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Clase del lunes 12 de mayo de 2014

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Clase del lunes 12 de mayo de 2014

  1. 1. 1 VII. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL : Son EDO de la forma: + P(x)y = Q(x) o + P(y)x = Q(y) Solución: 1) Simplificar la EDO a su forma general identificando P(x) y Q(x). (o P(y) y Q(x)). 2) Igualar Q(x) [Q(y)] a cero para obtener una EDO de variables separadas; ésta se resuelve, obteniéndose una y = f(x) ∗ φ(x) [x = f(y) ∗ φ(y)]. (A). 3) Se sustituye (A) y su derivada en la EDO lineal dada y se despeja φ (x) [φ (y)] (B). 4) Se integra (B) y se sustituye φ(x) [φ(y)] en (A) obteniéndose la solución general. Ejemplos: 1) x y + 5xy + 3x = 0 se divide entre x → y + y = −3x P(x) = 5 x y Q(x) = −3x y + 5 x y = 0 ; dy dx = − 5 x y ; dy y = −5 dx x ln y = −5 ln x + ln φ(x) ; y = x φ(x) dy dx = −5x φ(x) + x φ (x) Ahora se sustituye y = f(x) y su derivada en la EDO Lineal quedando: −5x φ(x) + x φ (x) + 5 x x φ(x) = −3x
  2. 2. 2 φ (x) = −3x ; φ(x) = − 3 9 x + c = − 1 3 x + c = − 1 3 + 2) cos ydx = (x sin y + tan y)dy → − x = dx dy − x sin y cos y = 0 ; dx dy = x tan y ; dx x = tan ydy ln x = ln(sec y) + ln φ(y) ; x = φ(y) sec y dx dy = φ (y) sec y + sec y tan yφ(y) Ahora se sustituye x = f(y) y su derivada en la EDO Lineal quedando: φ (y) sec y + sec y tan yφ(y) − φ(y) sec y tan y = tan y cos y φ (y) = tan y cos y ∗ 1 sec y ; φ (y) = tan y ; φ(y) = ln(sec y) + c x = sec y[ln(sec y) + c]
  3. 3. 3 VIII. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI: Su forma general es: dy dx + P(x)y = Q(x)y o dx dy + P(y)x = Q(y)x donde n ∈ Z − {0,1} Solución: 1) Simplificar la EDO a su forma general. 2) Multiplicar ambos miembros de la EDO por obteniéndose: 1 y dy dx + P(x) 1 y = Q(x) (A) 3) Hacer el cambio de variable z = 1 y = y ; se deriva dz dx = (1 − n)y dy dx Se despeja . 4) Se sustituye z y en la ecuación (A) obteniéndose una EDO Lineal. Ejemplos: 1) y(x + y)dx − x dy = 0 → − = 1 y dy dx − 1 xy = 1 x z = 1 y ; dz dx = − 1 y dy dx ; dy dx = −y dz dx 1 y −y dz dx − z x = 1 x ; dz dx + z x = − 1 x EDO Lineal dz dx + z x = 0 ; dz z = − dx x
  4. 4. 4 ln z = − ln x + ln φ(x) ; z = x φ(x) dz dx = −x φ(x) + φ (x)x ; −x φ(x) + φ (x)x + x φ(x) x = − 1 x φ (x) = − 1 x ; φ(x) = − ln x + c z = x [− ln x + c] ; 1 y = c − ln x x = − ln 2) 2 sin x + y cos x = y (x cos x − sin x) Se divide entre 2 sin quedando: + cot x = (x cot x − 1) 1 y dy dx + cot x 2y = 1 2 (x cot x − 1) z = 1 y ; dz dx = − 2 y dy dx 1 y − y 2 dz dx + z cot x 2y = 1 2 (x cot x − 1) dz dx − z cot x = 1 − x cot x EDO Lineal dz dx = z cot x ; dz z = cot xdx ln z = ln(sin x) + ln φ(x) → z = φ(x) sin x dz dx = φ (x) sin x − cos xφ(x)
  5. 5. 5 φ (x) sin x − cos xφ(x) − φ(x) sin x cot x = 1 − x cot x φ (x) = 1 sin x − x cos x (sin x) → φ(x) = csc xdx − x cos x (sin x) dx φ(x) = ln|csc x − cot x| − (−x csc x + ln|csc x − cot x|) φ(x) = x csc x + c ; z = (x csc x + c) sin x z = x + c sin x ; 1 y = x + c sin x ; y = 1 x + c sin x = √ + sin + sin

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