Conjunto z

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Conjunto z

  1. 1. GUÍA Nº1 MATEMÁTICAS: “CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SU OPERATORIA”Aprendizajes Esperados  1. Identificar el conjunto de los Naturales, Enteros, Racionales y Reales, caracterizando sus elementos componentes y la operatoria básica entre sus elementos. 2. Diferenciar entre números enteros, racionales e irracionales, expresarlos en notación decimal y señalar su ubicación relativa en la recta numérica. 3. Resolver problemas que involucren operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones. .Conjunto de los Números Naturales (IN)Iniciaremos este estudio revisando los conjuntos numéricos y primero queremos presentarte a los NATURALES, quenacen con la necesidad del hombre de poder contar, enumerar.DefiniciónSon los números desde el 1 al infinito positivo. IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}Números consecutivosUna de las aplicaciones importantes de este conjunto es que un número cualquiera se representa por “n”. Entonces, elnúmero que se obtiene al restarle uno será su antecesor, y el número que se obtiene al sumarle uno, será su sucesor. Antecesor de n número Sucesor de n Sucesor de n + 1 n-1 n n+1 n+1+1=n+2Existen discrepancias respecto de incluir el cero dentro del conjunto de los naturales. Desde la mirada histórica, el ceroaparece tan tarde que algunos no creen que sea justo incluirlo en los números naturales. En este apunte, no seconsiderará el cero como natural.Problema:La suma de tres números naturales consecutivos es 78.¿Cuáles son?Solución:Se designa el primer número por n, el segundo por n+1 y el tercero por n + 2.Entonces, sumando los tres números se tiene:Por lo tanto, el primer número es 25.Respuesta: los números son 25, 26 y 27.
  2. 2. Números pares e impares a) Números pares Los números pares son de la forma general: 2n, donde n pertenece a IN. Los números pares son, por lo tanto, múltiplos de 2. Ejemplo Si n = 1 el primer par es 2. Si n = 2 el primer par es 4. Si n = 3 el primer par es 6. Observa que ellos van de 2 en 2. b) Números pares consecutivos se denotan o designan de acuerdo al siguiente cuadro: Antecesor par Número par Sucesor par 2n - 2 2n 2n + 2 Ejemplo: Tres números pares consecutivos: c) Números impares Los impares son de la forma general: 2n + 1, donde n pertenece a IN. d) Números impares consecutivos Antecesor impar Número impar Sucesor impar (2n + 1) – 2 = 2n – 1 2n + 1 (2n + 1) + 2 = 2n + 3 Propiedades de la paridad La suma de dos números pares es un número par. La suma de dos números impares es un número par. La suma de un número par y uno impar es un número impar. El producto de dos números pares es un número par. El producto de dos números impares es un número impar. El producto de un número par por uno impar es un número par. El cuadrado de un número par es un número par. El cuadrado de un número impar es un número impar. Ejemplo: si x es un natural par e y es un natural impar, entonces la expresión , ¿es par o impar? Solución: Como x es par, entonces 3x es par. Como y es impar, entonces 2y es par. Entonces, es par. Entonces, es par. Números primos Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo. Los primeros números primos de la recta numérica son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31... Los números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números compuestos.
  3. 3. Ejemplos:El 14 no es primo, porque se puede dividir por 2 y por 7.El 7 es primo porque solo es divisible por 1 y por 7.el 12 no es primo y es un número compuesto porque 12 = 3 · 4 o bien 12 = 2 · 6, etc.El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única comoproducto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces.Ejemplo: el número 2.520 =Para recordar:El número 1 no es primo.El primer primo es el 2.La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a.C. y seencuentra en la obra Los Elementos, de Euclides. Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos deellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona métodos para determinarlos y que hoyen día se conocen como algoritmos de Euclides.Múltiplos de un númeroSe definen, por ejemplo, los múltiplos del 4, como M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, ...}En general, los múltiplos de k son el conjunto que se obtiene al multiplicar k , donde n es un número natural.Divisibilidad Cuadro de criterios de divisibilidad Es divisible por Si el número ejemplo 1.575.024: Es número par. Luego, es divisible 2 Termina en cero o es par. por 2. 751.242: La suma 7+5+1+2+4+2 es 21, cuyas 3 Al sumar sus cifras, resulta un múltiplo de 3. cifras, a su vez suman 3: 2+1= 3. Luego, es divisible por 3. 700.128: Las dos últimas cifras corresponden Las dos últimas cifras corresponden a un 4 a 28, que es múltiplo de 4. Luego, es divisible múltiplo de 4. por 4. 5 Termina en cero ó en 5. 3.905: Termina en 5. Luego, es divisible por 5. 5.142: es par y sus dígitos suman 12, cuyas 6 Es divisible por 2 y por 3 a la vez. cifras, a su vez, suman 3. Luego, es divisible por 6. 738: suma 18, cuyos dígitos, a su vez, suman 9 Al sumar sus cifras es múltiplo de 9. 9. Luego, es divisible por 9. 701.300: termina en cero. Luego, es divisible 10 Termina en cero. por 10.
  4. 4. Ejemplo: De los siguientes, ¿cuáles son divisores de 13.380?:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6f) 8g) 10Solución: El número 13.380 es par. Luego, es divisible por 2. Los dígitos de 13.380 suman: 1 + 3 + 3 + 8 + 0 = 15, que es múltiplo de 3. Luego, 13.380 es divisible por 3. La dos última cifras de 13.380 corresponden a 80, que es múltiplo de 4. Luego, 13.380 es divisible por 4. El número 13.380 termina en cero. Luego, es divisible por 5 y por 10. El número 13.380 es divisible por 2 y por 3 a la vez. Luego, es divisible por 6.Conclusión: 13.380 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 10.Conjunto de los Números Cardinales (IN 0 )DefiniciónEs el conjunto de los Naturales, incluyendo el cero.IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las mismas propiedades y característicasque en los Naturales.Conjunto de los Números Enteros (Z)DefiniciónSon los enteros positivos, los negativos y el cero. = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }Es decir + : es el conjunto de los enteros positivos - : es el conjunto de los enteros negativosRecta numérica de los enteros
  5. 5. Valor absoluto o Módulo de un número entero ( l l )Operatoria en ZCuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a los signos y las reglas de laoperación.Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b . Entonces:a) Adición (suma) a + b. (importante: ) Caso 1: Suma de enteros de igual signo: Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo. Ejemplo: –7 +–15 = -22 Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22 Caso 2: Suma de enteros de distinto signo: Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplo: -20 + 4 = –16 O bien: 4 –20 = –16b) Multiplicación y/o divisiónSe deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la siguiente regla:Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo.Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:c) Sustracción (resta) a–bLa diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al opuesto de b.
  6. 6. Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición. Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23 Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34 Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19 Conjunto de los Números Racionales (Q) Definición Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción donde: a: Numerador; b: Denominador (b 0); y k: Cuociente Ejemplos de racionales: Pertenecen al conjunto de los racionales Q: El cero; que se puede escribir como Los números enteros positivos y negativos Las fracciones comunes; Los decimales finitos; y Los decimales infinitos: periódicos o semiperiódicos Números decimales Todo número racional se puede escribir como número decimal. Un número decimal se obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción. Caso 1: Decimales finitos: Tienen una cantidad limitada de dígitos decimales. Ejemplo: 3,75. Caso 2: Decimales infinitos periódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales, y tienen el período inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplo Período 43. Caso 3: Números decimales infinitos semiperiódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales y tienen, después de la coma el anteperíodo y luego el período. Ejemplo Antiperíodo 5 y período 24.
  7. 7. Aproximación decimalCon frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas cifras decimales, lo que hacedifícil su operación. En estos casos es posible realizar unaaproximación decimal.Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígitoanterior.Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el dígito anterior.Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:En este caso, el primer dígito a desechar es 1, que es menor que 5. Esto hace que el último dígito a conservar, es decir el4, quede igual.Fracciones equivalentes (iguales)SeanEsto es, dos fracciones son equivalentes solo si el producto del denominador de una por el numerador de la otra es igualal producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción (producto cruzado).Ejemplo: ¿Son las fracciones y equivalentes?Planteando que:La igualdad es falsa. Por lo tanto, las fracciones dadas no son equivalentes.Operaciones con números racionalesSean a, b, c y d distintos de cero.Suma: EjemploResta: EjemploProducto: Ejemplo
  8. 8. División: EjemploImportante: Es conveniente trabajar la división de fracciones como producto (multiplicación) de fracciones, por lasopciones de simplificación que pueden presentarse.Amplificar y simplificar una fracciónAmplificar una fracción: es multiplicar su numerador y su denominador por el mismo número, obteniéndose una fracciónequivalente: [ Ver ejemplo ]Ejemplo: la fracción será amplificada por 7.Entonces: = , resultando que: = , como puede comprobarse a través del producto cruzado.Simplificar una fracción: es dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, obteniéndoseuna fracción equivalente: [ Ver ejemplo ]Ejemplo1 : La fracción será simplificada por 7.Entonces: = . resultando que: = , como puede comprobarse por medio del producto cruzado.Transformación de racionalesCaso 1: De fracción a decimal: Para esto, basta dividir el numerador por el denominador. [ Ver ejemplo ]Ejemplo: , al hacer la división 11 : 8 = 1,375. Entonces: = 1,375.Caso 2: De decimal finito a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador un número sin la coma ycomo denominador una potencia de 10 con tantos ceros como el número total de decimales. [ Ver ejemplo ]Ejemplo: 1,25 = . Simplificando: 1,25 =Caso 3: De decimal periódico a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador el número, sin coma,incluyendo el período, menos los enteros. Como denominador, tantos 9 como cifras tenga el período. [ Ver ejemplo ]
  9. 9. Entonces. 3, = =Caso 4: De decimal semiperiódico a fracción común: la fracción resultante tiene como numerador una cifra formadapor el número sin la coma, menos los enteros y anteperíodo. Como denominador lleva un número de tantos 9 como cifrastenga el período, seguidos de tanto ceros como cifras tenga el anteperíodo decimal. [ Ver ejemplo ]Conjunto de los Números Irracionales (Q ^ )Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b, siendo a y b enteros, con b .Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.En general son irracionales todas las raíces cuadradas de enteros positivos que no son cuadrado de otro entero.Ejemplo 1: El número es irracional, puesto que = 1,414213562... Este es un número de infinitas cifrasdecimales, sin que presente un período o semiperíodo. Por lo tanto, es imposible expresarlo como una fracción y esmás cómodo expresarlo simplemente como .Ejemplo 2: El número p es irracional, puesto que p = 3,141592654... y no es posible expresarlo como fracción. Poreste motivo es más cómodo expresarlo simplemente como p.Ejemplo 3: El llamado “número áureo” 1,618033989…es otro irracional, que se simboliza por .En la época de Platón (428 - 347 A.C.) ya se conocían algunos números irracionales tales como: , , ,, , y otros tantos, pero su origen parece remontarse a los tiempos de Pitágoras, a mediados del siglo VI A. C.En una de sus obras, Platón relata la conmoción que habría generado en la comunidad pitagórica la aparición denúmeros que no se ajustaban a las bases de sus creencias místicas (basada en los números enteros) y a unageometría (aún imperfecta) que consideraba que las figuras geométricas estaban constituidas por un número finito depuntos.
  10. 10. Conjunto de los Números Reales (Ir) DefiniciónEs el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los Irracionales. Lo que hoy conocemos como toda la recta numérica. Pertenecen al conjunto de los Reales IR: El cero, los enteros positivos y negativos; Las fracciones; Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y Los irracionales Lo anterior se resume en el siguiente diagrama: La Recta Real Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda. Los números reales se sitúan sobre la recta valiéndose de construcciones geométricas o bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). [ Ver ejemplo ]
  11. 11. Ejemplo: Ordene los siguientes números de menor a mayor: P = ,Q= yR=Solución:Primero se expresarán todos los números como decimal:P= 0,57Q= = 0,71R= = 0,4Gráficamente esto es:Por lo tanto, el orden de menor a mayor es: R < P < Q.Prioridad de operatoria matemática en los RealesEn la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente prioridad:1° Paréntesis2° Potencias y raíces3° Multiplicaciones y divisiones4° Sumas y restas [ Ver ejemplo ]Ejemplo 1:13 - (-7 + 3 9) – 32 = Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20 Segundo: el cuadrado de 3 = 9 Está quedando: 13 – 20 – 9 Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.Ejemplo 2:Resolver:
  12. 12. La raya de fracción obliga primero a resolver el numerador y el denominador, por separado.En el numerador se transformará el decimal 0,2 a fracción:En el numerador se resuelve primero la división de fracciones:Ahora se realizan las restas, en el numerador y en el denominador:Finalmente la división de fracciones:Simplificando por 2: = =

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