Mathematical Structures for CS [Chapter3]456

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Mathematical Structures for CS [Chapter3]456

  1. 1. CHAPTER 3<br />Sets, Combinatorics,and Probability<br />아꿈사: http://cafe.naver.com/architect1<br />김태우: codevania@gmail.com<br />
  2. 2. INDEX<br />순열과 조합<br />확률<br />이항식 정리<br />
  3. 3. 순열과 조합<br />
  4. 4. 순열<br />의미<br />객체들의 순서화된 배열<br />공식<br />
  5. 5. 예제46<br />경계 조건 (boundary condition)<br />0개 의객체, 즉 공집합의 순서화된 배열은 하나만 존재<br />하나의 객체의 순서화된 배열은 n개가 존재<br />n개의 서로 별개인 객체들의 순서화된 배열들은n!개가 존재<br />
  6. 6. 예제 47<br />a, b, c 세 가지 객체들의 순열의 수는<br />P(3, 3) = 3! = 3•2•1=6<br />abc, acb, bac, bca, cab, cba<br />
  7. 7. 예제 48<br />만일 어떠한 문자도 반복될 수 없다면,단어 compiler로부터 얼마나 많은 3자리의 단어가 만들어질 수 있을까?<br />문자의 배열이 중요하다<br />8개의 객체로부터 얻어질 수 있는 세 개의 서로별개인 객체의 순열의 수를 알고자 하는 것임<br />P(8,3) = 8!/5! = 336<br />
  8. 8. 예제 49<br />10명의 운동 선수들이 메달을 받는 방법<br />10명의 선수와 금, 은, 동<br />순서가 중요<br />A-금, B-은, C-동 ≠ C-금, B-은, A-동<br />P(n,r) 사용<br />P(10,3) = 10!/7! = 10•9•8 = 720<br />
  9. 9. 예제50<br />OS-4, PR-7, DS-3<br />같은 과목에 관한 모든 책이 함께 놓여야 함<br />책들을 배열할 수 있는 방법의 수는?<br />연속적인 하위의 작업들로 나누어 생각<br />세 가지 과목을 배열하는 작업을 고려<br />3!가지 과목의 다른 순서 존재<br />OS배열: 4!<br />PR배열: 7!<br />DS배열: 3!<br />그러므로, 곱셈 원리에 의해 모든 책을 배열할 수 있는 방법의 수는<br />(3!)(4!)(7!)(3!)=4,354,560<br />
  10. 10. 조합<br />의미<br />객체들의 배열 (순서 무시)<br />공식<br />
  11. 11. 동일한 의미<br />
  12. 12. 예제 52<br />n개의 객체들로부터 0개의 객체, 즉 공집합을 선택하기 위해서는 단지 하나의 방법만이 존재<br />n개의 객체들로부터 1개의 객체를 선택하기 위해서는 n개의 방법이 존재<br />n개의 객체들로부터 n개의 객체들을 선택하기 위해서는 단지 한 가지 방법만이 존재<br />
  13. 13. 예제 53<br />52장의 카드로부터 받아볼 수 있는 5장의 카드는 몇 가지?<br />단순히 무슨 카드인지에 관심  순서 X<br />52개중 5개를 선택하는 방법의 수를 계산<br />C(52,5) = 52!/(5!47!) = 2,598,960<br />
  14. 14. 예제 54<br />10명의 운동 경기 선수들이 경기, 3명이 우승<br />우승자들에 대해서는 순서를 고려하지 않음<br />그러므로, 10명중 3명을 선택하는 것임<br />C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120<br />
  15. 15. 중복 제거<br />계산 문제는 종종 다른 방법으로 해결될 수 있음<br />하지만, 해결책을 유도하는 과정에서 하나 이상 중복하여 계산하기 때문에 틀리기도<br />
  16. 16. 예제 57<br />FLORIDA,MISSISSIPPI<br />몇 가지의 서로 별개인 순열이 만들어지나?<br />FLORIDA<br />7!<br />MISSISSIPPI<br />11! 이 아님<br />중복된 문자열이 존재하기 때문<br />MIS1S2ISSIPPI == MIS2S1ISSIPPI<br />재배치 하는 것은 변화가 없음<br />4개의 S, 4개의 I, 2개의 P<br />서로 별개인 순열의 수  11!/4!4!2!<br />
  17. 17. n개의 객체들이 존재하고,<br />그 객체들 중에서 n1개의 객체들이 서로 동일하고<br />… nK개의 객체들이 서로 동일한 경우<br />이런 n개의 객체들에 대한 서로 별개인 순열의 수<br />
  18. 18. 반복을 허용하는 순열과 조합<br />P(n,r), C(n,r)<br />N개의 객체들 중에서 r개를 배열하거나 선택<br />즉, r ≤ n<br />그러나 n개의 객체들이 원하는 만큼 많이 재사용 될 수 있다면? <br />알파벳 26개를 이용하여 단어를 구성<br />N개 중에서 r개의 객체들의 순열/조합을 구성가능하지만, 반복을 허용<br />교묘한 방법을 사용… (예제58)<br />
  19. 19. 예제 58<br />다이아몬드, 루비, 에메랄드로부터 5개의 보석을 선택하여 사용할 때… 몇 가지 방법?<br />보석의 배열의 순서에는 관심 X<br />순열X 조합O<br />반복을 허용하면서, 3개 중에서 5개의 조합의 수를 계산<br />1다야, 3루비, 1에메<br />*|***|*<br />5다야, 0루비, 0에메<br />*****||<br />즉, 7개의 slot중에서 5개의 품목을 선택<br />C(7,5) = 7!/(5!2!)<br />
  20. 20. 반복을허용하면서N개의 서로 별개인 객체들 중에서 R개의 객체들에 대한 조합을 표현<br />N개의 객체들의 반복된 수를 나타내기 위해 n-1개의 수직선 필요<br />수직선들을 포함한 전체가 차지하는 위치의 수는r+(n-1)<br />이들 중에서 r개를 선택하는 방법의 수는<br />
  21. 21. 확률<br />
  22. 22. 예제 59<br />하나의 동전을 던졌을 때 “앞면” 얻기<br />2결과중 하나<br />1/2<br />하나의 주사위를 굴렸을 때 “3”을 얻기<br />6결과중 하나<br />1/6<br />표준 카드 한 벌에서 ♠1 ♦Q둘중의 하나 뽑기<br />1/52 + 1/52 = 2/52 = 1/26<br />
  23. 23. 표본 공간<br />어떤 행동의 모든 가능한 결과들의 집합<br />사건<br />표본 공간의 임의의 부분집합<br />결과가 동일한 확률로 나타나는 임의의 유한 집합이 S라면, 사건 E의 확률 P(E)는<br />
  24. 24. 예제 60<br />2개의 동전 동시 던짐<br />각 동전은 공정  앞면,뒷면의 확률은 같다<br />표본 공간은 S={HH,HT,TH,TT}<br />사건 E를 집합 {HH}라 하자. <br />E의 확률, 즉 두 동전 모두 앞면이 나타날 확률은?<br />
  25. 25. 예제 61<br />검사, 개발, 마케팅 붓서 직원들이 한 직원의 이름이 선택되는 뽑기에 참가<br />검사5 ( 2M, 3W)<br />개발23 (16M, 7W)<br />마켓14 ( 6M, 8W)<br />|S|=42<br />|W|=3+7+8=18<br />P(W)=|W|/|S|=18/42=3/7<br />|마|=14<br />P(마)=|마|/|S|=14/42=/3<br />P(W ∩ M)=8/42=4/21<br />P(W∪M)=P(3+7+14)=24/42=4/7<br />
  26. 26. 확률 분포<br />만일 임의의 행동이 초래하는 결과가전혀 동등한 확률로 나타나지 않는다면,이 상황을 처리하기 위한 한 가지 방법은해당 결과의 일부가 반복되는 대략적인 횟수를소개하는 것이다…. -_-;<br />
  27. 27. 예제 63<br />하나의 주사위<br />6가지 가능한 결과가 존재  |S|=6<br />T는 3이 나타나는 사건<br />이 사건은 오직 한 번만이 존재<br />|T|=1<br />P(T)=|T|/|S|=1/6<br />주사위가 치우쳐서 4가 3배 더 자주라고 가정<br />F는 4가 나타나는 사건<br />결과 집합={1,2,3,4,4,4,5,6} |S|=8<br />P(F)=|F|/|S|=1/8<br />
  28. 28. 모든 결과가 동등한 확률이 아님<br />방법은 해당 표본 공간에 대해 하나의 확률 분포를 할당하는 것<br />더 자주 발생하는 결과들의 복제품을 생성하여표본 공간을 오히려 더 크게 만들기 보다<br />간단히 하나의 사건처럼 원래의 표본 공간에서각 별개의 결과를 고려하고, 임의의 확률을 할당<br />만일 표본 공간에서 K개의 다른 결과들이 존재<br />각 결과 Xi에는 다음과 같은 규칙이 적용됨<br />
  29. 29. 사건 E ⊆ S를 고려<br />사건 E의 확률은<br />E안의 개별적인 결과들에 대한 모든 확률을 더할 수 있다<br />E는 서로 별개인 결과 모두에 대한 합집합<br />결과가 모두 동등하게 나타날 때,P(E)=|E|/|S|라는 정의는E안의 각 xi에 대해 p(xi)=1/|S|일 때 정의의특별한 경우가 된다<br />
  30. 30. 조건부 확률<br />Conditional Probability<br />사건 E1과 E2가 주어졌을 때,<br />E1이 발생한 조건하에서 E2의 조건부 확률P(E2|E1)은 다음과 같다<br />
  31. 31. 예제 64<br />예제63의 치우친 주사위에 대해 사용된확률 분포가 다음과 같다<br />E: 2또는 4가 나타나는 사건<br />P(E) 는?<br />P(E) = p(2) + p(4) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2<br />
  32. 32. 예제 65<br />환자들 그룹의 약품 연구<br />17%: 약품 A에 긍정적<br />34%: 약품 B에 긍정적<br /> 8%: 약품 A와 B에 긍정적<br />한 환자가 약품A에 긍정적으로 응답했을 때약품B에 긍정적으로 응답할 확률은?<br />
  33. 33. 독립 사건<br />만일 P(E2|E1)= P(E2)이면<br />E2는 E1이 발생되든 말든 동일하게 발생<br />이 경우 E1과 E2는 독립 사건이 된다고 함<br />다음 두 식이 성립<br />
  34. 34. 예제 66<br />동전 던지기 앞면(E1) 다음에 뒷면(E2)이 나타날 사건은 다음에 의해서 서로 독립 사건임<br />각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 곱<br />각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 합<br />
  35. 35. 기대값<br />세 번의 시험에 대한 성적의 집합<br />S={g1,g2,g3}<br />평균 시험 성적 <br />A(g) = (g1 + g2 + g3) / 3<br />각시험에 대한 가중값이 동일하다고 가정<br />마지막 시험에 두 배의 가중값<br />A(g) = (g1 + g2 + 2*g3) / 4<br />
  36. 36. 이 표본 공간으로써 S를 고려하고 다음의 확률 분포를 할당한다면<br />
  37. 37. 가중값 평균<br />X: 임의의 확률 변수<br />P: 임의의 확률 분포<br />E: 기대값<br />
  38. 38. 예제 67<br />하나의 공정한 동전이 3번 던져짐<br />표본 공간 S<br />={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}<br />확률변수 X<br />S내의 각 결과를 해당 결과 내의 앞면의 수로 할당<br />즉, 결과는 0~3까지의 정수값<br />공정한 동전, 각 구성 원소는동일한 확률<br />
  39. 39. X의 기대값,<br />즉 세 번 던질 때 기대되는 앞면의 수는…<br />
  40. 40. 앞면이 뒷면보다 3번 더 자주 발생하는 가중값이 존재한다고 가정<br />확률 분포<br />연속적인 결과가 독립 사건<br />S에서 각 결과의 확률은 각 확률의 곱<br />HTT의 확률은 (3/4)(1/4)(1/4) = 3/64<br />
  41. 41. 이항식 정리<br />
  42. 42. 파스칼의 삼각형<br />n행 (0≤n)은 0≤r≤n에 대해 모든 값C(n,r)로 구성된다. <br />
  43. 43. 이항식 정리<br />(a + b)n 를전개한 결과…<br />a2+2ab+b2에서는 계수 1,2,1이 존재. <br />파스칼 삼각형에서 2번째 열<br />이항식 정리<br />모든 음이 아닌 정수 n에 대해서, 다음의 식이 성립<br />(a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 + C(n, 2)an-2b2 + ... + C(n, k)an-kbk + ... + C(n, n)a0bn<br />∑C(n, k)an-kbk<br />
  44. 44. 예제 69<br />(x - 3)4 의 전개식<br />(x – 3)4 = C(4, 0)x4(-3)0+ C(4, 1)x3(-3)1+ C(4, 2)x2(-3)2+ C(4, 3)x1(-3)3+ C(4, 4)x0(-3)4 <br />= x4+ 4x3(-3) + 6x2(9) + 4x1(-27) + 81<br />= x4 - 12x3+ 54x2+ 108x + 81<br />
  45. 45. 에제 70<br />이항식 정리에서 a=b=1이라고 하면<br />(1+1)n=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n)<br />2 n=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n)<br />
  46. 46.
  47. 47. Lisence<br />

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