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I. Escribir los Desarrollos en serie de Potencias de “x” e indicar los intervalos de
convergencia de las siguientes funciones:
1. f(x) =
)x21)(x1(
3

; 




0n
n1nn
]x.21)([1 ; x < ½
2. f(x) = 2
)1x(
)3x2(


; - 



0n
n
3)x(n ; x < 1
3. f(x) = x. x2
e
; x + 



2n
n1n-1n
1)!(n
x2(-1)
; x < 
4. f(x) =
2
x
e ; /n!x1
1n
2n



 ; x < 
5. f(x) = Senh(x) ; 



0n
12n
1)!(2n
x
; x < 
6. f(x) = Cos(2x) ; 



1n
2n2n
n
(2n)!
.x2
1)(1 ; x < 
7. f(x) = Cos2
(x) ; 




1n
2nn
(2n)!
(2x)1)(
1/21 ; x < 
8. f(x) = 2
x9
x

; 





0n
1n
12n
n
9
x
1)( ; x < 3
9. f(x) =
2
x4
1

; 12n
2n
0n 2
x
2.4.6...2n
1)2n1.3.5....(





; x < 2
10. f(x) = Ln 







x1
x1
; 



0n
12n
12n
x
2 ; x < 1
11. f(x) = ax
(a > 0) ; 



1n
nn
n!
.a.Lnx
1 ; x < 
12. f(x) = Ln(2 + x) ; Ln(2) + x/2 + x2
/2.22
+ x3
/3.23
+ … + n
n
1n
2n
x
.)1( 
 ; 2 < x  2
13. f(x) = Sen2
(x) ; 





1n
2n12n
1n
(2n)!
.x2
1)( ; x < 
14. f(x) = Cos(x + a) ; Cos(a) – xSen(a) – x2
.Cos(a) + x3
Sen(a) + x4
Cos(a) + .... x < 1
2! 3! 4!
15. f(x) = Ln(x + 2
x1  ) ;
12n
x
n)2.4.6...(2
1)n1.3.5...(2
1)(
12n
n
n





 ; x  1
16. f(x) = Arctg(x) ; 12n
1n
1n
x
12n
1)( 



 

; [-1, 1]
17. f(x) = Sen(x).Cos(x)
18. f(x) = 3
x8 
19. f(x) =
x
)x(Cos1 
20. f(x) =
2
x1
1

21. f(x) = x2
.ex
22. f(x) = x2
Sen(x)
23. f(x) = Cos(x2
)
24. f(x) = x(1 + 2x)-2
II. Calcular el Límite, Usando Series de Potencias:
1.
)1x(Lnx
)x(Arctg)x(Sen
Lim 20x 


=
6
1
2.
)x(Arctgx
x2ee
Lim
xx
0x 
 

= 1
3.
)1x(Lnx
x)x(Arctg
Lim 20x 


=
3
1

4. 







 2
2
20x x1
x1
Ln.
x
1
Lim = 2
5. 







 1x
1x
SenLim
2
1x
= 2
6.
)x(Senx
x)x(Tg
Lim
0x 


= 2
7.
)x(Arctg
24x2
Lim
0x

 2
1

8. 20x x
))x(Cos(Ln
Lim

=
2
1

9. 30x x
)x(Senh)x(Tg
Lim


=
6
1
10.
)1e(x
)x(Arcsen)x1(Ln
Lim x0x 


=
2
1

11.   3
2
xxxxLim 3 233 23
x


12.
)1x(Lnx
)x(Arctg)x(Sen
Lim 20x 


=
6
1
13. 30x x
)x(Sec)x(Tg
Lim


= -
14. 20x ))x(Cosh1(
)x(Senhx
Lim



=
15.
20
23
x
exx3))x(Cos2)(x(Sen
Lim 5
x3
0x



16.
)2/x(Sen
)x(Cose
Lim
x
0x


=
17.
)x(Sen
)x(Arcsenx
Lim 30x


=
6
1

18.
416x
39x
Lim
2
2
0x



=
3
4
19.
)x(Sen)x1(Ln
1)x1(
Lim
2/1
0x 


=
20.
28x2
x)x(Arcsen
Lim
3 20x



=
21. )x(Cotg)x(CoscLim
0x


= 0
22. 3
2
0x x
)xx1(Lnx
Lim


=
6
1
23. 






 )x(Cos
1
1x
1
Lim
0x
=
24.
x1
x1
Lim
1x 


=
25. 1
)1e(x
)xx1(Ln)xx1(Ln
Lim x
22
0x




26. 4
)x(Cos)x(Cos
)x(Sen2)x(Sen2)x2(Sen
Lim 2
2
0x




27.
)x(xSen
)x(Cos1
Lim
0x


=
2
1
28.
x/1
)x/1(Arctg2x/1
Lim
x


= -1
29. 






 x
)x(Cotg
x
1
Lim 20x
=
3
1
30.
xx
)x(Tg3)x(Sen
Lim 3
2
0x 


=
31. 3x ))x(Tg(
)x(Arctgx
Lim


=
32. 20x x1
))x(Sen1(Ln
Lim



=
x + _1_.x5
+ _1.3__.x9
+ … + 1. 3.5…(2n – 1)x4n +1
x < 1
2.5 22.
9.2! 2n
(4n + 1)n!
III. Calcular las siguientes integrales utilizando desarrollos en series de potencias e
indicar los intervalos de Convergencia:
1. 
t
0
x
sen(x)dx
;
1)!1)(2n(2n
x
1)(
12n
0n
n




 ; x < 
2. dxe
x
0
x2


; 





1n
12n
n
1)n!(2n
x
1)(x ; x < 
3.  
x
0
x)/x)dx(Ln(1 ; 




1n
2
n
1n
n
x
1)( ; x  1
4.  
x
0
4
x1
dx
;
5. 
x
0
Arctg(x)
6. dx)xLn(1
x
0
2
 
IV. Resolver las siguientes Integrales:
1. f(x) = t)dt/(1e
x
0
t
 ; x + x3
/6 – x4
/12 + 3x5
/40 - ….
2. f(x) = 
x
0
/tArctg(t)dt
3. f(x) = 2
x
0
t
1dt/te
2

4. f(x) = )dtt.Cos(e
x
0
t


5. f(x) = dt))tLn(Cos(
x
0

V. Usar una serie de Potencia, encontrar el valor aproximado con una exactitud de 4
cifras decimales:
1. dxe
1
0
2x


; R = 0.7468
2. 

1
0
2
dx
x
Cos(x)1
R = 0.4864
3. dx
x
x)Ln(1
1/2
0


R = 0.4484
4. 
1/2
0
dx
x
Arctg(x)
R =
5. dx
x
e1
1/2
0
x



R =
6. dx)Sen(x
1/2
0
2
 R = 0.0415
7.  
1/2
0
3
)xdx/(1 R = 0.04854
8. dx
x
Sen(x)
1
0
 R = 0.621
9. 
1
0
3
Cos(x)dxx R = 0.608
10. dxx1
1/2
0
3
  R = 0.508
11. dxex
2
x
1
0
2 
 R = 0.189
12. dxxArctg(x)
0.3
0
 R = 0.0088
13. 
1/2
0
2
)dxArctg(x R =
14. 
1
0
4
)dxx.Sen(x R =
VI. Calcular el valor aproximado usando series de Potencias:
1. 24 ; R = 4.899
2. 5
30 ; R =1.974
3. 102 ; R = 10.09995
VII.

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Notas primer parcial de Cálculo 10 B-13
 

Guia series funcionales_2014

  • 1. I. Escribir los Desarrollos en serie de Potencias de “x” e indicar los intervalos de convergencia de las siguientes funciones: 1. f(x) = )x21)(x1( 3  ;      0n n1nn ]x.21)([1 ; x < ½ 2. f(x) = 2 )1x( )3x2(   ; -     0n n 3)x(n ; x < 1 3. f(x) = x. x2 e ; x +     2n n1n-1n 1)!(n x2(-1) ; x <  4. f(x) = 2 x e ; /n!x1 1n 2n     ; x <  5. f(x) = Senh(x) ;     0n 12n 1)!(2n x ; x <  6. f(x) = Cos(2x) ;     1n 2n2n n (2n)! .x2 1)(1 ; x <  7. f(x) = Cos2 (x) ;      1n 2nn (2n)! (2x)1)( 1/21 ; x <  8. f(x) = 2 x9 x  ;       0n 1n 12n n 9 x 1)( ; x < 3 9. f(x) = 2 x4 1  ; 12n 2n 0n 2 x 2.4.6...2n 1)2n1.3.5....(      ; x < 2 10. f(x) = Ln         x1 x1 ;     0n 12n 12n x 2 ; x < 1 11. f(x) = ax (a > 0) ;     1n nn n! .a.Lnx 1 ; x <  12. f(x) = Ln(2 + x) ; Ln(2) + x/2 + x2 /2.22 + x3 /3.23 + … + n n 1n 2n x .)1(   ; 2 < x  2 13. f(x) = Sen2 (x) ;       1n 2n12n 1n (2n)! .x2 1)( ; x < 
  • 2. 14. f(x) = Cos(x + a) ; Cos(a) – xSen(a) – x2 .Cos(a) + x3 Sen(a) + x4 Cos(a) + .... x < 1 2! 3! 4! 15. f(x) = Ln(x + 2 x1  ) ; 12n x n)2.4.6...(2 1)n1.3.5...(2 1)( 12n n n       ; x  1 16. f(x) = Arctg(x) ; 12n 1n 1n x 12n 1)(        ; [-1, 1] 17. f(x) = Sen(x).Cos(x) 18. f(x) = 3 x8  19. f(x) = x )x(Cos1  20. f(x) = 2 x1 1  21. f(x) = x2 .ex 22. f(x) = x2 Sen(x) 23. f(x) = Cos(x2 ) 24. f(x) = x(1 + 2x)-2 II. Calcular el Límite, Usando Series de Potencias: 1. )1x(Lnx )x(Arctg)x(Sen Lim 20x    = 6 1 2. )x(Arctgx x2ee Lim xx 0x     = 1 3. )1x(Lnx x)x(Arctg Lim 20x    = 3 1  4.          2 2 20x x1 x1 Ln. x 1 Lim = 2 5.          1x 1x SenLim 2 1x = 2 6. )x(Senx x)x(Tg Lim 0x    = 2 7. )x(Arctg 24x2 Lim 0x   2 1  8. 20x x ))x(Cos(Ln Lim  = 2 1  9. 30x x )x(Senh)x(Tg Lim   = 6 1 10. )1e(x )x(Arcsen)x1(Ln Lim x0x    = 2 1  11.   3 2 xxxxLim 3 233 23 x  
  • 3. 12. )1x(Lnx )x(Arctg)x(Sen Lim 20x    = 6 1 13. 30x x )x(Sec)x(Tg Lim   = - 14. 20x ))x(Cosh1( )x(Senhx Lim    = 15. 20 23 x exx3))x(Cos2)(x(Sen Lim 5 x3 0x    16. )2/x(Sen )x(Cose Lim x 0x   = 17. )x(Sen )x(Arcsenx Lim 30x   = 6 1  18. 416x 39x Lim 2 2 0x    = 3 4 19. )x(Sen)x1(Ln 1)x1( Lim 2/1 0x    = 20. 28x2 x)x(Arcsen Lim 3 20x    = 21. )x(Cotg)x(CoscLim 0x   = 0 22. 3 2 0x x )xx1(Lnx Lim   = 6 1 23.         )x(Cos 1 1x 1 Lim 0x = 24. x1 x1 Lim 1x    = 25. 1 )1e(x )xx1(Ln)xx1(Ln Lim x 22 0x     26. 4 )x(Cos)x(Cos )x(Sen2)x(Sen2)x2(Sen Lim 2 2 0x     27. )x(xSen )x(Cos1 Lim 0x   = 2 1 28. x/1 )x/1(Arctg2x/1 Lim x   = -1 29.         x )x(Cotg x 1 Lim 20x = 3 1 30. xx )x(Tg3)x(Sen Lim 3 2 0x    = 31. 3x ))x(Tg( )x(Arctgx Lim   = 32. 20x x1 ))x(Sen1(Ln Lim    =
  • 4. x + _1_.x5 + _1.3__.x9 + … + 1. 3.5…(2n – 1)x4n +1 x < 1 2.5 22. 9.2! 2n (4n + 1)n! III. Calcular las siguientes integrales utilizando desarrollos en series de potencias e indicar los intervalos de Convergencia: 1.  t 0 x sen(x)dx ; 1)!1)(2n(2n x 1)( 12n 0n n      ; x <  2. dxe x 0 x2   ;       1n 12n n 1)n!(2n x 1)(x ; x <  3.   x 0 x)/x)dx(Ln(1 ;      1n 2 n 1n n x 1)( ; x  1 4.   x 0 4 x1 dx ; 5.  x 0 Arctg(x) 6. dx)xLn(1 x 0 2   IV. Resolver las siguientes Integrales: 1. f(x) = t)dt/(1e x 0 t  ; x + x3 /6 – x4 /12 + 3x5 /40 - …. 2. f(x) =  x 0 /tArctg(t)dt 3. f(x) = 2 x 0 t 1dt/te 2  4. f(x) = )dtt.Cos(e x 0 t   5. f(x) = dt))tLn(Cos( x 0 
  • 5. V. Usar una serie de Potencia, encontrar el valor aproximado con una exactitud de 4 cifras decimales: 1. dxe 1 0 2x   ; R = 0.7468 2.   1 0 2 dx x Cos(x)1 R = 0.4864 3. dx x x)Ln(1 1/2 0   R = 0.4484 4.  1/2 0 dx x Arctg(x) R = 5. dx x e1 1/2 0 x    R = 6. dx)Sen(x 1/2 0 2  R = 0.0415 7.   1/2 0 3 )xdx/(1 R = 0.04854 8. dx x Sen(x) 1 0  R = 0.621 9.  1 0 3 Cos(x)dxx R = 0.608 10. dxx1 1/2 0 3   R = 0.508 11. dxex 2 x 1 0 2   R = 0.189 12. dxxArctg(x) 0.3 0  R = 0.0088 13.  1/2 0 2 )dxArctg(x R = 14.  1 0 4 )dxx.Sen(x R = VI. Calcular el valor aproximado usando series de Potencias: 1. 24 ; R = 4.899 2. 5 30 ; R =1.974 3. 102 ; R = 10.09995