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SISTEMAS DE ECUACIONES

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Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

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SISTEMAS DE ECUACIONES

  1. 1. TEMA 7. SISTEMAS DE ECUACIONES MÉTODOS: SUSTITUCIÓN  IGUALACIÓN  REDUCCIÓN – REDUCCION DOBLE 
  2. 2. RECUERDA  Lo que ya sabemos: - Ecuación. Igualdad entre dos expresiones algebraicas ( en ella existen números que llamamos coeficientes, letras que son las incógnitas y las operaciones con las que se relacionan) - Tipos, según su grado y número de incógnitas: a) Primer grado con una incógnita  4x = 16 b) Segundo grado con una incógnita  4x²-8x – 2 =0 c) Primer grado con dos incógnitas  Sistemas de ecuaciones - Sabemos ya resolver, las de tipo a y b.
  3. 3. PIENSA EN EL SIGUIENTE RETO  Daniela y Alex necesitan un material para hacer un trabajo que les han mandado en el instituto. Han quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda. Daniela compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por 2,90 € y Alex 8 cartulinas y una barra de pegamento por un total de 3,10 €. Ninguno preguntó por el precio de cada cosa. María se los encontró y recordó que también tenía que comprar 6 cartulinas y 2 barras de pegamento, pero sólo tenía 3 € en ese momento. ¿Tenía María suficiente dinero para hacer la compra o bien tendría que ir a su casa a por más o pedirle prestado a sus amigos?
  4. 4. IMAGÍNATE Para saber si María tiene suficiente necesitamos saber el precio de una cartulina y de una barra de pegamento. Por tanto, tenemos que buscar el valor de… ¡¡dos incógnitas!! ¿Podríamos utilizar el método de las tablas para resolver el sistema de ecuaciones? La respuesta es SI, pero no es el más efectivo y nos llevaría demasiado tiempo ¿Qué hago entonces? Continúa viendo esta presentación descubrirás sistemas más eficaces y
  5. 5. ¿COMO LO VOY A HACER? 1. Estudiando y aprendiendo: Qué es un Sistema de Ecuaciones Métodos de resolver un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnita. 2. Resolviendo ejercicios y problemas.
  6. 6. SISTEMAS DE ECUACIONES En el caso de Daniela y Alex, ambos han comprado las cosas en la misma tienda y el mismo día. Esto nos dice que el precio de cada cosa habrá sido el mismo para los dos. Entonces: La ecuación que describe la compra de Daniela sería: 5x + 2y = 2,90 La de Alex sería: 8x + y = 3,10 Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
  7. 7. SISTEMAS DE ECUACIONES Resumiendo: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas comunes entre sí. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor numérico de cada incógnita, de tal forma que hagan verdaderas todas las ecuaciones del sistema.
  8. 8. Sistemas de Ecuaciones ESQUEMA ax by c ECUACIÓN 1 ax by ECUACIÓN 2 c INCÓGNITA X INCÓGNITA Y DOS ECUACIONES DOS INCÓGNITAS
  9. 9. Sistemas de Ecuaciones: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • SUSTITUCIÓN • IGUALACIÓN • REDUCCIÓN
  10. 10. SUSTITUCIÓN 2x y 5 y 5 2x 4x 3 y 5 1º Se despeja una incógnita PISTA: Busca la que esté sola ¿CUÁL? Y
  11. 11. SUSTITUCIÓN 2x y 5 y 5 2x 4x 3 y 5 4x 3 y 5 1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones 2º.- Sustituimos el valor de Y en la otra ecuación 3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos
  12. 12. SUSTITUCIÓN 2x y 5 y 4x 3 y 5 4 x 3 (5 2 x) 5 4x 6x 5 15 4x 15 6x 5 10x 20 5 2x x 20 10 x Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y 2
  13. 13. SUSTITUCIÓN 4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación x 2 2 2 y 5 2x y 5 4 y 5 4x 3 y 5 y 5 4 y 1 Hemos obtenido el valor de la otra incógnita  Ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones por el método de SUSTITUCIÓN …………. Pero…… ¡¡¡YO NO ME LO CREO!!!
  14. 14. SUSTITUCIÓN 5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones. 2x y 5 4x 3 y 5 2x y 5 2 2 1 5 4 1 5 4x 3 y 5 4 2 3 1 5 8 3 5 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta SOLUCIÓN: x 2 ; y 1
  15. 15. IGUALACIÓN x 2y 8 x y 5 x 8 2y x 5 y 1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones ¿CUÁL? PISTA: Busca la que esté sola X
  16. 16. IGUALACIÓN x 2y 8 x y 5 x 8 2y x 5 y Se igualan los segundos miembros 8 2y y 5 y 3 2y y 3 1 y 5 8 y 3 Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro
  17. 17. IGUALACIÓN x 2y 8 x y 5 x 8 2y x 5 y Cojemos cualquiera de las ecuaciones y 3 x 8 2y Sustituimos en ella el valor que obtuvimos x 8 2 3 Hemos obtenido el valor de la otra incógnita x 2
  18. 18. IGUALACIÓN Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior x 2y 8 x y 5 x 2y 8 2 2 3 8 x 5 2 3 5 y 2 6 8 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta SOLUCIÓN: x 2 y 3
  19. 19. REDUCCIÓN Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una de las incógnitas. 2x 4 y 6 3x 5 y 10 2x 4 y 6 3 x 5 y 10 5x 9 y 16 ¿Eliminamos alguna incógnita? NO Pues tendremos que hacer algunos cambios
  20. 20. REDUCCIÓN Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de una de las incógnitas de la otra ecuación. 2x 4 y 6 3x 5 y 10 3 6 x 12 y 18 2 6 x 10 y 20 Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera 6 x 12 y 6 x 10 y 18 20
  21. 21. REDUCCIÓN 2x 4 y 6 6 x 12 y 3x 5 y 10 6 x 10 y Ahora sumamos Eliminamos así una incógnita X 2y 18 20 2 Resolvemos la ecuación obtenida y 2 2 y Y ahora calculamos x 1
  22. 22. REDUCCIÓN 2x 4 y 6 3x 5 y 10 Tomamos una de las ecuaciones Sustituimos en ella el valor encontrado 3x 5 10 y 1 3x 5 y 10 3x 5 1 10 15 3x 15 x x 5 3
  23. 23. REDUCCIÓN 2x 4 y x 5 6 3x 5 y 10 y 1 Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones 2 5 4 1 6 3 5 5 ( 1) 10 10 4 6 15 5 10
  24. 24. REDUCCIÓN DOBLE
  25. 25. Ahora… ¡¡a practicar!! Por cierto... ¿habrá podido comprar María su material con lo que tenía?

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