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Clase del martes 13 de mayo de 2014

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Clase del martes 13 de mayo de 2014

  1. 1. 1 ENVOLVENTE. Es una función que envuelve a la familia de curvas que son solución de una EDO. Su solución se obtiene de la solución de la EDO en estudio. SOLUCIÓN: 1) Se deriva la solución general respecto a C y se despeja C. 2) Se sustituye la expresión de C en la solución general y se obtiene la ecuación de la función envolvente de la solución general de una EDO. Ejemplos: 1) y = Cx + C Se deriva respecto a C: 0 = x + 2C Se despeja C: C = − Se sustituye en la solución general dada: y = − x + − y = − x 2 + x 4 y = − x 4 2) (x − C) + (y − C) = 4 2(x − C)(−1) + 2(y − C)(−1) = 0 ; x + y = 2C ; C = x + y 2 x − x + y 2 + y − x + y 2 = 4
  2. 2. 2 3) C x − y = 2C 2Cx = 6C ; x = 3C ; C = x 3 x 3 x − y = 2 x 3 ; x 9 − y = 2x 27 ; y = x 9 − 2x 27 y = x 27 TRAYECTORIAS ORTOGONALES. m = 1 m ; dy dx = − dx dy Solución: 1) Se deriva respecto a la solución general. 2) Se despeja y se sustituye en la solución general. 3) Se sustituye por − obteniéndose una EDO. 4) Se resuelve la EDO obtenida. 0 y x Familia de curvas Solución general Familia de trayectorias ortogonales
  3. 3. 3 Ejemplos: 1) x − y = C 2x − 2y = 0 ; ∫ = − ∫ ; ln y = − ln x + ln C ; y = C x 2) x + y = 2Cx 2x + 2y dy dx = 2C ; C = x + y dy dx x + y = 2x x + y dy dx ; x + y = 2x + 2xy dy dx ; +y = 2x + 2xy − dx dy x + y = 2x − 2xy dx dy ; y − x = 2xy dx dy x y + 1 = c y Homogénea, Bernoulli o Factor Integrante

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