Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Nonlinear response of solids with Green's functions and TD-D(P)FT


Published on

Presentation given at the "Theory days" workshop in Toulouse 2015

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Nonlinear response of solids with Green's functions and TD-D(P)FT

  1. 1. Nonlinear response  of solids with Green's functions and TD­D(P)FT Claudio Attaccalite  CINaM, Aix­Marseille Universite (FR)   Myrta Grüning, Queen's University, Belfast(UK) Theory Days - Toulouse - 26-11-2015Theory Days - Toulouse - 26-11-2015
  2. 2. What is it non­linear optics? P(r ,t)=P0+χ (1) E+χ (2) E 2 +O(E 3 ) First experiments on linear­optics  by P. Franken 1961 Ref: Nonlinear Optics and  Spectroscopy  The Nobel Prize in Physics 1981 Nicolaas Bloembergen
  3. 3. Ref: supermaket Why non­linear optics? ..applications..
  4. 4. Ref: supermaket Why non­linear optics? ..applications..
  5. 5. “Self­focusing limit in terms of peak power is of the order  of 4 MW in the 1­μm wavelength region. No method is known  for increasing the self­focusing limit of optical fibers  beyond that value.”  RP Photonics Why non­linear optics? ..applications.. (the darkside      )
  6. 6. Why non­linear optics? ..research.. Linear Science, 2014, vol. 344, no 6183, p. 488­490 Non­linear(COLOR)Non­linear(BW)
  7. 7. To see “invisible” excitations The Optical Resonances in  Carbon  Nanotubes Arise from Excitons Feng Wang, et al. Science 308, 838 (2005); ..research..
  8. 8. ...and more... photon entanglement  in vivo imaging Ref: PNAS 107, 14535 (2007) 
  9. 9. How to calculate non­linear  response? 1) Direct evaluation of X(1) ,X(2) .... 2) Sternheimer equation  R. M. Sternheimer, Phys. Rev. 96, 951(1954) 3) Real­time propagation P(t)=P0+χ (1) E+χ (2) E 2 +O(E 3 ) (HKS 0 −ϵn 0 )ψn 1 =(H KS 1 −ϵn 1 )ψn 0 χ=χ 0 +χ 0 (v+f xc)χ −i∂t ψ=Hks ψ
  10. 10. 1) Equations become more and more complex  with the response order 2) Difficult to include more than one   external field (FWM, etc..) Ref: PRB 80, 165318(2009),  PRA 83, 062122(2001),      JCP 126, 184106(2007)  Direct evaluation of X(1) ,X(2) .... Disadvantages:  Sternheimer equation
  11. 11. Advantages Ref: JCP, 127, 154114(2007)      PRB, 89,  081102(2014)  Real­time propagation 1) The same equation for all response  functions 2) Can deal with complex spectroscopic  tecniques (SFG, FWM, etc...) Disadvantages 1) Results are more difficult to analize 
  12. 12. What to propagate? (Current) Density Density Matrix  Green's function Wave function
  13. 13. The best chioce for solids is..... Wave function Why? 1)We know  how to express polarization in terms of  the wave­function (the King­Smith Vanderbilt formula). R. D. King­Smith and D. Vanderbilt, PRB 47, 1651 (1993) 2)Polarization in terms of Green's function or  density matrix is very complicated  K.­T. Chen and P. A. Lee, PRB 84, 205137 (2011) 3)Polarization in terms of the density is impossible!    R. M. Martin and G. Ortiz, PRB 56, 1124(1997)
  14. 14. From Polarization to the  Equations of Motion I. Souza, J. Iniguez and D. Vanderbilt, PRB 69, 085106 (2004) Pα= 2ie (2π) 3 ∫BZ d k∑n=1 nb 〈un k∣ ∂ ∂ kα ∣unk 〉 King­Smith and Vanderbilt formula Phys. Rev. B 47, 1651 (1993) L= i ℏ N ∑n=1 M ∑k 〈 vkn∣˙vkn〉−〈H 0 〉−v Ε⋅P Once we know how to write the polarization we  can define a Lagrangian i ℏ ∂ ∂t |vk n⟩=Hk 0 |vk n⟩+i e Ε⋅|∂k vk n⟩ From the Lagrangian we derive the Hamiltonian and the Eqs. of motion
  15. 15. Correlation Ref: PRB 84, 245110(2011),PRB 25, 2867 (1982)      L. P. Kadanoff & G. A. Baym,       Quantum statistical mechanics, Benjamin(1962).      G. Strinati, La Rivista del Nuovo Cimento, 11,1­86 (1998) Correlation effects are derived  from non­equilibrium Green's  theory within the GW approximation 
  16. 16. GW band structure Aryasetiawan, F., & Gunnarsson, O. The GW method. Reports on Progress in Physics, 61(3), 237.(1998). W (ω)= V ee ϵ(ω) GW is the first order correction in terms of screened interaction H=H0+Δi, jk GW Δi, jk GW =⟨ΣGW ⟩i, jk Mapping GW in an effective Hamiltonian
  17. 17. Bethe­Salpeter Equation + -= G. Strinati, Rivista del Nuovo Cimento, 11, 1 (1988) C. Attaccalite, M Gruning and A. Marini PRB, 84, 245110 (2011) L=L0+L0[v+ δ Σ δG ] L Exact Bethe-Salpeter (useless) L=L0+ L0[v−W ]LApprox. Bethe-Salpeter (usefull) H=H0+Σ COHSEX [ ^ρ(t=0)−^ρ(t)] Mapping BSE in an effective Hamiltonian ∂ Σ COHSEX ∂V ext
  18. 18. Our computational setup Correlation: Green's function  theory (GW+BSE) Coupling: Modern­Theory of  Polarization Ref: PRB 88, 235113(2013)
  19. 19. Linear response Technical details: ● Wave­function in plane­waves plus norm­conserving pseudo ● Propagation time about 50 fs, with a time­step 0.01 fs ● Smearing included as non­Hermitian operator ­iγ (Weisskopf­Wigner) or in post­processing as in Octopus ● Laser shape: delta function for LR/ sinus for Non­LR 
  20. 20. X(2) results: semiconductors  CdTe Ref:  E. Luppi el al.,PRB 82, 235201 (2010) E. Ghahramani et al., PRB 43, 9700 (1991)  I. Shoji,et al. J.Opt.Soc.Am. B 14, 2268 (1997)  J.I.Jang,et al. J.Opt.Soc. Am.B 30, 2292 (2013) M. Grüning at al. PRB 88, 235113(2013) AlAs Local field effects are  more important than in  the linear reposonse
  21. 21. Local­fields and excitonic effects in h­BN monolayer IPA IPA + GW + TDSHF independent particles +quasi-particle corrections +time-dependent Hartree (RPA) +screend Hartree-Fock (excitonic effects)
  22. 22. MoS2  single­layer 10) Second harmonic microscopy of monolayer MoS2 Phys. Rev. B 87, 161403(R) (2013) 100) Probing Symmetry Properties of Few­Layer MoS2  and h­ BN by Optical Second­Harmonic Generation NanoLetters, 13, 3329 (2013) 1000) Observation of intense second harmonic generation  from MoS2  atomic crystals Phys. Rev. B 87, 201401(R) (2013)
  23. 23. X(3) in silicon Ref: PRB 41, 1542 (1990)       Optical letters, 14,57 (1989)      PRB 88, 235113(2013) 
  24. 24.  X(3)  in nanostructures Interference between excitons  is not trivial the case of ANGR7 Ref: Nature Comm. 5, 4253 (2014)      PRL 94, 047404 (2005) 
  25. 25. TD­D(P)FT … why and why not? TDDFT is much faster than Green's functions Runge­Gross theorem does not hold in periodic  system  (PRB 68, 045109) Density is not enough to describe the response of  periodic systems (PRB 56, 1124) q⋅P(q)=in(q) Current­density­FT works :­) If there are not magnetic fields and  transverse reponse is not important it  reduces to Density­Polarization­FT Exc(P ,n)
  26. 26. Searching for a functional ● We want a functional of the density and Polarization ● No functionals of the density only ● We do not want the exchange ● No divergences 1/q^2 etc... Checklist:
  27. 27. Electron gas with gap (JGM) P. Trevisanutto et al.  PRB 87, 205143(2013) Dielectric constant Corresponding exchange­corr functional (with a Micro and Macroscopic contribution) We map the Macroscopic part in a  functional of the polarization and the  microscopic part in a functional of the  density N. T. Maitra, I. Souza, and K. Burke PRB 68, 045109
  28. 28.  Some preliminary results  of the JGM functional
  29. 29. What we miss?  Exc (t )=f xc (n)+α P (t )+β P 2 (t )+ γ P 3 (t)+.... For linear optics For χ2, χ3... For χ3,χ4,.... It can be shown that second term is as large as  local field effects(PRB 54, 8540)   First problem Second problem α(t) In principle all the coefficients depend on time. This is important to describe complex excitons, etc...    β(t) γ(t)
  30. 30. Prospectives Applications: Developement: ● An exchange­correlation function beyond  linear  response (that works) ● Spin and spin­orbit coupling ● Therahertz spectroscopy ● THG and Kerr parameters ● SHG and spin ● Electro­absorption ● Interfaces 
  31. 31. Conclusions Develop an approach that  'imports' successful GW+BSE  recipe into versatile real­time  approach: correlation in nonlinear­optics e­laser interaction treated  within modern polarization theory e­h interaction key to  understand  SHG spectra of 2D materials  (such as hBN, MoS2) Density­polarization  functional theory for the linear­response JGM and beyond
  32. 32. Acknowledgement: Myrta Grüning,  Queen's University Belfast Related work: Implementation of dynamical Berry phase:  C. Attaccalite, M. Grüning, PRB 88, 235113 (2013)  Application to SHG of 2D materials:  M. Grüning. C. Attaccalite, PRB 89(R), 081102 (2014) C. Attaccalite et al., PCPC 17, 9533 (2015) Time­dependent BSE theory:  C. Attaccalite ,M. Grüning. A. Marini PRB 84, 245110 (2011) Time­dependent density polarization theory:  M. Grüning, D. Sangalli and C. Attaccalite, in preparation(2015) The codes:  A. Marini et al. Comp. Phys. Comm. 180, 1392 (2009) P. Giannozzi et al. J. of Phys.: Cond. Matter, 21, 395502 (2009)
  33. 33. Does the velocity gauge make  the life easier? It is true if you have a local Hamiltonian  Length gauge: H = p2 2 m +r E+V (r) Ψ(r ,t ) Velocity gauge: H = 1 2 m ( p−e A)2 +V (r) e −i r⋅A(t) Ψ(r ,t) Analitic demostration: K. Rzazewski and R. W. Boyd,  J. of Mod. optics 51, 1137 (2004) W. E. Lamb, et al.  Phys. Rev. A 36, 2763 (1987) Well done velocity gauge: M. Springborg, and B. Kirtman Phys. Rev. B 77, 045102 (2008)  V. N. Genkin and P. M. Mednis Sov. Phys. JETP 27, 609 (1968) ... but when you have non­local pseudo, exchange, damping term etc..   they do not commute with the  phase factor
  34. 34. The King­Smith Vanderbilt  polarization  King­Smith and Vanderbilt formula Phys. Rev. B 47, 1651 (1993) Pα= 2ie (2π) 3 ∫BZ d k∑n=1 nb 〈un k∣ ∂ ∂ kα ∣unk 〉 Berry's connection !! 1) it is a bulk quantity 2) time derivative gives the current 3) reproduces the polarizabilities at all orders 4) is not an Hermitian operator
  35. 35. Post­processing real­time data P(t) is a periodic function of period TL =2p/wL   pn   is proportional to χn by the n­th order of the external field  Performing a discrete­time signal sampling we reduce the problem to  the solution of a systems of linear equations Ref: PRB 88, 235113(2013),      JCP 138, 064104(2013)