PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA

“Universidad Politécnica Estatal Del

Carchi”
Desarrollo Integral Agropecuario

Portafolio
Cinthya Cucás
Ing. Oscar Lomas
Primero “A”

CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 4
OBJETIVOS ................................................................................................................................... 6
OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 6
OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 6
SILABO ......................................................................................................................................... 7
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ....................................................................................... 8
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................... 9
EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 10
EXPONENTES ......................................................................................................................... 10
RADICALES ............................................................................................................................. 11
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 12
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?..................................................................................................... 13
PARTES DE UNA ECUACION................................................................................................... 14
¡Exponente! ......................................................................................................................... 14
PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................................................ 15
Binomio de resta al cubo....................................................................................................... 16
Trinomio al cuadrado ............................................................................................................ 16
Diferencia de cubos ............................................................................................................... 16
Producto de dos binomios que tienen un término común ................................................... 16
FACTORIZACIÓN ........................................................................................................................ 17
Factorización por factor común. ........................................................................................... 17
Factorización de una diferencia de cuadros. ........................................................................ 17
Factorización de un cuadrado perfecto ................................................................................ 17
Factorización de una suma o diferencia de cubos ................................................................ 17
Factorización de cubos perfectos de binomios. .................................................................... 17
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................... 18
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO .......................................................................... 19
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................................ 19
TRANSFORMACIONES LINEALES............................................................................................ 21
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO .............................................................. 23

MODULO DE ALGEBRA

Página 3

INECUACIONES .......................................................................................................................... 25
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ...................................................... 26
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA .................................................. 28
PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................................................................... 32
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: ....................................................................... 37
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL............................................................................................. 40
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: ...................................................................... 43
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO.................................................................. 48
VII. Bibliografía. ........................................................................................................................ 53

INTRODUCCIÓN
MODULO DE ALGEBRA

Página 4

El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que
emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples
operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual,
a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español
como “reducción” o “cotejo”.
Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las
relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como
álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones
aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la
aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto
permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos
(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis
correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes
que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones
aritméticas.
Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa,
tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).
Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la
multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.

MODULO DE ALGEBRA

Página 5

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL
Recopilar la información otorgada por el docente referente al
cronograma de estudio en el módulo de algebra, para tener constancia
del trabajo realizado en el transcurso de todo el semestre y que esta
información nos sirva como guía de estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Construir el portafolio estudiantil.
Comprender

la

información

obtenida

para

adquirir

nuevos

conocimientos referentes a cada uno de los temas.
Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea
productivo.

MODULO DE ALGEBRA

Página 6

SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN

MISIÓN – ESCUELA

“Formar
profesionales
humanistas, emprendedores y
competentes, poseedores de
conocimientos científicos y
tecnológicos; comprometida
con la investigación y la
solución de problemas del
entorno para contribuir con el
desarrollo y la integración
fronteriza”

La
Escuela
de
Desarrollo
Integral
Agropecuario
contribuye
al
desarrollo
Provincial, Regional y Nacional, entregando
profesionales que participan en la producción,
transformación, investigación y dinamización
del sector agropecuario y agroindustrial,
vinculados con la comunidad, todo esto con
criterios de eficiencia y calidad

UPEC – VISIÓN

VISIÓN – ESCUELA

Ser
una
Universidad
Politécnica acreditada por su
calidad y posicionamiento
regional

Liderar a nivel regional el proceso de
formación y lograr la excelencia académica
generando profesionales competentes en
Desarrollo Integral Agropecuario, con un
sólido apoyo basado en el profesionalismo y
actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura
que incorpore los últimos adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un
ejercicio profesional caracterizado por la
explotación racional de los recursos
naturales, producción limpia, principios de
equidad, participación, ancestralidad, que den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria

MODULO DE ALGEBRA

Página 7

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3
y así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como

y , que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo
entero es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números

y

son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los
números irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a
la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas

MODULO DE ALGEBRA

Página 8

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número
real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales
que para todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después
sumar todos los productos.

MODULO DE ALGEBRA

Página 9

EXPONENTES Y RADICALES
EXPONENTES
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va
a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a
la derecha del valor base. Por ejemplo:
b es el valor base y -5 es el exponente
-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes

MODULO DE ALGEBRA

Página 10

RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado
“x”.

n = índice
x = radicando
y = raíz
=signo radical
Leyes radicales

MODULO DE ALGEBRA

Página 11

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.

MODULO DE ALGEBRA

Página 12

Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los
términos semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad
"=", por ejemplo:
X

+

2

=

6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo
que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

MODULO DE ALGEBRA

Página 13

PARTES DE UNA ECUACION
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una
ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número
que todavía no conocemos. Normalmente es
una letra como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está
multiplicando a una variable (4x significa 4
por x, así que 4 es un coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc)
que representa una operación (es decir, algo
que quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable
solo, o números y variables multiplicados
juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los
términos están separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o
"el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el
coeficiente es 4?"
¡Exponente!
Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el
valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
MODULO DE ALGEBRA

Página 14

PRODUCTOS NOTABLES
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado
segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el
cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
MODULO DE ALGEBRA

Página 15

Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el
cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del
seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el
segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo
por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6

MODULO DE ALGEBRA

Página 16

FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto
de polinomios simples.

Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor,
se dice que se

le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.

Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que:

; por lo tanto una diferencia de

cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido
identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz
cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces
por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al
cuadrado:

Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:

Factorización de cubos perfectos de binomios.
MODULO DE ALGEBRA

Página 17

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor
común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
Comenzamos con la siguiente situación:
Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la
factorización total de la expresión.

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

MODULO DE ALGEBRA

Página 18

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer
grado y resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También
resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una
incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y
cómo traducirlas al lenguaje simbólico.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que
podemos escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij
son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son
números reales, llamados términos independientes del sistema, las
incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un
conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las
incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las
"m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta
forma:

MODULO DE ALGEBRA

Página 19

Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada
por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos
independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se
obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna
de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b,
DondeA es una matrizm por n, x es un vector columna de longitud n y b es
otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de
eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea
el cuerpo del que provengan los coeficientes.
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos),
entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:
el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema
está sobre determinado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible
determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es
compatible indeterminado).
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente
sólo tiene una
solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus
soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que
se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.
La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus
soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que
se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras
dos.
MODULO DE ALGEBRA

Página 20

En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que
hacen verdadera la igualdad [1]
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación
se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina
ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la
ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan
sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con
vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro
de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario
transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.
Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo
que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada
superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos,
por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a
un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas
operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda
aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan
las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de
V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v
pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

MODULO DE ALGEBRA

Página 21

Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas,
las cuales podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar
una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran
variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso
puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse
demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales
para tener como resultado escalares.

MODULO DE ALGEBRA

Página 22

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación
polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la
expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se
expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto
de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta
ecuación donde
n = 2 se conoce como ecuación cuadrática
Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al
menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que
en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:
3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las
ecuaciones de segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede
simplificar, lo cual es muy conveniente.

MODULO DE ALGEBRA

Página 23

EJEMPLOS:
1.

2.

3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

MODULO DE ALGEBRA

Página 24

INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos
miembros se relacionan por uno de estos signos:

<
≤

2x − 1 <
7

menor que
menor

o

igual

2x − 1 ≤

que

7

>

mayor que

2x − 1 >
7

≥

mayor
que

o

igual

2x − 1 ≥
7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable
que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8

x<4

(-∞, 4)

MODULO DE ALGEBRA

Página 25

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para
resolverlassesiguenlosmismospasosqueenlasecuacionesdeprimergradoconu
na incógnita:
Quitar paréntesis.
Quitar denominadores.
Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.
Despejar la incógnita.
En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las
desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por
un número negativo cambiael sentido de la misma”.

La soluciónde una inecuación de este tipo puede ser:
Un conjuntode números reales quese suele expresar en forma de
intervalo.
Cualquier número real.
Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.
La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación
resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos
puntos.
x = 0;

2 · 0 + y = 3; y = 3;

(0, 3)

x = 1;

2 · 1 + y = 3; y = 1;

(1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

MODULO DE ALGEBRA

Página 26

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la
desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se
encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2·0+0≤3

0≤3

Sí

0>3

No

2x + y > 3
2·0+0>3

MODULO DE ALGEBRA

Página 27

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las
siguientes formas:
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0
ax 2 + bx + c < 0
ax 2 + bx + c ≤ 0

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos
números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar
multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..
Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:
2x2−x<2x−1
Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático,
característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no
estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.
Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método
compuesto por una serie de pasos a seguir.
Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de
resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:
Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen
dadas por la fórmula:
x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac√2a
Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor
de b2−4ac√ (para más información consultar el tema de ecuaciones de
segundo grado).
Método a seguir para la resolución:
Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en
uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del
MODULO DE ALGEBRA

Página 28

tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales
que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es un valor positivo.
En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la
inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los
demás términos y el orden de la desigualdad).
Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la
inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.
Puede ser que tengamos tres opciones:
Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:
Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números
cumplen la inecuación.
Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la
inecuación no tiene solución.
Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje
X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor
de a positivo, toda la gráfica se encuentra por encima del eje X, con
valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o
mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene
signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0
⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1
Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos
números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.
Así que la solución de la inecuación serán los x que

Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.

MODULO DE ALGEBRA

Página 29

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ aparte de las
0,
mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y
el resultado sería tener como región solución toda la recta real.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución
Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos
exigiendo que sea negativo.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ sí tendríamos
0,
una solución: justamente la solución de la ecuación x1.
Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2,
haremos el siguiente procedimiento:
(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)
Si ax2+bx+c>0:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0
⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2
Y como hemos supuesto
desigualdades x<x2 y x<x1.
Si ax2+bx+c<0:

que x1<x2,

nos

quedamos

con

las

quedamos

con

las

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0
⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2
y como hemos supuesto
desigualdades x<x2 y x<x1.

que x1<x2,

nos

Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya
hemos terminado.

MODULO DE ALGEBRA

Página 30

Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado
desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento
sirve para desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.

EJEMPLOS
x2+x+2>−1−x
Resolución:
x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir,
todos los puntos menos −1.
x2+2<−1−2x
Resolución:
x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.
−x(x−1)−x<−1
Resolución:
−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1
Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las
indicaciones) es x<−1 y x>1.

MODULO DE ALGEBRA

Página 31

PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y
de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables
en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de
variables.
El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas
de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar
planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el
despliegue de las unidades de combate'.
Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en
1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó
en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939)
y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942).
Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus
aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos.
La investigación de operaciones en general y la programación lineal en
particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de
momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Este
método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de
un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta
las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región
factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función
objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista
que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se
llega a otro vértice.
El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función
objetivo en cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se
encuentra en un vértice del que no parta ninguna arista a lo largo de la cual
la función objetivo aumente.

MODULO DE ALGEBRA

Página 32

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente
usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en
ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y
organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar
o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones,
que llamaremos restricciones.
Función objetivo
La programación
lineal consiste
en optimizar
(maximizar
o
minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas
por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
...

...

...

anx + bny ≤cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

MODULO DE ALGEBRA

Página 33

Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las
restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre
de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones
factibles básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se
llama solución máxima (o mínima según el caso).

MODULO DE ALGEBRA

Página 34

Valor del programa lineal
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente
las restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles
(si son pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver
en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el
problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si
el recinto no está acotado).
Ejemplo de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000
m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de
poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de
poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

MODULO DE ALGEBRA

Página 35

3 .Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones chaquetas disponible
algodón 1

1,5

750

poliéster 2

1

1000

x + 1.5y ≤ 750

2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales,
tendremos dos restricciones más:
x≥0
y≥0

MODULO DE ALGEBRA

Página 36

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO
DOCENTE:

NIVEL

PRIMERO

Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO:

0986054587

062-932310

e-mail:

oscar.lomas@upec.edu.ec
oscarlomasreyes@yahoo.es

CRÉDITOS T

1

CRÉDITOS P

2

TOTAL CRÉDITOS

HORAS T

16

HORAS P

32

TOTAL HORAS

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)

3
48

CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)

MODULO DE ALGEBRA

CÓDIGOS

Página 37

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre)

PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color

Agrícola

y un nombre)

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

MODULO DE ALGEBRA

Página 38

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento
matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía,
al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.

MODULO DE ALGEBRA

Página 39

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver
problemas del entorno.

LOGROS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO

DIMENSIÓN

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

MODULO DE ALGEBRA

Página 40

1.

2.

TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP

TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER

Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3.

PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR

4.

PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.

Argumentar el planteamiento que
solución a los problemas planteados.
5.

Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

dará

TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR




6.

TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR

Construir
expresiones
algebraicas
que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo
QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

MODULO DE ALGEBRA

Página 41


3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios
para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN
GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.

MODULO DE ALGEBRA

Página 42

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

Identificar
los
términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.

COGNITIVOS

PROCEDIMENTALES

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Qué TIENEquesaber?

El estudiante será capaz de

¿Saber cómo
TIENEqueaplicar el
conocimiento?

T

P

2

4

¿Saber qué y cómo TIENEactuar
axiológicamente?

Sistema de Números
Reales

Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe

Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales

Recta de números Reales

Potenciación y
Radicación

Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación

DEMOSTRAR.
1.

Disposición para trabajar en equipo

Operaciones Binarias

MODULO DE ALGEBRA

Estrategias, métodos y
técnicas

HOR
AS
CLA
SE

Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica
Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo

Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.

Determinación del
problema.

Página 43

Propiedades
fundamentales
Aplicaciones

Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento

Hacer síntesis gráfica
Repasar
los
conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico

Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial

Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente

2.

Aplicar operaciones mentales

Aceptar opiniones divergentes

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

Identificar los diferentes tipos
polinomios

Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo

INDUCTIVO

Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.

Potenciar la resolución de problemas

3.

Dialogo mediante
preguntas.
Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.

1.Observación

Identificar los diferentes tipos de
productos notables
Resolver ejercicios

2. Experimentación.
Valorar las participaciones de los
demás

3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)

Demostrar grado por lo que hacemos
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.

MODULO DE ALGEBRA

Página 44

2

4

11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.

Máximo común divisor de
polinomios.
Demostrar la utilidad de las
matemáticas
para
el
desarrollo del razonamiento

Resolver ejercicios con polinomios
sencillos y complejos

Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.

Mínimo común múltiplos
de polinomios.

Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.

Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.

Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones

Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
RAZONAR
1.

Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.

Determinar las
premisas.
2. Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
1.

2.

MODULO DE ALGEBRA

Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
Determinar los
criterios de relación
entre los objetos

Página 45

3

6

Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados

Plantear ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales,
resolución
Sistemas lineales y
clasificación.
Resolución de ecuaciones
lineales.

Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
carrera

Definición y clasificación.

Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas

Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.

Ecuaciones reducibles a
cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas
Resolver ejercicios sobre
expresiones cuadráticas

Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.

MODULO DE ALGEBRA

Respetar las opiniones del grupo y
fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.

Resolución de ecuaciones
cuadráticas por factoreo.

Construir
expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del

Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo

Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.

Aplicaciones

Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.

Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.

Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.

Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.

Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas

EXPOSICION
PROBLEMICA.
Determinar el
problema.
2. Realizar el encuadre
del problema.
3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA

2.
3.

4.

Valorar la creatividad de los demás

6

3

6

3

6

1.

1.
Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados

3

1.

Respetar el criterio del grupo.
2.

Determinar el
problema
Realizar el encuadre
del problema
Comunicar el
conocimiento
(conferencia ,video )
Formulación de la
hipótesis ( interacción
de las partes)

Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
Encontrar la solución

Página 46

entorno.

MODULO DE ALGEBRA

Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.

Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)

Página 47

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados


DIMENSIÓN

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)

INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción

10%

Reactivos

50%

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%

Participación virtual

Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

MODULO DE ALGEBRA

Chat-Foro

Documento

SUPLETORI
O

10%

Portafolio
Interpretar la información.

Documento

3°
PARCIA
L

10%

Pruebas

CONCEPTUAL.

Documento

2°
PARCIA
L

10%


Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
pensamiento lógico matemático.

Documento

Trabajos

FACTUAL.

Deberes

Consultas

Identificar
los
términos
básicos
utilizados durante el desarrollo del

Interpretar información.

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN

1°
PARCIA
L

10%

Página 48

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%


Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%


Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

Documento

10%

Deberes

Documento

5%

Trabajos

Documento

5%

Consultas

Documento

5%


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

CONCEPTUAL.

Modelar, simular sistemas
complejos.

Documento

5%

Interpretar información.

Deberes

Documento

5%

Modelar, simular sistemas

Trabajos

Documento

5%

Demostrar
la
utilidad
de
las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.

Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados

Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.

Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas

MODULO DE ALGEBRA

PROCESAL

CONCEPTUAL

FACTUAL.

Analizar problemas y sistemas
complejos.

Desarrollar una estrategia
para el diseño.

100%

100%

Página 49

CONCEPTUAL.

complejos.

Consultas

Documento

5%

PROCESAL

Analizar problemas y sistemas
complejos.


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

del entorno.

Documento

5%

METACOGNITIVO

ESCALA DE VALORACIÓN
Nivel ponderado de aspiración y
alcance

MODULO DE ALGEBRA

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio

7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio

100%

4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

Página 50

VI.

GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS

COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del

HORAS
AUTÓNO
MAS

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

T
INSTRUCCIONES

Consulte información en el
internet
y
textos
especializados
los
conceptos de números
reales,
presentar
en
organizadores gráficos.

RECURSOS

Libros.
Copias

P

PRODUCTO

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.

2

4

Identifica los tipos de polinomios

2

4

Distinguir plenamente entre expresiones racionales
e irracionales

3

6

Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.

Prueba
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de

Consulta sobre la definición
de
un
monomio
y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento

Demostrar la utilidad de las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.

MODULO DE ALGEBRA

Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.

Distinguir
plenamente Libros.
entre
expresiones
Copias
racionales e irracionales
Documentos en pdf.
la web.

Página 51

Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados

Dar solución a ecuaciones
de primer grado

Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado

3

6

Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas
planteados.

Identificar los tipos de
soluciones que pueden
presentarse en la solución
de
expresiones
cuadráticas.

Libros.

Identificar los tipos de soluciones que pueden
presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3

6

Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.

3

6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

16

32

1

2

Copias
Documentos en pdf.
la web.

TOTAL

CRÉDITOS

3

MODULO DE ALGEBRA

Página 52

VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos

MODULO DE ALGEBRA

Oscar Rene Lomas Reyes

Página 53

“Universidad Politécnica Estatal Del Carchi”
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Tema: Coordenadas de 8 puntos del cantón Tulcán.
Profesor: M.S.c. Oscar Lomas.
Alumna: Cinthya Cucás,
Fecha: 20/11/2013

TEMA: Coordenadas de 8 puntos del cantón Tulcán.

MODULO DE ALGEBRA

Página 100

OBJETIVOS:
Objetivo General
Determinar las coordenadas de 8 puntos del Cantón Tulcán.
Objetivos Específicos
Determinar las coordenadas UTM sistema W GG84.
Graficar las coordenadas de diferentes puntos del Cantón Tulcán en
Autocad.
MATERIALES:
GPS
INTRODUCCIÓN
En la última década de este siglo el término coordenadas se ha vuelto
indispensable en la mayoría de las profesiones en unas más que en otras ya
que con las coordenadas podemos ubicar un punto en cualquier lugar del
espacio.
Pues cuando se habla de coordenadas estamos hablando de
Georeferenciación, estas Georeferenciaciones sirven para convertir cualquier
profesión más técnica.
En algunas profesiones como la milicia han sido utilizadas para ubicar al
enemigo o para integrarlos en el sistema de espionaje.
En Agronomía se habla de agricultura de precisión exactamente basadas en
las coordenadas UTM.

MARCO TEÓRICO
MODULO DE ALGEBRA

Página 101

El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (En
inglés Universal Transverse Mercator, UTM) es un sistema que está dentro de
las llamadas proyecciones cilíndricas, por emplear un cilindro situado en una
determinada posición espacial de coordenadas, está basado también en la
proyección geográfica transversa de Mercator, pero en vez de hacerla tangente
al Ecuador, se la hace tangente a un meridiano. A diferencia del sistema de
coordenadas tradicional, expresadas en longitud y latitud, las magnitudes en el
sistema UTM se expresan en metros únicamente al nivel del mar que es la
base de la proyección del elipsoide de referencia. Esta proyección es
"conforme", es decir, que conserva los ángulos y casi no distorsiona las formas
pero inevitablemente sí lo hace con distancias y áreas. El sistema UTM implica
el uso de escalas no lineales para las coordenadas X e Y (longitud y latitud
cartográficas) para asegurar que el mapa proyectado resulte conforme. El
factor de escala en la dirección del paralelo y en la dirección del meridiano son
iguales (h = k). Las líneas loxodrómicas se representan como líneas rectas
sobre el plano.
La proyección UTM tiene la ventaja de que ningún punto está alejado del
meridiano central de su zona, por lo que las distorsiones son pequeñas. Pero
esto se consigue al coste de la discontinuidad: un punto en el límite de la zona
se proyecta en dos puntos distintos, salvo que se encuentre en el ecuador. Una
línea que une dos puntos de entre zonas contiguas no es continua salvo que
cruce por el ecuador.
Para evitar estas discontinuidades, a veces se extienden las zonas, para que el
meridiano tangente sea el mismo. Esto permite mapas continuos casi
compatibles con los estándar. Sin embargo, en los límites de esas zonas, las
distorsiones son mayores que en las zonas estándar.

MODULO DE ALGEBRA

Página 102

Husos UTM
La Tierra se divide en 60 husos de 6º de longitud, la zona de proyección de la
UTM se define entre los paralelos 80º S y 84º N, ya que los paralelos se van
separando a medida que nos alejamos del Ecuador, por lo que al llegar al polo
las deformaciones serán infinitas. Cada huso se numera con un número entre
el 1 y el 60, estando el primer huso limitado entre las longitudes 180° y 174° W
y centrado en el meridiano 177º W. Cada huso tiene asignado un meridiano
central, que es donde se sitúa el origen de coordenadas, junto con el ecuador.
Los husos se numeran en orden ascendiente hacia el este. Por ejemplo, la
Península Ibérica está situada en los usos 29, 30 y 31, y Canarias están
situadas en el huso 28. En el sistema de coordenadas geográfico las longitudes
se representan tradicionalmente con valores que van desde los -180º hasta
casi 180º (intervalo -180º → 0º → 180º); el valor de longitud 180º se
corresponde con el valor -180º, pues ambos son el mismo antimeridiano de
Greenwich y en él se produce la conexión de los husos UTM 1 y UTM 60.
Zonas UTM
La Tierra se divide en 20 zonas de 8º Grados de Latitud, que se denominan
con letras desde la C hasta la X excluyendo las letras "I" y "O", por su parecido
con los números uno (1) y cero (0), respectivamente. Puesto que es un sistema
norteamericano (estadounidense), tampoco se utiliza la letra "Ñ". La zona C
coincide con el intervalo de latitudes que va desde 80º S (o -80º latitud) hasta
72º S (o -72º latitud). Las zonas polares no están consideradas en este sistema
de referencia. Para definir un punto en cualquiera de los polos, se usa el
sistema de coordenadas UPS. Si una zona tiene una letra igual o mayor que la
N, la zona está en el hemisferio norte, mientras que está en el sur si su letra es
menor que la "N".
MODULO DE ALGEBRA

Página 103

Provincia del Carchi
Coordenadas Geográficas:









Latitud: N 0° 50' / N 1° 0' y Longitud: W 78° 0' / W 77° 45'
Coordenadas Planas UTM (aprox):
Norte: 92230 / 110650 y Este: 166040 / 193900
Código Internacional: 4096-IV
Edición: 1990
Idioma: Español
Descripción General:Para orientación general, desarrollo de proyectos.
Orografía: Presenta una topografía irregular. Su máxima altura alcanza
los 4200 metros, punto ubicado al sur-oeste de la carta. La Cuchilla
Santa María y la Loma Marpi, son los accidentes orográficos más
significativos.
 Cotas extremas: 4200 y 2320 msnm.
 Hidrografía: La red hidrográfica está conformada por los Ríos
Mayasquer o Blanco, en Colombia; El Cainacán y Carchi que a su vez
constituyen el límite internacional natural entre Ecuador y Colombia.

Cantón Tulcán

MODULO DE ALGEBRA

Página 104

CantónTulcán es una de segundo orden división administrativa (class A
Región Administrativa) en provincia del Carchi, Ecuador con un código de
región de América/ Western Europe. Se encuentra a una altitud de 2932 metros
sobre el nivel del mar.
Sus coordenadas son 0°48´0” N y 77°43´60” E en formato DMS (grados,
minutes, segundos) o 0.8 y -77.77333 (en grados decimales). Su posición UTM
es SF98 y su referencia Joint Operation Graphics es NA18.13.
La hora actual es 14.32; el sol sale a las 7:41 y se pone a las 19:49 hora local
(América/ Guayaquil UTC/GMT-5). La zona horaria de Cantón Tulcán es
UTC/GMT-5.

PROCEDIMIENTO
Organización para dirigirnos a los 8 puntos como son:










Parque ayora(punto cero)
Cementerio
Mercado Tufiño
Tres chorros
Rumichaca
Aeropuerto
Iglesia Catedral
Obelisco
Universidad Politécnica Estatal del Carchi.

MODULO DE ALGEBRA

Página 105

A través de un transporte público nos dirigirnos al punto cero que es Parque
Ayora y luego escogimos la ruta más conveniente para tomar las
coordenadas.
Con la ayuda de un GPS en cada punto dado realizamos la toma de datos
para realizar un excelente trabajo.
OBSERVACIONES
En el Ecuador también se está utilizando las coordenadas como sistema de
información Geográfica; sistema que se utiliza en la Agricultura, existen
varios métodos de obtener coordenadas y con diferentes equipos sean
estos navegadores GPS, cartas geográficas etc.

Parque Ayora
Cementerio
Mercado Tufiño
Tres Chorros
Rumichaca
Aeropuerto
Catedral
Obelisco
UPEC

Altura
2953m
2947m
3221m
2872m
2793m
2947m
2976m
2997m
2964m

UTM
0090347
0090626
0088733
0090784
0090034
0090806
0089813
0085837
0085837

18N
0197897
0197881
0182124
0197278
0203391
199086
0197434
0194915
0195705

RESULTADOS

MODULO DE ALGEBRA

Página 106

CONCLUSIONES
 Si nos ubicamos en distintos sitios de los puntos las coordenadas varían
por solo milésimas.
 Al graficar en Autocad podemos determinar la distancia que recorrimos
desde el punto cero.
 Las coordenadas se proporcionan en sistemas y datums elegidos por el
usuario: Coordenadas Geográficas, Coordenadas U.T.M. datum
WGS84, Coordenadas U.T.M. datum ED50.

RECOMENDACIONES
 Para llegar a tomar estas coordenadas debemos saber manejar
correctamente el GPS ya que si no sabemos vamos a tomar mal las
coordenadas y nos va a salir de otro tipo no lo que estamos buscando.
ANEXOS

MODULO DE ALGEBRA

Página 107

BIBLIOGRAFÍA
MODULO DE ALGEBRA

Página 108

http://ingecivilcusco.blogspot.com/2009/09/sistema-de-coordenadas-universal.html
https://www.google.com.ec/?gws_rd=cr&ei=qLGLUomlKIj54AP_oYDwBA#q=que+son+las+
coordenadas+utm
http://www.geomtbrally.com/descargas/Taller%202%20Determinacion%20de%20coorden
adas.pdf
http://www.igm.gob.ec/cms/files/cartabase/o/OII_A1.htm
http://es.getamap.net/mapas/ecuador/bolivar/_tulcan_canton/

MODULO DE ALGEBRA

Página 109

PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA

Similar to PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA (20)

More from Cinthya Cucás

More from Cinthya Cucás (10)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA