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clase del lunes 5 de mayo de 2014

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clase del lunes 5 de mayo de 2014

  1. 1. 1 III. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: Una EDO de primer orden de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado. En general, una función es homogénea si es del mismo grado en cada uno de sus términos. Una función z = f(x, y) que tenga la propiedad z(tx, ty) = t (x, y) se denomina homogénea de grado n. Otra forma de identificar una EDO homogénea es si se puede expresar dy dx = f y x o dx dy = f x y Ejemplo: z = x + xy + y es homogénea de segundo grado z(tx, ty) = [(tx) + (tx)(ty) + (ty) ] = t x + t xy + t y = t (x + xy + y ) Solución: se resuelve haciendo el siguiente cambio de variable: y = u ∗ x → se deriva respecto a x; dy dx = u + x du dx (si N(x, y) es más sencilla) x = v ∗ y → se deriva respecto a y; dx dy = v + y dv dy (si M(x, y) es más sencilla) Luego se sustituye el cambio de variable y su derivada en la EDO dada, obteniéndose una EDO de variables separadas. Ejemplos: 1) (x + y)dx + (y − x)dy = 0 ; = − ( ) ( ) ; y = u ∗ x ; = u + x ; u + x = − ; ; u + x = − ( ) ( ) ; x du dx = − (1 + u) (u − 1) − u ; x du dx = −1 − u − u + u u − 1 ; x du dx = − (u + 1) u − 1 ; u − 1 u + 1 du = − dx x ; u u + 1 du − 1 u + 1 du = − dx x
  2. 2. 2 = 1 2 ln(u + 1) − arctag(u) = − ln x + C ; 1 2 ln y x + 1 − arctag y x = − ln x + C 1 2 ln y + x x − arctag y x = − ln x + C 2) y cos + x sin dx = x cos dy → = y = u ∗ x ; u = y x ; dy dx = u + x du dx ; u + x du dx = [y cos(u) + x sin(u)] x cos(u) ; u + x du dx = u + sin u cos u ; x du dx = sin u cos u cos u sin u du = dx x ; ln|sin u| = ln x + ln C ; sin u = x ∗ C sin y x = x ∗ C 3) x(ln x − ln y)dy − ydx = 0 condición particular y(2) = 1 x(ln x − ln y)dy = ydx ; dx dy = x ln x y dy y ; x = v ∗ y ; v = x y ;
  3. 3. 3 dx dy = v + y dv dy v + y dv dy = v ln v ; y dv dy = v ln v − v ; dv v(ln v − 1) = dy y ln(ln v − 1) = ln y + ln C ; ln ln x y − 1 = ln y + ln C ln x y − 1 = y ∗ C ; si y(2) = 1 ; ln(2) − 1 = C ln x y − 1 = y[ln(2) − 1] 4) xdx + (y − 2x)dy = 0 ; = − y = u ∗ x ; dy dx = u + x du dx u + x du dx = − (u − 2u + 1) u − 2 ; u − 2 u − 2u + 1 du = − dx x ; u − 2 (u − 1) du = − dx x u − 2 (u − 1) du = A u − 1 + B (u − 1) ; fracción simple: A = 1 y B = −1 du u − 1 − du (u − 1) = − dx x ; ln(u − 1) + 1 u − 1 = − ln x + C ln − 1 + 1 − 1 = − ln +
  4. 4. 4 5) x + y = 2y ; = y = u ∗ x ; dy dx = u + x du dx u + x du dx = 2ux − x ux ; x du dx = 2u − 1 u – u ; x du dx = 2u − 1 − u u u u − 2u + 1 du = − dx x ; u (u − 1) du = − dx x du u − 1 − du (u − 1) = − dx x ; ln(u − 1) + 1 u − 1 = − ln x + C ln y − x x + x y − x = − ln x + C 6) 3x = 2x + y ; = y = u ∗ x ; dy dx = u + x du dx u + x du dx = 2x + u x 3x ; x du dx = 2 + u 3 − u ; x du dx = 2 + u − 3u 3 du u − 3u + 2 = dx x ; du (u − 2)(u − 1) = dx x du (u − 2)(u − 1) = A (u − 2) + B (u − 1) ; fracción simple: A = 1 y B = −1 ln(u − 2) − ln(u − 1) = ln x + ln C ; u − 2 u − 1 = x ∗ C
  5. 5. 5 y x − 2 y x − 1 = x ∗ C ; y − 2x x y − x x = x ∗ C ; y − 2x y − x = x ∗ C y − 2x = xyC − x C ; y − xyC = 2x − x C ; y(1 − cx) = 2x − x C y = 2x − Cx 1 − Cx
  6. 6. 6 IV. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS: Son EDO cuya expresión es la siguiente (ax + by + c)dx = (a x + b y + c )dy o dy dx = ax + by + c a x + b y + c dónde c y c son diferentes de cero Se presentan dos casos: a) a b a b = 0 Rectas linealmente dependientes Se hace el siguiente cambio de variable: u = ax + by Y se deriva respecto a la variable independiente: du dx = a + b dy dx o du dy = a dx dy + b Se sustituye el cambio de variable y su derivada en la EDO, obteniéndose una EDO de variables separadas. b) a b a b ≠ 0 Rectas linealmente independientes Se hace el siguiente cambio de variable: x = x + h ; y = y + k Siendo h y k el punto de intersección de las rectas dadas, se sustituyen en la EDO y se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Los valores de h y k hallados hacen que la EDO dada se convierta en una EDO homogénea. u = y x ; y = u ∗ x ; dy dx = u + x du dx v = x y ; x = v ∗ y ; dx dy = v + y dv dy
  7. 7. 7 Ejemplos: 1) (2x − y)dx + (4x − 2y + 1)dy = 0 = ; 2 −1 −4 2 = 4 − 4 = 0 linealmente dependientes dy dx = 2x − y −2(2x − y) − 1 ; u = 2x − y ; du dx = 2 − dy dx 2 − du dx = u −2u − 1 ; 2 + u 2u + 1 = du dx ; 4u + 2 + u 2u + 1 = du dx du dx = 5u + 2 2u + 1 ; 2u + 1 5u + 2 du = dx ; 2 5 du + 1 25 du u + 2 5 = dx 2 5 u + 1 25 ln u + 2 5 = x + c ; 2 5 (2 − ) + 1 25 ln 2 − + 2 5 = + 2) (x − y + 1)dy − (x + y − 1)dx = 0 dy dx = x + y − 1 x − y + 1 ; 1 1 1 −1 = −1 − 1 = −2 ≠ 0 ; linealmente independientes x = x + h ; y = y + k ; dy dx = x + h + y + k − 1 x + h − y − k + 1 sistema de ecuaciones: dy dx = x + y x − y ; u = y x1 ; y = u ∗ x ; dy dx = u + x du dx h + k − 1 = 0 ; h = 0 h − k + 1 = 0 ; k = 1
  8. 8. 8 u + x du dx = x + ux x − ux ; x du dx = 1 + u 1 − u − u ; x du dx = 1 + u − u + u 1 − u 1 − u u + 1 du = dx x ; du u + 1 − udu u + 1 = dx x arctag(u) − 1 2 ln(u + 1) = ln x + c arctag y x − 1 2 ln y x + 1 = ln x + c − 1 − 1 2 ln − 1 + 1 = ln +

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