SISTEMAS ANALÓGICOS V Filtros Ativos filtro ativo de Butterworth

1. 2º Trabalho Prático de SISTEMAS ANALÓGICOS V
Filtros Ativos
Prof.: Buratto
Curso: Engenharia Eletrônica de Telecomunicações
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Alunos: Ciro Marcus Monteiro Campos
Belo Horizonte
08 de novembro de 2006

2. SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO......................................................................................................3
2. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO........................................................................4
3. MEMÓRIA DE CÁLCULO.....................................................................................7
4. TABELA DE COMPONENTES...........................................................................10
5. DIAGRAMA ESQUEMÁTICO COMPLETO DO CIRCUITO...............................11
6. SIMULAÇÃO.......................................................................................................13
7. RESULTADOS EXPERIMENTAIS.....................................................................17
8. CONCLUSÃO.....................................................................................................19
9. BIBLIOGRAFIA...................................................................................................20
2

3. 1. INTRODUÇÃO
• Objetivo do projeto
Projetar um filtro ativo de Butterworth, verificando o funcionamento do mesmo.
• Descrição do projeto
O projeto trata-se de um filtro ativo de Butterworth com as seguintes
características:
- Filtro: Passa-baixa
- Ordem: 4ª
-
Freqüência de corte: 8000 Hz
- Ganho: 1
3

4. 2. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
Os filtros são dispositivos que tem por finalidade eliminar sinais de uma
determinada freqüência ou de uma faixa de freqüências acima ou abaixo de um
valor limite.
Estes circuitos de filtro são usados em uma larga variedade de aplicações,
entre elas citamos algumas abaixo.
No campo de telecomunicação, filtros de passa-faixa são usados na gama de
freqüência auditiva (0 kHz para 20 kHz) para modem e processo de fala. Em altas-
freqüências, filtros de passa-faixa são usados para seleção de canal em telefone de
escritórios centrais. Os sistemas de aquisição de dados, normalmente requerem
filtros de passa-baixa para eliminar o barulho no sinal precedendo as fases de
condicionamento. Os sistemas de fornecimento de energia usam freqüentemente
filtros rejeita-faixa para suprimir a 60-Hz freqüência de linha e visitantes de
freqüência altas.
Além disso, há filtros que não filtram qualquer freqüência de um sinal de
contribuição complexo, mas apenas acrescentam uma troca de fase linear a cada
componente de freqüência.
Em freqüências altas (> 1 MHz) o circuito destes filtros consiste normalmente
em componentes passivos como indutores (L), resistores (R), e capacitores (C). Eles
são chamados filtros de LRC.
4

5. Já em freqüências baixas (1 Hz para 1 MHz), o valor dos indutores torna-se
grande, inviabilizado uma produção econômica acessível. Neste caso são utilizados
apenas resistores e capacitores na composição do circuito.
Existem vários tipos de circuitos filtradores. No caso específico deste projeto
estamos trabalhando com filtros ativos, que são circuitos que usam o amplificador
operacional como dispositivo ativo em combinação com alguns resistores e
capacitores. Os filtros ativos mais utilizados são conhecidos pelo nome de sua
resposta matemática característica: Butterworth - máximo plano; Bessel – resposta
transiente ótima; Chebischev – boa rejeição de sinal fora da banda passante e
outros.
Os filtros ativos podem ser : passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-
faixa.
A figura 1 mostra como são constituídos os filtros de acordo com sua ordem.
Figura 1 – Composição dos Filtros
5

6. O projeto aqui apresentado consiste em um filtro passa-baixa, o qual funciona
atenuando ou eliminando os componentes de alta freqüência. Para ondas senoidais
de freqüências baixas, a reatância capacitiva assume valores altos em comparação
com o valor resistência, dessa maneira, a forma de onda da tensão de saída será
praticamente igual à tensão de entrada. Para freqüências altas, a reatância
capacitiva assume valores baixos em comparação com o valor da resistência,
atenuando a tensão de saída para um valor praticamente nulo. Dessa maneira, o
filtro permite a passagem de sinais de freqüências baixas. De acordo com nosso
objetivo o circuito deve apresentar freqüência de corte de 8000 Hz e ganho 1. O é
composto de dois circuitos de 2ª ordem ligados em série, compondo assim um filtro
de 4ª ordem.
A seguir, é dado o diagrama esquemático do circuito de 2ª ordem:
Figura 2 – Filtro de 2ª ordem.
O ganho do circuito é dado pela equação : 1 + R4 / R3 , sendo o ganho de 1,
podemos dar um curto nas resistências R3 e R4 . Assim obtemos o circuito a ser
montado, conforme mostrado na figura 3.
6

7. Figura 3 – Filtro passa-baixa 4ª ordem
3. MEMÓRIA DE CÁLCULO
Como projeto tem como finalidade a construção de um filtro passa baixa de 4ª ordem
com freqüência de corte igual a 8000 Hz (fc=8000Hz) e ganho unitário, significa que
o amplificador operacional está funcionando como um seguidor de tensão.
Para calcular os valores dos capacitores e resistores, deve-se separar o filtro de 4ª
ordem em dois filtros de 2ª ordem como mostrado abaixo:
Figura 4 – Filtro de 4ª ordem dividido em dois filtros de 2ª ordem
7

8. Cálculo do 1° filtro de 2ª ordem:
Cálculo dos resistores R1 e R2 e dos capacitores C1 e C2:
A função transferência do circuito de 2ª ordem é:
Onde: A0 = 1; A1 = ωcC1(R1+R2); B1 = ωc
2
C1C2R1R2
Tabela 1
Coeficientes de Butterworth para filtros de 4ª ordem
i Ai Bi
1 1,8478 1,0000
2 0,7654 1,0000
Consultando a tabela dos coeficientes de Butterworth, para filtro de 4ª ordem:
Fixando o valor de C1 para 22nF, a capacitância de C2 deve obedecer a
seguinte condição:
Valor comercial: C2 = 33nF.
Calculados os capacitores, os resistores podem ser calculados através da fórmula:
8
2
2121
2
211
0
)(1
)(
sCCRRsRRC
A
sA
cc ωω ++⋅+
=
9
22
9
22
1
1
12 108,25
8478,1
14
1022
4 −−
×≥∴
×
×≥∴≥ CC
a
b
CC
21
211
2
2
2
121
2,1
4
)4(
CCf
CCbCaCa
R
c×
−±
=
π

9. Utilizando novamente os valores A1 e B1 da tabela:
R1 = 444,5055 Ω
R2 = 1226,4404 Ω
Cálculo do 1° filtro de 2ª ordem:
A função transferência deste circuito de 2ª ordem é:
Onde: A0 = 1; A2 = ωc C3(R3+R4); B2 = ωc
2
C3C4R3R4
Repetindo os procedimentos adotados no 1º filtro: fixando o valor de C3 para
22nF, a capacitância de C4 deve obedecer a seguinte condição:
Valor comercial: C4 = 220nF.
Calculados os capacitores, os resistores podem ser calculados através da fórmula:
9
( )
99
99929
21
211
2
2
2
121
1
1022103380004
103310221410338478,110338478,1
4
)4(
2
−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
=
×
−−
=
ππ CCf
CCbCaCa
R
c
( )
99
99929
21
211
2
2
2
121
2
1022103380004
103310221410338478,110338478,1
4
)4(
2
−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
=
×
−+
=
ππ CCf
CCbCaCa
R
c
2
4343
2
433
0
)(1
)(
sCCRRsRRC
A
sA
cc ωω ++⋅+
=
9
42
9
42
2
2
24 1011,150
7654,0
14
1022
4 −−
×≥∴
×
×≥∴≥ CC
a
b
CC
43
432
2
4
2
242
4,3
4
)4(
CCf
CCbCaCa
R
c×
−±
=
π ( )
99
99929
43
432
2
4
2
242
3
10220102212004
10220102214102207654,0101507654,0
4
)4(
2
−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
=
×
−−
=
ππ CCf
CCbCaCa
R
c

10. ( )
99
99929
43
432
2
4
2
242
4
10220102212004
10220102214102207654,0101507654,0
4
)4(
2
−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅
=
×
−+
=
ππ CCf
CCbCaCa
R
c
R3 = 151,1572 Ω
R4 = 540,9858 Ω
Obs.: As condições que os capacitores C2 e C4 devem satisfazer são definidas para
que sejam obtidos valores reais na raiz quadrada do cálculo dos resistores.
Então como já foi utilizado nos cálculos anteriores:
4. TABELA DE COMPONENTES
10
43
432
2
4
2
242
4,3
4
)4(
CCf
CCbCaCa
R
c×
−±
=
π21
211
2
2
2
121
2,1
4
)4(
CCf
CCbCaCa
R
c×
−±
=
π
2
1
1
12
4
a
b
CC ≥
2
2
2
24
4
a
b
CC ≥

11. A tabela 02 mostra a quantidade e a descrição dos componentes utilizados na
montagem. Alguns componentes estão acompanhados da sigla utilizada para
representá-los nos circuitos da simulação e do diagrama esquemático. Os valores
calculados foram aproximados para os valores comerciais mais próximos.
Tabela 02
Lista de Componentes
Quant. Descrição
02 CI´s LF 351 – Amplificador Operacional
01 Resistor 1,2 KΩ R2
01 Resistor 150 Ω R3
02 Trimpot 2,40 KΩ R4; R1
02 Capacitor poliester 22nF C1; C3
01 Capacitor poliester 33nF C2
01 Capacitor poliester 220nF C4
01 Protoboard
05 Bornes
5. DIAGRAMA ESQUEMÁTICO COMPLETO DO CIRCUITO
11

12. Figura 5 – Diagrama esquemático completo do circuito
12

13. 6. SIMULAÇÃO
Antes de explicar a simulação é necessário introduzir a Relação entre
freqüências e a Relação entre potências:
1) Década: Se uma freqüência f2 é 10 vezes maior que uma freqüência f1,
dizemos que f2 está 1 década acima de f1.
2) Oitava: Se uma freqüência f2 é o dobro de uma freqüência f1, dizemos que f2
está uma oitava acima de f1.
Para expressar a relação entre potencias existe uma grandeza chamada bel (B)
definida como:
A atenuação do sinal de saída para valores de freqüências acima da
freqüência de corte para um filtro de 1ª Ordem é de –20db/década, para 2ª Ordem é
de –40dB/década e assim sucessivamente.
Como o circuito projetado é um filtro-passa-baixa de 4ª Ordem é esperado
que o sinal de saída para sinais de entrada com freqüências acima da freqüência de
corte sofra uma atenuação de –80dB por década.
Simulação utilizando o CircuitMaker® Student Versão 6.2c. O circuito
simulado é apresentado a seguir, na figura 6.
13
1
2
10
1
2
10 log10)(:log
P
P
decibeldBonde
P
P
bel ==

14. C1
22nF
C2
33nF
C3
220nF
C4
22nF
1kHz
V1
-1/1V +
U3
LF351 +
U1
LF351
Vcc
15V
Vee
-15V
R1
2.94k
R2
8.2k
R3
3.6k
R4
1k
Figura 6 – Circuito Simulação
1 10 100 1k 10k 100k
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Xa: 1.206k Xb: 1.000
Yc:-2.998 Yd:-80.00
a-b: 1.205k
c-d: 77.00
Ref=Ground X=frequency(Hz) Y=voltage(db)
d
c
b a
A
Figura 7 - Diagrama de BODE do ganho do circuito Av(dB) x f(Hz)
14

15. O circuito simulado apresentou diagrama de Bode condizente com o
esperado.
É possível observar através do diagrama que ganho de tensão em decibéis
para freqüências abaixo da freqüência de corte que foi especificada como sendo
igual a 8000Hz é igual a 0dB. O que significa dizer que o filtro simulado funcionou
perfeitamente, no que diz respeito ao ganho de tensão, apresentando ganho unitário
A = Vsaída/Ventrada = 1.
No diagrama para demonstrar a freqüência de corte, basta traçar um eixo
horizontalmente, paralelo ao eixo da freqüência (x) com o valor de ganho em
decibéis igual a –3,01dB. No ponto exato onde este eixo corta a curva, deve-se
traçar um eixo vertical paralelo ao eixo do ganho (y). Este eixo vertical deve cortar o
eixo das freqüências no ponto exato da freqüência de corte. Nesta simulação foram
utilizados os eixos a (eixo vertical) e c (eixo horizontal). Pode-se observar no
cabeçalho do diagrama os valores de Xa = 1,2KHz e Yc = -3,0dB.
Outro parâmetro esperado e que pode ser também observado através
diagrama anterior é que a saída do circuito sofreu atenuação de –80db/década
quando a freqüência ultrapassou o valor da freqüência de corte.
15

16. 1 10 100 1k 10k 100k
-180
-120
-60
0
60
120
180
Xa: 1.210k Xb: 1.000
Yc:-180.0 Yd:-180.0
a-b: 1.209k
c-d: 0.000
Ref=Ground X=frequency(Hz) Y=voltage(deg)
dc
b a
A
Figura 8 - Diagrama de BODE da fase θ(graus) x f(Hz)
Os diagramas de fase no CircuitMaker apresentam descontinuidade pois o programa
reconhece θ entre –180º e +180º, e devido a isto o diagrama apresentado na
simulação foi descontínuo exatamente no valor da freqüência de corte, que pode ser
conferido no cabeçalho do diagrama Xa = 1,2kHz.
16

17. 7. RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Abaixo seguem as instruções e os resultados comentados dos testes realizados em
laboratório.
1° Teste:
- Ajustar as fontes de alimentação em aproximadamente + 15 Volts e -15 Volts;
- Ligar o circuito à fonte;
- Aplicar à entrada do circuito uma forma de onda senoidal proveniente do gerador
de funções e amplitude de 2 Vpp usar canal 1 do osciloscópio para entrada e canal 2
para saída ;
Devido a algumas perdas no amplificador operacional, utilizamos uma tensão de 10
Vpp para realizar este teste.
- Preencher a tabela abaixo medindo a tensão de saída VO , a tensão de entrada Vi
o desfasamento entre o sinal de entrada e saída ;
Tabela 03
Tabela de valores do 1° teste
Freq.(Hz) 1000 3000 5000 7000 8000 10000 12000 20000 30000
Vo 8 V 8 V 8 V 7 V 6 V 2 V 1,4 V 0,2 V 40 mV
Vi 8 V 8 V 8 V 8 V 8 V 8 V 8 V 8 V 8 V
Av = Vo/Vi 1 1 1 0,913 0,713 0,08 0,005 0,0003 0,0003
Av (dB) 0 0 0 -0,79 -2,93 -22 -50 -69 -71
Θ° 13° 36° 90° 147° -180° -134° - - -
Comentários: Os valores obtidos através deste teste estão de acordo com os valores
obtidos na teoria. A queda em dB na freqüência de corte (8000 Hz) esteve perto dos
17

18. –3dB da teoria e a queda uma década depois (8 kHz) também esteve próximo do
valor esperado (-80db). As pequenas variações ocorrem devido as tolerâncias nos
valores dos componentes. O amplificador operacional também influi nestes valores
uma vez que ele não é um amplificador ideal, possuindo assim tensão de off-set,
corrente de polarização o que influi no perfeito funcionamento do circuito.
Comparando os gráficos das figuras 9 e 10 com os gráficos obtidos na simulação
verificamos que os resultados dos testes estiveram dentro do esperado. A inclinação
da curva de amplitude foi de -71 dB, valor muito próximo dos -80dB que eram
esperados.
Figura 9 – Diagrama de Bode de Amplitude (testes)
Figura 10 – Diagrama de Bode de fase (testes)
18

19. 8. CONCLUSÃO
Com o desenvolvimento deste projeto, várias expectativas teóricas puderam
ser comprovadas na prática e muitos conhecimentos foram agregados.
Aprendemos como ligar dois ou mais filtros de 1ª ou 2ª ordem para obter
filtros de ordens superiores. Observamos que para cada ordem o sinal deve atenuar
de –20dB e que na freqüência de corte a atenuação deve ser de –3 dB. O circuito
aqui apresentado, por se tratar de um filtro passa baixa de 4ª ordem a atenuação do
sinal, deveria ser de – 80 dB por década. O resultado obtido na prática foi muito
próximo deste valor, sendo que a diferença apresentada aconteceu devido ao
amplificador operacional não ser ideal, apresentando portanto uma tensão de off-set
e corrente de polarização, alterando assim o ganho do circuito.
Comprovamos assim, que na grande maioria das vezes o circuito projetado
não funciona perfeitamente na prática, e que são necessários vários ajustes para
que ele atenda as exigências do projeto.
19

20. 9. BIBLIOGRAFIA
PERTENCE, Antonio. Amplificadores operacionais e filtros ativos:teoria,
projetos, aplicações e laboratorio. 3ª Ed. São Paulo:Makron Books:McGraw-
Hill,c1990
TEXAS INSTRUMENTS, Chapter 16 - Active Filter Design Techniques,
SLOA088. Disponível em <www.ti.com>. Acessado em 25 abr. 2004.
FARCHILD SEMICONDUCTOR, Datasheet LF 351. Disponível em <
www.fairchildsemi.com >. Acessado em 25 abr. 2004.
20