = a Em a , se n for par, então é necessário que a n -n 1 a = n seja maior ou igual a zero. a n Se n for ímpar então a sempre existe.Propriedades Propriedades Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se: n a .n b n a.b am.an = am + n na a m n a nb b am n an na m n am (am)n = am.n (a.b)n = an.bn n am n.p m.p a n a an nma n.m a b bn m nPotência de base 10 am an Sabe-se que: 100 = 1 Racionalização de denominadores 101 = 10 102 = 100 Dada uma fração com denominador contendo radical, 103 = 1000 racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto, Então 10n = 100...........00 com o radical no denominador. n zeros n m 1º CASO: O denominador é do tipo a 1 Neste caso, multiplica-se numerador e denominador Observe ainda que: 10-1 = = 0,1 10 pelo fator: n an m . 1 10-2 = = 0,01 2º CASO: O denominador é do tipo a b 10 2 Neste caso, multiplica-se numerador e denominador 1 a b 10-3 = = 0,001 Pelo fator: 10 3 Então 10–n = 0,000.............001 n casas decimaisPré-Vestibular da UFSC 1
  2. 2. Matemática B Inclusão para a VidaExercícios de Sala  4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das raízes:1. Calcule: 4 5 5 4 4 4 a) 625 b) 32 c) 0 a) 2 b) – 2 c) (– 2) d) 17 e) 03 f) 2140 3 81 3 d) 1 e) f) 0,125 4 16 2 g) 3-2 h) 5. Racionalize: 3 5 6 2 5 a) b) c) d) 32. Transforme cada expressão em uma única potência de 2 3 5 3 2base 3. 2 5 3 .3 Tarefa Complementar a) 37 . 3-5 . 36 = b) = 3 3 6. O valor da expressão 100.(0,1)3 é equivalente a: 42 0,01 c) (34)2 = d) 3 = a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 103. Calcule: 7. Assinale a soma dos números associados às proposições a) 0,25 b) 0,01 corretas: c) 3 125 d) 3 64 01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 2 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 4 e) 9 f) 50 32 2 2 242 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é zero.4. Racionalize: 08. A metade de 48 + 84 é 17.211 3 5 3 2 8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? a) b) c) d) 5 2 5 2 5 3 1 2 1 2 2 3 1 2 8 3 a) b) c) d) e) 80 8 5 800 10Tarefa Mínima 9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão1. Determine o valor das expressões: a.b 2 . a 1.b 2 . a.b 1 4 2 3 2 3 2 1 1 , quando a = 10 e b = 10 a) 34 b) – 34 c) (– 3)4 a .b. a .b . a .b d) 1201 e) 080 f) 5000 3 a) 106 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 9 e) 107 5 g) 4-2 h) i) 24 + 1201 + 03 + 40 2 10. (FGV-SP) Simplificando a n 4 n 2 n 1 2 2 2 4 2 3 2 1 expressão n 2 n 1 temos: ( 2) (2 ) 2 3 2 2 j) k) 4 3 2 2 3 87 82 34 a) b) c) d)2. Transforme cada expressão em uma única potência de 4 4 3 3base 2. 2 (23 ) 2 .23 11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então a) 25.23.27 b) (abc)12 vale: 43. Sendo A = 2100, obtenha: a) 9912 b) 9921/2 c) 9928 d) 9988 e) 9999 a) sucessor de A b) o dobro de A c) quádruplo de A d) quadrado de A e) metade de A f) raiz quadrada de A 12. Determine a soma dos números associados às proposições corretas:Pré-Vestibular da UFSC 2
  3. 3. Inclusão para a vida Matemática B   B e C são os ângulos agudos 01. A expressão 45 20 80 é 5 Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos   equivalente a 3 15 agudos são complementares, ou seja, B C = 90º 02. O valor de 2 2 2 2 4 é2 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 1 1 04. O valor de 8 3 16 2 é 4 SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. 4 CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre 08. Racionalizando obtém-se 2 2 2 o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente 3 5 8 15 entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. 16. A expressão é igual a 5 3 15 Sendo assim, temos que: 313 31213. Calculando , acha-se: 25 : 23 a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) n.d.a. b c b sen = cos = tg = a a c 1 114. (UEL-PR) A expressão 1é Observação: 2 2 2 2equivalente a: Se + = 90° tem-se que sen = cos a) – 1 b) 2 –2 c) 2 +2 Tabela de arcos notáveis d) 2 –1 e) 2 +1 Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos15. (UEL-PR) Seja o número real retângulos congruentes. 500 3 20 2 2 5x= . Escrevendo x na forma x = a 5 1+b c , tem-se que a + b + c é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e UNIDADE 2 obtemos dois triângulos retângulos isósceles. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOConsidere o triângulo retângulo ABCNesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: ____ ___ AC e AB são os catetos Em resumo, temos: ___ BC é a hipotenusaPré-Vestibular da UFSC 3
  4. 4. Matemática B Inclusão para a Vida c)Exercícios de Sala  x 51. (FUVEST) Obter o valor de x na figura: 45° 2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo?2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é: (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4) a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a. a) 55 metros b) 15 metros c) 45 metros d) 42 metros3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m e) 51 metrosrio de margens paralelas e conseguem ver um bote B naoutra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2= e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distânciaentre as margens (em metros) é:Tarefa Mínima 1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x a) 3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 12 X 4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, 30° em graus, que a rampa formará com o solo. 4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. b) Tarefa Complementar  6 5. Com base na figura abaixo é correto afirmar: 60° 01. h = 2 m X 02. h = 3m 04. a = (1 + 3 ) m 08. O triângulo ACD é isóscelesPré-Vestibular da UFSC 4
  5. 5. Inclusão para a vida Matemática B ____ UNIDADE 3 16. O lado AC mede 6m6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e TEOREMA DOS CO-SENOSparalela à costa. Num certo momento, um coqueiro situadona praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um ladosua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros doisposicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. lados, menos duas vezes o produto das medidas destesQual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 lados pelo co-seno do ângulo formado por eles.= 0,93; tg 20º = 0,36)7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observao topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Parasabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a: TEOREMA DOS SENOS Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. a) b cos b) a cos c) a sen d) b tg e) b sen9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B ___localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Nestemomento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, eleva meia hora para atingir o ponto D. A partir destesdados, assinale o que for correto. ___ 01. AC = 10km ___ Exercícios de Sala  02. AD = 2,5 km ____ 1. Determine o valor de x na figura abaixo: 04. BC = 5 3 km ˆ 08. O ângulo BAD mede 60° 2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o 16. A velocidade média do barco é de 15km/h10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x B 60° ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o 30° D C raio da circunferência que circunscreve o triânguloA AD = x DC= x - 38 BD = y 3. Determine o valor de x na figura abaixo 4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo abaixo, é:Pré-Vestibular da UFSC 5
  6. 6. Matemática B Inclusão para a Vida 5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8 Tarefa Complementar  6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e oTarefa Mínima  ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:1. Determine o valor de x na figura abaixo: a) ½ b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6 7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um ___ triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da ˆ circunferência. O ângulo B A C mede: a) 15° b) 30°2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. A c) 36° d) 45°medida, em cm, do lado AB será: e) 60° A 8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e mede o ˆ ângulo L A C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica ˆ o ângulo L B C = 75°. Quantas milhas separam o farol do 45° 30° B C ponto B?3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de a) 2 2 b) 3centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a c) 2 3 d) 3 2soma dos números associados às proposições verdadeiras: e) 4 2 A 75° 9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC. O 60° 10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =B C ˆ ˆ 3cm, AB = 2cm, A D C = 60° e A B C = 90°. D C 01. O triângulo ABC é equilátero 02. o raio da circunferência vale 2cm ___ 04. AB = 2 2 cm 08. O comprimento da circunferência é 4 cm A B O perímetro do quadrilátero, em cm, é:4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um a) 11 b) 12 c) 13paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um d) 14 e) 15ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, emcentímetros, mede: a) 4 b) 11 c) 3 d) 13 e) 4 2Pré-Vestibular da UFSC 6
  7. 7. Inclusão para a vida Matemática B UNIDADE 4 e 5 CICLO TRIGONOMÉTRICO Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA trigonométrico. TRIGONOMÉTRICA Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA denominadas quadrantes. Anti Horário Positivo ORIENTAÇÃO Horário NegativoArco de uma circunferência é cada uma das partes queficam divididas uma circunferência por dois quaisquer deseus pontos. ARCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 360º. Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110.......... Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e diferem apenas no número de voltas. A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira determinação positiva.A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo quepossui vértice no centro da circunferência). A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano. + k . 360º, com k Z. Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo Se um arco mede radianos, a expressão geral dos 1 comprimento é igual a do comprimento da arcos côngruos a ele é dada por: 360 circunferência. + k . 2 , com k Z. Logo, a circunferência tem 360º. Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: SENO e CO-SENO DE UM ARCO 1º = 60 1= 60 DEFINIÇÃO Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido. Considere o arco que possui extremidades na origem do Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos. ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o ângulo central .Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus eradianos. 360º 2 radPortanto: 180º radPré-Vestibular da UFSC 7
  8. 8. Matemática B Inclusão para a Vida OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos éDenomina-se sen a projeção do raio OM, pela possível determinar os valores de seno e co-seno de arcosextremidade M do arco sobre o eixo y. do 2º, 3º e 4º quadrantes.Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x. Equações trigonométricas num intervalo dado: Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros. São exemplos de equações trigonométricas: 1) sen x = 12. Sinais 2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0 Não é possível estabelecer um método para resolver todas as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos: x a 2k (congruos) sen x = sen a x a 2k (suplementares) TABELA x a 2k (congruos) cos x = cos a x a 2k (suplementares) Exercícios de Sala  1. Expresse em radianos os seguintes arcos: a) 300º b) 60º c) 12º 2. Um arco de 200° equivale em radianos a: 2 5 10 a) b) c) 4 d) e) 6 3 2 9Note que: – 1 sen 1 e–1 cos 1Pré-Vestibular da UFSC 8
  9. 9. Inclusão para a vida Matemática B3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a a) 2 m 3expressão geral dos arcos côngruos a: b) 1 m 4 c) -1 m 1 23 d) 2<m<3 a) 930º b) rad e) 0 m 1 64. Determine o valor de: 6. Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes equações: a) sen 150° b) cos 150° a) sen x = 1 c) sen 210° b) cos x = 0 d) cos 210° 1 e) sen 330° c) sen x = 2 f) cos 330° 2 d) cos x =5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 2admite solução. 7. Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução da a) -1 m 1 equação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é: b) -2 m 5 c) 2 m 3 a) {90º} d) 2<m<3 b) {-90º} e) 1<m<2 c) {270º} d) {180º}Tarefa Mínima  e) {30º}1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos: Tarefa Complementar 2 8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é: a) 3 a) 100° b) 140º c) 40º d) 80º e) n.d.a. b) 6 9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1000º?2. (UFMG) Transformando 7º30 em radianos, teremos: a) 270º b) 280º c) 290º d) 300º e) 310º a) /24 b) /25 10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o c) /30 menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: d) 3 /25 e) 5 /32 a) 135º b) 140º c) 145º d) 150º e) n.d.a.3. Determine o valor da expressão 11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio, às 23h45min, vale: sen 90. cos 0 cos180.sen 270 sen 2 0 cos 2 180 a) 189º30 b) 277º30 c) 270º d) 254º45 e) 277º504. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do: 12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir a) 1º quadrante quando 37 2senx , é: y b) 2º quadrante 3 c) 3º quadrante d) 4º quadrante 13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação e) n.d.a. 2 sen x = 1 é:5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: a) /6 b) /4 c) /3 d) /2 e) n.d.a.Pré-Vestibular da UFSC 9
  10. 10. Matemática B Inclusão para a Vida14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual TABELA 19- cos x = é: 3 2 a) b) c) d) e) 6 4 3 2 315. Determinar o número de soluções da equação2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x<2 . UNIDADE 6 RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental)A relação acima também vale para arcos comextremidades fora do primeiro quadrante.Exemplos: sen230° + cos230° = 1 sen2130° + cos2130° = 1Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos .Logo, vale também relações do tipo:sen2 50° + sen2 40° = 1sen 210° + sen2 80° = 1 TANGENTE DE UM ARCO EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA DEFINIÇÃO tg x = tg a x a 2kAssocia-se a circunferência trigonométrica mais um eixo,a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P decoordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PMao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes. Exercícios de Sala SINAIS 2 1. Sabendo que sen x = e que x , calcule 3 2 cos x: 2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x = 2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somente se: a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1 c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1 e) n.d.a.Pré-Vestibular da UFSC 10
  11. 11. Inclusão para a vida Matemática B3. Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação 10. No intervalo 0 x < 2 , a equação 3 tg2x + tg x = 02cos2x = – 3sen x possui quantas soluções?4. Determina o valor de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330°5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações: UNIDADE 7 3 a) tg x = b) tg2x – 1 = 0 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 3Tarefa Mínima sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental) As demais Relações Trigonométricas com as condições de 11. No intervalo 3 x 2 se sen x = , calcule existência obedecidas são: 2 3cos x. sen x cotg x = 1 tg x = cos x tg x2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0 x na 2 sec x = 1 cossec x = 1equação: 1 cos2x + sen x = 0 é: cos x sen x3. O valor de tg 315° + tg 225° é A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos estabelecer duas relações derivadas.4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x | Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos:5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2 1 + cotg2 x = cossec2 x a) tg x = 3 E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos: b) tg2x + tg x = 0 tg2 x + 1 = sec2 xTarefa Complementar Sinais das Funções Trigonométricas6. Determine m de modo que se obtenham 1°Q 2°Q 3°Q 4°Q seno e cossecante + +simultaneamente, sen x = m e cos x = 3 3m cosseno e secante + + tangente e cotangente + +7. No intervalo 0 x < 2 , determine o número de Exercícios de Sala soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x. 1. Determine o valor de:8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x – a) cossec 30° b) sec 30° 3tg x + 2cos 3x para x = é: 4 c) cotg 30° d) cossec 210°9. (PUC-RS) O valor numérico de e) sec 315° f) cotg 300° x 3xsen 2tg 4 3 2 4 para x = 2. Sendo sen = e 2 , calcular: é: 5 2 3 cos x 3 a) cos b) tg c) cotg a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0 d) sec e) cosecPré-Vestibular da UFSC 11
  12. 12. Matemática B Inclusão para a VidaTarefa Mínima  32. Se sen x 0, então cosec x 0. 64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para1. Determine o valor de: 5 0 x 2 é x= ou x = . 6 6 a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante, 3 9. (UFSC) Dado sen x = ex 0 , calcule oentão tg x é: 5 2 valor numérico da expressão: a) 3/4 b) 1/2 2 1 c) 4/5 d) 3/4 sec x cotgx cosecx tgx e) 4/5 6 senx cosec2 x 33. ( UFSC ) Dados sen x = e x , determine 5 2 10. (FATEC) Se x e y são números reais tais queo valor de: 32 tg x + 1 e x e xtg 4 x y= , então:4. ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão sec x tg 2 x.sec xsena tga coseca , obtém-se: a) y = ex b) y = ex(1 + tg x)cosa cotga seca ex ex c) y = d) y = a) 0 b) sec2a cos x sec x c) sen2a d) 1 e) n.d.a. e) tg2aTarefa Complementar  UNIDADES 8 e 95. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiroquadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão: O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em sen30  cos120  cosec150  cotg330  funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares sec300  tg60  cotg225  entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão denominadas quadrantes numerados no sentido anti-(sec x - tg x)(sec x + tg x) sen2x é igual a: horário. a) cos2x b) 1 + sen2x c) cos x - sen x d) sec x + cos x e) n.d.a.8. Determine a soma dos números associados à(s)proposição(ões) correta(s). 01. A medida em radianos de um arco de 225º é 11π rad. 6 02. A menor determinação positiva de um arco de A cada ponto do plano cartesiano está associado um par 1000° é 280°. ordenado (x, y). 04. Os valores de m, de modo que a expressão sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3]. 08. sen x > cos x para x . 4 4 3 3 16. Se tg x = e x , então o valor de 4 2 1 sen x – cos x é igual a . 5Pré-Vestibular da UFSC 12
  13. 13. Inclusão para a vida Matemática BDizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo,o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número no eixo x tem-se:real yp é chamado ordenada do ponto. xA xB xM xA = xB xM xM 2OBSERVAÇÕES no eixo y tem-se: y A yB Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua yM yA = yB yM yM ordenada é nula. 2 P (xp, 0) Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as abscissa é nula. seguintes coordenadas: P (0, yp) Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes xA xB y A yB M ímpares, então suas coordenadas são iguais 2 2 xp = yp Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS pares, então suas coordenadas são simétricas. COORDENADAS DO VÉRTICE xp = - yp Considere o triângulo abaixo: DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS yDados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano yB Bcartesiano, a distância entre eles pode ser calculada emfunção de suas coordenadas. Observe a figura abaixo: yC C yA A xA xB xC x Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por: xA yA 1 1 A = . xB yB 1 O triângulo ABC é retângulo em C, então: 2 xC yC 1 AB 2 AC 2 BC 2Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois OBSERVAÇÕES:pontos: xA yA 1 d AB xB xA 2 yB yA 2 O determinante xB yB 1 foi tomado em módulo, xC y C 1 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO pois a área é indicada por um número positivo.Considere um segmento AB de extremidades A(x A, yA) e xA yA 1B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio Se o determinante xB yB 1 for nulo, dizemosM(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre ascoordenadas de A e B. xC y C 1 que os pontos estão alinhados.Observe a figura: Exercícios de Sala  1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: a) distância entre A e B b) Ponto Médio do segmento ABPré-Vestibular da UFSC 13
  14. 14. Matemática B Inclusão para a Vida2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontos 8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor emA(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P. módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3);C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo 9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontosABC é: médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 c) 7 a) (-1,2), (5,0), (7,4) b) (2,2), (2,0), (4,4)4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de c) (1,1), (3,1), (5,5)um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo. d) (3,1), (1,1), (3,5)Tarefa Mínima  10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: (-2,-7) e (-4,1) é: a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2 b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x. c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos 11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus quadrantes ímpares. vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5 e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. 12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são: A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e unidades de área, é:N(-1,7) do plano x0y vale:3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7) UNIDADE 10é 10. O valor de y é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 ESTUDO DA RETA d) -1 ou 10 e) 2 ou 12 Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma4. ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas, equação. Com tal equação podemos determinar se umeqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é: ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque: a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0) A Equação Geral d) D(0,2) e) E(4,0) A Equação Reduzida5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, EQUAÇÃO GERAL DA RETA7) e C(2, 1) A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição deTarefa Complementar  alinhamento de 3 pontos. Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos x y 1pontos A e B. A, B e P estão alinhados se e só se: xA yA 1 0 xB yB 17. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos x y 1(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: Desenvolvendo xA yA 1 0 temos: a) eqüilátero b) escaleno xB yB 1 c) isósceles d) retângulo e) n.d.a. x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0 (yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0 a b cPré-Vestibular da UFSC 14
  15. 15. Inclusão para a vida Matemática B Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual aLogo: ax + by + c = 0 equação geral da reta. 90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é definido.2. Equação Reduzida da RetaPode-se obter a equação reduzida da reta se isolando naequação geral y.Veja: ax + by + c = 0 by = ax c a c a c 4. Equação do Feixe de Retasy substituindo por m e por n temos: b b b b Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado y = mx + n Equação Reduzida da Reta um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso, usa-se a relação: y yo = m(x xo)No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angularda reta, e n o coeficiente linear da reta.3. Coeficiente Angular e Linear da RetaVamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m éo coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear dareta.Vejamos, agora, o significado geométrico deles.COEFICIENTE LINEAR Exercícios de Sala O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta 1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) eo eixo y. B(4, 9), determine:COEFICIENTE ANGULAR a) equação geral b) equação reduzidaDefine-se como coeficiente angular da reta a tangente do c) coeficiente angular e linear da retaângulo , onde indica a inclinação da reta em relação aoeixo x. 2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo: a) r: 2x + 3y + 1 = 0 b) yB yA m = tg ou m xB xA c)CASOS PARTICULARES Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a 0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0. 3. Determine a equação da reta representada pela figura abaixo:Pré-Vestibular da UFSC 15
  16. 16. Matemática B Inclusão para a Vida Tarefa Complementar  6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem coeficiente angular 3. 7. Considere as retas r e s indicadas abaixo:Tarefa Mínima 1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) eB(2, - 3), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0 04. o ponto de intersecção das retas r e s possui coordenadas (2, 1) 08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)Assinale a soma dos números associados às 8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,proposições corretas: e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo ponto P(a,b). O valor de a + b é: 01. A equação da reta r é y = x – 1 02. o coeficiente linear da reta r é – 1 04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é 9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 45o 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0. 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3) 16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de coordenadas (1,0) 10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1), B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um3. Determine a equação da reta r indicada abaixo quadrado. É correto afirmar que: 01. a origen do sistema de coordenadas está no interior do quadrado. 02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente angular 1/2 04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a diagonal BD do quadrado. 08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto (0, -4) 16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem àreta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: UNIDADE 11 a) 3 b) 3,25 c) 2 13 d) 2 e) 9 ESTUDO DA RETA POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS5. (Fac. Moema-SP) O coeficiente linear e angular dareta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente: No plano cartesiano duas retas r e s podem ser: Concorrentes a) 2 e 3 b) 2/3 e 1 Paralelas c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3 Coincidentes e) n.d.a.Pré-Vestibular da UFSC 16
  17. 17. Inclusão para a vida Matemática B Considere as retas r e s de equações: Determinar: r = m1x + n1 e s = m2x + n2 a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é paralela à reta r. Assim, podemos ter as seguintes situações: b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é perpendicular à reta r. PARALELAS DISTINTAS: m1 = m2 2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de equação y = 2x + 5. PARALELAS COINCIDENTES: m1 = m2 e n1 = n2 3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky -5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) CONCORRENTES proposição(ões) VERDADEIRA(S). m1 m2 01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto CONCORRENTES E PERPENDICULARES: (1, -2) é 17. m1 . m2 = 1 02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam 7 DISTÂNCIA DE PONTO À RETA no ponto 0 é 25/7. 5Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela 08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta sexpressão: no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0. 16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta r é 20. Tarefa Mínima  1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y - 4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0: a) são paralelas b) são coincidentes c) são concorrentes mas não perpendiculares. d) interceptam-se no 1º quadrante e são perpendiculares. e) interceptam-se no 4º quadrante e são perpendiculares.Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta r de equação 5x + 2y 6 = 0. 2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é paralela à reta de equação 5x + y = 0 é: 5.4 2.3 6 20 a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0Resolução: d d d 4 4 2 3 2 5 c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0 e) – 5x + y – 10 = 0Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades. 3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax + 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale:Exercícios de Sala  a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 31. Considere a reta r indicada pela figura abaixo: 4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e C(4,1). A altura em relação à base BC mede: 5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se: a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8 d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8Pré-Vestibular da UFSC 17
  18. 18. Matemática B Inclusão para a VidaTarefa Complementar 6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(2, 7),determine a medida da altura do triângulo ABC relativa aolado BC.7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinalea(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0). 3 02. o ponto C é (0, ). 2 04. a distância entre r e s é 3. 08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, 1 1 respectivamente, , e –2. 2 2 16. a equação da reta t é y = –2x + 6. 32. a equação da reta horizontal que passa por A é 01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. x = 0. 02. A reta s e a reta r são perpendiculares. 64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3. 04. As retas r e s se interceptam no ponto de UNIDADE 12 4 abscissa . 5 08. A distância da origem do sistema de 2 GEOMETRIA ANALÍTICA coordenadas cartesianas à reta r é de ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 2 unidades. DEFINIÇÃO 16. A área da região do plano limitada pelas retas r, 3 Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de s e pelo eixo das abscissas é igual a 10 um plano que se equidistam de um ponto C denominado unidades de área. centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência.8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) sãoextremidades de uma das diagonais de um quadrado. Aequação da reta suporte da outra diagonal é: R C a) 2x - 3y - 1 = 0 b) 2x + 3y - 7 = 0 c) 3x + 2y - 8 = 0 d) 3x - 2y - 4 = 0 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são ospontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadasno gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x –3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixodas abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t éperpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que: Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência.Pré-Vestibular da UFSC 18
  19. 19. Inclusão para a vida Matemática BPode-se escrever a equação da circunferência das seguintes (x )2 + (y )2 = R2. Em relação a circunferência, oformas: ponto P pode assumir as seguintes posições:Equação Reduzida: (x a)2 + (y b)2 = R2Exemplo: Determine equação da circunferência de raio Para determinar a posição do ponto P em relação a 3 e centro C(2, 5): circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da circunferência. Assim, podemos ter: Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x 2) + (y 5) = 32 2 2 (xP )2 + (yP )2 R2 < 0 P interior à Logo, a equação procurada é: (x 2)2 + (y 2 5) = 9 circunferênciaCASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir (xP )2 + (yP )2 R2 = 0 P pertence à centro na origem então a equação circunferência (x )2 + (y )2 = R2 fica reduzida a: x2 + y2 = R2 (xP )2 + (yP )2 R2 > 0 P exterior à circunferênciaEquação Geral: Reta e Circunferência A Equação Geral da circunferência é obtida desenvolvendo a equação reduzida. Veja: Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma circunferência (x )2 + (y )2 = R2 . Em relação à (x a)2 + (y b)2 = R2 circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições: x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2 x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 R2 = 0 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 onde: A= 2a; B = 2b; C = a2 + b2 R2Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5) Para determinar a posição da reta r em relação à 2 2 2 circunferência, substitui-se a equação da reta na equação Resolução: (x ) + (y ) =R da circunferência. Assim, teremos uma equação do (x 2)2 + (y 5)2 = 32 2º Grau. Então, se: (x 2)2 + (y 5)2 = 9 x2 4x + 4 + y2 10y + 25 9=0 <0 reta externa (não existe ponto de intersecção) Logo, a equação geral é x2 + y2 4x 10y + 20 = 0 =0 reta tangente (existe um ponto de intersecção) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIAVamos comparar a equação de uma circunferência com > 0 reta secante (existe dois pontos deuma equação do 2º grau completa. intersecção)x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0 Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) sãoSendo assim, essa equação só irá representar a equação de obtidos por um sistema de equações.uma circunferência se e só se: Exercícios de Sala  Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero. Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0. 1. Determinar a equação da circunferência na forma A2 + B2 4AC > 0 reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5 c) C(3, 0) e R = 5 d) C(0, 3) e R = 5Ponto e Reta e) C(0, 0) e R = 3Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferênciaPré-Vestibular da UFSC 19
  20. 20. Matemática B Inclusão para a Vida2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de d) 3 e) n.d.a.equação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é: Tarefa Complementar  a) 4 b) 5 c) 6 6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a d) 7 e) 8 equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma circunferência, é:3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. a) 10 b) 12 c) 13Determine a soma dos números associados à(s) d) 15 e) 16proposição(ões) VERDADEIRA(S). 7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo 01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da x2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente. 02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na 8 . circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de 04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar comprimento igual a: que C e r são secantes. 08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio a) 3 b) 3 c) 2 3 2 é tangente externamente à circunferência C. d) 6 e) 2 2 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode- se afirmar que o ponto P é exterior à C. 9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.Tarefa Mínima  a) 16 b) 4 c) 21. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e d) 32 e) n.d.a.tangente aos eixos coordenados é: 10. (UFSC) Considere a circunferência C:a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 2 2b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 x 4 y 3 16 e a reta r: 4x + 3y 10 = 0.c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 Assinale no cartão-resposta a soma dos númerose) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4 associados à(s) proposição(ões) correta(s).2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x– 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: 01. r C = . 02. O centro de C é o ponto (3, 4). a) 2 b) – 3 c) 3 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas d) – 2 e) – 1 em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto. 08. A distância da reta r ao centro de C é menor do3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é que 4.um ponto localizado no: 16. A função y dada pela equação da reta r é decrescente. a) primeiro quadrante b) segundo quadrante c) terceiro quadrante d) quarto quadrante e) eixo x4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é umacircunferência que tem o segmento MN como umdiâmetro, então a equação de C1 é: a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0 b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0 c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0 d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 05. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 -4x = 0. Determinar a área da região limitada por . a) 4 b) 2 c) 5Pré-Vestibular da UFSC 20

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