Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
EJERCICIOS SERIES FUNCIONALES.
A. DESARROLLAR EN SERIE DE POTENCIAS DE Y HALLAR SU INTERVALO
DE CONVERGENCIA.
1) ( ) =
Uti...
1 + cos2x
2
=
1
2
1 −
(2x)
2!
+
(2x)
4!
−
(2x)
6!
+ ⋯ + (−1)
(2x)
(2n)!
f(x) =
1
2
1 + (−1)
(2x)
(2n)!
Aplicando D’Alember...
f(x) = √8 + x= ∑ (−1)
∗ ∗ ∗ ∗…( )
∗ !
lim
→
(−1) ∗ 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4)(3n − 1) x
8
3 ∗ (n + 1)n!
∗
3 ∗ n!
(−1) 2 ∗...
senh x = ∑
( )!
lim
→
x2n+3
(2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)!
∗
(2n + 1)!
x
< 1
|x| ∗ lim
→
1
(2n + 3)(2n + 2)
< 1
|x| < ∞ ; −∞ < ...
sen x =
3senx − sen3x
4
=
3x −
3x
3!
+
3x
5!
−
3x
7!
− 3x −
(3x)
3!
+
(3x)
5!
−
(3x)
7!
4
sen x =
24x
4 ∗ 3!
−
240x
4 ∗ 5!...
Se divide cada término por la menor potencia de x:
lim
→
1
3
1
3
−
5
+
7
= 1
3) →
2x + 8 = 8 1 + x
4 = 2 1 + x
4
= 2 1 +
1...
4) →
( )
lim
→
−
3!
2 + 1 −
2!
− 3x + x (1 + x )
lim
→
2x + x −
x
2
−
x
3
−
x
6
+
x
3! ∗ 2!
− 3x + x + x
lim
→
x +
x
12
x
...
lim
→
x(12)(1 − x ) + x (1 − x ) − 24
(12)(1 − x )x
lim
→
12x − 11x − x − 24
(12)(x − x )
= lim
→
12 − 11x − x −
24
x
12(x...
2. ∫
= [1 + (− )] = − ; = − 1
2
1 + −
1
2
(−t ) + −
1
2
−
3
2
(−t )
2!
+ −
1
2
−
3
2
−
5
2
(−t )
3!
+. .
1 +
t
2
+
1 ∗ 3 ∗...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Clase del martes 22 de abril:Ejercicios series funcionales

493 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Clase del martes 22 de abril:Ejercicios series funcionales

  1. 1. EJERCICIOS SERIES FUNCIONALES. A. DESARROLLAR EN SERIE DE POTENCIAS DE Y HALLAR SU INTERVALO DE CONVERGENCIA. 1) ( ) = Utilizando la identidad trigonométrica: 2 = 2 Despejando: = Entonces el desarrollo de será: senxcosx = 2x 2 − (2x) 2 ∗ 3! + (2x) 2 ∗ 5! − (2x) 2 ∗ 7! +. . +(−1) 2 ∗ x n! Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia: lim → (−1) ∗ 2 ∗ x (n + 1)n! ∗ n! (−1) ∗ 2 ∗ x < 1 2 ∗ |x| ∗ lim → 1 n + 1 < 1 ; |x| < ∞ ; −∞ < < ∞ 2) ( ) = ( ) cos2x = 2cos x − 1 ; cos x = 1 + cos2x 2
  2. 2. 1 + cos2x 2 = 1 2 1 − (2x) 2! + (2x) 4! − (2x) 6! + ⋯ + (−1) (2x) (2n)! f(x) = 1 2 1 + (−1) (2x) (2n)! Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia: lim → (−1) ∗ (2x) (2n + 2)(2n + 1)(2n)! ∗ (2n)! (−1) ∗ (2x) < 1 |2x| ∗ lim → 1 (2n + 2)(2n + 1) < 1 |x| < ∞ ; −∞ < < ∞ 3) ( ) = √ + 8 1 + x 8 = 2 1 + x 8 ; x = x 8 y m = 1 3 = 1 + + − ! + − − ! + − − − ! + ... = 1 + 1 3 x 8 + (−1) 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x 8 3 ∗ n!
  3. 3. f(x) = √8 + x= ∑ (−1) ∗ ∗ ∗ ∗…( ) ∗ ! lim → (−1) ∗ 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4)(3n − 1) x 8 3 ∗ (n + 1)n! ∗ 3 ∗ n! (−1) 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x 8 < 1 ∗ ∗ lim → < 1 ; < 1 ; −1 < < 1 −8 < < 8 4) ( ) = senh = − 2 Los desarrollos a utilizar serían: = 1 + ! + ! + ! + ⋯ + ! = 1 − ! + ! − ! + ⋯ + (−1) ∗ ! senh = 1 + 1! + 2! + 3! +. . − 1 − 1! + 2! − 3! + ⋯ 2 senh = 2 + 2 3! + 2 5! + ⋯ + 2 (2 + 1)! 2
  4. 4. senh x = ∑ ( )! lim → x2n+3 (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)! ∗ (2n + 1)! x < 1 |x| ∗ lim → 1 (2n + 3)(2n + 2) < 1 |x| < ∞ ; −∞ < < ∞ B. CALCULAR LOS SIGUIENTES LÍMITES UTILIZANDO SERIES DE POTENCIAS. 1) → Se sustituye, en el límite, el desarrollo de arcsenx y sen x; tomando una cantidad finita de términos. En este caso tomaremos cuatro términos. arcsenx = x + x 2 ∗ 3 + 3x 2 ∗ 5 ∗ 2! + 3 ∗ 5x 2 ∗ 7 ∗ 3! arcsenx = x + x 6 + 3x 40 + 5x 112 Para sen x aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:
  5. 5. sen x = 3senx − sen3x 4 = 3x − 3x 3! + 3x 5! − 3x 7! − 3x − (3x) 3! + (3x) 5! − (3x) 7! 4 sen x = 24x 4 ∗ 3! − 240x 4 ∗ 5! + 2184x 4 ∗ 7! = x − x 2 + 13x 120 lim → x − x + x 6 + 3x 40 + 5x 112 x − x 2 + 13x 120 = lim → − x 6 − 3x 40 − 5x 112 x − x 2 + 13x 120 Se divide cada término por la menor potencia de x: lim → − 1 6 − 3x 40 − 5x 112 1 − x 2 + 13x 120 = − 1 6 2) → lim → 1 + 1! + 2! + 3! − 1 − 1! + 2! − 3! − 2x x − − 3 + 5 − 7 lim → 2 3! x 3 − 5 + 7
  6. 6. Se divide cada término por la menor potencia de x: lim → 1 3 1 3 − 5 + 7 = 1 3) → 2x + 8 = 8 1 + x 4 = 2 1 + x 4 = 2 1 + 1 3 x 4 + 1 3 − 2 3 1 2! x 4 = 2 1 + x 12 − x 144 lim → x + x 6 + 3x 40 − x 2 + 6 − 72 − 2 = lim → x 6 + 3x 40 6 − 72 Se divide cada término por la menor potencia de x: lim → x 6 + 3x 40 1 6 − 72 = 0
  7. 7. 4) → ( ) lim → − 3! 2 + 1 − 2! − 3x + x (1 + x ) lim → 2x + x − x 2 − x 3 − x 6 + x 3! ∗ 2! − 3x + x + x lim → x + x 12 x Se divide cada término por la menor potencia de x, en este caso entre x : lim → 1 + x 12 1 = 1 5) → lim → x + x 3 − 1 1 − x 2 x = lim → x + x 3 − 2 1 − x x
  8. 8. lim → x(12)(1 − x ) + x (1 − x ) − 24 (12)(1 − x )x lim → 12x − 11x − x − 24 (12)(x − x ) = lim → 12 − 11x − x − 24 x 12(x − x ) = +∞ C. RESOLVER LOS SIGUIENTES INTEGRALES. 1. ∫ ( ) = t t − t 2t + t 3t − t 4t + ⋯ dt = 1 − t 2 + t 3 − t 4 + ⋯ dt = t − t 2 ∗ 2 + t 3 ∗ 3 − t 4 ∗ 4 + … ] x 0 = x − x 2 + x 3 − x 4 + ⋯ + (−1) x n
  9. 9. 2. ∫ = [1 + (− )] = − ; = − 1 2 1 + − 1 2 (−t ) + − 1 2 − 3 2 (−t ) 2! + − 1 2 − 3 2 − 5 2 (−t ) 3! +. . 1 + t 2 + 1 ∗ 3 ∗ t 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ t 2 ∗ 3! + ⋯ = t + t 5 ∗ 2 + 1 ∗ 3 ∗. . t 9 ∗ 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … t 13 ∗ 2 ∗ 3! + … ] 0 = x + x 5 ∗ 2 + 1 ∗ 3 ∗. . x 9 ∗ 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … x 13 ∗ 2 ∗ 3! + ⋯ 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … (2n + 1)x (4n + 1) ∗ 2 ∗ n!

×