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Unidad 3 anualidades

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Unidad 3 anualidades

  1. 1. Matemáticas Financieras Unidad 4 Anualidades y Gradientes Carlos Mario Morales C
  2. 2. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017  Concepto de anualidad  Tipos de anualidad  Anualidad - valor presente  Anualidad – pagos a partir del valor presente  Anualidad - valor futuro  Anualidad – pagos a partir del valor Futuro  Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor Presente  Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor futuro  Anualidad - Tasa de interés a partir del VP o VF  Anualidades anticipadas  Anualidades anticipadas – Valor presente  Anualidades anticipadas – Valor futuro
  3. 3. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017  Anualidad diferidas – valor presente  Anualidad diferida – valor futuro  Anualidad perpetua – valor presente  Gradiente: definición  Gradiente aritmético – Valor presente  Gradiente aritmético – valor futuro  Gradiente aritmético infinito  Gradiente geométrico – Valor presente  Gradiente geométrico – Valor futuro  Gradiente geométrico infinito.
  4. 4. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas iguales, crecientes o decrecientes Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.
  5. 5. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Serie de pagos de una operación financiera que cumple con las siguientes condiciones: 1. Pagos de igual valor 2. Intervalos de pago iguales 3. La misma tasa de Interés para todos los pagos 4. Número de pagos igual número de periodos Anualidades Concepto
  6. 6. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1 2 …. n0 VP = ¿? A AnualidadesModelo: Valor presente de una serie de pagos 𝑉𝑃 = 𝐴 1 − (1 + 𝑖 −𝑛 𝑖 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0 [VA] en EXCEL Para estudiar la deducción de la formula ver el libro: Introducción a las Matemáticas financieras de Carlos Mario Morales C
  7. 7. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1 2 …. n0 VP A = ¿? Anualidades Modelo: Pagos a partir del Valor Presente De la formula de VP se puede deducir el valor de 𝐴. 𝐴 = 𝑉𝑃 𝑖 1 − (1 + 𝑖 −𝑛 [PAGO] en EXCEL
  8. 8. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1 2 …. n0 VF = ¿? A Anualidades Modelo: Valor Futuro a partir de una serie de pagos Para determinar el VF se utiliza el siguiente modelo. 𝑉𝐹 = 𝐴 (1 + 𝑖 𝑛 −1 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0 [VF] en EXCEL
  9. 9. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1 2 …. n0 VF A = ¿? Anualidades Modelo: Pagos a partir del Valor Futuro 𝐴 = 𝑉𝐹 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 [PAGO] en EXCEL De la formula de VF se puede deducir el valor de 𝐴.
  10. 10. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1 2 …. n = ¿?0 VP A Anualidades Modelo: Número de Pagos a partir del Valor Presente 𝑛 = log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃 log 1 + 𝑖 [NPER] en EXCEL
  11. 11. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1 2 …. n = ¿?0 VF A Anualidades Modelo: Número de Pagos a partir del Valor Futuro 𝑛 = 𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖 [NPER] en EXCEL
  12. 12. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Modelo: Tasa de interés a partir del Valor Presente o Valor Futuro 1 2 …. n0 VP A 𝑖 = ¿? Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir: el valor presente 𝑉𝑃 o valor futuro 𝑉𝐹, el valor y numero de pagos 𝐴 se puede determinar el valor de la tasa de interés 𝑖 a partir de la formulas de VP o VF, no obstante por tratarse de ecuaciones con más de una raíz, no es posible hallar la solución analíticamente; por esta razón se debe utilizar un método de tanteo y error La forma de proceder en estos casos, es la siguiente: 1. Se asigna un valor inicial a la tasa de interés 𝑖 y se calcula la ecuación. 2. Si el valor es menor que la igualdad VP 𝑜 VF entonces se disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se aumenta la tasa y se vuelve a calcular 3. Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro menor, suficientemente aproximados a los valores de la igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por interpolación [TASA] en EXCEL 𝑉𝑃 = 𝐴 1 − 1 + 𝑖 −𝑛 𝑖 𝑉𝐹 = 𝐴 (1 + 𝑖 𝑛 −1 𝑖
  13. 13. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Pagos Tasa de interes 24% N_t Pazo 10 años #periodos 20 semestres Valor Presente 45.000.000,00$ PAGOS ¿? Tasa de interes 6,00% trimestral Tasa de interes 12,36% semestral Pagos $6.160.984,38 Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos semestrales vencidos, hechos durante un periodo de 10 años, para amortizar una deuda de $45´000.000?
  14. 14. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Pagos Tabla de amortización Periodo cuota Interes Amortización Capital Saldo 0 0 0 0 45.000.000,00$ 1 $6.160.984,38 5.562.000$ 598.984$ 44.401.016$ 2 $6.160.984,38 5.487.966$ 673.019$ 43.727.997$ 3 $6.160.984,38 5.404.780$ 756.204$ 42.971.793$ 4 $6.160.984,38 5.311.314$ 849.671$ 42.122.122$ 5 $6.160.984,38 5.206.294$ 954.690$ 41.167.432$ 6 $6.160.984,38 5.088.295$ 1.072.690$ 40.094.742$ 7 $6.160.984,38 4.955.710$ 1.205.274$ 38.889.468$ 8 $6.160.984,38 4.806.738$ 1.354.246$ 37.535.222$ 9 $6.160.984,38 4.639.353$ 1.521.631$ 36.013.591$ 10 $6.160.984,38 4.451.280$ 1.709.705$ 34.303.886$ 11 $6.160.984,38 4.239.960$ 1.921.024$ 32.382.862$ 12 $6.160.984,38 4.002.522$ 2.158.463$ 30.224.399$ 13 $6.160.984,38 3.735.736$ 2.425.249$ 27.799.151$ 14 $6.160.984,38 3.435.975$ 2.725.009$ 25.074.142$ 15 $6.160.984,38 3.099.164$ 3.061.820$ 22.012.321$ 16 $6.160.984,38 2.720.723$ 3.440.261$ 18.572.060$ 17 $6.160.984,38 2.295.507$ 3.865.478$ 14.706.582$ 18 $6.160.984,38 1.817.734$ 4.343.251$ 10.363.331$ 19 $6.160.984,38 1.280.908$ 4.880.077$ 5.483.254$ 20 $6.160.984,38 677.730$ 5.483.254$ 0$ 1. La cuota se calcula, así como se mostro anteriormente 2. El interés se calcula como el Saldo del periodo anterior por la tasa de interés 3. La amortización de capital se calcula como la cuota del periodo menos el interés calculado del periodo 4. El saldo del periodo se calcula como el saldo del periodo anterior menos la amortización de capital del periodo 5. El saldo final debe ser igual a 0
  15. 15. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Valor Presente Anualidad de 2´500.000 Anualidad de 5´000.000 PAGO 2.500.000,00$ mensual PAGO 5.000.000,00$ mensual Plazo 10 años Plazo 10 años # Periodos 120 meses # Periodos 10 años Tasa de Interes 24,00% N_m Tasa de Interes 24,00% N_m Tasa de Interes 2,00% mensual Tasa de Interes 2,00% mensual Tasa de Interes 26,82% anual Valor presente $113.388.471,26 Valor Presente $16.908.397,36 Valor de la Poliza $130.296.868,61 Un señor desea contratar una póliza de seguro que garantice a sus hijos el pago de $2´500.000 mensuales durante quince años y adicionalmente $5´000.000 al final de cada año durante ese periodo. Si el primer pago se realiza un mes después de la muerte del señor; ¿Cuál será el valor póliza? La compañía de seguros aplica una tasa de interés del 24% N-m
  16. 16. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Valor Futuro Plazo 24 meses Tabla de capitalización #Periodos 24 meses periodo cuota interes capital saldo Pagos 1.350.000,00$ 1 1.350.000,00$ 0 1.350.000,00$ 1.350.000,00$ Tasa de Interes 12% N_m 2 1.350.000,00$ 13.500,00$ 1.363.500,00$ 2.713.500,00$ Valor Vehículo 45.000.000,00$ 3 1.350.000,00$ 27.135,00$ 1.377.135,00$ 4.090.635,00$ 4 1.350.000,00$ 40.906,35$ 1.390.906,35$ 5.481.541,35$ Tasa de interes 1,00% mensual 5 1.350.000,00$ 54.815,41$ 1.404.815,41$ 6.886.356,76$ Valor futuro $36.414.177,55 6 1.350.000,00$ 68.863,57$ 1.418.863,57$ 8.305.220,33$ 7 1.350.000,00$ 83.052,20$ 1.433.052,20$ 9.738.272,53$ Valor a completar 8.585.822,45$ 8 1.350.000,00$ 97.382,73$ 1.447.382,73$ 11.185.655,26$ Úrsula Iguarán realiza un ahorro programado durante 24 meses de $1´350.000. Si Úrsula quiere con el ahorro comprar un vehículo de contado que le cuesta $45´000.000 y el banco reconoce una tasa de Interés del 12% N-m. ¿Cuánto dinero deberá completar para adquirir el vehículo o por el contrario le sobrara dinero?
  17. 17. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Valor Futuro Tabla de capitalización periodo cuota interes capital saldo 1 1.350.000,00$ 0 1.350.000,00$ 1.350.000,00$ 2 1.350.000,00$ 13.500,00$ 1.363.500,00$ 2.713.500,00$ 3 1.350.000,00$ 27.135,00$ 1.377.135,00$ 4.090.635,00$ 4 1.350.000,00$ 40.906,35$ 1.390.906,35$ 5.481.541,35$ 5 1.350.000,00$ 54.815,41$ 1.404.815,41$ 6.886.356,76$ 6 1.350.000,00$ 68.863,57$ 1.418.863,57$ 8.305.220,33$ 7 1.350.000,00$ 83.052,20$ 1.433.052,20$ 9.738.272,53$ 8 1.350.000,00$ 97.382,73$ 1.447.382,73$ 11.185.655,26$ 9 1.350.000,00$ 111.856,55$ 1.461.856,55$ 12.647.511,81$ 10 1.350.000,00$ 126.475,12$ 1.476.475,12$ 14.123.986,93$ 11 1.350.000,00$ 141.239,87$ 1.491.239,87$ 15.615.226,80$ 12 1.350.000,00$ 156.152,27$ 1.506.152,27$ 17.121.379,07$ 13 1.350.000,00$ 171.213,79$ 1.521.213,79$ 18.642.592,86$ 14 1.350.000,00$ 186.425,93$ 1.536.425,93$ 20.179.018,79$ 15 1.350.000,00$ 201.790,19$ 1.551.790,19$ 21.730.808,97$ 16 1.350.000,00$ 217.308,09$ 1.567.308,09$ 23.298.117,06$ 17 1.350.000,00$ 232.981,17$ 1.582.981,17$ 24.881.098,24$ 18 1.350.000,00$ 248.810,98$ 1.598.810,98$ 26.479.909,22$ 19 1.350.000,00$ 264.799,09$ 1.614.799,09$ 28.094.708,31$ 20 1.350.000,00$ 280.947,08$ 1.630.947,08$ 29.725.655,39$ 21 1.350.000,00$ 297.256,55$ 1.647.256,55$ 31.372.911,95$ 22 1.350.000,00$ 313.729,12$ 1.663.729,12$ 33.036.641,07$ 23 1.350.000,00$ 330.366,41$ 1.680.366,41$ 34.717.007,48$ 24 1.350.000,00$ 347.170,07$ 1.697.170,07$ 36.414.177,55$ 1. El capital acumulado del periodo se calcula como el valor de la cuota más los intereses causados en el periodo 2. El interés se calcula como el Saldo del periodo anterior por la tasa de interés 3. El saldo del periodo se calcula como el saldo del periodo anterior más el capital acumulado del periodo
  18. 18. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Número de Pagos Valor presente 700.000.000,00$ Tabla de amortización tasa de interes 15% N_m PeriodosCuotainteresamortizaciónsaldo Pagos 35.000.000,00$ 0 ### 1 ### ### ### ### Tasa de interes 1,25% mensual 2 ### ### ### ### # periodos 23,15810902 meses 3 ### ### ### ### # periodos 23 meses 4 ### ### ### ### 5 ### ### ### ### Valor presente (23) $695.871.310,50 6 ### ### ### ### Pago adicional presente $4.128.689,50 7 ### ### ### ### Pago adicional futuro $5.494.117,66 8 ### ### ### ### La Empresa “FLAVORS SAS” para cancelar una deuda de $700´000.000, adquirida con el Banco Fortuna quien cobra una tasa de interés del 15% N_m, realiza pagos mensuales de $35´000.000 cada uno. Determine •¿Cuántos pagos deben hacerse para cancelar la deuda? •¿Qué pago adicional es necesario para saldar la deuda? •Si al cabo de 18 meses, decide pagar la deuda, ¿Cuál debe ser el pago? Tabla de amortización Periodos Cuota interes amortización saldo 0 700.000.000,00$ 1 35.000.000,00$ 8.750.000,00$ 26.250.000,00$ 673.750.000,00$ 2 35.000.000,00$ 8.421.875,00$ 26.578.125,00$ 647.171.875,00$ 3 35.000.000,00$ 8.089.648,44$ 26.910.351,56$ 620.261.523,44$ 4 35.000.000,00$ 7.753.269,04$ 27.246.730,96$ 593.014.792,48$ 5 35.000.000,00$ 7.412.684,91$ 27.587.315,09$ 565.427.477,39$ 6 35.000.000,00$ 7.067.843,47$ 27.932.156,53$ 537.495.320,85$ 7 35.000.000,00$ 6.718.691,51$ 28.281.308,49$ 509.214.012,36$ 8 35.000.000,00$ 6.365.175,15$ 28.634.824,85$ 480.579.187,52$ 9 35.000.000,00$ 6.007.239,84$ 28.992.760,16$ 451.586.427,36$ 10 35.000.000,00$ 5.644.830,34$ 29.355.169,66$ 422.231.257,71$ 11 35.000.000,00$ 5.277.890,72$ 29.722.109,28$ 392.509.148,43$ 12 35.000.000,00$ 4.906.364,36$ 30.093.635,64$ 362.415.512,78$ 13 35.000.000,00$ 4.530.193,91$ 30.469.806,09$ 331.945.706,69$ 14 35.000.000,00$ 4.149.321,33$ 30.850.678,67$ 301.095.028,03$ 15 35.000.000,00$ 3.763.687,85$ 31.236.312,15$ 269.858.715,88$ 16 35.000.000,00$ 3.373.233,95$ 31.626.766,05$ 238.231.949,82$ 17 35.000.000,00$ 2.977.899,37$ 32.022.100,63$ 206.209.849,20$ 18 35.000.000,00$ 2.577.623,11$ 32.422.376,89$ 173.787.472,31$ 19 35.000.000,00$ 2.172.343,40$ 32.827.656,60$ 140.959.815,72$ 20 35.000.000,00$ 1.761.997,70$ 33.238.002,30$ 107.721.813,41$ 21 35.000.000,00$ 1.346.522,67$ 33.653.477,33$ 74.068.336,08$ 22 35.000.000,00$ 925.854,20$ 34.074.145,80$ 39.994.190,28$ 23 35.000.000,00$ 499.927,38$ 34.500.072,62$ 5.494.117,66$ 24 35.000.000,00$ 68.676,47$ 34.931.323,53$ 29.437.205,87-$
  19. 19. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Pagos valor de la maquina 90.000.000,00$ valor de venta vieja 20.000.000,00$ valor futuro del ahorro 70.000.000,00$ Tasa de interes 30% N_m Plazo 2 años # periodos 7 trimestres tasa de interes 2,50% mensual Tasa de interes 7,69% trimestral PAGOS $7.920.081,65 Una máquina llegará al final de su vida útil dentro de 2 años; para esa época se estima que una nueva costará $90´000.000; además que la máquina vieja podrá ser vendida en $20´000.000; ¿Qué ahorro trimestral debe hacer un empresario en una cuenta que paga el 30% N-m con el objeto de hacer la compra en el momento oportuno; si tiene previsto hacer el primer deposito al final del sexto mes? Tabla de capitalización Periodo cuota interes Saldo 1 $7.920.081,65 -$ $7.920.081,65 2 $7.920.081,65 608.980,03$ $16.449.143,33 3 $7.920.081,65 1.264.784,91$ $25.634.009,89 4 $7.920.081,65 1.971.015,04$ $35.525.106,58 5 $7.920.081,65 2.731.547,65$ $46.176.735,88 6 $7.920.081,65 3.550.558,08$ $57.647.375,61 7 $7.920.081,65 4.432.542,74$ $70.000.000,00
  20. 20. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Anticipadas En algunas operaciones es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades anticipadas. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo del pago. En la gráfica se comparan las anualidades vencidas y anticipadas 0 1 2 3 n-2 n-1 n Anualidad Vencida 2 31 n-1 n Anualidad Anticipada
  21. 21. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Anticipadas Modelo: Valor presente a partir de una serie de pagos anticipados 𝑉𝑃 = 𝐴 1 + 1 − (1 + 𝑖 −(𝑛−1 𝑖 0 𝑉𝑃 = ¿? 2 31 n-1 n A
  22. 22. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Anticipadas Modelo: Valor futuro de una serie de pagos anticipados 𝑉𝐹 = 𝐴 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 1 + 𝑖 0 𝑉𝐹 = ¿? 2 31 n-1 n A
  23. 23. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n A 𝑽𝑷 𝒊 0 Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica se ilustran este tipo de actividades.
  24. 24. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas Para hallar el valor presente de este tipo anualidades, se determina el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando para ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor presente en el periodo 0. Modelo: Valor Presente de una serie de pagos diferidos 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n A 𝑽𝑷 𝒊 0
  25. 25. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas Para hallar el valor futuro de este tipo anualidades, se determina el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando para ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor futuro en el periodo n. Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos diferidos 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n A 𝑽𝑭 = ? 𝒊 0
  26. 26. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos Diferidas VP modelo A 180.000.000,00$ VP modelo B 250.000.000,00$ Pagos 13.000.000,00$ tasa de interes 18% N_m #periodos 24 meses tasa de interes 1,50% mensual VP (11) $260.395.269,76 VP (0) $221.058.198,28 Una empresa metalmecánica “METAL” tiene dos opciones hoy para la compra de una equipo: el modelo A cuesta $180 millones y el modelo B, $250 millones. Si la persona puede hacer 24 pagos mensuales de máximo $13 millones comenzando al final del mes 12. ¿Cuál será el modelo más costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 18% N-m Tabla de amortización Periodos Cuota interes amortización saldo 0 221.058.198,28$ 1 3.315.872,97$ 224.374.071,25$ 2 3.365.611,07$ 227.739.682,32$ 3 3.416.095,23$ 231.155.777,55$ 4 3.467.336,66$ 234.623.114,22$ 5 3.519.346,71$ 238.142.460,93$ 6 3.572.136,91$ 241.714.597,84$ 7 3.625.718,97$ 245.340.316,81$ 8 3.680.104,75$ 249.020.421,56$ 9 3.735.306,32$ 252.755.727,89$ 10 3.791.335,92$ 256.547.063,81$ 11 3.848.205,96$ 260.395.269,76$ 12 13.000.000,00$ 3.905.929,05$ 9.094.070,95$ 251.301.198,81$ 13 13.000.000,00$ 3.769.517,98$ 9.230.482,02$ 242.070.716,79$ 14 13.000.000,00$ 3.631.060,75$ 9.368.939,25$ 232.701.777,54$ 15 13.000.000,00$ 3.490.526,66$ 9.509.473,34$ 223.192.304,21$ 16 13.000.000,00$ 3.347.884,56$ 9.652.115,44$ 213.540.188,77$ 17 13.000.000,00$ 3.203.102,83$ 9.796.897,17$ 203.743.291,60$ 18 13.000.000,00$ 3.056.149,37$ 9.943.850,63$ 193.799.440,97$ 19 13.000.000,00$ 2.906.991,61$ 10.093.008,39$ 183.706.432,59$ 20 13.000.000,00$ 2.755.596,49$ 10.244.403,51$ 173.462.029,08$ 21 13.000.000,00$ 2.601.930,44$ 10.398.069,56$ 163.063.959,51$ 22 13.000.000,00$ 2.445.959,39$ 10.554.040,61$ 152.509.918,91$ 23 13.000.000,00$ 2.287.648,78$ 10.712.351,22$ 141.797.567,69$ 24 13.000.000,00$ 2.126.963,52$ 10.873.036,48$ 130.924.531,21$ 25 13.000.000,00$ 1.963.867,97$ 11.036.132,03$ 119.888.399,17$ 26 13.000.000,00$ 1.798.325,99$ 11.201.674,01$ 108.686.725,16$ 27 13.000.000,00$ 1.630.300,88$ 11.369.699,12$ 97.317.026,04$ 28 13.000.000,00$ 1.459.755,39$ 11.540.244,61$ 85.776.781,43$ 29 13.000.000,00$ 1.286.651,72$ 11.713.348,28$ 74.063.433,15$ 30 13.000.000,00$ 1.110.951,50$ 11.889.048,50$ 62.174.384,65$ 31 13.000.000,00$ 932.615,77$ 12.067.384,23$ 50.107.000,42$ 32 13.000.000,00$ 751.605,01$ 12.248.394,99$ 37.858.605,42$ 33 13.000.000,00$ 567.879,08$ 12.432.120,92$ 25.426.484,51$ 34 13.000.000,00$ 381.397,27$ 12.618.602,73$ 12.807.881,77$ 35 13.000.000,00$ 192.118,23$ 12.807.881,77$ 0,00-$
  27. 27. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Perpetuas Modelo: Valor Presente de una serie de pagos perpetuo 1 2 3 n-3 n-2 n-1 ∞ A 𝑽𝑷 i 0 Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito 𝑉𝑃 = 𝐴 𝑖 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
  28. 28. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos PERPETUAS Primer año Segundo año Anualidad 10.000.000,00$ mes Anualidad 12.000.000,00$ mes Tasa de interes 15% N_m Tasa de interes 15% N_m # periodos 12 meses # periodos 12 meses Tasa de interes 1,25% mensual Tasa de interes 1,25% mensual Valor presente (0) $110.793.119,66 Valor presente (12) $132.951.743,59 Valor presente (0) $114.539.070,55 Tercer año Anualidad 13.000.000,00$ mes Valor del deposito $997.217.141,56 Tasa de interes 15% N_m # periodos infinito meses Tasa de interes 1,25% mensual Valor presente (24) $1.040.000.000,00 Valor presente (0) $771.884.951,35 Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asegurar su funcionamiento a perpetuidad. Se estima que esta institución necesita para su funcionamiento $10´000.000, al final de cada mes, durante el primer año; $12´000.000, al final de cada mes, durante el segundo año y $13´000.000, al final de cada mes, en forma indefinida. Suponiendo que la fiducia que administrara el dinero reconoce una tasa de interés del 15% N-m; ¿Cuál será el valor del depósito que deberá hacer el filántropo al inicio en la fiducia?
  29. 29. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos PERPETUAS Anualidad 200.000,00$ mensual Plazo 20 años Tasa de interes 7% anual #Periodos 240 meses tasa de interes 0,565% mensual Valor Futuro $101.507.275,31 Anualidad 573.936,89$ Juan ha ahorrado en un fondo de pensiones durante los últimos 20 años, $200.000 mensuales en promedio, ¿Qué pensión mensual constante recibirá, si el fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 7% anual? R/ $573.936,89

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