6. Pensamiento Variacional

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6. Pensamiento Variacional

  1. 1. Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales
  2. 2. Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales PROYECTO Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia Ministerio de Educación Nacional Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.
  3. 3. PROYECTO Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia LUIS MORENO ARMELLA ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA Asesor Internacional Coordinadora General del Proyecto CINVESTAV – IPN, México EDITOR Ministerio de Educación Nacional Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media. Elaborado por: ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA. Ministerio de Educación Nacional. HENRY URQUINA LLANOS. Ministerio de Educación Nacional. ERNESTO ACOSTA GEMPELER. Escuela Colombiana de Ingeniería. Con la colaboración de: FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA. Instituto Pedagógico Nacional.
  4. 4. Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados: ENLACE EDITORES LTDA. Primera edición: 1.500 ejemplares ISBN: 958 - 97413 - 3 - 9 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita del Ministerio de Educación Nacional - MEN Derechos reservados DISTRIBUCIÓN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA Impreso en Colombia Bogotá, D.C., Colombia Abril 2004
  5. 5. INSTITUCIONES PARTICIPANTES La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”, y la construcción del presente documento ha sido posible gracias a la participación de las siguientes instituciones educativas y docentes que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso. UNIVERSIDADES Universidad de Antioquia Facultad de Educación. Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia. Universidad del Norte Departamento de Matemáticas. Margarita Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico. Universidad Distrital “Francisco José de Caldas” Facultad de Ciencias y Educación. Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C. Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C. Universidad Pedagógica Nacional Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas. Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia Facultad de Ciencias. José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá. Universidad de la Amazonía Facultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física. Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá. Universidad Popular del Cesar Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas. Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar. Universidad de Caldas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas. XI
  6. 6. Universidad del Cauca Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas. Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca. Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca. Universidad de la Guajira Facultad de Ciencias Básicas. Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira. Universidad de los Llanos Facultad de Educación. Ivonne Amparo Londoño Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta. Universidad del Magdalena Departamento de Matemáticas. Pablo Gonzáles. Coordinador Departamento del Magdalena. Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena. Universidad de Nariño Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas. Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño. Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño. Universidad “Francisco de Paula Santander” Facultad de Ciencias Básicas. Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander. Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander. Universidad del Quindío Departamento de Matemáticas. Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío. Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío. Universidad Tecnológica de Pereira Departamento de Matemáticas. Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda. Universidad de Sucre Facultad de Educación. Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre. Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar. Universidad Industrial de Santander Facultad de Educación & Escuela de Matemáticas. Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander. XII
  7. 7. Universidad Surcolombiana. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila. Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila. Universidad del Tolima Facultad de Educación. Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima. Ivonne López. Coordinadora Departamento del Tolima. Universidad del Valle Instituto De Educación y Pedagogía. Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle. Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle. Universidad Nacional de Colombia. Departamento de Matemáticas y Estadística. Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas. Universidad de Córdoba Facultad de Educación. Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba. Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Dirección de Ciencias Básicas. Ernesto Acosta Gempeler SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN Secretaría de Educación Departamento del Atlántico Yolima Fernández Felízzola. Coordinadora Departamento del Atlántico. Secretaría de Educación Departamento del Putumayo Edgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo. Secretaría de Educación Departamento del Huila Rafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila. INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA Departamento de Antioquia Colegio Santa Teresa. Medellín. Normal Superior. Envigado. Liceo Comercial Pedro Luis Álvarez. Caldas. Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana. XIII
  8. 8. Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos. Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla. Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín. Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral. Departamento del Atlántico Escuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande. Instituto Pestalozzi. Barranquilla. Normal Superior Santa Ana. Baranoa. Normal Superior la Hacienda. Barranquilla. Escuela normal Superior de Manatí. Manatí. Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás. Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga. Departamento de Amazonas Internado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia. INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia. Bogotá D.C Centro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T). Colegio Distrital Heladia Mejía. Instituto Pedagógico Nacional. Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander. Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M). Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M). Colegio República de Costa Rica. Departamento de Boyacá Instituto Técnico Rafael Reyes. Duitama. Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja. Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso. Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja. Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá. Colegio Julius Sierber. Tunja. Departamento de Caldas Normal Superior de Caldas. Manizales. Colegio la Asunción. Manizales. Normal Superior María Escolástica. Salamina. Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio. Departamento del Cesar Normal Superior María Inmaculada. Manaure. Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar. Colegio Nacional Loperena. Valledupar. Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. Valledupar Instituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar. XIV
  9. 9. Departamento del Caquetá Colegio Juan Bautista la Salle. Florencia. Colegio Nacional La Salle. Florencia. Escuela Normal Superior. Florencia. Colegio Cervantes. Morelia. Departamento del Cauca Liceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán. Instituto Técnico Industrial. Popayán. INEM Francisco José de Caldas. Popayán. Instituto Nacional Mixto. Piendamó. Departamento de Córdoba Normal Superior. Montería. Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún. Colegio Marceliano Polo. Cereté. Departamento de Cundinamarca Instituto Técnico Industrial. Tocancipá. Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene. Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá. Colegio Departamental San Juan de Rioseco. Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca. Departamento de la Guajira Colegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha. Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha. Colegio La Divina Pastora Riohacha. Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao. Normal Superior San Juan del Cesar. Departamento del Huila INEM Julián Motta Salas. Neiva. Liceo Santa Librada. Neiva. Normal Superior. Neiva. Normal Superior. Gigante. Departamento del Meta Normal Superior María Auxiliadora. Granada. Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López. INEM Luis López de Mesa. Villavicencio. Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro. Departamento del Magdalena Normal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta. Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda. Liceo Antonio Nariño. Santa Marta. Normal de Señoritas. Santa Marta. XV
  10. 10. Departamento de Nariño INEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto. Colegio Ciudad de Pasto. Pasto. Liceo Central Femenino. Pasto. Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida. Colegio Nacional Sucre. Ipiales. Normal Superior. Pasto. Colegio María Goretti. Pasto. Departamento de Norte de Santander Colegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta. Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios. Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta. Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta. Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta. Departamento del Putumayo Colegio Alvernia. Puerto Asís. Colegio Nacional Pío XII. Mocoa. Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzón. Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy. Departamento del Quindío Instituto Técnico Industrial. Armenia. Normal Superior. Armenia. Colegio los Fundadores. Montenegro. Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia. Instituto Tebaida. La Tebaida. Colegio Teresita Montes. Armenia. Departamento de Risaralda Instituto Técnico Superior. Pereira. Normal Superior de Risaralda. Pereira. Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa. Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas. Departamento de Sucre Liceo Carmelo Percy Vergara. Corozal. Colegio Antonio Lenis. Sincelejo. Normal Superior de Corozal. Corozal. Departamento de Santander INEM Custodio García Rovira. Bucaramanga. Centro educativo Las Américas. Bucaramanga. Escuela Normal Superior. Bucaramanga. Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga. Colegio Vicente Azuero. Floridablanca. Colegio Nacional Universitario. Socorro. XVI
  11. 11. Departamento del Tolima Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Líbano. Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo. Colegio Nacional San Simón. Ibagué. Normal Superior. Ibagué. INEM Manuel Murillo. Ibagué. Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo. Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué. Departamento del Valle Colegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali. Normal Superior de Señoritas. Cali. Colegio Manuel María Mallarino. Cali. Colegio Mayor. Yumbo. Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira. Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali. XVII
  12. 12. AGRADECIMIENTOS La Dirección de Calidad de la Educación procesos de desarrollo, innovación e inves- Preescolar, Básica y Media del Ministerio tigación en el uso de Nuevas Tecnologías en de Educación Nacional agradece de manera la Educación Matemática. especial: A las Secretarías de Educación Departa- A los niños y niñas colombianas de las mentales, Distritales y Municipales que diversas regiones que sustentados en su inte- han asumido el liderazgo y gestión de los ligencia, talento y capacidad creativa vienen procesos de incorporación de nuevas tecno- aprovechando las posibilidades que brindan logías informáticas en sus territorios. las nuevas tecnologías para aprender unas matemáticas con sentido para sus vidas y que A los Consejos Directivos y rectores de las nos han permitido construir e implementar Instituciones educativas de básica y media situaciones y propuestas para el estudio de la que han hecho posible la generación de variación y el cambio en el contexto escolar. condiciones para la implementación y soste- nibilidad del proyecto en sus instituciones. A los Coordinadores del proyecto que han dinamizado el trabajo a nivel regional permi- A los padres de familia que consientes de la tiendo la construcción de situaciones para el necesidad de aproximar a las nuevas gene- trabajo de aula sobre la variación y el cambio raciones en conocimientos y experiencias en con tecnología. punta, han apoyado y contribuido a la incor- poración de nuevas tecnologías en la educa- A los maestros y maestras del país que han ción matemática. asumido el compromiso y reto de avanzar en el diseño, implementación y evaluación de A los investigadores e innovadores que las situaciones de aula sobre la variación y el vienen aportando en la generación de cono- cambio con tecnología. cimiento y experiencias significativas sobre el uso de nuevas tecnologías en la educación A las Universidades que han asumido el lide- matemática. razgo regional y el acompañamiento a los XIX
  13. 13. CONTENIDO INSTITUCIONES PARTICIPANTES. ..................................................................................................... XI AGRADECIMIENTOS. ................................................................................................................... XIX CONTENIDO. .............................................................................................................................. XXI PRESENTACIÓN. ....................................................................................................................... XXIII INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ XXV CAPÍTULO 1 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. ..............................1 1.1 Los inicios: un mundo cambiante..................................................................................1 1.2 La representación retórica y los rudimentos del estudio de las nociones de variable, dependencia o función . ...................................................................................1 1.3 De la retórica a la comprensión y representación sincopada (abreviada) y la ampliación de algunas relaciones funcionales de fenómenos de variación y cambio.. ......3 1.4 La transición hacia sistemas de representación simbólica(algabraica actual) y el surgimiento de la Variable y la Función. .....................................................................5 1.5 La Consolidación del Sistema de Representación Simbólico (algebraico actual) y de la Función como Representación de Procesos de Variación y Cambio. .....................7 1.6 La interacción entre sistemas de representación ejecutables en el estudio y comprensión sistemática de la variación y el cambio .....................................................9 CAPÍTULO 2 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA. ........................11 2.1 El Movimiento Internacional de transformación y reforma de la Educación Matemática. .......................................................................................................................11 2.2 La Renovación Curricular de Matemáticas en Colombia: impulso al estudio de la variación y el cambio. ...............................................................................................11 2.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Básicos en el Currículo de Matemática de Colombia. ....................................................................13 CAPÍTULO 3 EL PENSAMIENTO VARIACIONAL. ...................................................................................................17 3.1 Situaciones de Variación y Cambio. ............................................................................17 3.1.1 Descripción e interpretación de situaciones de variación y cambio desde un punto de vista cualitativo.. .......................................................................18 3.1.2 Formas de representación cualitativa de estas situaciones. ...........................19 3.1.3 Formas de representación cuantitativa de situaciones de variación y cambio..................................................................................................................... 19 XXI
  14. 14. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES 3.1.4 Interpretación de representaciones de situaciones de variación y cambio. ...21 3.2 La variable y el concepto de función. .........................................................................21 3.3 La modelación variacional: un ejemplo. .....................................................................23 CAPÍTULO 4 USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES. ....................................................................................27 4.1 Los programas de geometría dinámica........................................................................27 4.2 Las calculadoras graficadoras. ....................................................................................28 CAPÍTULO 5 SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA. ....................................................................................................31 5.1 Propósitos y lineamientos generales ..........................................................................31 5.2 Momentos del trabajo de aula con tecnología en situaciones de variación y cambio. ...........................................................................................................................32 5.3 Propuesta del tratamiento didáctico de las actividades ..............................................33 5.3.1 Observación y descripción de la situación. ...................................................33 5.3.2 Predicción de la gráfica. ................................................................................33 5.3.3 Registro de los datos en una tabla y descripción de la variación. .................33 5.3.4 Visualización de la gráfica formada por un conjunto de valores registrados.34 5.3.5 Relacionar la información obtenida en la gráfica con la información obtenida en la tabla. ................................................................................................34 5.3.6 Hacer aproximaciones de la expresión algebraica que mejor relaciona las variables. ...........................................................................................................35 5.3.7 Hacer el cálculo de regresión.........................................................................35 5.4 Situaciones didácticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacional y potencian el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales ....................35 5.4.1 Modelación del Movimiento Pendular. .........................................................35 5.4.2 Simulación del Movimiento de Aviones. .......................................................37 5.4.3 La función seno y su gráfica. .........................................................................45 5.4.4 Estudio de la simulación del lanzamiento de un cuerpo. ...............................48 5.4.5 Simulaciones en Cabri para diseñar otras actividades. ..................................51 5.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia .......................................................51 5.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo ..........51 5.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área de un rectángulo con perímetro fijo ..........................................................................................................52 5.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo .....................................................52 5.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del rectángulo inscrito en una circunferencia y su área ..........................................................................................52 5.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio inscrito en una semicircunferencia y la altura del trapecio ............................................................................................52 5.4.6 La derivada como razón de cambio ...............................................................53 BIBLIOGRAFÍA. ...............................................................................................................................63 XXII
  15. 15. PRESENTACIÓN El Ministerio de Educación Nacional, compro- comprensión de lo que hacen, viene impulsando metido con el mejoramiento de la calidad de la en el país una verdadera revolución educativa, educación y respondiendo de manera efectiva a una oportunidad para acceder a la información las necesidades, tendencias y retos actuales de la y al conocimiento universal y la transformación educación matemática, viene adelantando desde de las escuelas desde las particularidades de las el año 2000, la implementación del proyecto diferentes regiones que integran el país. Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currí- culo de Matemáticas de la Educación Media Maestros más creativos y comprometidos con de Colombia, con el cual se viene instaurando su ejercicio profesional; estudiantes activos una nueva cultura informática en el país apro- haciendo matemática y colocando en juego vechando el potencial formativo que brindan las todo su talento en horarios de clase y extra tecnologías computacionales, específicamente clase; comunidades educativas que en ejercicio los sistemas computacionales gráficos y alge- de su autonomía se han cohesionado en torno braicos. a la incorporación de tecnologías; articulación entre los niveles educativos básico, medio y La columna vertebral del proyecto ha sido la superior; en síntesis, una gama de opciones formación permanente de los docentes, centrada alternativas que nos permite creer firmemente en la reflexión sobre su propia práctica en el salón que la educación matemática será cada día de de clase y en las posibilidades pedagógicas y mejor calidad. didácticas del recurso tecnológico. La dinámica lograda viene impulsando la consolidación de Las reflexiones y propuestas sobre el estudio grupos de estudio regionales con profesores de la variación y el cambio con mediación de de matemáticas de la educación secundaria y nuevas tecnologías computacionales gráficas media, de las universidades y con profesionales y algebraicas constituyen un aporte a la comu- de las Secretarías de Educación, de manera nidad educativa para fortalecer los procesos que se ha enriquecido la reflexión teórica y la de formación de docentes, especialmente en la experiencia práctica y se han creado condiciones construcción de ambientes de aprendizaje con de sostenibilidad a largo plazo. tecnología, y en una herramienta de trabajo para promover la discusión y construcción nacional Las posibilidades que brindan las tecnologías sobre la diseminación de la cultura informática computacionales (computadores y calculadoras en la educación matemática colombiana. gráficas y algebraicas), como instrumentos mediadores en el aprendizaje de los alumnos, en la construcción de conocimientos y en la Los autores XXIII
  16. 16. INTRODUCCIÓN El estudio de procesos de variación y cambio En el capítulo tres: “El pensamiento Variacional”, constituye uno de los aspectos de gran riqueza se hace una aproximación conceptual a lo que en el contexto escolar. El énfasis actual en la se asume en el contexto del documento por educación matemática orientado hacia el desa- variación, cambio, variable, función, los diversos rrollo del pensamiento matemático a partir de sistemas de representación y los momentos situaciones problemáticas significativas para para el estudio sistemático y la comprensión de los estudiantes, hacen del estudio de la varia- procesos o fenómenos de variación y cambio en ción y el cambio con mediación de herra- contextos escolares. mientas tecnologías computacionales gráficas y algebraicas un campo de acción y formación En el capítulo cuatro: “Uso de Tecnologías potente en la educación matemática del país. Computacionales”, se reconoce el potencial Atendiendo a esto, en el presente documento se mediador de los sistemas computacionales presentan ideas y propuestas sobre el desarrollo dinámicos, gráficos y algebraicos en el estudio del pensamiento variacional y el uso de nuevas sistemático de procesos o fenómenos variables tecnologías. o cambiantes. Se parte en el capítulo uno de una ubicación En el capítulo 5: “Situaciones Didácticas para de la “La variación y el cambio a la luz de la el Desarrollo del Pensamiento Variacional con histórica de las matemáticas”; en un esfuerzo Mediación Tecnológica” se presentan diversas de síntesis, se ubican algunos de los momentos situaciones didácticas que potencian el uso relevantes de su estudio desde una perspectiva de tecnologías computacionales dinámicas, histórica. El énfasis marcado en lo geométrico gráficas y algebraicas en el estudio de procesos y algebraico en las épocas de la antigüedad o fenómenos de variación y cambio. clásica, la edad media y el renacimiento, han hecho muy exigente el rastreo de la manera El particular enfoque en el tratamiento del como se ha estudiado la variación y el cambio tema, en el sentido de reconocer y avanzar en y, naturalmente los sistemas de representación la comprensión de la variación y el cambio y para ello construidos. los sistemas de representación a ellos conexos y, no al contrario, el partir de lo algebraico, En el Capítulo dos: “La variación y el cambio tabular o gráfico (en el mayor de los casos de en el Currículo de Matemáticas de Colombia”, manera aislada o fragmentada), como sistemas se ubica a los lectores en la manera como se de representación privilegiados para modelar ha incorporado en la educación matemática fenómenos o procesos cambiantes o varia- colombiana de los niveles de básica y media el bles, han colocado un alto grado de exigencia estudio de situaciones, fenómenos o procesos al proceso de producción de este documento. cambiantes o variables. Atendiendo a ello, se estima que las ideas, argu- XXV
  17. 17. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES mentos y propuestas que se hacen, constituyen un de procesos de variación y cambio aprovechando referente para potenciar el desarrollo del pensa- el potencial mediador de las nuevas tecnologías miento matemático desde el estudio sistemático computacionales en el contexto escolar. XXVI
  18. 18. 1 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS Un mundo dinámico en permanente sensible y observó fenómenos cambiantes, que transformación ha constituido el escenario impulsaron el desarrollo de tecnologías mate- propicio para que el hombre se sensibilice e riales y simbólicas elementales (herramientas, interese por la comprensión de la variación y el lenguaje gestual, lenguaje verbo icónico), que cambio en el transcurso de la historia. sentaron las bases para el surgimiento posterior de sistemas de representación escritos mucho La comprensión científica de la variación tomó más complejos. auge en el periodo comprendido entre los siglos XIV y XVII en el que se centra el interés por el estudio de las cualidades en situaciones como 1.2 La representación retórica el movimiento, la intensidad luminosa o la y los rudimentos del estudio intensidad de calor, inspirados en los trabajos de las nociones de variable, científicos de Aristóteles y de los filósofos esco- dependencia o función lásticos sobre tópicos como el infinito, el infi- nitesimal y la continuidad (Moreno y Zubieta, La consolidación de la escritura (Hacia el 3000 1996, Pág. 457). a.C), impulsó el surgimiento de diversos tipos e instrumentos de registro a través de los cuales ha sido posible conocer el saber social y cultural 1.1 Los inicios: un mundo cambiante construido a partir de la antigüedad. Desde la época prehistórica, cuando surgieron A partir de tablillas de arcilla encontradas en las primeras nociones e ideas matemáticas excavaciones arqueológicas, se ha podido veri- (Collette, J.P., 2000. Pág. 4-5), la observación ficar que en la época antigua (desde la aparición del cambio en la posición de las ramas de los de la escritura hasta la caída del imperio romano árboles por la influencia del viento; el despla- en el 476 d. C), la civilización Babilónica zamiento de un lugar a otro para las labores de (ubicada en Mesopotamia – hoy Irak – 5000 a. recolección; el desarrollo de técnicas y herra- C), avanzó en lo que se denomina “álgebra retó- mientas para la caza y la pesca; la sucesión del rica”, en la que los problemas se enunciaban día a la noche y su relación con el cambio en la y solucionaban sin utilizar de manera sistemá- posición del sol, la luna y las estrellas; el vínculo tica notaciones algebraicas como las actuales. entre la posición de los astros y los procesos de De igual manera, resolvían en lenguaje verbal producción agrícola; los aspectos cambiantes (oral – escrito) lo que actualmente se conoce de la vegetación y el tamaño de los rebaños de como ecuaciones cuadráticas (por compleción animales domesticados; el desarrollo de rituales del cuadrado o por sustitución), algunas ecua- colectivos con largas procesiones de partici- ciones cúbicas y bicuadráticas y sistemas de pantes; permite inferir, que el hombre se hizo ecuaciones de varios tipos con dos incógnitas, 1
  19. 19. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES que incluían generalmente una ecuación lineal y empírica de la duración de un año. A partir de una ecuación de segundo grado. la observación de los cambios y constantes en la visibilidad de una estrella (Sirio), en relación Por ejemplo, uno de los problemas consistía en con la salida y ocultamiento del sol durante “conocer la longitud del lado de un cuadrado determinadas épocas, estimaron y adoptaron cuya área menos el lado es igual a 870°”, que un calendario civil con un año de 365 días, equivale a resolver en la actualidad la ecuación dividido en 12 meses de 30 días, más cinco ; otro de los problemas conte- días extras al final; la única diferencia con el nidos en los textos babilónicos eran del tipo calendario actual, es que los Egipcios, no inter- , cuya solución se basaba en la utili- calaron el día adicional cada cuatro años, por zación de una tabla que se ha encontrado, en lo que el calendario se iba retrazando poco a la que se daban las combinaciones de la forma poco con respecto a las estaciones, y al cabo de para 1 < n < 30. 1460 años volvía a la situación inicial (Kline, M. 1994. Pág. 44 – 45). En las transformaciones algebraicas (nombre con el cual se le conocen actualmente), asumiendo La civilización Griega ( 2800 a. C – 600 d. C de manera tácita las propiedades conmutativa y aprox., ubicada en el Asia Menor en el territorio distributiva, consiguieron obtener algunas rela- continental europeo que constituye la actual ciones algebraicas (Collette, J.P; 2000. Pág. 26 Grecia, y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas, –29). Delos y el norte de África), que a partir del siglo VI a. C, se preocupó no sólo por investigar el La civilización Egipcia (3100 – 322 a. C aprox.), “como”, sino sobre todo de establecer el “por según se ha podido encontrar en papiros como qué” de las cosas, impulsó la transformación los del Rhin y de Moscú, logró algunos avances de las matemáticas en una ciencia deductiva (al en el campo algebraico. A partir del abordaje menos a partir de Pitágoras en el siglo VI a. C) de problemas de la vida cotidiana, como: el (Collette, J.P., 2000. Pág. 66). reparto de panes, grano o animales, la fermen- tación del pan, la cantidad de granos necesarios Como se ha podido encontrar a partir de los para producir cantidades dadas de cerveza, o códices bizantinos manuscritos en griego, la cantidad de granos de una calidad necesaria escritos entre 500 y 1500 años después de que para obtener el mismo resultado con granos de fueran escritas las obras originales griegas otra calidad, cuya “fuerza” relativa al primero (Kline, M. Pág. 49), fundamentados en una escri- fuera conocida, la estimación de la comida de tura basada en un alfabeto fácil de aprender y en los animales y el almacenamiento de productos sistemas de numeración en base 10 (“Ático” o alimenticios, etc., avanzaron en la solución “Herodiano” y “Jónico” o “Alfabético”), inven- verbal de ecuaciones lineales aplicando el taron procesos geométricos ingeniosos para método de la falsa posición y en el trabajo llegar a solucionar problemas algebraicos. con progresiones aritméticas y geométricas, empleando unos pocos símbolos (Collette, J.P., Según algunos historiadores, especialmente 2000. Pág. 40 – 58; Kline, M. 1994. Pág. 44). en el libro II de los elementos de Euclides, la más importante y singular obra de las mate- Debido a lo esencial del Río Nilo y la incidencia máticas griegas, dan a entender cierta geome- de sus inundaciones periódicas en la producti- tría algebraica, en la que las construcciones vidad de su población, lograron la estimación geométricas tienen la misma función que las 2
  20. 20. LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS operaciones algebraicas. Euclides resuelve los las primeras relaciones funcionales ligadas a primeros teoremas con conceptos geométricos. problemas principalmente astronómicos, en El concepto de “magnitud” se usó para deter- forma tabulada a partir de interpolaciones gene- minar cualquier objeto geométrico, el segmento ralmente lineales, que alcanzan su mayor preci- de una línea o bien una figura, y los teoremas sión en el Almagesto de Ptolomeo que llega a tratan las construcciones y las relaciones entre introducir con su tabla de cuerdas la función dichas magnitudes (ManKiewicz, R, 2000). seno. No obstante, ni estas funciones tabuladas ni los trabajo sobre curvas ligados al estudio de En la línea de la denominada geometría alge- las cónicas, realizados por los Griegos, princi- braica, se destacan la demostración de identi- palmente por Apolonio, llevaron al parecer a dades algebraicas y la solución de ecuaciones ningún tipo de consideración general sobre la cuadráticas, a partir de dos métodos: el método idea de variable o de función. de las proporciones y el método de la aplicación de las áreas. Algunos obstáculos conceptuales que hicieron que en la época antigua el estudio de fenó- Por ejemplo, el método de la aplicación de las menos de cambio sea aún muy reducido y que áreas, consistía en llevar sobre una recta (como las aproximaciones cuantitativas y cualitativas base), con un ángulo dado, un paralelogramo que de dichos fenómenos se hallen todavía total- debía ser igual (en superficie) a cualquier figura mente disociadas y por tanto no sea posible rectilínea dada. En los problemas más difíciles, hablar de la formulación explícita de nociones el paralelogramo utilizado puede sobresalir de la como variable, dependencia o función, estu- base, o ser inferior a la línea dada para un parale- vieron relacionadas con: el uso de proporciones logramo semejante (Collette, J.P., Pág. 79 – 81). o la disociación entre número y magnitud, así como el carácter eminentemente geométrico de Como señalan Azcárete y Deulofeu (1996), la matemática griega y a ellos cabría añadir los a pesar de que las ideas de cambio o cantidad problemas debidos al simbolismo, totalmente variable no eran ajenas a los Griegos, que habían inexistente en lo que se refiere al estableci- considerado problemas sobre movimiento, miento de expresiones algebraicas, a excepción continuidad o infinito desde los tiempos de de los interesantes intentos de Diofanto, aunque Heráclito y Zenón, y a los cuales dedica Aristó- en forma retórica, conceptualmente relacio- teles buena parte de su física, se puede asegurar nado con la dependencia funcional (Azcárate J., que ni los aspectos de cambio ni los referidos al Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996). movimiento fueron estudiados desde un punto de vista cuantitativo por la ciencia griega, más que en algunos momentos muy concretos que no 1.3 De la retórica a la comprensión pueden hacer cambiar la idea general de que el y representación sincopada estudio de la matemática pura prevaleció sobre la (abreviada) y la ampliación de cinemática. Esta puede ser una razón importante algunas relaciones funcionales para explicar por qué el concepto de función de fenómenos de variación y permaneció prácticamente en su prehistoria al cambio. final de lo que hemos llamado la edad antigua. Desde Diofanto (250 d. C) hasta finales del En términos generales, sustentan Azcárete Siglo XIV d. C, se introdujeron algunas abre- y Deulofeu, en el mundo antiguo aparecen viaturas para las incógnitas y las relaciones de 3
  21. 21. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES uso frecuente, pero los cálculos se desarrollan blecidos; la intensidad se considera en relación en lenguaje natural, que dio origen a la deno- a su “extensión” con el tiempo o la cantidad minada álgebra sincopada, caracterizada por el de materia. En el transcurso de estos estudios, empleo de síncopas o abreviaciones. y al margen del valor concreto de cada uno de ellos, empiezan a aparecer conceptos funda- Este periodo que comprende la época histórica mentales como cantidad variable, entendida de la Edad Media, se caracteriza en el campo de como un grado de cualidad, velocidad instan- las matemáticas por el trabajo de las árabes, que tánea o puntual, aceleración, todos ellos ínti- retomaron el relevo de los griegos y permitieron mamente ligados a la idea de función (Azcárate que el legado de estos llegara a occidente. En J., Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996) relación con la idea de función, a pesar del notable incremento en el número de funciones De la escuela francesa se destaca Nicolás consideradas, que abarca, entre otras, la mayoría Oresme, que continuando el estudio sobre los de funciones trigonométricas, así como la fenómenos que cambian, abre una nueva vía al mejora de los métodos de estudio de las mismas, proponer una aproximación geométrica, frente ampliando y perfeccionando los sistemas de a los estudios cinemático – aritméticos desa- interpolación esenciales para la tabulación de rrollados hasta el momento, en su teoría sobre funciones, no es posible hablar de un cambio las latitudes de las formas (Tratado De confi- sustancial en el tratamiento de las mismas, ni gurationibus qualitatum et motuum), que se se tienen indicios que permitan pensar que los fundamenta en el uso de segmentos rectilíneos árabes avanzaron hacia el concepto general. para representar todo lo que varía, ya que todo lo medible puede imaginarse como un cantidad No obstante, es importante destacar, que una continua, pasando después a la representación de las preocupaciones de la Edad media, fue de diversos tipos de cambio. De esta forma, por el estudio de las cosas sujetas al cambio, y en ejemplo, para representar la velocidad de un particular del movimiento. Las escuelas de móvil a lo largo del tiempo, Oresme traza un filosofía natural de Oxford y París, dos de los segmento horizontal cuyos puntos representan principales núcleos científicos de este periodo, los sucesivos instantes de tiempo (longitud) y que tuvieron su mayor florecimiento durante el para cada instante traza un segmento perpendi- siglo XIV y que consideraban las matemáticas cular (latitud) cuya longitud representa la velo- griegas como un instrumento esencial para cidad en aquel instante. el estudio de los fenómenos de la naturaleza, hicieron grandes aportes en los que se destacan al inicio de un estudio cuantitativo del movi- miento local no uniforme, partiendo inicial- mente de las doctrinas aristotélicas. A partir del siglo XIII el estudio cuantitativo de fenómenos adquiere gran relevancia. Se analizan cualidades y formas, según la termino- logía propuesta por Aristóteles, de fenómenos Fig. 1. Oresme y la representación del Cambio muy diversos como calor, luz, densidad, velo- cidad, que pueden poseer varios “grados” de La teoría de las latitudes de las formas de “intensidad” que cambian entre dos límites esta- Oresme, destaca por el carácter general de los 4
  22. 22. LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS primeros problemas abordados, pero pronto Pág. 4). Desde distintos puntos de vista, desde restringe su campo con la distinción de tres esta época, se da paso al nacimiento primero de tipos de configuraciones, las uniformemente la geometría analítica y luego del cálculo infi- uniformes (de latitud constante y por consi- nitesimal, con el consiguiente progreso para el guiente la línea superior o de intensidades es estudio de las funciones que permitirá la apari- una recta paralela a la de las longitudes), las ción de las primeras definiciones así como el uniformemente diformes (la variación de las término de función. latitudes da una línea superior o de intensidad igual a una recta) y las diformemente diformes Los avances de Galileo sobre el estudio expe- (la línea superior no es una recta), descritas rimental del movimiento usando ingeniosos negativamente como las que no pertenecen a instrumentos para tomar medidas que le permi- ninguna de las configuraciones anteriores. Con tieron establecer leyes entre magnitudes que este tipo de representaciones, que recuerdan son auténticas relaciones funcionales, a pesar mucho la llamada representación gráfica de una de basarse y expresarse en la clásica teoría función sobre unos ejes cartesianos, Oresme griega de las proporciones, resulta decisiva pretende que se entienda más fácil y más rápi- para el establecimiento del concepto matemá- damente la naturaleza de los cambios, ya sean tico de función. cuantitativos o cualitativos, de forma que sea posible dar una representación de todos ellos. Hasta el siglo XVII, un a función podía intro- No obstante no se puede considerar estas repre- ducirse utilizando una expresión verbal, una sentaciones como la expresión de una depen- tabla, una gráfica, e incluso en ciertos casos dencia en sentido actual. una comparación de carácter cinemático. Hacia 1637, Descartes Publicó su trabajo “La géométrie”, libro que marca el nacimiento 1.4 La transición hacia y expansión de la geometría analítica, que sistemas de representación permitirá, a partir de este momento, interpretar simbólica(algabraica actual) y el curvas y superficies por medio de ecuaciones, surgimiento de la Variable y la y que un siglo más tarde llevó a la algebriza- Función ción de la geometría. Esta idea fundamental, afectó de forma decisiva a las funciones, ya El apogeo en el estudio sistemático de procesos que en este mismo trabajo aparece por vez de variación y cambio relacionados con el movi- primera el hecho de que una ecuación en x e miento, la intensidad luminosa y la intensidad de y es una forma para expresar una dependencia calor, se da en el periodo que va desde el Siglo entre dos cantidades variables, de manera que XV hasta el Siglo XVII, con los trabajos de Tarta- a partir de ella, es posible calcular los valores glia, Cardan, Vieta, Galileo, Descartes, Wallis, de una variable que corresponden a determi- Newton y Leibniz, que construyeron a partir nados valores de otra. de Vieta con influencia de Napier, Descartes y Wallis, el álgebra simbólica (Sigma, 1985, Pág. Siguiendo a Azcárate y Deulofeu, para llegar a 43). En el álgebra simbólica se usan letras para las ideas fundamentales, que permitieron con todas las cantidades y signos para representar las el tiempo, considerar por un lado las funciones operaciones, se utiliza el lenguaje simbólico no como relaciones entre conjuntos de números, sólo para resolver ecuaciones sino también para más que como entre “cantidades”, y por otro demostrar reglas generales (Malisani, E. 1999, representar las función por medio de fórmulas, 5
  23. 23. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES se habían producido en el campo de las mate- tiempos. El desarrollo en series de potencias máticas dos avances muy importantes en la de una función tuvo una gran importancia, a segunda mitad del siglo XVI: los progresos reali- partir de la mitad del siglo XVII, hasta el punto zados en la extensión del concepto de número, que durante mucho tiempo se convirtió en el con la configuración de los números reales y método fundamental para el estudio de las la primera aparición de los números imagina- funciones. rios, y la aparición del álgebra simbólica, en la que cabe destacar la introducción de signos A manera de síntesis se puede señalar que para numerosas operaciones y especialmente la Newton hizo grandes contribuciones al desa- utilización de letras para representar cantidades rrollo del estudio de las funciones, entre las que desconocidas y coeficientes arbitrarios distin- se destacan: guiendo claramente una cosa de otra. - Su interpretación geométrico – cinemática Junto a Descartes, se destaca el trabajo de de los conceptos fundamentales del análisis Fermat, el cual en una publicación póstuma de matemático, siguiendo las ideas de Barrow, 1679, escrita antes de 1637, expone los princi- en las que tomando el tiempo como argu- pios fundamentales del método de las coorde- mento analiza las variables dependientes nadas. Al igual que Descartes, tomó un eje de como cantidades continuas que poseen una referencia y en él un punto fijo, el origen de determinada velocidad de cambio. segmentos variables, a partir de cuyos extremos toma otros segmentos variables, generalmente - Sus ideas sobre el cálculo infinitesimal, perpendiculares a aquellos, de manera que el expuestas en uno de sus trabajos principales, extremo de este segundo segmento dibujará el método de fluxiones y series infinitas, una curva que dependerá de la relación alge- escrito en 1671 y publicado en 1736, en los braica establecida entre los dos segmentos que a partir de la exposición de sus ideas variables. En esa memoria aparece, de manera básicas a través de la mecánica, presentó los más explicita que en Descartes, la ecuación dos principales problemas del cálculo infi- de la recta, siguiendo la notación de Viète, así nitesimal, la diferenciación y la integración, como las ecuaciones de la circunferencia y de en términos de movimiento, es decir dada la las demás cónicas. ley para la distancia determinar la velocidad, para el primer caso, y dada la velocidad Como se observa, Descartes consideró sola- determinar la distancia, para el segundo. En mente las funciones algebraicas, excluyendo efecto al determinar un movimiento x = f(t) incluso las curvas mecánicas que no podían sobre le eje x, en el tiempo t, lo que carac- ser tratadas según su método de análisis, teriza dicho movimiento es su velocidad, alejando así la vinculación de las matemá- es decir el valor del límite del cociente de ticas con la física, como fruto de su parti- diferencias ∆x / ∆t. Esta velocidad, con la cular visión de aquella ciencia. No obstante, cual varía la variable x en el tiempo, es la pocos años después, el descubrimiento del que Newton llama “fluxión de x” que repre- desarrollo de funciones en series infinitas de senta asimismo por x, y dependientes de una potencias, debido entre otros a Newton, redujo variable primitiva t, el tiempo de manera que notablemente las restricciones de Descartes, la derivada de y respecto a x es el cociente de haciendo posible la representación analítica de dos fluxiones y´ / x´, lo que en la actualidad la mayoría de funciones estudiadas en aquellos se escribe como dy /dt: dx / dt. 6
  24. 24. LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS Gottfried W. Leibnitz, contemporáneo y rival 1.5 La Consolidación del Sistema de Newton, otro matemático de la segunda de Representación Simbólico mitad del siglo XVII, contribuyó decidida- (algebraico actual) y de la mente el concepto de función. Al igual que Función como Representación de Newton, sus primeras obras fueron dedi- Procesos de Variación y Cambio cadas al estudio de las series infinitas. Hacia 1673, se dio cuenta que la determinación de En los siglos XVIII y XIX con los trabajos la tangente a una curva depende de la razón de Jean Bernoulli, Leonard Euler, Lagrange, entre las diferencias de las ordenadas y de Fourier y de Dirichlet se consolida el sistema las abscisas cuando éstas tienden a cero, así de representación simbólico del álgebra actual como el cálculo de las áreas depende de la y la noción de función como representación de suma de las ordenadas o de los rectángulos procesos de variación y cambio. cuya abscisa tiende a cero y que ambos son problemas inversos, llegando a la misma Durante el siglo XVIII el análisis matemático conclusión de Newton que se encontraba ante va cobrando cada vez mayor importancia e un método de gran importancia por su gene- independencia como disciplina, perdiendo su ralidad. Introdujo las notaciones que todavía carácter geométrico y mecánico a favor del uso perviven para representar las diferenciales casi exclusivo del álgebra. (dx, dy) y para la integral ∫, una s estilizada que es la inicial de la palabra suma. La ampliación del concepto de función como una de las representaciones de procesos de El término función aparece por primera vez variación y cambio se desarrolló con toda su en un escrito de Leibnitz de 1673. Inicial- extensión en el siglo XIX, gracias a los trabajos mente tiene un significado muy particular, de Fourier, Cauchy y Dirichlet, entre otros. pues se refiere a un problema de cálculo de ordenadas a partir de cierta propiedad de las La primera definición de función como una tangentes; hacia 1694, utiliza la palabra en expresión analítica, publicada en 1718, se debe un sentido más general, aunque todavía poco a Jean Bernoulli, cuya notación no perduró, preciso, y referido como siempre a cuestiones correspondiendo a Euler (1740) la notación f(x) de geometría diferencial. Conjuntamente con utilizada hasta nuestros días. El término función Jean Bernoulli, muestra cómo el deseo para se tuilizó por primera vez hacia 1698. expresar mediante una palabra cantidades que dependen de una cierta variable se encuentra Euler, uno de los grandes matemáticos del siglo todavía restringida a las expresiones analíticas. XVIII, al inicio de su obra Introductio in analysis En este sentido, una función arbitraria de x es infinitorum (1748) hace un detallado estudio del una cantidad formada de manera cualquiera concepto de función y de otros relacionados con a partir de x y de constantes, esta “manera este. Al definir las nociones iniciales se refiere cualquiera” se entiende como una expresión a los términos constante, cantidad definida que algebraica o trascendente. No obstante, cabe toma siempre un mismo valor determinado, y destacarse que parece observarse una supera- variable, cantidad indeterminada, o universal, ción de la concepción cinemática del término que comprende en si misma todos los valores variable puesto que ésta se considera ya como determinados (refiriéndose a los valores del un elemento genérico de un conjunto numérico conjunto de los números complejos o a alguno cualquiera. de sus subconjuntos). Al definir la función 7
  25. 25. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES sigue a Bernoulli: una función de una cantidad cada uno perteneciente al conjunto en el que variable es una expresión analítica formada toman valores las correspondientes variables. de cualquier manera a partir de esta cantidad En el prefacio de su obra Institutiones calculi variable y números o cantidades constantes. differentialis publicado en 1755, aparece la nueva definición, que no mantiene relación con Posteriormente aborda el complejo problema de la anterior al desaparecer la idea de expresión establecer qué se entiende por expresión analí- analítica: Si x es una cantidad variable, entonces tica, enumerando en primer lugar las operaciones toda cantidad que dependa de x de cualquier algebraicas, luego las trascendentes, como la manera o que esté determinada por aquél se exponencial y la logarítmica, para ampliar el llama función de dicha variable. campo a una infinidad de otras funciones obte- nidas del cálculo integral, incluyendo la integra- En la transición al siglo XIX, Lagrange restringió ción de ecuaciones diferenciales, pero sin llegar de nuevo el concepto de función al limitarlo a a determinar claramente cuál es la amplitud del las llamadas funciones analíticas definidas por término. series de potencias, todas ellas continuas o con un número reducido de discontinuidades, ya que La restricción todavía imperante en esta es necesario recordar que el análisis, o estudio primera definición dada por Euler desapareció de los procesos infinitos, se entendía, desde su unos años más tarde. Ya durante la primera creación por Newton y Leibnitz, como referido mitad del siglo XVIII habían aparecido dife- a las llamadas magnitudes continuas. rencias de opinión sobre las maneras de repre- sentar funciones, cuando D’Alembert y Euler Fourier a través del estudio de las series trigono- dieron sus soluciones al problema de la cuerda métricas, conocidas como series de Fourier, ya vibrante, en la llamada “forma cerrada”, utili- abordado por Daniel Bernoulli, para desarrollar zando un par de definiciones, arbitrarias, mien- funciones arbitrarias, supuso una gran revolu- tras que Daniel Bernoulli había encontrado una ción en su tiempo al lograr representar por medio solución en términos de una serie infinita de de funciones analíticas, funciones arbitrarias funciones trigonométricas. Y cómo esta última formadas por leyes analíticas distintas en dife- solución parecía implicar el carácter periódico rentes intervalos de la variable independiente. de la función, mientras que las funciones arbi- Como señala Boyer (1996), para Fourier, “… trarias de D’Alembert y de Euler no eran perió- cualquier función y = f(x) se puede representar dicas necesariamente, parecía que la solución por una serie de la forma: de Bernoulli era menos General. Esta situación Y=1/2a +a cosx+a co2x+...+a cosnx+...+b senx+b sen2x+...+b senx+... 0 1 2 n 1 2 n fue demostrada por J. B. J. Fourier en 1824 (BOYER, C., 1996). serie que conocemos hoy con el nombre de serie de Fourier. Las representaciones por medio de Euler al considerar que para la solución del tales series permiten un grado de generalidad problema de la cuerda vibrante deben acep- mucho mayor, en cuanto al tipo de funciones a tarse funciones o curvas de forma arbitraria, es las que se puede aplicar para estudiarlas, que decir, que no satisfacen ninguna ley analítica, el que permite la serie de Taylor. Incluso si hay planta el germen de una definición, que le llevó muchos puntos en los que no exista la derivada a explicitar por vez primera la noción general de la función o en los que la función no sea de correspondencia entre pares de elementos, continua…”. 8
  26. 26. LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS Lejeune Dirichlet, discípulo de Fourier, que punto del continuo de todos los valores reales casi siempre se refería a funciones continuas o complejos, o cuanto menos, en cada punto o poco discontinuas, hablaba de los desarro- e un intervalo dado. Pero, al considerar una llos en serie de funciones completamente definición en términos conjuntistas, todas las arbitrarias, en el mismo sentido de Fourier, definiciones anteriores corresponden a casos mostrando que poseía ya el concepto general particulares de esta nueva generalización. Así, de función. Según Boyer (1996), Dirichlet se llega a plantear, que dados dos conjuntos propuso en 1837 una definición sumamente arbitrarios A y B una función (o aplicación) de A amplia y general expresada de la siguiente en B es una ley que a cada elemento x de A hace manera: si una variable y está relacionada con corresponder un solo elemento y de B; o si se otra variable x de tal manera que siempre que prefiere, una función de A en B es un subconjunto se atribuya un valor numérico a x hay una regla F del producto cartesiano A x B tal que si (x, y) según la cual queda determinado un único valor y (x,z) pertenecen a F entonces y = z. Como de y, entonces se dice que y es una función de ratifican Azcárate y Deulofeu (1996), en esta la variable independiente x. Esta definición última generalización del concepto se pierden se acerca mucho ya a la idea moderna de una muchos los atributos que tenían las definiciones correspondencia general entre dos conjuntos clásicas, como son la idea de variación, de de números reales, aunque en su época los continuidad, de la variable como parámetro conceptos de “conjunto” y de “número real” temporal, de dependencia, característicos de estaban lejos de tener un significado preciso. la mayoría de problemas que generaron la Para ejemplificar la arbitrariedad de la regla necesidad del concepto de función. propuso lo que se llama función de Diri- chlet: sean a y b dos números reales distintos; entonces si x es racional y = a, mientras que 1.6 La interacción entre sistemas si x es irracional y= b. Esta función es discon- de representación ejecutables tinua para todos los valores de x, y por tanto no en el estudio y comprensión es diferenciable para ninguno de ellos. A pesar sistemática de la variación y el de que ya no existe duda sobre la generalidad cambio. de su definición, posteriormente, formuló un conjunto de condiciones, conocidas como las La transformación en las concepciones sobre las condiciones de Dirichlet, que debían satisfacer matemáticas a finales del siglo XIX y durante las funciones por él consideradas. el siglo XX, continuaron impulsando el refina- miento en sus diferentes campos y en la manera Paralelamente, hacia 1830, se desarrolló la de concebir los sistemas de representación de teoría de funciones de variable compleja, debida procesos o fenómenos de variación y cambio. ante todo a Cauchy, Riemann y Weierstrass; con este paso al campo complejo vienen a coincidir Los estudios sobre la variación y el cambio en cierto modo los conceptos de función de agrupados en el análisis adquirieron mayor Lagrange y de Fourier – Dirichlet. rigor y surgieron nuevas definiciones generales y precisas de conceptos como función, límite, Posteriormente, con la introducción de la teoría integral y, finalmente, del concepto básico de de conjuntos el concepto de función alcanza magnitud variable (se dio una definición rigu- un nuevo grado de generalización. Hasta ese rosa de número real) (ALEKSANDROV, A. D momento, una función estaba siempre en cada & otros; 2003). 9
  27. 27. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES Este mayor rigor se logró al mismo tiempo que se La esencia del análisis funcional se resume, hacían nuevos hallazgos en álgebra y geometría, en que en el análisis clásico la variable es una y culminó en su forma actual en los años 80 del magnitud o “número”, en análisis funcional siglo XIX gracias a los matemáticos alemanes se considera como variable la función misma. Weierstrass, Dedekind y Cantor, quien puso los Las propiedades de una función particular se cimientos de la teoría de los conjuntos transfi- determinan, no como tales propiedades, sino en nitos, que desempeñan un gran papel en el desa- relación con otras funciones. Lo que se estudia rrollo de las novísimas ideas de la matemática. no es una función aislada sino toda una colec- ción de funciones caracterizadas por una u otra La mayor precisión que adquirieron los propiedad; por ejemplo la colección de todas las conceptos de variable y función en conexión funciones continuas. Tal colección de funciones con la teoría de conjuntos, fue esencial para el constituye lo que se denomina un espacio posterior desarrollo del análisis. Se paso del funcional. Este procedimiento corresponde, por estudio de funciones más generales, y en esta ejemplo, al hecho de considerar la colección de misma línea se generalizó también el aparato todas las curvas sobre una superficie o de todos del análisis, es decir, el cálculo diferencial e los posibles movimientos de un sistema mecá- integral. Fue así como a comienzos del siglo nico dado, definiéndose así las propiedades de XX, surgió la nueva rama del análisis: la teoría las curvas o movimientos particulares en su de funciones de una variable; ligada princi- relación con otras curvas o movimientos. palmente a los matemáticos franceses Borel, Lebesgue y N, N Luzón y su escuela. La transición de la investigación de funciones individuales a la investigación de una función Surgieron igualmente otras teorías, como la variable es similar al paso de los números desco- teoría de aproximación de funciones, que estudia nocidos x, y a las variables x, y. los problemas relativos al mejor modo de repre- sentar aproximadamente funciones arbitrarias Con el advenimiento desde la primera mitad mediante funciones “simples”, y en particular del siglo XX de las tecnologías informáticas y mediante polinomios, que proporciona métodos su evolución hacia el uso de sistemas gráficos y generales para el cálculo práctico de funciones algebraicos ejecutables, se a abierto un campo y para la sustitución aproximada de funciones infinito de experimentación y desarrollo en el complicadas por otras más sencillas. campo de las matemáticas, con importantes repercusiones en el campo de la educación. Sobre la base proporcionada por el desarrollo del análisis y la física matemática, y junto con Como se puede observar en capítulos posteriores, las nuevas ideas de la geometría y el álgebra, la mediación de herramientas computacionales ha madurado una nueva y extensa sección de la provistas de un sistema de álgebra simbólica matemática, el llamado análisis funcional, que ejecutable, constituye un poderoso recurso en el tiene un papel excepcionalmente importante en contexto escolar, para observar, explorar, conje- la matemática moderna, construido a través de turar, representar modelar y simular situaciones los trabajos de Hilbert, del matemático Húngaro de variación y cambio, a partir de la interacción Riesz y el matemático polaco Banach. entre sistemas de representación. 10
  28. 28. 2 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA 2.1 El Movimiento internacional de Uno de los movimientos surgidos como transformación y reforma de la respuesta inmediata a las deficiencias que el Educación Matemática movimiento de las matemáticas modernas deja en los estudiantes, es el conocido, como el La década de los años 60 se caracterizó por un regreso a lo básico. Dicho movimiento, le daba gran movimiento internacional en el campo de mucha importancia al manejo de las opera- la educación matemática preocupado por actua- ciones fundamentales y procedimientos algo- lizar y reorientar lo enseñado tradicionalmente rítmicos. Sin embargo, el regreso a lo básico en las escuelas e incorporar ciertos temas de tampoco mejoró el aprovechamiento de los la denominada matemática moderna o nueva; estudiantes, ya que cuando algunos estudiantes, estos temas estaban relacionados con la teoría eran capaces de resolver operaciones, muchas de conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, vectores, veces no entendían el significado o sentido de espacios vectoriales, matrices, álgebra de Boole las respuestas. Había casos en que el estudiante y otros, que al no ser presentados de manera unifi- encontraba “la respuesta” a problemas cuyos cada o coherente, hicieron que los programas datos no tenían sentido o eran insuficientes. de matemáticas elaborados atendiendo estos énfasis, aparecieran demasiado recargados, difíciles y abstractos. Como consecuencia de 2.2 La Renovación Curricular de esto “en los países donde se adoptaron estas Matemáticas en Colombia: medidas de manera precipitada, el número de impulso al estudio de la estudiantes de matemáticas de los dos últimos variación y el cambio. años de la escuela secundaria descendió seria- mente”. (F. Fehr, Howard y otros; 1971) En el caso colombiano, a mediados de la década de los años 70’s, como manera de avanzar en Durante la década de los años 70, en reacción la construcción de un currículo que respondiera al movimiento de la matemática moderna y a las necesidades del país, en el marco del su énfasis en el carácter abstracto y formal de “Programa Nacional de Mejoramiento Cualita- la matemática escolar, surgen movimientos tivo de la Educación” (MEN, 2002), que tuvo de vanguardia que reivindican una enseñanza como objetivo general “mejorar cualitativa y más real, con problemas de contenido real y el cuantitativamente la educación sistematizando papel de los problemas frente a lo rutinario de el empleo y generación de tecnología educa- los ejercicios. Renuncian a los modelos tradi- tiva para ampliar las condiciones de acceso cionales, entre los que incluyen las matemá- a la educación en forma equitativa, a toda la ticas modernas, y se aproximan cada vez más población colombiana fundamentalmente de a postulados pedagógicos y psicológicos que las zonas rurales”, se cimentó la renovación validen su modelo de enseñanza. curricular de matemáticas. 11
  29. 29. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES En el contexto de la estrategia de renovación Los sistemas analíticos, se incorporan de manera curricular, teniendo como sustento los funda- explícita dentro de los contenidos básicos para mentos Generales del Currículo que integraron la educación básica secundaria (6° a 9°), susten- aspectos legales, filosóficos, epistemológicos, tados en el reconocimiento de la importancia, sociológicos, psicológicos y pedagógicos que necesidad y pertinencia del estudio de situa- permitieron proponer en la educación: la idea de ciones de cambio. A este respecto fundamen- hombre que se pretendía hacer real; se concibió talmente proponen: el conocimiento como proceso y conjunto de experiencias durante toda la vida, transferibles • La utilización de las funciones, las gráficas a otras situaciones y presentes en diferentes y las tablas para modelar situaciones de contextos; los conocimientos y verdades se cambio. consideraron como proyectos que deben revi- • Que puede ser más importante en un sarse y corregirse permanentemente; el alumno primer momento el análisis cualitativo de como el centro del proceso y el maestro su orien- las gráficas que el trazado muy preciso de tador y animador (MEN, 1977); se construyó gráficas a partir de fórmulas o tablas. el marco general de la propuesta de programa • El trabajo con situaciones de la vida real y curricular de matemáticas (MEN, 1990). sus modelos de puntos y líneas, modelos escalonados, modelos lineales, polinómicos En el Marco General del Programa de Matemá- de 2° y 3 grado, exponenciales, radicales y ticas para la educación Básica, se: logarítmicos. • La importancia de ejercitar las traducciones • Parte del reconocimiento e importancia del de una a otra de las distintas representaciones estudio de los diferentes aspectos de las de una función. matemáticas como forma de contribuir deci- • La incorporación de algunos temas de los que didamente a la educación integral del indi- se habían venido trabajando en los programas viduo tradicionales bajo el nombre de “Álgebra”, y que en realidad son sólo el manejo de ciertas • Acoge el enfoque de sistemas, que contrasta expresiones para las funciones reales o sus con el enfoque por conjuntos de la llamada valores. “Nueva matemática” o “Matemática • A través de la función lineal se cubren todos Moderna” (New Math”), con el enfoque los temas como proporcionalidad y todas sus por habilidades algorítmicas básicas de la aplicaciones. Paralelamente a las funciones corriente de “Volver a lo básico” (“Back to se van estudiante las ecuaciones e inecua- Basics”), y con el enfoque de resolución de ciones. problemas (“Problem Solving Approach”). Como contenidos por grado para el estudio de • Asume un sistema como un conjunto de los sistemas analíticos, se proponen: objetos con sus relaciones y operaciones Para grado 6°: • Plantean como sistemas (interrelacionados), • Representación en la recta numérica de que articulan los contenidos para la educa- naturales y racionales positivos (“No recta ción básica: Los numéricos, Geométricos, real”). Métricos, de datos, Lógicos, de Conjuntos, • Relaciones mayor, menor, mayor igual, operaciones y relaciones y analíticos. menor igual. 12
  30. 30. LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS Para Grado 7°: Durante la década de los 80 y mediados de los • Funciones crecientes y decrecientes. Corre- 90, se continuó impulsando y desarrollando en laciones. el país la propuesta programática para el área de • Razones. matemáticas de la renovación curricular. • Proporciones. • Representación gráfica de funciones lineales y de gráfica lineal. 2.3. Desarrollo del Pensamiento • Ejes, cortes, intercepto. Variacional: uno de los • Ecuaciones lineales. Lineamientos Básicos en el • Solución de ecuaciones lineales. Currículo de Matemática de Colombia Para Grado 8°: • Funciones lineales. Hacia el año 1996, en el proceso de construc- • Funciones de gráfica lineal. ción de lineamientos curriculares reconociendo • La recta pendiente. los aportes, avances y logros de la renovación • Ecuaciones lineales. curricular, se incorporan nuevos elementos • Funciones cuadráticas. provenientes de las investigaciones en el campo • Representación de funciones cuadráticas. de la educación o didáctica de la matemática, • Ecuaciones cuadráticas. nuevos enfoques y tendencias para la orienta- ción de la matemática en contextos escolares Para Grado 9°: y las nuevas perspectivas sobre la matemática • Funciones de gráfica lineal y ecuaciones escolar y sus propósitos formativos. Esto llevó lineales. a la construcción participativa de los Linea- • Funciones cuadráticas y ecuaciones cuadrá- mientos curriculares de matemáticas (MEN, ticas. 1997), en los cuales se enriquece la perspectiva • Solución de ecuaciones cuadráticas. respecto a la naturaleza e importancia de contri- • Factor Común. buir al desarrollo del pensamiento variacional. • Cuadrado perfecto. • Diferencia de cuadrados. Fundamentalmente en los lineamientos curricu- • Función cúbica y ecuaciones cúbicas. lares, se plantea como propósito central de la • Función exponencial. educación matemática de los niveles de básica y • Polinomios de una variable. media contribuir al desarrollo del pensamiento • Operaciones +, -, x, / matemático a partir del trabajo con situaciones • Sucesiones y series; límites. problemáticas provenientes del contexto socio- • Progresiones. Decimales infinitos. cultural, de otras ciencias o de las mismas mate- • Interés simple; compuesto. máticas. Dentro de los pensamientos se hace alusión directa al “Pensamiento variacional”. Como se puede observar, desde la renovación curricular, en lo relativo a los sistemas analí- Se propone el inicio y desarrollo del pensamiento ticos, hay un reconocimiento explícito del variacional como uno de los logros para alcanzar estudio de situaciones de cambio (enfatizando en la educación básica, lo cual presupone en las provenientes de la realidad), empleando superar la enseñanza de contenidos matemáticos diversos sistemas de representación: analítico, fragmentados y compartimentalizados, para gráfico, tabular, verbal y escrito. ubicarse en el dominio de un campo conceptual, 13
  31. 31. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES que involucra conceptos y procedimientos Abordado así el desarrollo del pensamiento interestructurados y vinculados que permitan variacional, se asume por principio que las analizar, organizar y modelar matemáticamente estructuras conceptuales se desarrollan en el situaciones y problemas tanto de la actividad tiempo, que su aprendizaje es un proceso que práctica del hombre, como de las ciencias y las se madura progresivamente para hacerse más propiamente matemáticas donde la variación se sofisticado, y que nuevas situaciones proble- encuentre como sustrato de ellas. máticas exigirán reconsiderar lo aprendido para aproximarse a las conceptualizaciones propias En esta forma se plantea que se amplía la visión de las matemáticas. de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio En los lineamientos se señala que entre los dife- de las cantidades y las magnitudes. En los linea- rentes sistemas de representación asociados a la mientos se reconoce la necesidad de estudiar con variación se encuentran los enunciados verbales, detalle los conceptos, procedimientos y métodos las representaciones tabulares, las gráficas de que involucra la variación para poner al descu- tipo cartesiano o sagital, las representaciones bierto las interpelaciones entre ellos. Un primer pictóricas e icónicas, la instruccional (progra- acercamiento en la búsqueda de las interrela- mación), la mecánica (molinos), las fórmulas y ciones permite identificar algunos de los núcleos las expresiones analíticas. conceptuales matemáticos en los que está involu- crada la variación: Orienta frente al hecho, que el estudio de la variación se inicie pronto en el currículo de • las magnitudes; matemáticas, considerando que el significado • Continuo numérico, reales, en su interior los y sentido acerca de la variación puede estable- procesos infinitos, su tendencia, aproxima- cerse a partir de las situaciones problemáticas ciones sucesivas, divisibilidad; cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos • la función como dependencia y modelos de de cambio y variación de la vida práctica. Se función; • el álgebra en su sentido simbólico, liberada orienta respecto a que la organización de la de su significación geométrica, particular- variación en tablas, puede usarse para iniciar mente la noción y significado de la variable en los estudiantes el desarrollo del pensamiento es determinante en este campo; variacional por cuanto la solución de tareas que • modelos matemáticos de tipos de variación: involucren procesos aritméticos, inicia también aditiva, multiplicativa, variación para medir la comprensión de la variable y de las fórmulas. el cambio absoluto y para medir el cambio En estos problemas los números usados deben ser relativo. La proporcionalidad cobra especial controlados y los procesos aritméticos también significado. se deben ajustar a la aritmética que se estudia. Igualmente, la aproximación numérica y la esti- Se plantea que en la vida práctica y el mundo mación deben ser argumentos usados en la solu- científico, la variación se encuentra en contextos ción de los problemas. La calculadora numérica de dependencia entre variables o en contextos se convierte en una herramienta necesaria en la donde una misma cantidad varía (conocida como iniciación del estudio de la variación. medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promueven en el estudiante Adicionalmente se señala, que la tabla se cons- actitudes de observación, registro y utilización tituye en un elemento para iniciar el estudio del lenguaje matemático. de la función, pues es un ejemplo concreto de 14
  32. 32. LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS función presentada numéricamente. Y aunque restringida al primer cuadrante. La identifica- en algunas ocasiones enfatiza la variación ción de la variable independiente y dependiente numérica discreta, es necesario ir construyendo es más significativa cuando se inicia desde la la variación numérica continua. Así mismo, representación de situaciones concretas. Más las situaciones problemáticas deben seleccio- adelante se formaliza el sistema cartesiano con narse para enfrentar a los estudiantes con la el aprendizaje de su sintaxis. construcción de expresiones algebraicas o con la construcción de las fórmulas. Acogiendo los Por su parte, las gráficas cartesianas también planteamientos de Demana (1990), se considera pueden ser introducidas tempranamente en el que la exposición repetida de construcciones de currículo. Ellas hacen posible el estudio diná- fórmulas, como expresiones que explicitan un mico de la variación. La relación explícita entre patrón de variación, ayuda a los estudiantes a las variables que determinan una gráfica puede comprender la sintaxis de las expresiones alge- ser iniciada con situaciones de variación cuali- braicas que aparecerán después del estudio del tativa y con la identificación de nombres para álgebra. La tabla también se constituye en una los ejes coordenados. herramienta necesaria para la comprensión de la variable, pues el uso de filas con variables ayuda Los contextos de la variación proporcional a que el estudiante comprenda que una variable integran el estudio y comprensión de variables puede tener un número infinito de valores de intensivas con dimensión, así como también reemplazo. Además, el uso de variables en la ayudan al estudiante a comprender el razona- tabla también ayuda a la escritura de las expre- miento multiplicativo. siones algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el cambio. Particularmente la gráfica tiene como fin abordar los aspectos de la dependencia entre Otra herramienta necesaria para iniciar el variables, gestando la noción de función como estudio de la variación desde la primaria la cons- dependencia. tituye el estudio de los patrones. Éstos incluyen escenarios en la vida práctica como fotografías Los contextos donde aparece la noción de y representaciones pictóricas e icónicas. En función establecen relaciones funcionales entre las matemáticas los escenarios geométricos o los mundos que cambian, de esta manera emerge numéricos también deben ser utilizados para la función como herramienta de conocimiento reconocer y describir regularidades o patrones necesaria para “enlazar” patrones de variación presentes en las transformaciones. Estas explo- entre variables y para predecir y controlar el raciones permiten, en una primera instancia, cambio. Los modelos más simples de función hacer una descripción verbal de la relación que (lineal, afín, cuadrática, exponencial...) encap- existe entre las cantidades (el argumento y el sulan modelos de variación como la proporcio- producto terminado que se lee primero) que nalidad. intervienen en la transformación. Los contextos de variación deben incluir patrones aditivos y Se considera en los lineamientos, que la intro- multiplicativos. ducción de la función en los contextos descritos preparan al estudiante para comprender la natu- Las tablas se pueden usar posteriormente para raleza arbitraria de los conjuntos en que se le llevar a los estudiantes a la graficación de situa- define, así como a la relación establecida entre ciones problema de tipo concreto, aunque quede ellos. Es necesario enfrentar a los estudiantes 15
  33. 33. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES a situaciones donde la función no exhiba una los escenarios deben ser los numéricos y los regularidad, con el fin de alejar la idea de que geométricos. Particularmente el trabajo con su existencia o definición está determinada por las representaciones decimales, cobra especial la existencia de la expresión algebraica. A la relevancia. Los procesos infinitos deben ser conceptualización de la función y los objetos introducidos en contextos geométricos. asociados (dominio, rango...) le prosigue el estudio de los modelos elementales, lineal, En términos generales en los lineamientos afín, cuadrático, exponencial, priorizando en curriculares de matemáticas se hace una alusión éstos el estudio de los patrones que los carac-explícita a la promoción y desarrollo del pensa- terizan (crecientes, decrecientes). La calcula-miento variacional a partir de situaciones de la dora gráfica y algebraica se constituye en una realidad, de las matemáticas u otras ciencias herramienta didáctica necesaria para lograr este relacionadas con fenómenos o procesos de propósito. variación y cambio. Propone el uso de diversos sistemas de representación en su exploración, En lo referente a la construcción del continuo comprensión y estudio sistemático. numérico, se indica en los lineamientos que 16
  34. 34. 3 EL PENSAMIENTO VARIACIONAL Como se indicó en las secciones anteriores la Teniendo presente este planteamiento y recono- idea de pensamiento variacional aparece explí- ciendo que el significado y el sentido acerca de citamente en los Lineamientos Curriculares la variación se establecen a partir de situaciones en Matemáticas. Este término, pensamiento problemáticas cuyos escenarios sean los refe- variacional, se introdujo con la intención de ridos a fenómenos de cambio y variación, las profundizar un poco más en lo que se refiere actividades que se propongan como ejemplos al aprendizaje y manejo de funciones como serán planteadas como situaciones problema modelo de situaciones de cambio. que pueden ser desarrolladas en los diferentes niveles de escolaridad y que no necesariamente Se trata de abandonar el enfoque rígido de los siguen una secuencia lineal de contenidos. El sistemas y superar la enseñanza de los contenidos énfasis del tratamiento de la situación se hará de matemáticos fragmentados y compartimentali- acuerdo con el nivel apropiación del lenguaje zados que ha gobernado por un tiempo la acti- y los conceptos por parte de los estudiantes, vidad matemática escolar. El énfasis que se quiere teniendo en cuenta las recomendación de los hacer con la introducción de esta manera de ver Lineamientos en cuanto a que el estudio de la el currículo es, como lo dicen los Lineamientos, variación puede ser iniciado pronto en el currí- la ubicación en el dominio de un campo concep- culo de matemáticas. tual que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan En lo que sigue explicaremos con más detalle analizar, organizar y modelar matemáticamente lo que significaría desarrollar el pensamiento situaciones y problemas tanto de la actividad variacional en los estudiantes. Para esto práctica del hombre, como de las ciencias y las desglosaremos y describiremos los diferentes propiamente matemáticas donde la variación se momentos (no necesariamente consecutivos) encuentre como sustrato de ellas (MEN, 1997). que aparecen en el estudio de situaciones de variación y cambio. Es decir, lo que se quiere es desarrollar una forma de pensamiento que identifique de manera natural fenómenos de cambio y que sea capaz de mode- 3.1 Situaciones de Variación y larlos y transformarlos. Podríamos introducir Cambio aquí la siguiente conceptualización que trata de recoger las características descritas arriba: el La mayoría de las situaciones de variación y pensamiento variacional es la capacidad para cambio de la vida diaria involucran de manera darle sentido a las funciones numéricas y mane- explícita la consideración del tiempo. El cambio jarlas en forma flexible y creativa, para entender, y la variación se presentan cuando una circuns- explicar y modelar situaciones de cambio, con el tancia dada se transforma con el transcurso del propósito de analizarlas y transformarlas. tiempo. El poder identificar el fenómeno de 17

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