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Unidad 3 interes compuesto

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Unidad 3 interes compuesto

  1. 1. MATEMATICAS PARA LAS FINANZAS Unidad 2 Interés compuesto Carlos Mario Morales C
  2. 2. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017  Concepto de interés compuesto  Modelo matemático de interés compuesto  Tasas de interés  Conversión entre tasas de interés  Ecuación de valor (Equivalencia)  Depósitos a termino fijo  Inflación y devaluación  Tasas combinadas  Tasas deflactadas  Tasas referenciadas  Aceptaciones Bancarias y financieras
  3. 3. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de conceptuar sobre el interés compuesto, deducir los modelos matemáticos que lo soportan y aplicar estos en las principales operaciones financieras
  4. 4. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Interés Compuesto En general las operaciones financieras de largo plazo (más de un año) se realizan utilizando la ley financiera de interés compuesto Bajo esta régimen cada vez que se liquidan los intereses, éstos se acumulan al capital para formar un nuevo capital, sobre el cual se vuelven a liquidar los intereses. Concepto
  5. 5. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Se invierte un capital de $1000 al 10% trimestral, durante un año. $1000 1 10% 2 3 4 10% 10% 10% 100 100 100 100 1000 Trimestres Interés Simple Interés Compuesto Ilustración
  6. 6. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 $1000 1 2 3 4 1000 1100 1331 1210 1464,1 Trimestres Interés Compuesto Al final del primer trimestre se liquidan los primeros intereses (1000x0,1 = 100) y se acumulan al capital para obtener el primer monto 1.100; al final del 2do periodo se liquidan los segundos intereses sobre el monto anterior (1100x0,1 = 110 y el acumulado será 1210; y así sucesivamente el cuarto trimestre donde se obtiene $1464,10 Interés Compuesto Ilustración
  7. 7. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Periodo Capital Inicial Interés Capital Final 1 𝑉𝑃 𝑉𝑃𝑖 𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃 + 𝑉𝑃𝑖 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 2 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑖 𝑉𝐹2 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑖 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 3 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑖 𝑉𝐹3 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑖 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)3 …. ….. ….. ……. n 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛−1 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛−1 𝑖 𝑉𝐹𝑛 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛 Interés Compuesto Modelo Matemático
  8. 8. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 La formula básica del interés compuesto, relaciona el valor futuro (𝑉𝐹), con el capital inicial (𝑉𝑃), la tasa de Interés (𝑖) y el número de periodos (𝑛) 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1+𝑖) 𝑛 Interés Compuesto Modelo: Valor Futuro y Valor Presente
  9. 9. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Dados el valor presente y futuro y el número de periodos de conversión se puede determinar la tasa de interés a partir de la formula, despejando i. 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛 𝑉𝐹 𝑉𝑃 = 1 + 𝑖 𝑛 (𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎) 𝑛 𝑉𝐹 𝑉𝑃 = 1 + 𝑖 (𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 𝑛 𝑉𝐹 𝑉𝑃 − 1 = 𝑖 (𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎) 𝑛 𝑉𝐹 𝑉𝑃 − 1 = 𝑖 Interés Compuesto Modelo: tasa de interés
  10. 10. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Dados el valor presente y futuro y el número de periodos de conversión se puede determinar la tasa de interés a partir de la formula, despejando i. 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛 𝑉𝑓 𝑉𝑝 = 1 + 𝑖 𝑛 (𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟) log 𝑉𝑓 𝑉𝑝 = log 1 + 𝑖 𝑛 (𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠) log 𝑉𝑓 𝑉𝑝 = 𝑛 log 1 + 𝑖 (𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠) log 𝑉𝑓 𝑉𝑝 log(1 + 𝑖) = 𝑛 Interés Compuesto Modelo: tiempo
  11. 11. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 La tasa efectiva, a diferencia de la tasa nominal, señala la tasa de interés que efectivamente se está pagando por un capital, para los periodos de conversión pactados La tasa del periodo (𝑛), la denominamos tasa efectiva y se representa por 𝑖. Si “𝑛” son trimestres, entonces: X% Efectivo trimestral (ET) Si “𝑛” son meses, entonces: X% Efectivo Mensual (EM) Si “𝑛” son semestres, entonces: X% Efectivo semestral (ES) Si “𝑛” es anual se puede omitir el calificativo, es decir: X% Efectivo (E o EA) Tasa de Interés Tasas efectivas
  12. 12. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 La tasa del año la denominaremos tasa nominal y se representa por la letra j; ya que en el año pueden haber varias liquidaciones, es necesario indicar el periodo de liquidación Denominación: Si 𝑖 = 10% ET (Efectiva trimestral) ya que el año tiene 4 trimestres entonces se puede nombrar la Tasa Nominal como: 𝑗 = 40% N-t Tasa de Interés Tasa Nominal
  13. 13. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 La tasa Nominal es igual a la efectiva multiplicada por el número de periodos (m) que hay en un año. 𝑗 = 𝑖 × 𝑚 𝑖 = 𝑗 𝑚 Tasa de Interés Relación entre la Tasa Efectiva y Nominal
  14. 14. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Dos o más tasas efectivas de interés son equivalentes, si con diferente periodicidad producen el mismo interés efectivo al final de cualquier periodo. Modelo Matemático 𝑖2 tasa efectiva desconocida 𝑖1 tasa efectiva conocida 𝑛1 Periodo de capitalización de la tasa conocida 𝑛2 Periodo de capitalización de la tasa desconocida Tasas de Interés 𝑖2 = 1 + 𝑖1 𝑛1 𝑛2 − 1 Equivalencia entre tasas de interés efectivas
  15. 15. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 En contraste con el interés 𝑖 (vencido), el interés anticipado se denomina 𝑖 𝑎. Cuando no hay una referencia específica, se supone que la tasa de interés será siempre vencida Modelo matemático 𝑖 = 𝑖 𝑎 1 − 𝑖 𝑎 Despejando 𝑖 𝑎 en función de 𝑖 entonces se obtiene: 𝑖 𝑎 = 𝑖 1 + 𝑖 Tasas de Interés Equivalencia entre tasas efectivas anticipadas y vencidas
  16. 16. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Conversión entre tasa de Interés Existen innumerables situaciones de la vida cotidiana donde se hace necesario convertir la tasa de interés dada a otra denominación con el fin de poder comparar para la toma de decisiones o simplemente realizar cálculos. Se pueden tener varias posibilidades, pasar de: 1. Una tasa nominal a otra 2. Nominal a Efectiva vencida 3. Nominal a efectiva anticipada 4. Efectiva vencida a Nominal 5. Efectiva anticipada a Nominal 6. Efectiva a efectiva 7. Efectiva vencida a efectiva anticipada 8. Efectiva anticipada a efectiva vencida
  17. 17. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Conversión entre tasas de Interés Utilizando los modelos matemáticos vistos previamente se puede convertir cualquier tasa a cualquier base siguiendo los pasos que se ilustran en las siguientes graficas: j1 i1 i2 j2 1 2 3 4 𝑖2 = 1 + 𝑖1 𝑛1 𝑛2 − 1
  18. 18. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Conversión entre tasa de Interés j11 2 3 4 i1 i2 j2 i1aj1a i2a j2a 5 6 7 8𝑖2 = 1 + 𝑖1 𝑛1 𝑛2 − 1 𝑖1𝑎 = 𝑗1𝑎 𝑚 𝑗2𝑎 = 𝑖2𝑎 × 𝑚
  19. 19. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Considerando el concepto de equivalencia entre valores financieros de una operación financiera; es posible igualar los valores de la operación en una fecha determinada, la cual se denomina fecha focal (ff). Fecha Focal: es una fecha cualquiera en la cual se da la igualdad entre ingresos y egresos. La fecha focal se define libremente a criterio del analista; en las ecuaciones se representan como ff, y gráficamente como una línea interrumpida perpendicular a la línea del tiempo, cruzando por el periodo escogido Principio Fundamental: se establece que para toda operación financiera la sumatoria de los Ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos en la fecha focal; o lo que es igual la suma de las obligaciones igual a la suma de los pagos Ecuaciones de Valor
  20. 20. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 ∑ Ingresos = ∑ Ingresos (en ff) ∑ Obligaciones = ∑ Pagos (en ff) Ecuaciones de Valor Ingresos Egresos Fecha Focal ff
  21. 21. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Los intermediarios financiero son personas jurídicas que tiene por función captar el ahorro del público y prestarlo a otras personas que lo requieren para la inversión o el consumo a una tasa de interés mayor. La tasa de interés a la cual un intermediario capta recursos se denomina tasa de captación y a la cual presta el dinero se le denomina tasa de colocación. La diferencia de estas dos tasas se denomina margen de intermediación Los CDT (Certificados de Depósito) son uno de los muchos productos con los que cuenta el sector financiero para captar el ahorro del publico. En los depósitos a término fijo es necesario considerar que la ganancia obtenida por concepto de intereses es gravada con un impuesto que se cobra al momento de la liquidación, denominado retención en la fuente Depósitos a termino fijo Aplicaciones de interés compuesto
  22. 22. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 DTF: se define como el promedio ponderado semanal de las tasas de captación de los certificados de depósito a 90 días pagando los intereses por anticipado; en los bancos, corporaciones financieras, compañías de financiamiento y corporaciones de ahorro y vivienda. TCC: es el promedio ponderado de las tasas de captación de los certificados a 90 días solo en las corporaciones financieras CDAT: depósitos a término fijo de menos de un mes Depósitos a termino fijo Aplicaciones de interés compuesto
  23. 23. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 La inflación es el fenómeno económico que representa el alza general de los precios de una economía; por su parte, cuando se presenta una baja generalizada de precios el fenómeno se denomina deflación. La inflación se simboliza con la letra “𝑓”; la deflación estará representada por inflación negativa “ − 𝑓” La devaluación (𝐷𝑣) es la perdida de valor de una moneda frente a otra. Por ejemplo, hay devaluación del peso frente al dólar cuando hoy hay que pagar $1.800 pesos por un dólar y un tiempo más tarde su valor es $1.900 pesos Inflación y Devaluación Aplicaciones de interés compuesto
  24. 24. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 La inflación se calcula con base en los aumentos de los productos de la canasta familiar, la cual es un conjunto de artículos previamente seleccionados que representan la totalidad de los productos de consumo. Todos los cambios de la canasta familiar se miden a través del IPC –Índice de Precios al Consumidor- En el sector empresarial la canasta familiar en vez de bienes de consumo incluye materias primas, salarios, servicios y demás materiales e insumos necesarios para la producción, en este caso la inflación de los productos se mide de acuerdo a las variaciones del IPP –Índice de precios al productor- el cual varía de acuerdo sector económico. La inflación se mide como una tasa efectiva anual Calculo de la Inflación Inflación y Devaluación
  25. 25. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 La devaluación es la perdida de valor de una moneda frente a otra. Por ejemplo, hay devaluación del peso frente al dólar cuando hay que pagar $1.800 pesos por un dólar y un tiempo más tarde hay que pagar $1.900 pesos por el mismo dólar; para calcular la devaluación se procede como sigue: 𝐷𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 1.900 − 1.800 1.800 = 0,0555 = 5,55% En este caso, se dice que hubo una devaluación del 5,5% del peso con respecto al dólar En general la 𝐷𝑣 se calcula como: 𝐷𝑣 = 𝑇𝐶𝑓 − 𝑇𝐶𝑖 𝑇𝐶𝑖 = 𝐷𝑣% Calculo de la Devaluación Inflación y Devaluación
  26. 26. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 En el ejemplo anterior, la inversión gana dos tasas de interés por un lado la tasa de interés reconocida por el banco y por otro lado la tasa de devaluación del peso con respecto al dólar. En estos casos cuando se combina una tasa i1 y una tasa i2, se puede determinar una tasa combinada que reúne ambas tasa de interés. A continuación se deduce la formula del interés combinado: Para un peso sometido a una tasa de interés i1, durante un periodo, el valor final será: 1 + 𝑖1 Si este valor resultante se somete a una tasa de interés i2, también durante de un periodo, el valor final será: 1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2 El monto final, aplicando una tasa de interés combinada, durante un periodo, se tiene: 1 + 𝑖 𝑐 Igualando las dos expresiones anteriores, se tiene: 1 + 𝑖 𝑐 = 1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2 Al despejar 𝑖 𝑐, se obtiene: 𝑖 𝑐 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖1 × 𝑖2 Tasas combinadas
  27. 27. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 En los proyectos de inversión la rentabilidad real se ve afectada por la inflación. para calcular la rentabilidad real se puede hacer uso de la formula de tasas combinadas, considerando que la tasa combinada se compone de la tasa real y la tasa causada por la inflación 𝑖 = 𝑖 𝑟 + 𝑓 + 𝑖 𝑟 × 𝑓 Despejando 𝑖 𝑟, se obtiene: 𝑖 𝑟 = 𝑖 − 𝑓 1 + 𝑓 𝑖 𝑟 se conoce como tasa deflactada Tasas deflactadas
  28. 28. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Muchos de los créditos que se adquieren en el sector financiero comúnmente se pactan a una tasa de interés principal más unos puntos adicionales; a estos puntos adicionales se les denomina “SPREAD”. Cuando la tasa de interés principal esta dada por una tasa efectiva, para calcular la tasa pactada, es decir la principal más el SPREAD, se utiliza la formula de tasas combinadas; por su parte, cuando la tasa principal se expresa como un interés nominal, entonces simplemente se suman la tasa principal y el SPREAD. En general la inflación se expresa como una tasa efectiva anual, el DTF y el TCC como un interés nominal Tasas Referenciadas
  29. 29. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 Son letras de cambio, respaldadas por una entidad financiera, con cargo a un proveedor de bienes; a través de ellas la entidad asegura el pago al momento del vencimiento. En general, su plazo es menor a un año; no son divisibles y no son gravables en el mercado primario. Las Aceptaciones reciben el nombre de bancarias cuando son respaldadas por los bancos, y financieras cuando su respaldo proviene de otras entidades financieras Aceptaciones Bancarias y financieras Aplicaciones de interés compuesto Banco /Entidad Expide aceptacion a solicitud de un Comerciante Comerciante recibe la aceptación del Banco Proveedor recibe aceptacion del comerciante como respaldo a una compra OTC mercado extrabursatil; donde se puede descontar Aceptación Bolsa Mercado Bursatil donde se puede descontar la aceptacion
  30. 30. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 1. Una empresa realiza inversiones por $100´000.000 y $300´000.000 en Enero y Mayo respectivamente del año 2005; como rendimiento a dicha inversión recibe a partir de Enero del 2006, cada seis meses durante ocho años, la suma de $55´000.000. A través de una gráfica de flujo de caja ilustre la operación financiera 2. Un concesionario de vehículos, que utiliza interés exacto, ofrece su último modelo que tiene un valor de $80´000.000 con el siguiente plan de financiación: la mitad de contado y el resto se paga dentro de un año. ¿Qué tasa de interés está cobrando el concesionario a un cliente que compra el vehículo el 1 de agosto del 2011, si este debe pagar $52´000.000 al cabo del año? Ejercicios
  31. 31. Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017 3. Un empresario establece una fiducia por $65´000.000 el 15 de septiembre del 2011 ¿Durante cuánto deberá mantenerla establecida, para al final recibir $72´000.000; si la entidad reconoce interés exacto y una tasa de interés simple del 1,4% mensual. 4. ¿Cuánto deberá ahorrar una familia el día de hoy en una entidad bancaria, para pagar la cuota inicial de un apartamento, $18´000.000, el 25 de octubre del 2012, si la entidad reconoce una tasa de interés simple del 0,8% mensual? 5. Una persona compra una cocina a crédito; si la tasa de interés simple que cobra el comerciante es 1,2% mensual ¿Cuál será el valor de la cocina de contado, si la persona paga al cabo de tres meses la suma de $2´850.000? Ejercicios

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