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Fórmula de trapecios

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Aqui 3 ejercicios dei ntegración por aproximación usando el método de trapecios para dar paso al método de simpson.

Saludos,

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Fórmula de trapecios

  1. 1. CÁLCULO INTEGRALFórmula de Trapecios Integración Aproximada Carlos Alberto Julián Sánchez Estudiante de Ingeniería Mecatrónica
  2. 2. Introducción:Para empezar hablar de la fórmula de trapecios debemos determinar un funcióny  f ( x) , ya que el área aproximada estará limitada por la curva en un intervalo [a, b]esto está dado por: 1 1 A   f ( xo )  f ( x1 )  f ( x2 )  f ( xn )  x donde: xo  a, xn  b 2 2 n = número de partes iguales en las que se divide el intervalo [a, b] .También debemos de saber que: bax  Es la longitud de cada parte. nAhora pasemos a resolver el primer ejemplo:Ejemplo 1: 3  x dx 2Calcula utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [1,3] , en 5 1partes iguales.Solución:Necesitamos tres datos importantes que son: xo  1 xn  3n5Ahora encontremos la longitud de cada parte con la fórmula dada: b  a 3 1 2    0.4 n 5 5De aquí elaboraremos una tabla que contendrá cada valor de incremento de longitudy el valor que merece la función para poder aplicar la fórmula de trapecios.
  3. 3. Entonces determinamos las Ordenadas de los puntos mediante la función original quees y  x 2 xn 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 f ( xn ) 1 1.96 3.24 4.86 6.76 9Observemos que el incremento de xn va de 0.4 que es la longitud, y los valores def ( xn ) son los valores del cuadrado de cada xn ya que la función es cuadrada hastallegar al límite superior.Teniendo lo siguiente, optemos por encontrar el área. 1 1 A   (1)  1.96  3.24  4.84  6.76  (9)  (0.4) 2 2 A  (.5  1.96  3.24  4.84  6.76  4.5)(0.4)A  (21.8)(0.4)A  8.72u 2Ahora veamos otro ejercicio para dejar más claro el método de trapecios.
  4. 4. Ejemplo 2: 4Calcula  (2 x  1)dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2, 4] , 2en 8 partes iguales.Solución:Busquemos nuestros tres datos sobresalientes para poder aplicar la fórmula, así quepor ende los datos son:xo  2xn  4n8 42 2 1Con los cuales obtendremos la longitud de cada parte      0.25 8 8 4Determinamos las ordenadas de los puntos mediante la función y  (2 x  1) esto haráque nuestra tabla se mire así: xn 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4f ( xn ) 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7Apliquemos la fórmula de trapecios para obtener el área en el intervalo [2, 4] 1 1A  ( (3)  3.5  4  4.5  5  5.5  6  6.5  (7))(0.25) 2 2A  (1.5  3.5  4  4.5  5  5.5  6  6.6  3.5)(0.25)A  (40.1)(0.25)A  10.0u 2
  5. 5. Ejemplo 3: 5 x2Calcula  ( ) dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2,5] , en 6 2 2partes iguales.Solución:Coloquemos nuestros 3 datos importantes.xo  2xn  4n5 52 3 1Con los cuales se obtiene precisamente nuestra longitud      0.5 6 6 2 x2Luego determinando las ordenadas de los puntos mediante nuestra función y  2xn 2 2.5 3 3.5 4 4.4 5f ( xn ) 2 3.125 4.5 6.125 8 10.125 12.5Aplicando nuestra fórmula de trapecios 1 1A  ( (2)  3.125  4.5  6.125  8  10.125  (12.5))(0.5) 2 2A  (1  3.125  4.5  6.125  8  10.125  6.25)(0.5)A  (39.125)(0.5)A  19.5625u 2
  6. 6. Resuelve los siguientes problemas: /2  sen x dx con n  5; 2 solución : 0.7385u 2 011 x 2  x3 dx con n  4; solución :0.836u 25 3 x0 x4 dx con n  8; solución :2.413u 222 x3  8 dx con n  10; solución 10.884u 2PD: Las soluciones estarán en el blog.

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