Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Clase del lunes 7 de abril 2014

295 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Clase del lunes 7 de abril 2014

  1. 1. 1 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. Puede verse a una serie de potencias como un polinomio con infinitos términos. A estas series podemos derivarlas, integrarlas, sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas, en la forma como se procede con los polinomios. Si una serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio de convergencia > 0. La función ( ) = ∑ ( − ) representada por esta serie tiene propiedades notables. Así, ( ) puede derivarse infinitas veces y estas derivadas se obtienen derivando término a término la serie. Estas operaciones de derivación e integración solo son posibles dentro del radio de convergencia R de las series de potencias; de ahí radica la importancia de determinar con exactitud el radio de convergencia. Teorema: si la serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio de convergencia > 0, entonces la función ( ) = ∑ ( − ) es diferenciable e integrable en el intervalo ( − , + ) y se cumple que: 1. ( ) = ∑ ∗ ( − ) ( − , + ) 2. ∫ ( ) = ∑ ( ) + ( − , + ) El radio de convergencia de las series 1 y 2 es el mismo R.
  2. 2. 2 Ejemplo: Sea ∑ ( ) = + + + ⋯ + ( ) lim → < 1 → lim → ( + 2) < 1 | | ∗ lim → ( ) ( ) < 1 ; | | < 1 ; −1 < < 1 Entonces el radio de convergencia R es igual a 1. Derivando ∑ ( ) queda ∑ ( ) ( ) = ∑ ( ) ∑ ( ) = 1 + + + ⋯ + ( ) lim → < 1 → lim → + 2 ∗ + 1 < 1 ; | | ∗ lim → + 1 + 2 < 1 | | < 1 ; −1 < < 1 ; = 1
  3. 3. 3 POLINOMIO DE TAYLOR Y APROXIMACIONES Los polinomios nos proporcionan una herramienta importante para aproximar funciones elementales. Ellos generalizan la idea de aproximación lineal de una función mediante la recta tangente. Esto es, si ( ) es diferenciable en = . Si ( ) tiene n derivadas en a. se llama polinomio de Taylor de grado n de ( ) en a al polinomio: P (x) = f(a) + ( ) ! (x − a) + ( ) ! (x − a) + ⋯ + ( )( ) ! (x − a) Taylor P (x) = f(a) + ( ) ! x + ( ) ! x + ⋯ + ( )( ) ! x Para x=o Mc Laurin Ejemplo: Hallar: 1. El polinomio de Taylor de orden 0, 1, 2,3 y 4 en a=1 de la función ( ) = ln 2. La aproximación de ln(1,1) mediante ( ) Solución: se evalúa la función en x=1 y cada una de sus cuatro derivadas, que es el orden que requiere el enunciado.
  4. 4. 4 ( ) = ln( ) → (1) = ln(1) = 0 ′( ) = 1 x → ′(1) = 1 ′′( ) = − 1 x → (1) = −1 ′′′( ) = 2 x → (1) = 2 ( ) = − 6 x → = −6 Ahora se obtienen los polinomios desde el orden cero hasta el orden cuatro. ( ) = (1) = 0 P (x) = ( ) + f′(1) 1! (x − a) = 0 + 1 1! (x − 1) = (X − 1) P (x) = ( ) + f′′(1) 2! (x − a) = (X − 1) − 1 2 (x − 1) P (x) = ( ) + f′′′(1) 3! (x − a) = (X − 1) − 1 2 (x − 1) + 2 3! (X − 1) = P (x) = ( − 1) − 1 2 ( − 1) + 1 3 ( − 1) P (x) = ( ) + f (1) 4! (x − a) = (x − 1) − 1 2 (x − 1) + 1 3 (x − 1) − 6 4! (x − 1) P (x) = (x − 1) − 1 2 (x − 1) + 1 3 (x − 1) − 1 4 (x − 4) Ahora ln(1,1) ≈ (1,1) = 0,1 − (0,1) + (0,1) − (0,1) =
  5. 5. 5 = 0,1 − 0,005 + 0,000333333 + 0,000025 = 0,095308 La calculadora arroja como resultado ln(1,1) = 0,095310179 Observar que a medida que se toma una cantidad mayor de términos en el polinomio para hacer la aproximación, la curva de este polinomio se acerca más al comportamiento de la función original.
  6. 6. 6 SERIES DE TAYLOR Es un método general para obtener ciertas series de potencias de funciones que poseen derivadas de todos los órdenes en determinado intervalo de convergencia. Gracias a aquel teorema que plantea, que una serie funcional se puede derivar o integrar sin afectar su radio de convergencia . 1. Serie de Taylor de , o centrada en : f( ) (a) n! (x − a) = f(a) + f′(a) 1! (x − a) + f′′(a) 2! (x − a) + ⋯ + ( ) Término complementario de LaGrange: ( ) = ( )( ) ! (x − a) Para que el error cometido no sea trascendente se debe cumplir que lim → ( ) → 0 2. Serie de Mc Laurin de es una serie de Taylor centrada en = 0: f( ) (0) n! X = f(0) + f′(0) 1! X + f′′(0) 2! X + ⋯ + ( ) | ( )| < | | ( + 1)! Ejemplo 1: Desarrollar en series de Mc Laurin la función ( )= Solución: Se determina varias derivadas y se observa el comportamiento de las derivadas. Luego se evalúan estas derivadas para = 0 y se sustituye en la serie de Mc Laurin.
  7. 7. 7 ( )= → (0) = 1 ′( )= → ′(0) = 1 ′′( )= → ′′(0) = 1 ( )= → ( ) = 1 Sustituyendo: = 1 + ! + ! + ! + ⋯ + ! Para hallar el intervalo de convergencia sería: lim → ( + 1)! ∗ ! < 1 ; | | ∗ lim → ! ( + 1) ! < 1 | | ∗ lim → 1 ( + 1) < 1 ; | | ∗ 0 < 1 ; | | < ∞ El intervalo de convergencia será: −∞ < < ∞ Ejemplo 2: Desarrollar en serie de Mc Laurin la función ( ) = ( ) = → (0) = (0) = 0 ′( ) = → ′(0) = (0) = 1 ( ) = − → ( ) = − (0) = 0 ( ) = − → ( ) = − (0) = −1 ( ) = → (0) = (0) = 0 ( ) = → (0) = (0) = 1 ( ) = = − ! + ! − ! + ⋯ + (−1) ( )!
  8. 8. 8 lim → (−1) ∗ (2 + 3)(2 + 2)(2 + 1)! ∗ (2 + 1)! (−1) ∗ < 1 | | ∗ lim → 1 (2 + 3)(2 + 2) < 1 | | < ∞ ; −∞ < < ∞ Ejemplo 3: Desarrollar en serie de Taylor la función ( ) = alrededor de = ( ) = → 2 = 2 = 1 ′( ) = → ′ 2 = 2 = 0 ( ) = − → 2 = − 2 = −1 ( ) = − → 2 = − 2 = 0 ( ) = → 2 = 2 = 1 Entonces la función ( ) = alrededor de = 2 será: = 1 − 1 2! − 2 + 1 4! − 2 − ⋯ + (−1) (2 )! − 2

×