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INTEGRALES DOBLES

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INTEGRALES DOBLES

  1. 1. FACULTAD DE INGENIERÍA – UNNEANALISIS MATEMÁTICO IICARGO CONCURSADO: PROFESORA ADJUNTATEMA A DESARROLLAR:
  2. 2. Que el alumno:• Utilice como apoyo el concepto de integra definida paracomprender este nuevo tema.• Vincule temas desarrollado previamente en esta materia,como el de “dominio de una función de dos variables”, el de“superficies” y “límite de una función de dos variables” coneste nuevo tema.• Comprende el tema, de manera que puede utilizar susaplicaciones en el ciclo superior de la carrera.OBJETIVOS GENERALES:
  3. 3. •Definir integral doble.•Enseñar el cálculo de la integral doble, utilizando integralessucesivas.•Estudiar con los alumnos, los distintos tipos de dominios y elprocedimiento a utilizar en cada tipo de recinto.•Mostrar las aplicaciones geométricas y físicas de la integraldoble.OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
  4. 4. •Apunte de cátedra Análisis Matemático II – Cálculo Integral –Profesor Antonio Mahave•Cálculo diferencial e integral – N. Piskunov•Cálculo infinitesimal de varias variables – J. Rey Pastor –Calleja yTrejo•Cálculos de varias variables – Thomas /Finney•Introducción al análisis matemático – Cálculo 2 – HebeRabuffettiBIBLIOGRAFÍA:
  5. 5. RConceptos previosPartición de una región del Plano:Una partición P de se obtiene por un conjunto de curvasarbitrarias simple que cortan a la superficie y la dividen en nsubregiones, n,.....,kconRk 21Llamaremos diámetro de cada elemento a la mayor distanciaque exista entre dos puntos pertenecientes a cadakRPor ejemplo: si es rectangular, el diámetro será la diagonal delmismo.kRkRLlamaremos Norma de Partición: Simbólicamente al mayor de losdiámetros existentes en todos Los elementos de una partición.kRSea El área correspondiente a cada sub-región kRkR
  6. 6. Integrales Dobles
  7. 7. Definición:Sea una función definida, continua y acotada enuna región R del plano.)y;x(fz Consideremos un punto arbitrario interior a cada sub-divisiónde una partición P y sea el valor de la función en dichopunto.kp)p(f kLlamaremos con el nombre de suma de productos interiores osuma de Riemann correspondientes a la función y auna partición P, a:)y;x(f
  8. 8. Si efectuáramos nuevas particiones de la región R, cada vez másrefinadas tal que aumentaría el número de partes.0Si existe el límite de esta suma, cuando lo llamaremos“Integral Doble” de la función en la región R y lorepresentamos por:0)y;x(fz R se denomina dominio de integración.
  9. 9. Propiedades de la Integral Doble:1. Descomposición con respecto de la región de integración:Si la región R se descompone en RRRyRR/RyR  2121212. Propiedad de Homogeneidad:Siendo C = constante y integrable en R)y;x(f
  10. 10. 3. Descomposición con respecto al integrando:Siendo son integrables sobre la región R)y;x(gy)y;x(f4. Propiedad de monotonía:5. Si son integrables en R y)y;x(gy)y;x(f
  11. 11. Partición de un dominio RectangularSeaUna partición de R se puede hacer dividiendo el intervalo en“n” partes cuyas amplitudes representaremos por b;an...,iconxi 21y el intervalo en “m” partes, de amplitudes d;c m...,jconyj 21Si por cada uno de estos puntos de división, se traza unaperpendicular, se obtiene una partición de R, en “nxm” sub-rectángulos, cuyas áreas representamos por:con i=1,2,…….,n , j=1,2………,m y k=1,……,nxmjik yxR Se puede expresar la suma de todas las áreas de todas las partescorrespondientes a esta partición, así:  nimjjinxmkk yxR1 11
  12. 12. Reducción de la Integral Doble a Integrales SucesivasSea función integrable en una región rectangular R)y;x(foComparando las expresiones queda demostrado que para recintosrectangulares, el resultado de la Integral Doble es independiente delorden de integración.
  13. 13. Cálculo de la Integral Doble para regiones No RectangularesPrimer caso:Se trata de una función definida en una región norectangular D)y;x(gy)y;x(f)y;x(f)y;x(gy)y;x(fD: -región cerrada por una curva simple C-Simplemente conexa-Cualquier paralela a los ejes coordenados la corta a lo sumo endos puntos.Podemos trazar dos rectasparalelas al eje ‘y’ tangentes ala curva en dos puntos, cuyasabscisas representaremos pora y b.
  14. 14. Estos puntos de tangencia, descomponen a C en dos curvas,cuyas ecuaciones son      Dy;xsiy;xfy;xf *   xyexy 21Otras dos rectas tangentes, pero paralelas al eje “x”, determinan conlas anteriores un rectángulo R que contiene a C.Podemos definir en dicho rectángulo, la función:  DRy;xsi 0
  15. 15. Por descomposición del intervalo de Integración:(1)Para calcular la integral de la función aplicamos la definiciónde Integrales Dobles, considerando una partición de R en mxnrectángulos, descomponiendo de “m” partes de norma yen “n” partes, de norma y obtenemos: y;xf *      Dy;xsiy;xfy;xf * b;a 1 d;c 2
  16. 16. Hallar la capacidad de un tanque australiano cuya altura es de2m y su diámetro es de 8m.1622 yx)y;x(fz216 xy   dydxy;xfVD 22161644xyxxD
  17. 17. verificaciónGeométricamente:uahralturabaseSupV 322162 uaxsenarcxxV 3241616218402  4021604040160441616168242422222dxxdxydxdydydxVxxxx
  18. 18. Siguiendo con el ejemplo del tanque calculemos el área de la basedel mismo. 22161644xyxxD  4021604016442dxxdxyAxuaxsenarcxxA 1641616214402Verificación geométricauarA  16422
  19. 19. Calcular el centro de gravedad de la lámina que representa labase del tanque comprendida en el primer octante del plano “xy”mmymmx)y;x(G xyDdydxmCalculamos previamente la masa: m 216044xyxD12258216441602,dxdymx  
  20. 20. Utilizando argumentos de simetría de la figura estudiadapodemos afirmar que el centro de gravedad se encontrarásobre el eje “y” 0 xmmy x   dxydydxymxxx44160441602222  4421621xmx

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