Fis mat trabalho e energia

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Fis mat trabalho e energia

  1. 1. • Matemática – Progressões pg. 02 • Matemática – Trigonometria no triângulo pg. 04Casas de farinha representam • Física – Movimentos de projéteisfonte de renda para o homem sustento familiar e do interior pg. 06 • Física – Trabalho e Energia pg. 08 • Literatura – Realismo e Naturalismo I pg. 10 o ecânica d e Ferr em energia m strada do r da Eor transforma vapo cal aa Máquin a Mamoré : Madeir –
  2. 2. Acervo de Matemática Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10bibliotecas registra termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18, 20). Poderíamos obter esta soma manualmente, ou Professor CLÍCIO seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 oucrescimento 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso, precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma Progressões PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)de 700% observe: 1. Progressão aritmética ( P .A.) a1+a10 = 2 + 20 = 22 Definição a2+a9 = 4 + 18 = 22 Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, a3+a8 = 6 + 16 = 22 14, 16). a4+a7 =8 + 14 = 22Ao ingressar na Universidade do Estado do Observamos que, a partir do segundo termo, a a5+a6 = 10 + 12 = 22Amazonas, o aluno tem acesso a um rico diferença entre qualquer termo e seu antecessor Note que a soma dos termos eqüidistantes é é sempre a mesma: constante (sempre 22) e apareceu exatamente 5acervo bibliográfico. Em cinco anos, o 4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 vezes (metade do número de termos da PA,número de títulos disponíveis cresceu mais Seqüências como esta são denominadas progres- porque somamos os termos dois a dois). Logo,de 700%. Em 2001, eram 3.661 títulos e sões aritméticas (PA). A diferença constante é devemos, em vez de somarmos termo a termo,8.235 exemplares. Em 2006, já são 29.058 chamada de razão da progressão e costuma ser fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim,títulos e 95.180 exemplares. representada por r. Na PA dada temos r = 2. determinamos S10 = 110 (soma dos 10 termos). Podemos, então, dizer que: E agora, se fosse uma progressão de 100 termos,A esse acervo, soma-se o material didático Progressão aritmética é a seqüência numérica como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), como faríamos?disponível em todos os 61 municípios do onde, a partir do primeiro termo, todos são Procederemos do mesmo modo. A soma do a1interior do Amazonas disponível para os obtidos somando uma constante chamada razão. com a100 vale 101 e esta soma vai-se repetir 50alunos dos cursos ministrados pela UEA Notação vezes (metade de 100), portantopelo Sistema Presencial Mediado (Proformar, Considere a P ( a1, a2, a3, a4, ...., an) .A. S100 = 101x50 = 5050. Onde: Então, para calcular a soma dos n termos deCiência Política e Licenciatura em a1= primeiro termo uma PA, somamos o primeiro com o últimoMatemática). an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes.A rede de serviços é composta por uma termo Assim, podemos escrever:Biblioteca Central, nove bibliotecas setoriais, n = número de termos(se for uma PA finita) n Sn = (a1 + an) ––––nove bibliotecas de núcleos e 37 mini- r = razão 2bibliotecas. ClassificaçãoA Biblioteca da UEA é informatizada e utiliza Quanto à razão: • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão Aplicaçõeso sistema Pergamun, que permite ao aluno r = 5. Toda PA de razão positiva (r > 0) épesquisar e fazer reservas e renovações de crescente. 01. (FGV) Verifique se 31/20 é termo datítulos via Internet. O Pergamun já é utilizado • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3. sucessão.em cerca de 48 instituições de nível superior Toda PA de razão negativa (r < 0) é 1+3n an = –––––– 2ndo País, o que possibilita aos alunos da UEA decrescente. a) décimo termo; b) quarto termo;consulta ao acervo dessas instituições. Todo • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0. c) sexto termo; d) oitavo termo; Toda PA de razão nula (r = 0) é constante ouesse sistema de informatização utiliza 68 estacionária. e) n.d.a.computadores. Quanto ao número de termos: Solução:Além disso, professores, pesquisadores, • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e 1+3n 31 an = –––––– e an = –––alunos e funcionários da UEA têm acesso à razão r = 10. Toda PA de n.° de termos finito é 2n 20 limitada. 31 1+3nprodução científica mundial atualizada por ––– = ––––– e ⇒ 62n = 20 + 60n • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos 20 2nmeio do Portal de Periódicos da Capes. termos e razão r = -2. Toda PA de n.° de 2n = 20 ⇒ n = 10 (n ∈ IN)Trata-se de uma biblioteca virtual, de fácil termos infinito é ilimitada. 02. (MACK) Determine o valor de x para que osacesso, oferecida pelo governo federal e Propriedades: números log28, log2(x+9) e log2(x+7)mantida pela Capes. O acervo do Portal estejam, nessa ordem, em PA • Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo,compreende mais de 9,5 mil periódicos é a média aritmética do seu antecessor e do a) x = 5 b) x = 3 c) x = -3completos, 507 revistas científicas e bases seu sucessor. d) x = -5 e) n.d.a.de dados brasileiros de acesso gratuito, 105 • Numa PA qualquer de número ímpar de Solução:bases de dados referenciais e, ainda, seis termos, o termo do meio (médio) é a média (log28, log2(x+9) e log2(x+7)) PA aritmética do primeiro termo e do último termo. 2log2(x+9) = log28 + log2(x+7)bases de dados de patentes com cobertura 2 2internacional e outras fontes de informações Exemplo: log2(x+9) =log28(x+7)⇒ x +18x+81= 8x+56 2 Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o x + 10x+25 = 0 ⇒ x = –5acadêmicas. termo médio é 12. Observemos que o termo 03. (UFAM) Quantos são os números naturaisO foco da coleção do Portal são as publi- médio é sempre a média aritmética do primeiro menores que 98 e divisíveis por 5?cações periódicas. Completando essa e do último, ou seja: a) 15 números b) 20 númeroscoleção, estão incluídos importantes sítios 3 + 21 c) 25 números d) 30 números ––––––– = 12com textos completos, destacando-se: 2 e) n.d.a.Biblioteca Nacional; Escola Paulista de • A soma de dois termos eqüidistantes dos Solução: extremos de uma PA finita é igual à soma dos (0, 5, 10,..................., 95) PAMedicina; Domínio Público (Ministério da extremos.Educação), entre outros. a1 = 0; an = 95; r = 5 Exemplo: an = a1 + (n–1).r ⇒ 95 = 0 + (n–1).5Os usuários autorizados para o acesso às 95 = (n–1).5 ⇒ 19 = n – 1 ⇒ n = 20 Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).coleções são professores permanentes, Portanto a quantidade de termos é igual a 20.temporários e visitantes, estudantes de 04. (UNIP) Numa PA crescente de 6 termos, agraduação, pós-graduação e extensão, soma dos termos de ordem ímpar é 27, e afuncionários permanentes e temporários soma dos termos de ordem par é 36.vinculados oficialmente às instituições Escreva essa PAparticipantes do Portal. Solução:Com o objetivo de qualificar equipes (x–5r, x–3r, x–r, x+r, x+3r, x+5r) P .A. Termo Geral x–5r + x–r + x+3r=27 ⇒ 3x–3r=27 ⇒ x–r=9técnicas para o usos e a divulgação do Uma PA de razão r pode ser escrita assim: x–3r + x+r + x+5r=36 ⇒ 3x+3r=36 ⇒ x+r=12Portal, são desenvolvidos treinamentos em PA(a1, a2, a3, a4, ...., an–1 an)todas as Unidades Acadêmicas da UEA, por Portanto, o termo geral será:meio de bibliotecárias capacitadas pela an = a1 + (n – 1)r, para n ∈ N*Capes, bem como treinamento por Logo a PA é dada por: (3, 6, 9, 12, 15, 18) P.A. Soma dos Termos de uma PA finitarepresentantes das editoras credenciadas. 05. (UEA) O perímetro de um triângulo retângulo Consideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 10, 12, mede 24cm. Calcule as medidas dos lados, 14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razão 2. sabendo-se que elas estão em P .A. 2
  3. 3. a) 5cm, 9cm e 10cm b) 4cm, 6cm e 10cm Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . Desafio c) 4cm, 5cm e 15cm d) 5cm, 6cm e 13cm Logo, conforme a definição de PG, podemos e) n.d.a. reescrever a expressão acima como:Solução: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q(x–r, x, x+r)P .A. Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn – a1.x–r + x + x+r = 24 ⇒ 3x = 24 ⇒ x = 8 Logo, substituindo, vem: Matemát ico8–r, 8, 8+r representam os lados de um triângulo Sn . q = Sn – a1 + an . qretângulo. Daí, simplificando convenientemente, 2 2 2(8–r) + 8 = (8+r) chegaremos à seguinte fórmula da soma: 2 264 –16r + r + 64 = 64 + 16r + r32r = 64 ⇒ r = 2 an . q – a1Logo os lados são 6cm, 8cm e 10cm. Sn = –––––––––– q–1 n-106. (FGV) Ache a progressão aritmética em que Se substituirmos an = a1 . q , obteremos uma S10 = –65 e S20 = 170. nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: a) (-20, -17, -14,..........) 01. Se numa seqüência temos que f(1) = b) (-20, -15, -10,..........) qn – a1 Sn = a1 ––––––– 3 e f (n + 1) = 2.f(n) + 1, então o valor q–1 c) (-10, -17, -24,..........) de f(4) é: d) (-20, -17, -14,..........) Soma dos termos de uma PG decrescente e e) n.d.a ilimitada a) 4 b) 7 c) 15Solução: Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) d) 31 e) 42 (a1 + a10).10 e decrescente. Nestas condições, podemosS10=–65 ⇒ –––––––––––– = –65 ⇒ a1+a10=–13 2 considerar que no limite teremos an = 0. 02. O trigésimo primeiro termo de uma P . (a1 + a20).10 Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: A. de 1.° termo igual a 2 e razão 3 é:S20=170 ⇒ –––––––––––– = 170 ⇒ a1+a20=17 2 a1Logo a P é dada por (-20, -17, -14,..........) .A. S∞ = –––––– a) 63 b) 65 c) 92 q–12. Progressão geométrica( PG) d) 95 e) 102Definição 03. O primeiro termo de uma progressãoEntenderemos por progressão geométrica – PG Aplicações aritmética, com a7 = 12 e razão igual a– como qualquer seqüência de números reaisou complexos, onde cada termo, a partir do 01. (UFMG) Dados os números 1, 3 e 4, nesta 5 é:segundo, é igual ao anterior, multiplicado por ordem, determine o número que se deve a) –18 b) 18 c) 42uma constante denominada razão. somar a cada um deles para que se tenha uma progressão geométrica. d) –42 e) 2Exemplos:(1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ) PG de razão 2 a) –5 b) –6 c) –7 04. Três números positivos estão em(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) PG de razão 1 d) –8 e) n.d.a.(100, 50, 25, ... ) PG de razão 1/2 progressão aritmética. A soma deles é Solução: 12 e o produto 18. O termo do meio é:(2, –6, 18, –54, 162, ...) PG de razão –3 (x+1, x+3, x+4) P.G.Fórmula do termo geral 2 (x+3) = (x+1).(x+4) a) 2 b) 6 c) 5 2 2Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) , x + 6x + 9 = x + 5x + 4 ⇒ x = –5 d) 4 e) 3onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo 02. (UEA) Numa P .G., o primeiro termo é 4 e o 05. A soma dos múltiplos de 3termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q arazão da PG, da definição podemos escrever: quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa compreendidos entre 100 e 200 é:a2= a1 . q P.G. 2 a) 10 b) 20 c) 30 a) 5000 b) 3950 c) 4000a3= a2 . q = (a1 . q).q = a1 . q 2a4= a3 . q = (a1 . q ).q = a1 . q 3 d) 40 e) n.d.a. d) 4950 e) 4500................................................ Solução:................................................ 06. Um cinema possui 20 poltronas na a1 = 4 e a4 = 4000Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . q , que é n-1 3 3 primeira fila, 24 poltronas na Segunda a4 = a1.q ⇒ 4000 = 4. qdenominada fórmula do termo geral da PG. 3 q = 1000 ⇒ q = 10 fila, 28 na terceira fila, 32 na quarta filaGenericamente, poderemos escrever: e as demais fileiras se compõem na j-kaj = a k . q 03. (UFPA) Numa progressão geométrica, a mesma seqüência. Quantas filas sãoExemplos: diferença entre o 2.° e o 1.° termo é 9 e a diferença entre o 5.° e o 4.° termo é 576. necessárias para a casa ter 800a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o Calcule o primeiro termo dessa progressão. lugares? décimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para a) 3 b) 4 c) 5 a) 13 b) 14 c) 15 calcular o décimo termo, ou seja, a10, vem d) 6 e) n.d.a. d) 16 e) 17 pela fórmula: Solução: 9 9 a10 = a1 . q = 2 . 2 = 2. 512 = 1024 07. Se a razão de uma P é maior que 1 .G.b)Sabe-se que o quarto termo de uma PG e o primeiro termo é negativo, a P é .G. crescente é igual a 20, e o oitavo termo é chamada: igual a 320. Qual a razão desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos a) decrescente b) crescente 8–4 escrever: a8 = a4 . q . Daí, vem: c) constante d) alternante 4 320 = 20.q e) singular 4 Então q =16 e portanto q = 2.Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser 04. (UFAM) Inserindo- se quatro meios 08. Em uma progressão geométrica, oexpressa como: geométricos entre a e 486, obtém-se uma quinto termo é 24 e o oitavo termo é 3.(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. P de razão igual a 3. Qual o valor de a? .G. A razão entre o sexto termo e oPropriedades principais a) a = –2 b) a = 2 c) a = –3 d) a = 3 e) n.d.a. décimo é:• Em toda PG, um termo é a média geométrica Solução: a) 4 b) 8 c) 1/8 dos termos imediatamente anterior e posterior. (a,................, 486) P.G. d) 16 e) 1/16Exemplo: q=3PG (A, B, C, D, E, F, G) 5 5 2Temos então: B = A . C ; C = B . D ; 2 a6 = a1.q ⇒ 486 = a. 3 ⇒ a = 2 09. Sabendo que a sucessão 2 2D = C . E ; E = D . F, etc. 05. (FGV) Resolva a equação: (x – 2, x + 2, 3x – 2,...) é uma P.G.• O produto dos termos eqüidistantes dos 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = crescente, então o quarto termo é : extremos de uma PG é constante. 7650, sabendo que os termos do 1.° a) 27 b) 64 c) 32Exemplo: membro estão em P .G.PG (A, B, C, D, E, F, G) d) 16 e) 54Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D 2 a) x = -3 b) x = 3 c) x = 4 d) x = -4 e) n.d.a. 10. Dada a progressão geométricaSoma dos n primeiros termos de uma PG Solução: 1, 3, 9, 27,..., se a sua soma é 3280,Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para o (10x, 20x, ................, 1280x) P.G. então ela apresenta: n–1cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , 1280x = 10x.2vamos considerar o que segue: 128 = 2n-1 ⇒ n = 8 a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termosSn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = 7650 d) 6 termos e) 5 termosMultiplicando ambos os membros pela razão q, 10x.(28 – 1) ––––––––––– = 7650 ⇒ x = 3vem: 2–1 3
  4. 4. Desafio MatemáticaMatemát ico Professor CLÍCIO Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob Trigonometria no triângulo análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o 1. Trigonometria: cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao Trigonometria do Triângulo Retângulo ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente A trigonometria possui uma infinidade de ao ângulo C. aplicações práticas. Desde a antiguidade, já se01. Considere o triângulo retângulo usava da trigonometria para obter distâncias representado na figura abaixo, onde impossíveis de serem calculadas por métodos AB = 3 e AC = 4. comuns. Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio. Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as proprieda- des geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso O valor de cos ^ é: C e minucioso. Propriedades do triângulo retângulo a) 4/5 b) 3/5 c) 5/3 Ângulos: Um triângulo retângulo possui um d) 5/4 e) 3/4 ângulo reto e dois ângulos agudos complemen-02. Se um cateto e a hipotenusa de um tares. Lados: Um triângulo retângulo é formado por triângulo medem a e 3a, respectiva- três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros mente, então o cosseno do ângulo dois lados que são os catetos. Os gregos determinaram a medida do raio da oposto ao menor lado é: Altura: A altura de um triângulo é um segmento Terra, por um processo muito simples. a) b) c) Seria impossível se medir a distância da Terra à que tem uma extremidade num vértice e a outra Lua, porém com a trigonometria isso torna extremidade no lado oposto ao vértice, sendo simples. que este segmento é perpendicular ao lado d) e) oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais retângulo, sendo que duas delas são os catetos.03. Duas rodovias A e B encontram-se em A outra altura (ver gráfico acima) é obtida O, formando um ângulo de 30°. Na fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa tomando a base como a hipotenusa, a altura rodovia A existe um posto de gasolina saber a altura de uma montanha, o comprimento relativa a este lado será o segmento AD, que dista 5km de O. O posto dista da de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria denotado por h e perpendicular à base. rodovia B: anos para desenhar um mapa. Funções trigonométricas básicas Tudo isto é possível calcular com o uso da As Funções trigonométricas básicas são a) 5Km b) 10Km c) 2,5Km trigonometria do triângulo retângulo. relações entre as medidas dos lados do d) 15Km e) 1,25Km Triângulo Retângulo triângulo retângulo e seus ângulos. As três04. Um retângulo com lados adjacentes É um triângulo que possui um ângulo reto, isto funções básicas mais importantes da é, um dos seus ângulos mede noventa graus, trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O medindo sen α e cos α, com 0<α<π/2, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma ângulo é indicado pela letra x. tem perímetro igual a . A área desse das medidas dos ângulos internos de um retângulo é: triângulo é igual a 180°, então os outros dois a) 1/4 b) 3/5 c) 4/5 ângulos medirão 90°. d) 5/4 e) 4 Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados05. Sendo sen a + cos a = m, então complementares, portanto podemos dizer que o sen a . cos a é igual a: triângulo retângulo possui dois ângulos 2 2 complementares. m–1 m –1 m +1 Tomando um triângulo retângulo ABC, com a) ––––– b) –––––– c) –––––– Lados de um triângulo retângulo hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno 2 2 2 Os lados de um triângulo retângulo recebem do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO m+1 m nomes especiais. Estes nomes são dados de e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente d) ––––– e) –––– 2 2 acordo com a posição em relação ao ângulo CA. Portanto a tangente do ângulo analisado reto. O lado oposto ao ângulo reto é a será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.06. Sabendo-se que cos x = 1/4 e que x é hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto 2. Relações Trigonométricas um arco do 4.° quadrante, pode-se (adjacentes a ele) são os catetos. afirmar que o valor real positivo de Relação fundamental y= [sec2x – secx . cos secx].[1 – Para todo ângulo x (medido em radianos), vale cotgx]–1é: a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1 Fórmulas derivadas das fundamentais a) 132 b) 16 c) 49 d) 1253 e) 43 Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da Trigonometria, a saber:07. Se um ângulo é igual ao seu comple- Dado um arco trigonométrico x, temos: mento, então o seno deste ângulo é Fórmula I – Relação Fundamental da igual a: Trigonometria. 2 2 sen x + cos x = 1 a) b) c) 2 2 [o mesmo que (senx) + (cosx) = 1] Fórmula II – Tangente. d) 1 e) Para padronizar o estudo da Trigonometria, senx 1 adotaremos as seguintes notações: tgx = ––––– = –––––– , com cosx ≠ 0 cosx cotgx08. O valor de k que verifica simultanea- Fórmula III – Co-tangente. mente sec x = k/2 e tgx= é: cosx 1 cotgx = ––––– = ––––, com senx ≠ 0 senx tgx a) 1 b) 2 c) 3 Fórmula IV – Secante. d) 4 e) 5 1 secx = ––––––, com cosx ≠ 0 cosx 4
  5. 5. Fórmula V – Co-secante. AH = diâmetro da circunferência = 2R Desafio 1 (R = raio)cosecx = ––––––, com senx ≠ 0 senx AO = OH = raio da circunferência = RNota – Considere, nas fórmulas acima, a Medidas dos lados do triângulo ABC:impossibilidade absoluta da divisão por ZERO. AB = c, BC = a e AC = b.Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar Matemát icosecante de x; se sen x = 0, não existe a cosec x. observando que os ângulos H e B sãoPara deduzir duas outras fórmulas muito congruentes, ou seja, possuem a mesmaimportantes da Trigonometria, vamos partir da medida, pois ambos estão inscritos no mesmofórmula I acima, inicialmente dividindo ambos arco CA. Além disso, podemos afirmar que o 2os membros por cos x ≠ 0. Teremos: ângulo ACH é reto (90°), pois AH é um diâmetro. 2 sen x 2 cos x 1 Portanto o triângulo ACH é um triângulo––––––– + –––––– = –––––– 2 2 2 retângulo. cos x cos x cos x Podemos então escrever:Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavel- sen H = sen B = cateto oposto/hipotenusa =mente a seguinte fórmula que relaciona a tan- AC / AH = b/2R. 01. Sendo O o centro da circunferência degente e a secante de um arco trigonométrico x: Logo, fica: senB = b/2R e, portanto, b/senB=2R. raio unitário, então x = BC vale: 2 2tg x + 1 = sec x Analogamente, chegaríamos às igualdades 2Se em vez de dividirmos por cos x, dividíssemos c/senC = 2R e a/senA = 2R 2ambos os membros por sen x, chegaríamos a: Como essas três expressões são todas iguais a 2 2 2R, poderemos escrever finalmente:cotg x + 1 = cosec x A B C –––––– = –––––– = ––––– = 2RAs duas fórmulas anteriores são muito senA senB senCimportantes para a solução de exercícios que Essa expressão mostra que as medidas doscomparecem nos vestibulares; merecem, por lados de um triângulo qualquer sãoisto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas proporcionais aos senos dos ângulos opostos aanteriores têm necessariamente de ser esses lados, sendo a constante dememorizadas, e isso é apenas o início! A proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio daTrigonometria, infelizmente, depende de circunferência circunscrita ao triângulo ABC. a) 1 b) 0,8 c) 0,6memorizações de fórmulas, mas, se você 5. Lei dos Co-senos d) 0,5 e) 0,4souber deduzi-las, como estamos tentando Considere o triângulo ABC na figura abaixo:mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais 02. O valor de k, para o qualfáceis! Portanto fique tranqüilo(a). (cosx + senx)2 + k .senx. cos x – 1=0 é uma identidade , é: a) –1 b) –2 c) 0 Arapuca d) 1 e) 2(UEA) Sendo sena + cosa = m, então sena.cosaé igual a: 03. Simplificando a expressão a) (m-1)/2 b) (m + 1)/2 c) m/2 AH = altura do triângulo em relação à base CB. , encontramos: d) (2m-1)/2 e) n.d.a.Solução: Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.sena + cosa = m a) E = 1 + senx Podemos escrever no triângulo AHB: 2(sena + cosa) = m 2 2 2 2 b) 1 2 2 2 AH + HB = c (Teorema de Pitágoras). 2 2sen a + 2sena.cos.a + cos a = m c) E = sen x – cos x(sen2a + cos a) + 2sena.cos.a = m 2 2 Analogamente, podemos aplicar o teorema de 2 2 2 Pitágoras no triângulo AHC: b = CH + AH 2 d) E = 1 – senx1 + 2sena.cos.a = m cosx 2sena.cosa = (m – 1)/2 Mas CH = CB – HB = a – HB e) E = ––––––––– 2 2 2 Portanto: b = (a - HB) + AH 2 2 2 2 1+senx(FGV) Simplificar a expressão: b = a – 2.a.HB + HB + AH senx cosx–––––––––– + –––––––– . 2 2 Observe que HB + AH = AB = c 2 2 04. Na figura abaixo, determinar o valor de 1 + cotgx 1 + tgx 2 2 2 AB. Então fica: b = a + c – 2.a.HB 1 a) –––––––––––– No triângulo retângulo AHB, podemos escrever: senx + cosx 1 cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c b) –––––––––––– Daí, HB = c.cosB senx – cosx 1 Substituindo, fica: c) –––––– 2 2 2 senx b = a + c – 2.a.c. cosB 1 Da fórmula acima, concluímos que num c) –––––– cosx triângulo qualquer, o quadrado da medida de e) n.d.a. um lado é igual à soma dos quadrados dasSolução: medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo co- seno do ângulo que eles formam. Analogamente, poderemos escrever: 2 2 2 a = b + c – 2.b.c.cosA 2 2 2 a) 65 b) 45 c) 75 c = a + b – 2.a.b.cosC d) 25 e) 67 Em resumo: 2 2 2 a = b + c – 2.b.c.cosA 05. Na figura abaixo, tem-se representado 2 2 2 b = a + c – 2.a.c.cosB o losango ABCD, cuja diagonal menor 2 2 2 c = a + b – 2.a.b.cosC mede 4 cm.4. Lei dos SenosConsidere a figura abaixo, em que se vê um Caiu no vestibulartriângulo ABC inscrito numa circunferência de raioR. Observe que também podemos dizer que a (UEA) Num triângulo dois lados decircunferência está circunscrita ao triângulo ABC. medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60°. Qual a medida do outro lado? a) b) c) d) e) n.d.a. Solução: A medida do lado desse losango, em Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos: 2 2 2 x = 4 + 8 – 2.4.cos60° = 16 + 64 – 8.(1/2), já cm, é: que cos60° = 1/2. a) b) 6 c) 2 x = 16 + 64 – 4 = 76 d) 4 e)Na figura acima, temos: x= cm 5
  6. 6. Desafio Física o móvel percorre em 1s, 2s, 3s e 4s, respectivamente: d, 3d, 5d e 7d. Então: x = d + 3d = 4d Professor CARLOS Jennings y = 5d + 7d = 12d Físico x A razão ––– vale: y x 4d 1 Movimentos de projéteis ––– = –––– = –––– y 12d 3 Corpos que se movimentam nas imediações da 2. LANÇAMENTO VERTICAL superfície terrestre, sem contato com o solo e sujeitos apenas à atração gravitacional (força Equações: origem no ponto de lançamento (S0 = peso), estão submetidos à mesma aceleração: a 0); trajetória orientada no sentido do movimento.01. (UFSC) Duas bolinhas, A e B, partem da gravidade (g). ao mesmo tempo de uma certa altura H 1. QUEDA LIVRE (MUV acelerado em trajetória acima do solo, sendo que A em queda vertical). livre e B com velocidade vo na direção Equações: origem no ponto inicial (S0 = 0); horizontal. Podemos afirmar que: velocidade inicial nula (v0 = 0); resistência do ar a) A chega primeiro ao solo. nula. b) B chega primeiro ao solo. c) A ou B chega primeiro, dependendo da altura. d) A ou B chega primeiro, dependendo da velocidade inicial vo de B. e) As duas chegam juntas. Caiu no vestibular02. (UFPR) Uma bola rola sobre uma mesa horizontal de 1,225m de altura e vai As proporções de Galileu (UEA) Se uma pedra é lançada verticalmente cair num ponto situado à distância de A área de cada triângulo da figura abaixo é para cima, a partir do solo, com velocidade 2,5m, medida horizontalmente a partir numericamente igual ao deslocamento d. inicial vo = 30m/s, ela atingirá uma altura da beirada da mesa. Qual a velocidade máxima h, antes de voltar ao solo. Desprezando da bola, em m/s, no instante em que o atrito com o ar e fazendo g = 10m/s2, o valor ela abandonou a mesa? (g = 9,8m/s2). de h será: a) 5m/s b) 10m/s a) 45m b) 35m c) 15m/s d) 20m/s e) 25m/s c) 20m d) 10m e) 5m03. Um corpo de 2kg deve ser lançado Solução: horizontalmente do alto de uma rampa Na altura máxima, o móvel pára (v = 0). Então: de altura 45m, devendo atingir um v = vo + gt ∴ 0 = 30 + 10 . t ∴ t = 3s buraco a 20m do pé da rampa. Qual A altura máxima atingida: deve ser o valor da velocidade de 2 2 Conclusão: gt 10.3 lançamento? Em tempos iguais e consecutivos, um móvel em S= vo.t – ––– ∴ S= 30.3 – –––––– ∴ S=45m a) 12m/s b) 10,5m/s c) 8m/s queda livre percorre distâncias cada vez maiores, 2 2 d) 7,6m/s e) 6,6m/s na proporção dos ímpares consecutivos: no primeiro segundo, o móvel cai uma distância d;04. Um jogador chuta uma bola com uma no segundo seguinte, percorre 3d; no terceiro Arapuca velocidade inicial de 20m/s, sob um segundo, 5d, e assim por diante. Um objeto de 2kg é lançado verticalmente para ângulo de 60° com a horizontal. Calcule baixo, com velocidade inicial de 20m/s. Atinge o a altura máxima que a bola irá atingir. solo 4s após o lançamento. De que altura o a) 5m b) 10m Caiu no vestibular corpo foi lançado? Com que velocidade ele c) 15m d) 20m e) 25m (UEA) A expressão popular que afirma que o atinge o solo? gato tem “sete vidas” justifica-se pelo fato de05. (Fuvest-SP) Um gato, de um quilograma, eles conseguirem se sair bem de algumas Solução: dá um pulo, atingindo uma altura de situações difíceis. No caso de uma queda, por A altura do lançamento: 1,25m e caindo a uma distância de 1,5m exemplo, eles podem atingir o chão, sem se gt 2 10.16 do local do pulo (g = 10m/s2). A machucar, se a velocidade final for cerca de S= vo.t – ––– ∴ S= 20.4 – –––––– ∴ S=160m 2 2 componente vertical da velocidade inicial 8m/s. De que altura máxima eles podem cair, A velocidade ao chegar ao solo: e a velocidade horizontal do gato valem, sem o perigo de perder uma de suas “vidas”? respectivamente. v = vo + gt ∴ 20 + 10 . 4 ∴ v = 60m/s a) 2,0m b) 2,5m Importante: observe que a massa do corpo a) 5m/s e 1,5m/s b) 1,5m/s e 5m/s c) 3,2m d) 4,0m e) 4,5m (2kg) não interferiu na resposta. c) 5m/s e 15m/s d) 0,5m/s e 1,5m/s Solução: e) 5,5m/s e 1m/s Procuremos o tempo: 3. LANÇAMENTO HORIZONTAL v = vo + gt ∴ 8 = 0 + 10t ∴ t = 0,8s06. Uma bola rola sobre uma mesa de A partir de um ponto situado a uma altura h, Consideremos g = 10m/s2 e calculemos a altura: 80cm de altura, com velocidade cons- gt 2 10.(0,8) 2 acima do solo, o móvel é lançado tante de 5m/s. Ao abandonar a mesa S= –––– ∴ S= –––––––– ∴ S=3,2m horizontalmente e percorre uma trajetória 2 2 (g = 10m/s2), a bola cai, tocando o parabólica, que pode ser construída utilizando- solo no ponto situado, em relação à se a composição de dois movimentos mesa: Arapuca independentes: a) 3m b) 2m c)1m (UEA) Um corpo é abandonado em queda livre a) Movimento horizontal – Nesse movimento, o d) 0,5m e) 1,5m de uma determinada altura. Observa-se que, nos corpo percorre espaços iguais (designados dois primeiros segundos de seu movimento, ele07. Uma pedra de 4kg é lançada cai x metros. Já nos dois segundos seguintes, o por L, na Figura 2) em tempos iguais: verticalmente de baixo para cima, com corpo desloca-se y metros. A razão x/y vale, movimento uniforme (velocidade constante). uma velocidade inicial de 80m/s. qual a portanto: b) Movimento vertical – Nessa direção, o móvel altura máxima alcançada pela pedra? a) 1 b) 1/2 está em queda livre (MUV acelerado) a partir c) 1/3 d) 2 e) 3 do repouso. Os deslocamentos verticais a) 320m b) 220m c) 120m Solução: d) 20m e) Nenhuma é correta. obedecem às Proporções de Galileu: 1d, 3d, O intervalo é de 4s. Pelas proporções de Galileu, 5d, ..., (2n – 1)d. 6
  7. 7. Desafio Importante: o alcance é o mesmo para diferentes corpos, lançados com a mesma velocidade inicial e com ângulos de lançamento complementares (aqueles cuja soma vale 90°). Físico 01. (PUC–SP) Você atira um corpo de 200g verticalmente para cima, a partir do solo, e ele atinge uma altura de 3m antes de começar a cair. Considerando Arapuca a aceleração da gravidade 9,8m/s2 eImportante: para corpos lançados da mesmaaltura, o tempo de queda é o mesmo, Um objeto é lançado obliquamente com uma nula a resistência do ar, a velocidadeindependente das massas dos corpos e de suas velocidade inicial de 100m/s, que forma com a de lançamento foi de:velocidades horizontais de lançamento horizontal um ângulo de 60°. Calcule a altura a) 7,67m/s b) 8,76m/s c) 6,76m/s(desprezando-se os efeitos do ar). máxima atingida pelo móvel e a distância do d) 7m/s e) 6m/s ponto de lançamento ao ponto em que o móvel toca o solo. 02. Um pára-quedista, quando a 120m do Aplicação Solução: solo, deixa cair uma bomba, que levaUma bolinha rola por toda a extensão de uma As componentes da velocidade valem: 4s para atingir o solo. Qual a veloci-mesa horizontal de 5m de altura e a abandona vox=vo . cos θ =100 . cos 60°=100.0,5 =50 m/s dade de descida do pára-quesdista?com uma velocidade horizontal de 12m/s. Calcule voy = vo . sen θ = 100 . sen 60°= 100 . 0,866 = a) 1m/s b) 2m/s c) 5m/so tempo de queda e a distância do pé da mesa 86,6m/s d) 8m/s e) 10m/sao ponto onde cairá a bolinha (g = 10m/s2). Calculemos o tempo de subida, usando aSolução: expressão da velocidade vertical. No ponto mais 03. Um buriti cai do alto de um buritizeiroCalculemos, inicialmente, o tempo de queda, alto, vy = 0: e, entre 1s e 2s, percorre 4,5m. As 2considerando apenas o movimento vertical gt distâncias percorridas durante o(queda livre – MUV acelerado): vy = voy – –––– ∴ 0 = 86,6 – 10t ∴ t= 8,66s 2 2 terceiro e o quarto segundos de gt 10 2 2 A altura atingida pelo móvel (MUV retardado): queda são, respectivamente:H = ––– ∴ 5= ––– t ∴ 5= 5t ∴ t=1s 2 2 2 gt 10 . (8,66)2 h = voy – ––– = 86,6 . 8,66 – ––––––––– = 375m a) 5,5m e 6,5m b) 6,5m e 7,5mConsiderando agora o movimento horizontal 2 2(uniforme), teremos: c) 7,5 e 10m d) 7m e 10,5m Calculemos o alcance (distância horizontal SH e) 7,5m e 10,5mvH = ––– ∴ SH = vH.t = 12 . 1 =12m percorrida em MU). O tempo é o de subida mais t o de descida (8,66s + 8,66s): 04. Um corpo em queda livre sujeita-se à(o corpo cairá a 12m do pé da mesa). Sh = vox . t = 50 . 17,32 = 866m aceleração gravitacional de 10m/s2.4. LANÇAMENTO OBLÍQUO Ele passa por um ponto A comA velocidade de lançamento forma com a velocidade de 10m/s e por um pontohorizontal um ângulo distinto de 0° e de 90°. Exercícios B com velocidade de 50m/s. A distância entre os pontos A e B é de: 01. (PUC-RJ) Uma pedra é lançada a) 100m b) 120m c) 140m verticalmente para cima. No ponto mais alto da trajetória, pode-se dizer d) 160m e) 240m que a sua velocidade v e a sua 05. (FESP–PE) Do alto de um edifício, aceleração a têm os seguintes valores, abandona-se uma bola de ferro que em módulo: durante o último segundo percorre a) v = 0 e a = 0 b) v = g e a = 0 25m. A altura do edifício vale, emA velocidade Vo pode ser decomposta em duas c) v = a d) v = 0 e a = g metros:componentes: Vox (componente da velocidade e) v = 0 e a = g/2no eixo dos x) e Voy (componente da velocidade a) 45 b) 40no eixo dos y): 02. De um ponto a 20m do solo, lança-se, c) 35 d) 80 e) 125Vox = vo . cos θ verticalmente para cima, um objeto com velocidade inicial de 10m/s. 06. Um ouriço de castanha desprendeu-seVoy = vo . sen θ Despreze a resistência do ar e do alto de uma castanheira de 20m. OO lançamento oblíquo resulta da composição de considere g = 10m/s2. Considere as tempo de queda e a velocidade dodois movimentos independentes:a) Movimento horizontal – Esse movimento é afirmativas: ouriço ao chegar ao solo são, uniforme, uma vez que Vox é constante I. A altura máxima atingida é de 25m, em respectivamente: (desprezando-se a resistência do ar). relação ao solo. a) 2s e 20m/s b) 20s e 2m/sb) Movimento vertical – Nesse movimento, a II. O objeto atinge o solo com velocidade c) 3s e 30m/s d) 4s e 40m/s velocidade é variável, pois o corpo está de 10m/s, em módulo. e) 5s e 50m/s sujeito à aceleração da gravidade: na subida, III. O tempo, do lançamento até o retorno o movimento é retardado (velocidade e ao solo, é de 2s. 07. Do alto de uma torre, um garoto deixa aceleração têm sentidos contrários); na São corretas: cair uma pedra, que demora 2s para descida, o movimento é acelerado a) Apenas a I. b) Apenas a II. chegar ao solo. Qual a altura dessa (velocidade e aceleração têm sentidos iguais). c) Apenas a III. d) I e II. e) II e III. torre? 03. (Udesc-SC) Um jogador de basquete a) 10m b) 20m arremessa uma bola verticalmente c) 30m d) 40m e) 50m para cima, com velocidade inicial de 15m/s. Sabendo-se que a bola subiu 08. Uma pedra é arremessada durante 1,5s, calcule, em metros, a verticalmente para cima, com altura máxima que ela atingiu a partir velocidade inicial de 30m/s. Calcule a do seu ponto de lançamento, altura máxima que ela atinge? desprezando a resistência do ar. a) 15m b) 25m a) 10,5m b) 11,25m c) 12,5m c) 35m d) 45m e) 55m d) 13m e) 14,4m 7
  8. 8. Física → c) Trabalho de Fat (θ = 180°): Anota τ Fat = Fat.d.cos180° = 10.10.(−1) = −100J (trabalho resistente). Professor CARLOS Jennings Energia Mecânica – Chamamos de Energia Mecânica a todas as formas de energia Aí! relacionadas com o movimento de corpos ou com a capacidade de colocá-los em movimento Trabalho e Energia ou deformá-los. É dada pela soma das energias cinética e potencial: Em = Ec + Ep O conceito científico de trabalho nem sempre Energia Cinética – Energia associada ao movi- coincide com o que se pensa vulgarmente mento. É uma grandeza escalar que depende da sobre trabalho (geralmente tido como “qualquer massa e do quadrado da velocidade do corpo: esforço do corpo ou da mente”). mv2 Para a Física, Trabalho é a medida das transfor- Ec = –––––– mações de energia causadas por uma força sobre 2 um sistema. Energia é um conceito muito abran- Energia Potencial Gravitacional – Energia gente e, por isso mesmo, muito abstrato e difícil armazenada associada à posição do corpo; de ser definido de um modo preciso. Usando pode permanecer armazenada indefinidamente, apenas a experiência do nosso cotidiano, podería- ou ser utilizada a qualquer momento na mos conceituar energia como algo que é capaz produção de movimento, ou seja, pode ser de originar mudanças no mundo. transformada, no todo ou em parte, em energia Podemos dizer que a presença de energia num cinética: Ep = m.g.h dado sistema físico encerra a possibilidade Energia Potencial Elástica de que se produza movimento. Por exemplo: a É a energia armazenada em uma mola energia armazenada por uma pessoa, a partir comprimida ou distendida. Matematicamente: dos alimentos, permite que ela se movimente e kx2 mova outros corpos. Epe = –––––, onde k é a constante elástica e x é τ Trabalho (τ) de uma força constante – Se uma 2 → força F constante atua em uma partícula, a deformação da mola (quanto a mola foi compri- → produzindo um deslocamento d. O trabalho mida ou distendida). realizado por essa força é dado por: Teorema da Energia Cinética – O trabalho da τ =F.d.cos θ força resultante é igual à variação de energia F = módulo da força aplicada ao corpo; cinética: τ = ∆Ec = Efinal − Einicial d = módulo do deslocamento; Princípio da Conservação da Energia → → θ = ângulo entre F e d. Mecânica – Uma força é chamada conservativa,O Sol ocupa uma posição central no Unidade de trabalho (SI) – O joule: trabalho quando pode devolver o trabalho realizado paramosaico energético da Terra. A energia realizado por uma força de 1 newton, ao vencê-la. Desse modo, o peso de um corpo e adele emanada induz a formação de todas deslocar um corpo por 1 metro (1J = 1N . 1m). força elástica são exemplos desse tipo de força.as outras formas de energia, exceto a No entanto a força de atrito cinético, que nãonuclear. pode devolver o trabalho realizado para vencê-A energia solar dá causa aos movimentos la, é uma força não-conservativa, ou dissipativados ventos e das águas, que são formas (degrada energia mecânica).de energia mecânica. Essa energia Em um sistema no qual só atuam forças conser-alimenta as usinas e os moinhos para a Dependendo do valor de θ, o trabalho de uma vativas (sistema conservativo), a energia mecânicageração de energia elétrica que chega às força pode ser: se conserva, isto é, mantém-se com o mesmonossas casas, a qual, por seu turno, é a) Positivo (trabalho motor) – A força “contribui” valor em qualquer momento, alternando-se nastransformada em energia térmica (no com o deslocamento. suas formas cinética e potencial (gravitacional ouchuveiro), em energia mecânica (no b) Negativo (trabalho resistente) – A força atua elástica).movimento do liquidificador), em energia em oposição ao deslocamento.luminosa (nas lâmpadas), etc. É pela c) Nulo – A força é perpendicular ao sentido doenergia de radiação provinda do Sol que deslocamento do corpo. Aplicaçãose formam os ventos e se aquecem os Importante: o trabalho de uma força perpen-rios, realizando-se, assim, o ciclo da Uma pedra de 2kg é abandonada de uma altura dicular ao deslocamento é sempre nulo.água, que vai propulsionar usinas as de 8m em relação ao solo. Calcule a energiahidroelétricas. cinética e a velocidade de que estará dotada aComo se não bastassem todas as formas Aplicação pedra ao atingir o solo? (Despreze a resistênciade energia que derivam do Sol, a energia Um corpo movimenta-se por 10m sobre uma do ar e considere g = 10m/s2).de radiação ainda pode ser usada superfície horizontal sob a ação das forças Solução:diretamente para produzir energia constantes indicadas na figura. Calcule o a) Ec = Ep ∴ Ec = mgh = 2.10.8 = 160J (aoelétrica, por meio das células trabalho de cada uma das forças atuantes no atingir o solo, a pedra terá uma energia cinéticafotoelétricas, e também como energia corpo. Dados: P = 100N; F = 50N; Fat = 10N; que corresponde à energia potencial que tinhatermoelétrica, por meio do calor. cos 60° = 0,5; cos 90° = 0; cos 180° = −1. quando iniciou a queda).Utilizar energia solar como fonte de mv2 2.v2energia elétrica pode resolver muitos b) Ec = –––– ∴ 160 = –––– ∴v = =12,6m/s 2 2problemas da vida moderna, em que,indiscriminadamente, fabricam-se IMPULSO E MOMENTO LINEAR →equipamentos e máquinas movidos a Um corpo recebe um impulso ( I ) quando éeletricidade. Solução: solicitado por uma força durante um certo → →A utilização de células fotoelétricas para a a) P e N são perpendiculares ao deslocamento intervalo de tempo.produção de energia elétrica também (θ = 90º): → Impulso de uma força constante: I = F∆t → ∆pode representar uma alternativa em τP = P.d.cos90° = 100.10.0 = 0 – É uma grandeza vetorial (possui módulo,regiões de difícil acesso como a τN = N.d.cos90° = 0 direção e sentido). →Amazônia, onde o fornecimento de b) Trabalho de F (θ = 60°): – Tem módulo proporcional ao módulo de F →energia solar é abundante o ano inteiro. τF = F.d.cos60° = 50. 10. 0,5 = 250J (trabalho (quanto maior a força, maior o impulso). → motor); – Tem sempre direção e sentido iguais aos de F. 8

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