Análise de Sistemas III Projeto de Controle de Posição entre veículos Documentação apresentada à disciplina de Análise de Sistemas III, do curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Professor: Ciro Marcus Monteiro Campos

1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÕES
MATÉRIA: ANÁLISE DE SISTEMAS III
Análise de Sistemas III
Projeto de Controle de Posição entre veículos
Documentação apresentada à disciplina de Análise de
Sistemas III, do curso de Engenharia Eletrônica e de
Telecomunicação da Pontifícia Universidade Católica de
Minas Gerais.
Professor: Ciro Marcus Monteiro Campos
Belo Horizonte
2008

2. ÍNDICE
1. Introdução......................................................................................................................3
1.1 Enunciado................................................................................................................3
1.2 Diagrama de Blocos.................................................................................................4
1.3 Definição dos parâmetros........................................................................................4
2. Resposta ao degrau:.......................................................................................................6
2.1 Determinação das variáveis de estado:....................................................................7
3. Análise de Estabilidade................................................................................................7
3.1 Conceito de estabilidade:.........................................................................................7
3.2 Método de Routh ....................................................................................................8
3.3 – Aplicando Routh ao projeto:.................................................................................9
3.4 Método do Lugar das Raízes.................................................................................10
3.4.1 Aplicação no Projeto .....................................................................................11
3.5 Método da Resposta em Freqüência......................................................................12
3.5.1- Aplicação no projeto :...................................................................................13
4. Projetando um controlador PID...................................................................................14
4.1 Gráfico de Lugar das Raízes..................................................................................16
4.2 Resposta em Freqüência – Sistema Controlado....................................................17
5. Conclusão:...................................................................................................................18

3. 1. Introdução
Esse trabalho tem como objetivo o projeto de um sistema que controla a
posição entre veículos para manter uma distância determinada entre eles.
A sugestão desse sistema de controle de automatização foi retirado do
livro Sistemas de Controle Modernos, de Richard C. Dorf e Robert H. Bishop,
páginas 317 e 318, exercício PP7.12
1.1 Enunciado
Os sistemas eletrônicos constituem atualmente cerca de 6% do valor de
um carro. Este número subirá para 20% por volta do ano 2000, uma vez que os
freios antibloqueio, as suspensões ativas e outras tecnologias dependentes de
computadores estão entrando em plena produção. Muito da potencia
computacional agregada será usada em novas tecnologias para carros e
estradas inteligentes, ou seja, nos sistemas IVHS (intelligente vehicle/highway
systems)[14]. O termo se refere a uma coleção variada de dispositivos
eletrônicos que fornecem informação em tempo real sobre acidentes,
engarrafamentos, roteiros e serviços de estrada a motoristas e controladores
de tráfego. O IVHS também engloba dispositivos que tornariam os veículos
mais autônomos: sistemas de prevenção de colisão e tecnologia de
rastreamento de pista de rolamento que alertam os motoristas para impedir
desastres ou que permitem aos carros se guiarem autonomamente.
Um exemplo de sistema de automatização de auto-estrada está
mostrado na Fig.12(a). Um sistema de controle de posição para manter a
distancia entre veículos está mostrado na Fig.12(b). Selecionar ka e kt de modo
que o erro estacionário a uma entrada em rampa seja menor que 25% da
magnitude de entrada, A, da rampa R(s)=A/s^2. A resposta a um comando em
degrau deve ter uma ultrapassagem menor que 3% e um tempo de
assentamento (critério de 2%) menor que 1,5 segundo.

4. 1.2 Diagrama de Blocos
Figura 1- Diagrama de blocos do sistema
A figura a seguir, ilustra o diagrama de blocos simplificado do sistema a ser
projetado:
Figura 2 - Diagrama de blocos simplificado
1.3 Definição dos parâmetros
Erro estacionário para uma entrada a rampa
2
( )
A
R s
s
=
lim
.()
ss
s
A
e
sGs
→∞
= 0,25.sse A<

5. ( )
.[( 2).( 8) . ]
ka
G s
s s s ka kt
=
+ + +
64
1
ka
kt
<
−
Para ess < 25%*A
kt = -1;
ka = 64/(1-4*kt); %Valor de ka máximo
ka = 5;
Função de transferência em malha aberta
num = ka;
den = [1 10 16+ ka* kt 0];
Exibir função de transferência em malha aberta
ga=5/(s^3+10*s^2+11*s)
Função de transferência em malha fechada
[n,d]=feedback(num,den,1,1);
Exibir função de transferência em malha fechada
s = t f('s');
gf = 5/(s^3+10*s^2+11*s+5)

6. 2. Resposta ao degrau:
t=[0:.01:25];
figure(1),step(n,d,t), grid
Figura 3 - Resposta ao impulso do sistema
Analisando o gráfico podemos notar que a ultrapassagem é de 2% e o
ess tendo a 0, porém o tempo de assentamento é de aproximadamente 5
segundos.

7. 2.1 Determinação das variáveis de estado:
[A,B,C,D]=tf2ss(n,d)
3. Análise de Estabilidade
3.1 Conceito de estabilidade:
A resposta temporal de um sistema é constituída por duas componentes:
a resposta transitória e a resposta em estado estacionário ou resposta
permanente. O intervalo da resposta que varia com o passar do tempo e
ocorre no princípio do funcionamento do circuito é chamada transitória. Após
seu domínio, quando o sistema já se encontra estabilizado, surge uma resposta
invariável no tempo, conhecida como estacionária ou permanente.
A resposta transitória de um sistema pode ser descrita em termos da
localização dos pólos da função de transferência. Os pólos determinam os
modos particulares de resposta. Os zeros estabelecem os pesos relativos das
funções individualmente. Uma entrada do tipo impulso caracteriza-se por ser de
curtíssima duração comparada à sua magnitude.
Para que o sistema seja estável, os pólos devem estar localizados no
semiplano esquerdo. Tal condição é necessária e suficiente. Mesmo que o
sistema seja excitado por um sinal limitado, a saída será ilimitada e, portanto,
instável caso a equação tenha pelo menos algum pólo no semiplano s da
direita ou se houver raízes repetidas sobre o eixo ωj . Diferentemente, o
sistema pode ser estável mesmo com a ocorrência de zeros no semiplano
direito. A localização exata das raízes no semiplano esquerdo também é

8. fundamental. Por exemplo, toda raiz complexa deve aparecer aos pares
conjugados: se ωσ jr +=1 , seu conjugado é ωσ jr −=*1 .
3.2 Método de Routh
O método de estabilidade de Routh-Hurwitz fornece uma resposta à
questão da estabilidade considerando a equação característica do sistema em
malha fechada. A equação característica no domínio de Laplace é escrita
como:
.0...)( 01
1
1)( =++++==∆ −
− asasasasq n
n
n
nS (1)
Para assegurar a estabilidade do sistema é necessário determinar se
alguma das raízes de q(s) se situa no semiplano s da direita (esta posição
caracteriza um sistema instável).Também é necessário para um sistema
estável que todos o coeficientes do polinômio (1) sejam não-nulos. Estes
requisitos são necessários, mas não suficientes.
O critério de Routh-Hurwitz é um critério necessário e suficiente para a
estabilidade de sistemas lineares. O método foi desenvolvido inicialmente em
termos de determinantes, mas utiliza-se a formulação em arranjo de tabela que
é mais conveniente.
O critério de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes de q(s)
com parte real negativa é igual ao número de trocas de sinal da primeira coluna
da tabela de Routh. Este critério requer que não haja troca de sinal na primeira
coluna para se ter um sistema estável. Este requisito é ao mesmo tempo
necessário e suficiente.

9. 3.3 – Aplicando Routh ao projeto:
'Coeficientes - Critério de Routh'
a3=1;
a2=10;
a1=11;
a0=5;
b1=(-1/a2)*det([a3 a1; a2 a0])
b2=(-1/a2)*det([a3 a1; 0 0])
c1=(-1/b1)*det([a2 a0; b1 b2])
c2=(-1/b1)*det([a2 a0; 0 0])
Como todos os coeficientes são positivos o sistema é estável

10. 3.4 Método do Lugar das Raízes
Como as raízes do denominador da função de transferência em malha
fechada determinam o comportamento dinâmico do sistema, o método consiste
em desenhar no plano S o lugar das raízes da equação característica, ao fazer
o parâmetro K (ganho) variar de zero a infinito.
De acordo com este critério, um processo é estável para valores de K que
determinam raízes no semiplano S da esquerda. O sistema não oscila se as
raízes forem reais puras. Caso existam raízes complexas conjugadas, o
sistema torna-se oscilatório, porém mantendo-se estável. Ganhos K que
provocam raízes sobre o eixo imaginário determinam um processo
marginalmente estável. Alguns valores de K causam raízes no semiplano da
direita, de modo a sinalizar um processo instável.
O gráfico do lugar das raízes:
 é simétrico em relação ao eixo real,
 inclui todos os pontos no eixo real a esquerda de um número ímpar de pólos
e zeros no eixo real,
 começa nos pólos de G(s).H(s) (malha aberta, K = 0),
 termina nos zeros de G(s).H(s),para K = ∞, incluindo zeros no infinito,
 α é o número de zeros no infinito Para α = (nº de pólos em malha aberta – nº
de zeros em malha aberta),
 contém um ponto se Σ ângulos zeros – Σ ângulos pólos = r.180º,
 o ponto de saída do eixo real é obtido entre as raízes de N(s) . D’(s) –
N’(s).D(s) = 0.
 o ângulo das assíntotas em relação ao eixo real é dado por:
•
α
θ
180.r
−
+
=
 o ponto de intercessão das assíntotas com o eixo real é dado por :
zerosnpólosn
zerosnpólosn
ºº
ºº
−
−
=
∑ ∑σ

11. 3.4.1 Aplicação no Projeto
figure(2),rlocus(num,den),grid;
Figura 4 - Lugar das raízes do sistema não controlado
Podemos notar que o sistema não apresenta zeros e apresenta pólos em 0,
-1.26 e -8.74.
Notamos também que para ganho maior que 21.3 o sistema se torna instável.

12. 3.5 Método da Resposta em Freqüência
A resposta em freqüência de um sistema é o resultado obtido em
estado estacionário devido a um sinal senoidal de entrada. A senóide de saída
será diferente da de entrada apenas em sua amplitude e seu ângulo de fase.
Assim, investiga-se a resposta em regime permanente do sistema a uma
entrada senoidal cuja freqüência estará variando. Matematicamente, o sinal de
saída em regime permanente a uma freqüência específica ω depende
somente da magnitude e da fase de G( ωj ).
Os diagramas de bode podem ser utilizados para a análise da
estabilidade de um sistema. Comparando os gráficos de ganho e de fase,
pode-se determinar se o sistema é estável ou não e para quais freqüências ele
tende à instabilidade. Observa-se a defasagem da saída para uma entrada que
produz um ganho unitário (0dB). Caso este defasamento seja maior que 180º o
sistema será instável. Analisa-se também se existe alguma freqüência de
entrada que produza um ganho maior ou igual ao unitário para defasagens
maiores que 180º. Caso não se observe nenhuma das condições anteriores, o
sistema será estável. Senão, o sistema será instável para qualquer freqüência
de entrada. Em suma, deve-se garantir que, quando a realimentação provoca
uma soma de sinais (defasagem maior ou igual a 180°), o sistema deve ter
ganho negativo, de forma a manter uma subtração e, logo, uma saída limitada.
Tem-se um caso particular quando, para uma mesma freqüência temos
um defasamento de 180º e um ganho de 0dB. Neste caso o sistema será
marginalmente estável assumindo comportamento oscilatório

13. 3.5.1- Aplicação no projeto :
figure(3),margin(n,d),grid;
 Margem de ganho: apresenta em quanto se pode aumentar o valor do
ganho do sistema sem que este se torne instável.
 Margem de fase: indica em quanto se pode aumentar a defasagem do filtro
sem que o processo deixe de ser estável.
De acordo com o diagrama de bode podemos notar que o sistema é estável
e possui uma margem de ganho de 26.448 dB, ou seja, ajustarmos o ganho
para 441 vezes maior, o sistema estará no limite da estabilidade.
Para esta mesma freqüência (3.3173 rad/s) notamos q o gráfico de fase
passa de -180°, indicando instabilidade.

14. 4. Projetando um controlador PID
De acordo com o critério de Routh kcr=22
kcr=22;
Kp=.6*kcr;
Ti=.5*kcr;
Td=.125*kcr;
FTMA
g=((ka*Kp)+((ka*Kp/Ti)/s)+(ka*Kp*Td*s))/(s^3+10*s^2+11*s);
FTMF
[g1]=feedback(g,1,1,1);
figure(4),step(g1,t), grid
Notamos que com esses valores de Kp,Ti e Td nosso sistema não
obedece aos requisitos. A ultrapassagem chega a ser maior que 20%.

15. Para ajustar o sistema vamos modificar os valores de Kp,Ti e Td por tentativa e
erro para obedecer aos parâmetros do sistema
Kp=5.4;
Ti=25;
Td=0.9;
g2=((ka*Kp)+((ka*Kp/Ti)/s)+(ka*Kp*Td*s))/(s^3+10*s^2+11*s);
[g3]=feedback(g2,1,1,1);
figure(5),step(g3,t), grid
Conseguimos ajustar o sistema obtendo ultrapassagem de 1%, tempo
de assentamento (critério de 2%) 1,14 segundos e ess de 1%.

16. 4.1 Gráfico de Lugar das Raízes
figure(6),rlocus(g2),grid;
npid=[24.3 27 1.08];
dpid=[1 10 11 0 0];
roots(npid)
roots(dpid)
Localização dos Zeros:
-1.0696
-0.0416
Localização dos Pólos:
0
0
-8.7417
-1.2583
Para o sistema controlado notamos que este é estável para qualquer valor de
ganho.

17. 4.2 Resposta em Freqüência – Sistema Controlado
figure(7),margin(g3),grid;
O resultado da análise de estabilidade pelo Lugar das Raízes é
reforçado pelo Diagrama de Bode onde notamos que a Margem de Ganho é
infinita e que o gráfico de fase não ultrapassa -180°.

18. 5. Conclusão:
Os sistemas de controle contribuem para todos os aspectos da
sociedade moderna. Em nossas casas, os encontramos em tudo, desde
torradeiras aos sistemas de calefação e refrigeração até aparelhos de vídeo.
Os sistemas de controle também encontram aplicações em grande escala na
ciência e na indústria, desde a pilotagem de navios e de aviões até mísseis e
ônibus espaciais.
Neste projeto, verificamos que os sistema em questão apresenta-se
dentro dos critérios requeridos indicando que está bem representado pelo
diagrama de blocos para ganhos determinados.
Através da modelagem matemática, percebemos que diversas
aplicações do nosso dia-a-dia podem ser expressas e controladas por
equações matemáticas que são bastante fiéis e precisas ao modelo real.
Dentro da temática abordada na Disciplina Análise de Sistemas III, o
programa utizado, Matlab, se destacou como uma ferramenta de grande
utilidade e praticidade na representação de sistemas e na modelagem dos
mesmos.